1 STATYSTYKA
KOLOKWIUM 2 POPRAWKOWE - WZ ´OR
1) Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad prawdopodobie´nstwa dany tabelk¸a:
@@
XY
−2 1
−2 −1 0 1 0.3 0.1 0 0.2
0 0.1 0.2 0.1
a) Obliczy˙c wsp´o lczynnik korelacji zmiennych X i Y . b) Czy zmienne X i Y s¸a niezale˙zne? c) Obliczy´c P (0 ≤ X < 3, Y < 1). d) Obliczy˙c E(Z) dla Z = 2X2− 4Y .
2A) Zmienne losowe X1, X2, ..., X900 s¸a niezale˙zne i maj¸a jednakowy rozk lad okre´slony g¸esto´sci¸a:
f (x) =
( 2x 0 < x < 1
0 dla pozosta lych x Niech Y =P900i=1Xi. Obliczy˙c P (590 < Y ≤ 620).
2B) Wiadomo i˙z prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze losowo wybrany student siedzi na ´sci¸agawce w czasie kolokwium ze Statystyki wynosi 0.9. Znale´z˙c liczb¸e k tak¸a, ˙ze z prawdopodobie´nstwem 0.01 w wybranej losowo (ze zwracaniem) pr´obie z lo˙zonej z 400 student´ow liczba student´ow siedz¸acych na ´sci¸agawce w czasie kolokwium ze Statystyki odchyli si¸e od 360 o wi¸ecej ni˙z k.
3) Rozk lad czasu sp¸edzonego na nauce Statystyki (w minutach) w grupie z lo˙zonej ze 100 stu- dent´ow kszta ltowa l si¸e nast¸epu¸aco:
0-10 minut 1 student, 10-20 minut 9 student´ow, 20-30 minut 10 student´ow, 30-40 minut 35 student´ow, 40-50 minut 30 student´ow, 50-60 minut 15 student´ow.
Wyznaczy˙c i zinterpretowa˙c nast¸epuj¸ace miary statystyczne: a) ´sredni¸a, b)odchylenie standardowe z pr´oby, c) mod¸e (rachunkowo i graficznie), d) median¸e (rachunkowo i graficznie), e) wsp´o lczynnik zmienno´sci.
4A) Znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla wariancji pomiaru pewnym przyrz¸adem je´sli otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki pomiar´ow: 9.01, 9.00, 9.02, 8.99, 8.98, 9.00, 9.00, 9.01, 8.99, 9.00. Poziom ufno´sci 1−α = 0.9.
Zak ladamy, ˙ze wyniki pomiar´ow maj¸a rozk lad normalny.
4B) Sonda˙z opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej w wyborach samorz¸adowych wykaza l, ˙ze w losowo wybranej grupie 2500 os´ob 1600 zamierza uczestniczy´c w g losowaniu. Czy na poziomie istotno´sci r´ownym 0.95 mo˙zna przyj¸a´c, ˙ze 60% og´o lu os´ob zamierza wzi¸a´c udzia l w wyborach do samorz¸adu ?
Punktacja:
zadanie 1 - 5 punkt´ow, zadanie 2 - 4 punkty, zadanie 3 - 4 punkty, zadanie 4 - 5 punkt´ow.
ODPOWIEDZI:
1) ) a) ρ = √0.6−0.722.16·1.29, b) NIE, c) 0.4, d) E(2X2 − 4Y ) = 9.2 2A) ≈ 1, 2B) k = 92.88, 3) a) x = 37.9, b) s = 11.69, c) D = 38.33, d) Me = 38.57, e) v = 0.31, 4A) σ2 ∈ (10·0.0001216.919 ;10·0.000123.325 ), 4B) nie. (obliczenia z dok ladno´sci¸a do dw´och cyfr po przecinku)
UWAGA! Kolokwium b¸edzie sk lada˙c si¸e z 4 zada´n. Jednego pierwszego, jednego drugiego, jednego trzeciego i jednego czwartego. Czas - 90 minut.
