LISTA 47 Zadanie 1.
Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze półkolem tak, jak na rysunku. Jaka powinna być podstawa prostokąta, żeby przy obwodzie okna wynoszącym 2 𝑚 powierzchnia okna była największa?
Zadanie 2.
Określ liczbę pierwiastków równania 𝑥2− 𝑘𝑥 + 2𝑘 − 3 = 0 w zależności od parametru 𝑘.
Zadanie 3.
Trzy walce, każdy o wysokości 5 𝑚 o promieniach podstaw odpowiednio równych: 3 𝑚, 2 𝑚, 1 𝑚, postawiono jeden na drugim. Wyraź pole przekroju bryły utworzonej przez te walce, płaszczyzną równoległą do podstaw walców jako funkcję odległości tego przekroju od płaszczyzny dolnej podstawy największego walca. Sporządź jej wykres.
Zadanie 4.
Dany jest skończony i uporządkowany zbiór kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny. Pole powierzchni pierwszego z nich jest równe 12 𝑐𝑚2, a piątego 30 𝑐𝑚2. Ile jest kwadratów, jeśli suma ich pól równa się polu kwadratu o boku 21 𝑐𝑚.
Zadanie 5.
Funkcja 𝑓 zmiennej rzeczywistej 𝑥 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 𝑚𝑥 . Dla jakich wartości 𝑚, funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (−1, 1)? Dla 𝑚 = 3 wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji 𝑓 w przedziale 〈1, 4〉.
Zadanie 6.
W pewnym porcie wysokość poziomu wody w metrach o godzinie 𝑡 wyraża się wzorem 𝑝(𝑡) = 10 + 4𝑐𝑜𝑠𝜋𝑡
3 . O której godzinie poziom wody będzie najwyższy, a o której będzie najniższy? W południe poziom wody wynosi 14 metrów. Po ilu godzinach woda opadnie o 2 𝑚?
Jaka jest różnica pomiędzy najwyższym, a najniższym poziomem wody w tym porcie?
Zadanie 7.
Przez środek wysokości trójkąta równobocznego poprowadzono prostą równoległą do jednego z boków. Oblicz stosunek pól figur na jakie prosta podzieliła trójkąt. Rozważ dwa przypadki.
Zadanie 8.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = log2𝑥 . Oblicz 𝑓(12)−2
𝑓(3) , rozwiąż równanie 2𝑓2(𝑥) − 5𝑓(𝑥) + 2 = 0 oraz nierówność 𝑓(𝑥) > 0 .
Zadanie 9.
Napisz równania stycznych do okręgu 𝑥2+ 𝑦2− 6𝑥 + 4 = 0 i prostopadłych do 𝑦 = 2𝑥 + 6 . Zadanie 10.
W sześcianie, którego krawędź ma długość 6 𝑐𝑚, łączymy środek każdej ściany ze środkami ścian sąsiednich. Otrzymujemy układ wszystkich krawędzi pewnego wielościanu. Oblicz pole powierzchni i objętość tego wielościanu.
