1
STATYSTYKA dr in˙z Krzysztof Bry´s
Wyk lad 7
Dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego. Wsp´o lczynnik korelacji. Prosta regresji.
Niech X, Y b¸ed¸a jednowymiarowymi zmiennymi losowymi. Par¸e (X, Y ) nazywamy dwuwymiarow¸a zmienn¸a losow¸a a X i Y jej wsp´o lrz¸ednymi.
Je˙zeli X i Y s¸a typu skokowego, to (X, Y ) jest dwuwymiarow¸a zmienn¸a losow¸a typu skokowego.
Rozk lad prawdopodobie ˙nstwa dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego:
funkcja P : WX × WY →< 0, 1 > taka, ˙ze :
1) dla ka˙zdego xi ∈ WX, yj ∈ WY, P (X = xi, Y = yj) = pij > 0, 2)X
i
X
j
pij = 1.
Rozk lad brzegowy zmiennej losowej X:
pi. = P (X = xi) =X
j
pij dla ka˙zdego xi ∈ WX
Rozk lad brzegowy zmiennej losowej Y : p.j = P (Y = yj) = X
i
pij dla ka˙zdego yj ∈ WY
Zmienne losowe X i Y s¸a niezale˙zne ⇔ dla ka˙zdego A ⊆ R, B ⊆ R, zdarzenia X ∈ A oraz Y ∈ B s¸a niezale˙zne.
Zmienne losowe X i Y typu skokowego s¸a niezale˙zne ⇔ dla ka˙zdego xi ∈ WX, yj ∈ WY, pij = pi.· p.j Kowariancja zmiennych losowych X i Y typu skokowego:
cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) gdzie
E(X · Y ) =X
i
X
j
xi· yj· pij
Kowariancja okre´sla si l¸e i kierunek zale˙zno´sci liniowej (korelacji) mi¸e dzy zmiennymi losowymi X i Y . Wsp´o lczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y :
ρ(X,Y ) = cov(X, Y )
D(X) · D(Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) D(X) · D(Y )
Wsp´o lczynnik korelacji okre´sla si l¸e i kierunek zale˙zno´sci liniowej (korelacji) mi¸e dzy zmiennymi losowymi X i Y . Przyjmuje warto´sci z przedzia lu < −1; 1 >.
Zmienne losowe X i Y s¸a nieskorelowane ⇔ ρ(X,Y ) = 0.
Prosta regresji drugiego rodzaju zmiennej losowej Y wzgl¸edem zmiennej losowej X: prosta o r´ownaniu y = a · x + b, kt´orej wsp´o lczynniki s¸a tak dobrane, ˙ze ´srednie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od zmiennej aX + b jest minimalne.
Mo˙zna wykaza˙c, ˙ze:
a = cov(X, Y )
D2(X) = ρ(X,Y )· D(Y ) D(X) b = E(Y ) − aE(X)
