Statystyka I semestr zimowy 2017, seria X
1. Załóżmy, że celem badania jest wyestymowanie ciężarów trzech płynów w czterech ważeniach.
Rozważamy 2 plany eksperymentu. Plan I polega na zważeniu kolejno trzech płynów w próbówce, a następnie zważeniu samej próbówki. Plan II różni się od planu I tym, że do czwartego ważenia zlewamy trzy płyny razem do tej samej próbówki. Zakładając, że obserwacje są niezależne i pochodzą z rozkladów normalnych o tej samej wariancji (model liniowy) pokaż, że wariancje estymatorów ciężarów płynów policzone według drugiego planu są 2 razy mniejsze.
2. Rozważmy model liniowy Y = Xβ + z dodatkowymi ograniczeniami na parametry Aβ = c, gdzie X jest macierzą n × p pełnego rzędu p, A jest macierzą (p − q) × p pełnego rzędu p − q oraz Eε = 0, var(ε) = σ2In. Policz estymator najmniejszych kwadratów β z ograniczeniami.
Wskazówka: wykorzystaj mnożniki Lagrange’a.
3. (Twierdzenie Gaussa–Markowa). Chcemy estymować η = lTβ w modelu liniowym Y = Xβ + , w którym X jest macierzą n × p pełnego rzędu p, l jest znanym wektorem, E() = 0 oraz V ar() = σ2In. Niech ˆβ oznacza estymator najmniejszych kwadratów. Pokaż, że lTβ jestˆ estymatorem minimalizującym błąd średniokwadratowy wśród estymatorów nieobciążonych i liniowych tj. postaci ˆη = cTy (BLUE – Best Linear Unbiased Estimator).
4. Rozważmy model liniowy yi = β0+ β1xi+ , gdzie E() = 0 oraz V ar() = σ2In. Dla nowej, nieskorelowanej z pozostałymi obserwacji y∗= β0+ β1x∗+ ∗ dokonujemy predykcji ˆy∗= ˆβ0+ βˆ1x∗. Pokaż, że jeżeli β1= 0, to
E(y∗− ˆy∗)2≥ E(y∗− ¯y)2.
5. Rozważmy model addytywny Y = µ + ε i nieskorelowaną z nim replikację Y∗ = µ + ε∗, czyli E() = E(∗) = 0, V ar() = V ar(∗) = σ2In oraz i ∗ są nieskorelowane. Chcemy prognozować Y∗za pomocą ˆY = AY , gdzie A jest macierzą n × n. Pokaż, że
E||Y∗− ˆY ||2= E||Y − ˆY ||2+ 2tr(A)σ2
1
