Matematyka dyskretna - kolokwium
Grupa A
1. Obliczy´c:
(a) n2 (b) n+10 (c) (3 −√
2)4
2. Udowodni´c indukcyjnie (dla n = 1, 2, 3, ...) równo´s´c:
n−1
∑
i=0
5(i + 1) = 5
2n(n + 1)
3. Uszeregowa´c rosn ˛aco (w sensie asymptotycznym) ci ˛ag funkcji:
lgn, lg(lgn)22, 70n, nn, n!,√
n, 25log5n 4. Rozwi ˛aza´c rekurencj˛e:
an= n+3n+2an−1 dla n > 0, a0= 1 5. Wyznaczy´c funkcj˛e tworz ˛ac ˛a ci ˛agu {an}n∈N
0, zadanego wzorem:
an=
(2n+1 dla n : 3|n
0 dla pozostałych n.
6. Korzystaj ˛ac z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej, wyznaczy´c asymptotycznie dokładne oszacowanie rozwi ˛azania rekurencji: T (n) = T (n2) + 3
7. Odpowiedzie´c na pytania:
(a) Na ile sposobów mo˙zna ustawi´c na półce 25 ró˙znych ksi ˛a˙zek?
(b) Ile jest mo˙zliwo´sci wylosowania 7 kart z talii (zło˙z. z 52 kart) tak, aby otrzy- ma´c dokładnie 2 "dziesi ˛atki" i 1 "asa"?
(c) Ile ró˙znych słów (maj ˛acych sens lub nie) mo˙zna uło˙zy´c z liter wyrazu "patat"
przy zało˙zeniu, ˙ze wykorzystamy wszystkie litery tego wyrazu?
8. Rozwa˙zmy graf nieskierowany G = (V, E), którego wierzchołki oznaczone s ˛a ko- lejnymi liczbami naturalnymi, a macierz s ˛asiedztwa ma posta´c:
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
Narysowa´c graf G. Stwierdzi´c, czy wierzchołek 4 jest osi ˛agalny z wierzchołka 6 i poda´c stopie´n wierzchołka 4.
