1 PiMS
dr in˙z Krzysztof Bry´s Wyk lad 7
Dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego. Wsp´o lczynnik korelacji. Prosta regresji.
Niech X, Y b¸ed¸a jednowymiarowymi zmiennymi losowymi. Par¸e (X, Y ) nazywamy dwuwymiarow¸a zmienn¸a losow¸a a X i Y jej wsp´o lrz¸ednymi.
Je˙zeli X i Y s¸a typu skokowego, to (X, Y ) jest dwuwymiarow¸a zmienn¸a losow¸a typu skokowego.
Rozk lad prawdopodobie ˙nstwa dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego:
funkcja P : WX × WY →< 0, 1 > taka, ˙ze :
1) dla ka˙zdego xi ∈ WX, yj ∈ WY, P (X = xi, Y = yj) = pij > 0, 2)X
i
X
j
pij = 1.
Rozk lad brzegowy zmiennej losowej X:
pi. = P (X = xi) =X
j
pij dla ka˙zdego xi ∈ WX
Rozk lad brzegowy zmiennej losowej Y : p.j = P (Y = yj) = X
i
pij dla ka˙zdego yj ∈ WY
Zmienne losowe X i Y s¸a niezale ˙zne ⇔ dla ka˙zdego A ⊆ R, B ⊆ R, zdarzenia X ∈ A oraz Y ∈ B s¸a niezale˙zne.
Zmienne losowe X i Y typu skokowego s¸a niezale ˙zne ⇔ dla ka˙zdego xi ∈ WX, yj ∈ WY, pij = pi.· p.j
Kowariancja zmiennych losowych X i Y typu skokowego:
cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) gdzie
E(X · Y ) =X
i
X
j
xi· yj· pij
Kowariancja okre´sla si l¸e i kierunek zale˙zno´sci liniowej (korelacji) mi¸e dzy zmiennymi losowymi X i Y . Wsp´o lczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y :
ρ(X,Y ) = cov(X, Y )
D(X) · D(Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) D(X) · D(Y )
Wsp´o lczynnik korelacji okre´sla si l¸e i kierunek zale˙zno´sci liniowej (korelacji) mi¸e dzy zmiennymi losowymi X i Y . Przyjmuje warto´sci z przedzia lu < −1; 1 >.
Zmienne losowe X i Y s¸a nieskorelowane ⇔ ρ(X,Y ) = 0.
Prosta regresji drugiego rodzaju zmiennej losowej Y wzgl¸edem zmiennej losowej X: prosta o r´ownaniu y = a · x + b, kt´orej wsp´o lczynniki s¸a tak dobrane, ˙ze ´srednie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od zmiennej aX + b jest minimalne.
Mo˙zna wykaza˙c, ˙ze:
a = cov(X, Y )
D2(X) = ρ(X,Y )· D(Y ) D(X) b = E(Y ) − aE(X)
Ujemna wartość oznacza korelację ujemną, a dodatnia korelację dodatnią.
Im wartość współczynnika korelacja bardziej różni się od 0 tym siła korelacji większa.
Zmienne X, Y są liniowo zależne gdy wartość wsp. korelacji jest równa -1 lub1.
2 Wsp´o lczynnik korelacji z pr´oby
r =
1
n ·Pni=1xi· yi− x · y SX · SY
gdzie
(x1, y1), (x2, y2), . . . (xn, yn) obserwacje zmiennej losowej (X, Y ), x, y ´srednie z pr´oby,
SX, SY odchylenia standardowe z pr´oby
Prosta regresji drugiego rodzaju z pr´oby Y wzgl¸edem X:
a = r · SY SX b = y − a · y
Test istotno´sci dla wsp´o lczynnika korelacji
Weryfikacja hipotezy H0 : ρ(X,Y ) = 0 na poziomie istotno´sci α: Obliczamy warto´s´c statystyki testowej
T = r
√1 − r2 ·√ n − 2 (statystyka T ma rozk lad t-Studenta o n − 2 stopniach swobody).
Hipotez¸e H0 odrzucamy (H1 przyjmujemy ) gdy obliczona warto´s´c statystyki T nale˙zy
do zbioru krytycznego W . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. W = (−∞, −t(α, n − 2)) ∪ (t(α, n − 2), +∞), gdy H1 : ρ(X,Y ) 6= 0
W = (t(2α, n − 2), +∞), gdy H1 : ρ(X,Y ) > 0
W = (−∞, −t(2α, n − 2)), gdy H1 : ρ(X,Y ) < 0.
x
