Rozk lad jednopunktowy

1

dr in˙z Krzysztof Bry´s

Podstawowe teoretyczne rozk lady prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej jednowymiarowej Typu skokowego

1. Rozk lad jednopunktowy.

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = c) = 1 dla pewnej sta lej c Warto´s ˙c oczekiwana: E(X) = c

Wariancja: D²(X) = 0

Interpretacja: Rozk lad dowolnej sta lej liczbowej X.

2. Rozk lad dwupunktowy (zerojedynkowy).

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = 1) = p, P (X = 0) = q = 1 − p Warto´s ˙c oczekiwana: E(X) = p

Wariancja: D²(X) = p · q = p · (1 − p)

Interpretacja: Rozk lad dowolnej zmiennej X, kt´ora odpowiada na pewne pytanie albo TAK (X = 1 - ”sukces”) albo NIE (X = 0 - ”pora˙zka”), rozk lad dowolnej cechy ”zero-jedynkowej” (obiekt albo j¸a posiada (X = 1) albo nie posiada (X = 0).

3. Rozk lad Bernoulliego (dwumianowy) - B(n, p) Schemat do´swiadcze´n Bernoulliego:

- n niezale˙znych do´swiadcze´n,

- w ka˙zdym do´swiadczeniu albo sukces z prawdopodobie´nstwem p albo pora˙zka (z prawdopodobie´nstwem q = 1 − p);

Interpretacja: Zmienna losowa X ma rozk lad B(n, p) je´sli m´owi o liczbie sukces´ow w schemacie n niezale˙znych do´swiadcze´n Bernoulliego z prawdopodobie´nstwem sukcesu p w ka˙zdym z nich. Jest sum¸a n niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie zerojedynkowym.

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = k) =^n_k^p^k· q^n−k dla k = 0, 1, 2, . . . , n, q = 1 − p.

Warto´s ˙c oczekiwana: E(X) = np Wariancja: D²(X) = n · p · q 4. Rozk lad Poissona - Po(λ)

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = k) = e^−λ·^λ_k!^k dla k = 0, 1, 2, . . . Warto´s ˙c oczekiwana: E(X) = λ

Wariancja: D²(X) = λ

Interpretacja: Rozk lad graniczny dla rozk laadu B(n, p) przy n → +∞.

Dla dostatecznie du˙zych n, zmienna losowa o rozk ladzie B(n, p) ma w przybli˙zeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p.

STATYSTYKA

Wykłady 4-5

2 Typu ci¸ag lego

1. Rozk lad jednostajny na przedziale (a; b) - U (a, b) Funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa :

f (x) =

( ₁

b−a , dla a < x < b 0 , dla pozosta lych x Warto´s ˙c oczekiwana: E(X) = ^a+b₂

Wariancja: D²(X) = ^(b−a)₁₂ ²

Interpretacja Zmienna losowa X ma rozk lad U (a, b) je´sli przyj¸ecie przez t¸a zmienn¸a dowolnej warto´sci z przedzia lu (a; b) jest jednakowo prawdopodobne.

2. Rozk lad normalny (Gaussa) - N (m, σ)

Funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa : f (x) = ^√1

2πσ · e^{−(x−m)22σ2} dla x ∈ R Warto´s ˙c oczekiwana: E(X) = m

Wariancja: D²(X) = σ²

Wykresem powy˙zszej funkcji g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa jest krzywa Gaussa Zmienna losowa standaryzowa dla zmiennej losowej o rozk ladzie N (m, σ):

X = X − m σ ma rozk lad normalny standardowy N (0, 1).

Dystrybuanta rozk ladu normalnego standardowego N (0, 1):

Φ(x) =

Z x

−∞

√1

2π · e^−t22 dt dla x ∈ R

Z parzysto´sci funkcji g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa rozk ladu N (0, 1) wynika, ˙ze:

Φ(−x) = 1 − Φ(x).

u_α - kwantyl rz¸edu α zmiennej losowej o rozk ladzie N (0, 1) (tzn. Φ(u_α) = α)

3. Rozk lad chi kwadrat o n stopniach swobody

Zmienna losowa χ² = X₁² + X₂²+ . . . + X_n², gdzie X₁, X₂, . . . X_n zmienne o rozk ladzie N (0, 1) ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody

Warto´s ˙c oczekiwana: E(χ²) = n Wariancja: D²(χ²) = 2n

Dla du˙zych n (n > 40) rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody mo˙zna przybli˙za˙c rozk ladem N (n,√

2n).

χ²(α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − α zmiennej o rozk ladzie chi-kwadrat o n stopniach swobody 4. Rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody.

Zmienna losowa T = q^X

χ2 n

, gdzie X zmienna losowa o rozk ladzie N (0, 1) a zmienna χ² ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody.

Warto´s ˙c oczekiwana: E(T ) = 0.

Wariancja: D²(T ) = _n−2ⁿ .

Dla du˙zych n (n > 40) rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody mo˙zna przybli˙za˙c rozk ladem N (0, 1).

t(α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − ^α₂ zmiennej o rozk ladzie t-Studenta o n stopniach swobody.

3 Twierdzenia graniczne

Tw. Poissona: Je˙zeli (X1, . . . , Xn) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie B(n, p_n) oraz lim_n→+∞n · p_n= λ, λ > 0, to ci¸ag rozk lad´ow zmiennych losowych X₁, . . . X_njest zbie˙zny do rozk ladu Poissona z parametrem λ.

Wnioski praktyczne z twierdzenia Poissona:

Dla ”du˙zych” n i ”ma lych” p (n ≥ 100 , p ≤ 0.1) zmienna losowa o rozk ladzie B(n, p) ma w przybli˙zeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p,

Tw. Lindberga- Levy’ego: Je˙zeli (X₁, . . . , X_n) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie, warto´sci oczekiwanej m i wariancji σ² > 0, to ci¸ag dystrybuant zmiennych losowych Y_n=

Pn

i=1Xi−n·m σ·√

n jest zbie˙zny do dystrybuanty Φ zmiennej losowej o rozk ladzie N (0, 1).

Wnioski praktyczne z twierdzenia Lindberga Levy’ego:

Je˙zeli X₁, . . . , X_ns¸a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie, warto´sci oczekiwanej m i wariancji σ² > 0, to dla ”du˙zych” n ( n ≥ 100 ):

1) suma tych zmiennych losowych czyli zmienna losowa Y_n = X₁+ . . . + X_n ma w przybli˙zeniu rozk lad N (m · n, σ ·√

n),

2)´srednia arytmetyczna tych zmiennych czyli zmienna losowa Z_n= ^Y_nⁿ = ^X1+...+X_n ⁿ ma w przybli˙zeniu rozk lad N (m,^√σ_n),

Tw. Moivre’a-Laplace’a: Je˙zeli (X₁, . . . , X_n) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie B(n,p) to ci¸ag dystrybuant zmiennych losowych Y_n = ^X√n_n·p·q^−n·p jest zbie˙zny do dystrybuanty Φ zmiennej losowej o rozk ladzie N (0, 1).

Wnioski praktyczne z twierdzenia Moivre’a-Laplece’a:

Dla ”du˙zych” n (n ≥ 100):

1) liczba sukces´ow w schemacie Bernoulliego czyli zmienna losowa X o rozk ladzie B(n, p) ma w przy- bli˙zeniu rozk lad N (n · p,√

n · p · q),

2) cz¸esto´s˙c wyst¸epowania sukcesu w schemacie Bernoulliego czyli zmienna losowa Y = ^X_n, gdzie X jest zmienn¸a losow¸a o rozk ladzie B(n, p), ma w przybli˙zeniu rozk lad N (p,^qp·q_n ).