Zadanie 2.12
Tomasz Olma i Rafał Cylwa 20 listopada 2013
1 Treść
Załóżmy, że grupa skończona G działa tranzytywnie (to znaczy jest dokładnie jedna orbita) na zbiorze X. Rozważmy działanie G na X × X zadane wzorem g(x1, x2) = (g(x1), g(x2)). Udowodnić, że liczba orbit działania G na X ×X jest równa liczbie orbit działania grupy izotropii Gx na X (dla dowolnego punktu x ∈ X).
2 Rozwiązanie
Definicja: x, y należą do jednej orbity ⇔ ∃g ∈ G : g(x) = y
Dowód: Niech x będzie ustalone. Określmy odwzorowanie:
F : orbity działania Gx na X → orbity działania G na X × X ( F : o → k) w taki sposób, że każdej orbicie o działania Gxna X o = {x1, x2, ...} przyporząd- kujemy orbitę k działania G na X × X zawierającą elementy (x, x1), (x, x2), ...
• Czy F jest dobrze określone?
(tzn. czy obrazem jest jedna, cała orbita działania G na X × X?) Weźmy x1, x2∈ o ⇔ ∃g ∈ Gx: g(x1) = x2
wtedy g(x, x1) = (g(x), g(x1)) = (x, x2), czyli (x, x1), (x, x2) należą do jednej orbity.
• Czy F jest 1 : 1?
Załóżmy, że o16= o2 i F (o1) = F (o2).
Weźmy x1∈ o1i x2∈ o2. Warunek o16= o2oznacza, że ∀g ∈ Gxg(x1) 6= x2, ale (x, x1) i (x, x2) należą do tej samej orbity k działania G na X × X, więc
∃g ∈ G: g(x, x1) = (x, x2), czyli g(x) = x, to znaczy g ∈ Gxoraz g(x1) = x2. Jest to sprzeczność, zatem F jest 1 : 1.
• Czy F jest „na”?
Zauważmy, że każda orbita działania G na X × X zawiera element (x, c) dla pewnego c. Istotnie, dla dowolnej pary (x1, x2) istnieje g takie, że g(x1) = x, gdyż grupa działa tranzytywnie. Wystarczy wziąć c := g(x2). Orbita zawierająca element (x, c) jest wartością F dla orbity działania Gx na X zawierającej c.
Odwzorowanie F jest bijekcją, czyli rozważane zbiory są równoliczne.
1
