1
WY ˙ZSZA SZKO LA EKOLOGII I ZARZA¸ DZANIA
ZADANIA Z RACHUNKU PPRAWDOPODOBIE ´NSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ZE IV i ZP IV
CZE¸ ´S ˙C 2. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA.
1. Zorganizowano nast¸epuj¸ac¸a gr¸e. Rzucamy dwiema kostkami. Je´sli suma oczek jest r´owna 2 - otrzy- mujemy 5 z l, je˙zeli 3 - 3 z l, a w ka˙zdym innym przypadku p lacimy 1 z l. Niech X oznacza wygran¸a.
Znale´z˙c funkcj¸e prawdopodobie´nstwa i dystrybuant¸e zmiennej losowej X.
2. Zmienna losowa X przyjmuje warto´sci x1 = −1, x2 = 2, x3 = 4 odpowiednio z prawdopodobie´nstwami p1 = c, p2 = 2c, p3 = 3c. a) Wyznaczy´c sta l¸a c, b) dystrybuant¸e zmiennej losowej X.
3. Dana jest funkcja prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X: P (X = 0) = 0.4, P (X = −1) = 0.3, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = c. Znale´z˙c a) sta l¸a c, b)dystrybuant¸e zmiennej losowej X,
c) funkcj¸e prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej Y = X2− 2X, d) P (−12 ≤ Y < 1).
4. Dana jest funkcja prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X: P (X = 1) = 0.2, P (X = −1) = 0.2, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.3. Znale´z˙c a)dystrybuant¸e zmiennej losowej X, b) funkcj¸e prawdopodobie´nstwa oraz dystrybunt¸e zmiennej losowej Y = X2, c) P (−1 < X ≤ 2).
5. Zmienna losowa X ma funkcj¸e prawdopodobie´nstwa postaci: P (X = −1) = 0.2, P (X = 0) = 0.3, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.1. Znale´z˙c a) dystrybuant¸e, b)warto´s˙c oczekiwan¸a, c) wariancj¸e, d) mod¸e, e) median¸e f) kwantyl rz¸edu 0.6 g) kwantyl rz¸edu 0.4 zmiennej losowej X.
6. Zmienna losowa X ma funkcj¸e prawdopodobie´nstwa postaci: P (X = −2) = 0.3, P (X = −1) = 0.2, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.4. Znale´z˙c a)warto´s˙c oczekiwan¸a, b) wariancj¸e, c) mod¸e, d) median¸e e) kwantyl rz¸edu 0.7 zmiennej losowej X.
7. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze losowo wybrany student pewnej grupy umie rozwi¸aza´c to zadanie wynosi
8
10. Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o po- danie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow. Sprawdzanie ko´nczy si¸e po przepytaniu 3 student´ow lub w momencie trafienia na osob¸e, kt´ora potrafi je rozwi¸aza´c. Studenci odpowiadaj¸a niezale˙znie od siebie. Wyznaczy´c a) funkcj¸e prawdopodobie´nstwa, b) dystrybuante, c) warto´s´c oczeki- wan¸a liczby przepytanych student´ow.
8. Zorganizowano nast¸epuj¸ac¸a loteri¸e. Los kosztuje 1 z loty. Co pi¸aty los daje wygran¸a 3 z lote (bez odliczeniu kosztu losu) a co dziesi¸aty wygran¸a 5 z loty. Oblicz warto´s´c oczekiwan¸a wygranej. Czy warunki loterii s¸a korzystne dla organizator´ow?
9. W urnie jest 5 w¸e˙zy w tym 3 jadowite. Losujemy kolejno po jednym w¸e˙zu bez zwracania. Losowanie ko´nczymy w momencie wylosowania w¸e˙za jadowitego. Niech X oznacza liczb¸e wszystkich wylosowanych w ten spos´ob w¸e˙zy. Znajd´z a) funkcj¸e prawdopodobie´nstwa, b) warto´s˙c oczekiwan¸a zmiennej X.
10. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze osoba przechodz¸aca na czerwonym ´swietle przez jezdni¸e ulegnie wypadkowi wynosi 0.1. Ile niezale˙znych pr´ob takiego przej´scia trzeba podj¸a˙c aby z prawdopodbie´nstwem co najmniej 0.5 w conajmniej jednej pr´obie ulec wypadkowi.
11. Prawdopodobie´nstwo pojawienia si¸e co najmniej jednego sukcesu w 4 niezale˙znych jednakowych do´swiadczeniach jest r´owne 0.59. Jakie jest prawdopodobie´nstwo pojawienia si¸e sukcesu w jednym do´swiadczeniu?
12. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze w 10 niezale˙znych jednakowych testach nowego modelu samochodu co na- jmniej raz samoch´od ulegnie awarii wynosi 0.95. Jakie jest prawdopodobie´nstwo wyst¸apienia awarii przy pojedynczym te´scie?
13. Prawdopodobie´nstwo sukcesu w pewnym do´swiadczeniu wynosi 0.02. Niezale˙zne do´swiadczenia przeprowadzamy do momentu wyst¸apienia sukcesu. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze trzeba b¸edzie przeprowadzi˙c 4 do´swiadczenia?
ODPOWIEDZI DO ZADA ´N Z CZE¸ ´SCI 2
2) a) c = 16, 3) a) c = 0.2, c) P (Y = −1) = 0.1, P (Y = 0) = 0.6, P (Y = 3) = 0.3, d) 0.6, 4) b) P (Y = 1) = 0.4, P (Y = 4) = 0.3, P (Y = 9) = 0.3, 5) b) 0.8 c) 1.76,d) 0, 2, e) < 0, 1 >, f) < 1, 2 >, g) 0; 6) a) 0.1 b) 3.09, c) 2, d) < −1, 1 > e) 2; 7) a) P (X = 1) = 0.8, P (X = 2) = 0.16, P (X = 3) = 0.04 c) E(X) = 1.24, 8) E(X) = 0.1, nie, 9) a) P (X = 1) = 0.6, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.1, b) E(X) = 1.5, 10) n ≥ ln 0.5ln 0.9; 11) 1 − (0.41)14; 12) 1 − (0.05)0.1; 13) (0.98)3· (0.02);
