• Nie Znaleziono Wyników

III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

III Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów (zawody stopnia trzeciego)

8 marca 2008 r.

1. Dane są takie liczby rzeczywiste a, b, c, że liczby ab + bc , bc + ca , ca + ab

są dodatnie. Udowodnij, że liczby a, b, c mają jednakowy znak, tzn. wszystkie są dodatnie lub wszystkie są ujemne.

2. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele trójek (a, b, c) do- datnich liczb całkowitych spełniających równość

a

3

+ 3b

6

= c

2

.

3. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC > BC. Punkt P jest rzutem prostokątnym punktu B na dwusieczną kąta ACB.

Punkt M jest środkiem odcinka AB. Wiedząc, że BC = a , CA = b , AB = c , oblicz długość odcinka P M .

4. Czy wierzchołki 20-kąta foremnego można tak ponumerować liczbami 1, 2, . . . , 20, aby użyć wszystkich tych liczb oraz aby dla każdych czterech kolejnych wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od 43 ? Odpowiedź uzasadnij.

5. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego każda

krawędź ma długość 1. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną

przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i uzyskano w prze-

kroju czworokąt wypukły ABCD nie będący trapezem. Proste

AB i CD przecinają się w punkcie P . Wyznacz wszystkie war-

tości, jakie może przyjąć odległość punktu P od płaszczyzny

podstawy ostrosłupa.

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 29.71 KB )

Powiązane dokumenty

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

1. Każda drużyna rozegrała z każdą inną dokładnie jeden mecz. Po turnieju okazało się, że suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny wynosi 41. Wykaż, że ist- nieją

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Czy na powierzchni każdego czworościanu można wskazać ta- kie cztery punkty, które są wierzchołkami kwadratu i z których żadne dwa nie leżą na jednej ścianie tego

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Po turnieju wszyscy zawodnicy usiedli przy okrągłym stole w taki sposób, że każdy zawodnik wygrał z osobą siedzącą obok niego z jego lewej strony.. Dany jest czworościan

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Po turnieju wszyscy zawodnicy usiedli przy okrągłym stole w taki sposób, że każdy zawodnik wygrał z osobą siedzącą obok niego z jego lewej strony.. , A n−1 spełnia

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Wyznacz liczbę trójkątów równo- ramiennych, których wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami danego

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Adresy Komitetów Okręgowych, informacje o kwalifikacji do zawodów stopnia drugiego, zadania z poprzednich edycji OMG oraz inne informacje można znaleźć na stronie internetowej

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Wy- każ, że pewne cztery z tych osób mogą usiąść przy okrągłym stole w taki sposób, aby każda z nich siedziała pomiędzy swoimi dwoma znajomymi.. Czy istnieje taki

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Oznaczmy przez P punkt przecięcia prostych BC i AD. Wówczas z równości kątów danych w treści zadania wynika, że trójkąty ABP i DCP są równoboczne.. Na przyjęciu spotkało