Algorytm simpleks

Problem decyzyjny y cel

y różne sposoby działania (decyzje)

y warunki ograniczające (determinują zbiór decyzji dopuszczalnych) y kryterium wyboru: umożliwia porównanie efektywności różnych decyzji

dopuszczalnych z punktu widzenia celu i wybór najlepszej z nich (decyzja optymalna)

Rozwiązanie problemu decyzyjnego polega na wskazaniu w zbiorze decyzji dopuszczalnych decyzji optymalnej.

Model decyzyjny to problem decyzyjny przedsatwiony w postaci modelu matematycznego

y zmienne - zmienne decyzyjne,

y parametry - parametry funkcji celu i parametry warunków ograniczających Model decyzyjny:

.

funkcja kryterium (funkcja celu) f(x, )

układ warunków ograniczających V(x, ) = 0

gdzie:

funkcja celu f

wektor zmiennych decyzyjnych x

zbiór parametrów funkcji celu



wektorowa funkcja warunków ograniczających V

zbiór parametrów warunków ograniczających



Rozwiązanie optymalne to wektor wartości zmiennych decyzyjnych będących rozwiązaniem modelu decyzyjnego

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 1

Liniowy model decyzyjny to taki model decyzyjny w którym funkcja celu i warunki ograniczające są liniowe

Przykładowe zagadnienia PL

y Ustalanie asortymentu produkcji (koszty - min, zysk - max) y Zagadnienie diety (koszty - min)

y Zagadnienie rozkroju (odpady - min)

y Alokacja zasobów (koszty, czas łączny, czas maksymalny - min, zysk - max)

Posatać matemetyczna modelu liniowego

funkcja celu max(min)f(x) = c1x1+ c2x2+ ¢ + cnxn

warunki ograniczające

a11x1+ a12x2+ ¢ + a1nxn´ b1

a21x1+ a22x2+ ¢ + a2nxn´ b2

£££££££££££££

ak1x1+ ak2x2+ ¢ + aknxn´ bk

warunki brzegowe: x1ú 0 x2ú 0 £ xnú 0

gdzie:

zmienne decyzyjne x

liczba zmiennych decyzyjnych n

współczynniki funkcji celu c

współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach a

ograniczających

liczba warunków ograniczających k

wyrazy wolne warunków ograniczających b

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 2

Oznaczmy

x= x1

x2

£ xn

b= b1

b2

£ bk

c= c1

c2

£ cn

A=

a11a12£ a1n

a21a22£ a2n

§ § • § ak1 ak2£ akn

Postać standardowa modelu PL w zapisie macierzowym min f(x)= c^Tx Ax ú b x ú 0 max f(x)= c^Tx

Ax ñ b x ú 0

Postać kanoniczna modelu PL

min f(x)= c^Tx+ 0s Ax− Is = b x ú 0 s ú 0 max f(x)= c^Tx+ 0s

Ax+ Is = b x ú 0 s ú 0

gdzie s= s1

s2

£ sk

wektor zmiennych swobodnych - nadwyżki y zasobów (w ograniczeniach typu )

ñ

y w stosunku do niezbędnego minimum

(w ograniczeniach typu )

ú

Zbiór (obszar) rozwiązań dopuszczalnych (ORD) jest zbiorem wypukłym tzn.

wszystkie punkty odcinka łączącego dowolne dwa punkty ORD należą ORD.

ORD ma skończoną liczbę wierzchołków Twierdzenie Weierstrassa

Forma liniowa f(x)= c1x1+ c2x2+ ¢ + cnxn określona na domkniętym zbiorze wypukłym o skończonej liczbie wierzchołków osiąga swą wartość największą (najmniejszą) na brzegu tego zbioru.

Wniosek

Rozwiązania optymalnego zadania PL należy szukać jedynie wśród rozwiązań dopuszczalnych będących wierzchołkami ORD.

Liczba zmiennych postaci kanonicznej (n+ k) > k (liczba ograniczeń) Układ warunków z k (n+ k) zmiennymi można rozwiązać przyjmując, że k zmiennych przyjmuje wartości różne od 0, a pozostałych zmiennychn wartości równe 0.

Zmienne bazowe - tworzą rozwiązanie (zmienne ! 0) - zbiór wszystkich wskaźników wektorów bazy B

Baza - macierz złożona z kolumn współczynników ograniczeń przy zmiennych bazowych ( )B

Zmienne niebazowe - w rozwiązaniu z założenia = 0

Rozwiązanie zdegenerowane - jeśli jedna lub więcej zmiennych bazowych= 0

Rozwiązywanie modeli PL

Rozwiązywanie zadania PL - porównywanie wartości funkcji celu w punktach wierzchołkowych

Punkty wierzchołkowe - rozwiązania układu równań utworzonego z warunków postaci kanonicznej dla różnych kombinacji zmiennych bazowych

Spsoby rozwiązywania y metoda graficzna y metody analityczne

‚ algorytm simpleks

‚ algorytm transportowy

Przykład

Zyski jednostkowy, jednostkowe nakłady środków produkcji i zasoby środków produkcji niezbędnych do produkcji wyrobów A i B

6 4

Zysk jednostkowy ($/szt.)

1 500 3

6 kg

Surowiec

200 0,5

0,5 rh

Praca

800 4

2 rh

Maszyny

produkt B (x2) produkt A (x1)

Zasoby środków produkcji Nakłady środków produkcji na

jednostkę Jednostka

miary Środki

produkcji

Model maksymalizacji zysków z produkcji wyrobów A i B funkcja celu 4x1+ 6x2 t max

warunki ograniczające

2x1+ 4x2ñ 800 0, 5x1+ 0, 5x2ñ 200 6x1+ 3x2 ñ 1500

(maszyny) (praca) (surowce) warunki brzegowe x1ú 0 x2ú 0

Postać kanoniczna

funkcja celu 4x1+ 6x2+ 0s1+ 0s2+ 0s3 t max

warunki ograniczające

2x1+ 4x2+ s1 = 800 0, 5x1+ 0, 5x2 + s2 = 200 6x1+ 3x2 + s3= 1500 warunki brzegowe x1ú 0 x2ú 0 s1ú 0 s2ú 0 s3ú 0

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 5

- wielkość produkcji wyrobu A (w sztukach) X1

- wielkość produkcji wyrobu B (w sztukach) X2

1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

x x2

1

ω

A B

C

D praca

surowiec

maszyny

S P M

A(0, 0) u f(x^A)= 0

B(0, 200) u f(x^B)= 1200 C(200, 100) u f(x^C)= 1400

D(250, 0) u f(x^D)= 1000

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 6

Rozwiązanie optymalne:

x₁^opt= 200 x2opt= 100

Wykorzystanie czynników y maszyny 2 $ 200+ 4 $ 100 = 800 y praca 0, 5 $ 200+ 0, 5 $ 100 = 150 y surowiec 6 $ 200+ 3 $ 100 = 1500

Algorytm simpleks

I. Zagwarantować, aby b ú 0

II.Budowa postaci kanonicznej

A.Zmodyfikować warunki ograniczające (postępowanie nie zależy od typu funkcji celu):

1.dodać zmienne swobodne do ograniczeń typu " "ñ 2.dodać zminne sztuczne do ograniczeń typu " "=

3.odjąć zmienną swobodną i dodać zminną sztuczną do ograniczeń typu " "ú

B.Zmodyfikować funkcję celu

gdzie M p 0

cj= M cj= −M

współczynniki funkcji celu przy zmiennych sztucznych cj= 0

współczynniki funkcji celu przy zmiennych swobodnych min f(x) max f(x)

Typ funkcji celu

C.Jako wyjściową przyjąć bazę złożoną z wektorów współczynników stojących przy:

y zmiennych swobodnych dołączonych do warunków typu " "ñ

y zmiennych sztucznych dołączonych do warunków typu " " i " " .= ú

III.Kryterium optymalności

. j j= zj− cj[ 0 lub

. j j= cj− zjm 0 . j j= zj− cjm 0

lub

. j j= cj− zj[ 0

min f(x) max f(x)

Typ funkcji celu

IV. Kryterium WEJŚCIA przy wektorze wchodzącym xp

lub p : p=

j<0

min(j) lub

p : p=

j>0

max(j)

p : p=

j>0

max(j) p : p=_

j<0

min(j)

min(x) max f(x)

Typ funkcji celu

V.Kryterium WYJŚCIA przy wektorze wychodzącym xr

r :

a^brp^r

=

_a

ip>0

min

a^biip

min f(x) max f(x)

Typ funkcji celu - nie zależy

Typy rozwiazań:

Nieograniczone - rozwiązanie nie jest optymalne i można wprowadzić zmienną do bazy, ale nie można żadnego wyrzucić

Niejednoznaczne - w rozwiązaniu optymalnym liczba wskaźników optymalności j= 0 jest większa od (liczby ograniczeń)k Sprzeczne - rozwiązanie optymalne zawiera zmienną sztuczną przyjmącą

wartość ! 0 nierówną 0 gdzie zj=

icB



^ciaij

Rozwiazanie przykładu algorytmem simpleks

1400 2/9 0 4/3 0

∆j = zj-cj 0

200 2/9 0 -1/6 0 1 4 x1

50 -1/18 1 -1/12 0 0 0 s2

100 -1/9 0 1/3 1 0 6 x2

1200 0 0 3/2 0

∆j = zj-cj -1

200 900 1 0 -3/4 0 9/2 0 s3

400 100 0 1 -1/8 0 1/4 0 s2

400 200 0 0 1/4 1 1/2 6 x2

0 0 0 0 -6

∆j = zj-cj -4

500 1500 1 0 0 3 6 0 s3

400 200 0 1 0 1/2 1/2 0 s2

200 800 0 0 1 4 2 0 s1

0 0 0 6 4

bi

a_ik bi

s3

s2

s1

x2

x1

c^B Baza

 = 0 0 1, 33

0 0, 22

x^opt= x^D

− − x^S

= x1

x2

s1

s2

s3

= 200 100 0 50

0

produkt A produkt B maszyny praca

surowiec szt.

szt.

rh.

rh.

kg.

- nadwyżka zasobów pracy w wysokości 50 rh.

f(x)= 1400 ($) s2= 50

x^opt= x^B

− − x^N

xB= x2

s2

x1

= B⁻¹b=

1 3 0 ¹₉

−₁₂¹ 1−₁₈¹

−¹₆ 0 ²₉ 800 200 1500

= 100

50 200 Oznacznia:

decyzyjne x^D−

swobodne

x^S− x^B−^bazowe niebazowe x^N−

B⁻¹= 4 0 2 0, 5 1 0, 5

3 0 6

−1

=

13 0 ¹₉

−₁₂¹ 1−₁₈¹

−¹₆ 0 ²₉

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 9

Model dualny

max g(y)= b^Ty A^Ty ñ c y ú 0 min f(x)= c^Tx

Ax ú b x ú 0

min g(y)= b^Ty A^Ty ú c y ú 0 max f(x)= c^Tx

Ax ñ b x ú 0

Model dualny (MD) Model prymalny (MP)

Zasady konstrukcji modeli dualnych

1. Maksymalizacji wartości funkcji celu w MP odpowiada minimalizacja w MD

2. Współczynniki funkcji celu MP stają się wyrazami wolnymi warunkówc ograniczających MD

3. Wyrazy wolne warunków ograniczających MP stają się współczynnikamib funkcji celu MD

4. Macierz współczynników MD jest transponowaną macierzą A współczynników MP

5. Ograniczenia i zmienne w MP i MD

xjc R e =

xjñ 0 e ñ

xjú 0 e ú

j-te ograniczenie typu zmienna

= e yic R

ú e yiñ 0

ñ e yiú 0

zmienna i-te ograniczenie typu

MD (min) MP (max)

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 10

Zadanie dualne

funkcja celu 800y1+ 200y2+ 1500y3 t min warunki ograniczające 2y1+ 0, 5y2+ 6y3ú 4

4y1+ 0, 5y2+ 3y3ú 6 warunki brzegowe y1ú 0 y2ú 0

Zadanie dualne w postaci kanonicznej

funkcja celu 800y1+ 200y2+ 1500y3+ 0s1+ 0s2+Mt1+Mt2t min warunki

ograniczające warunki brzegowe

2y1+ 0, 5y2+ 6y3− s1 + t1 = 4 4y1+ 0, 5y2+ 3y3 − s2 + t2= 6 y1ú 0 y2ú 0 y3ú 0 s1ú 0 s2ú 0 t1ú 0 t2ú 0

-M 1400 +100 -M -100 +200 -200 0 -50

∆j = zj-cj 0

4/3 1/3 -1/6 -1/3 1/6 0 1/12 1 800 y1

2/9 -1/9 2/9 1/9 -2/9 1 1/18 0 1500 y3

4M+

0 1000 -3M/2 + 250 M/2 -M

0 -250 M/4 -75 3M

∆j = zj-cj-300

4/3 4 1 -1/2 -1 1/2 0 1/4 3 M t2

2 2/3 0 1/6 0 -1/6 1 1/12 1/3 1500 y3

10M 0 0 -M 9M- -M

1500 M- 200 6M-

∆j = zj-cj 800

2 6 1 0 -1 0 3 1/2 4 M t2

2/3 4 0 1 0 -1 6 1/2 2 M t1

M M 0 0 1500 200 800

b_i a_ik bi

t2

t1

s2

s1

y3

y2

y1

c^B Baza

B_d⁻¹= 6 2 3 4

−1

= ²⁹ −¹₉

−¹₆ ¹₃ y_B^opt= B_d⁻¹b= ²⁹ −¹₉

−¹₆ ¹₃ 4 6 = ²⁹₄

3

 = 0 50

0 200 100

y^opt= y1

y2

y3

s1

s2

= 4/3

0 2/9

0 0

f(y)= 1400 ($)

Związki rozwiązań optymalnych MP i MD f(x^opt)= g(y^opt)

(y^D)^T= (c^B)^TB⁻¹

Np. (y^D)^T= 6 0 4

4 0 2

0, 5 1 0, 5

3 0 6

−1

= 6 0 4

1/3 0 −1/9

−1/12 1 −1/18

−1/6 0 2/9

= 4/3

0 2/9

T

MP - rozwiązanie sprzeczne p

MD - ??? (nieograniczone lub sprzeczne)

- superskrypt oznaczajacy rozwiązanie optymalne opt

- macierz utworzona ze współczynników przy zmiennych B

bazowych rozwiązania optymalnego MP, występujących w warunkach ograniczających postaci kanonicznej MP - zmienne decyzyjne w rozwiązaniau optymalnym MD y^D

- współczynniki funkcji celu zmiennych bazowych MP cB

x^B= B⁻¹b (y^D)^T= (c^B)^TB⁻¹= (^s)^T y^B= B_d⁻¹bd (x^D)^T= (c_d^B)^TB_d⁻¹= (ds)^T

gdzie

zmienne decyzyjne MP x^D−

zmienne decyzyjne MD y^D−

MP - rozwiązanie nieograniczone p

MD - rozwiązanie sprzeczne

Zadanie dualne

Zmienne Optymalne

wartości zmiennych Wartości

bezwzględne wskaźników optymalności

y3

2/9 0

s3

y2

0 50

s2 decyzyjne

y1

4/3 0

s1

swobodne

s2

0 x2 100

swobodne s1

0 200

x1

decyzyjne

Wartości bezwzględne

wskaźników optymalności Optymalne

wartości zmiennych Zmienne

Zadanie prymalne

Interpretacja wskaźników optymalności:

o ile zmieni się wartość funkcji celu jeśli ograniczenie zmieni się o jedną jednostkę, np. wzrost limitu czasu pracy maszyn o 1 rh spowoduje zmianę

rozwiązania optymalnego i wzrost wartości funkcji celu o 1.33 dolara

Dla oryginalnych ograniczeń:

(_d^s)^T = (x^D)^T= (c^B_d)^TB_d⁻¹= 1500 800 ²⁹ −¹₉

−¹₆ ¹₃ = 200 100 Wzrost zasobów czasu pracy maszyn o 1 rh:

(x1D)^T= 1500 801 ²⁹ −¹₉

−¹6 1 3

= 200−¹₆ 100+¹3

T f(x1) = 1400 − 4/6 + 6/3 =

= f(x^opt) + 4/3

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 13

Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Przedziały dla współczynników funkcji celu: c1 i c2 (zj− cj© 0)

z3− c3= 6 0 c1

1/3

−1/12

−1/6

− 0 ú 0 ⁶₃−¹₆c1ú 0 c1ñ 12 gdzie z3=

i=1



3 ciai3

i

z5− c5= 6 0 c1

−1/9

−1/18 2/9

− 0 ú 0 −⁶₉−²₉c1ú 0 c1ú 3

tzn. c1c …3, 12 . Podobnie wyznaczamy przedział dla c2: c20 4 1/3

−1/2

−1/6 ...

Przedziały dla wyrazów wolnych ograniczeń: b1 i b2 i b3 (x^B= B⁻¹b ú 0) 1/3 0 −1/9

−1/12 1 −1/18

−1/6 0 2/9 b1

200 1500

ú 0

13b1 − ¹₉$ 1500 ú 0

−₁₂¹b1+ 200 −₁₈¹$ 1500 ú 0

−¹₆b1 +²₉$ 1500 ú 0

b1ú 500 b1ñ 1400 b1ñ 2000 tzn. b1c …500, 1400 . Podobnie wyznaczamy przedziały dla b2 i b3.

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 14

2 400 1 500

600 b3

∞

200 150

b2

1 400 800

500 b1

Górne ograniczenie Wartość w

modelu Dolne

ograniczenie Współczynni

k

Przedziały optymalności dla składowych wektora wyrazów wolnych 8 6

2 C2

12 4

3 C1

Górne ograniczenie Wartość w

modelu Dolne

ograniczenie Współczynni

k

Przedziały optymalności dla współczynników funkcji celu

Zagadnienie przesyłu i alokacji (zagadnienie transportowe)

Klasyczne zagadnienie transportowe Opracować plan przewozów tak aby y zaspokoić zapotrzebowanie

odbiorców

y zminimalizować koszty przewozów

Dane do zagadnienia transportowego y możliwości dostawców y zapotrzebowanie odbiorców y macierz jednostkowych kosztów

przewozu od każdego dostawcy do każdego odbiorcy

Model zagadnienia transportowego funkcja celu

min f(x) =



i



_j ^cijxij

ograniczenia dostawców



j xij

= a

i

(i = 1, 2, ¢m)

popyt odbiorców



i xij

= bj (j = 1,2, ¢n)

warunki brzegowe xij

ú 0 (i = 1, ¢,m, j = 1,2,¢n)

gdzie

liczba punktów nadania (dostawców) m

liczba punktów odbioru (odbiorców) n

ilości ładunku u dostawców

ai (i= 1¢m)

zapotrzebowanie odbiorców

bj (j= 1¢n)

jednostkowe koszty przewozu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy cij

(i= 1¢m, j = 1¢n)

wielkość ładunku do przewiezienia od od i-tego dostawcy do j-tego xij

odbiorcy (i= 1¢m, j = 1¢n)

Tablica przewozów - tabela zawierajaca plan przewozów) Węzeł (trasa) - element tablicy przewozów

Linia - wiersz lub kolumna tablicy przewozów

Macierz cij może zawierać y koszty przewozu y długość trasy y zysk jednostkowy y czas przewozu

Własności zagadnień transportowych y m

+ n

równań

y m $ n zmiennych

y Każda ze zmiennych występuje w ograniczeniach dwukrotniexij

y Współczynniki przy zmiennych decyzyjnych w warunkach ograniczających (współczynniki macierzy ) równe 0 lub 1. A

y Rozwiązanie składa się z co najwyżej dodatnich zmiennych

m+ n − 1 xij

y Zawsze istnieje przynajmniej jedno bazowe rozwiząnie dopuszczalne y Zawsze posiada rozwiązanie

optymalne

Typy zagadnień transportowych y zamknięte (zbilansowane) y otwarte

Model dualny zagadnienia transportowego

max 

i aiui

+



j bjvj

ui

+ v

j

ñ c

ij

(i = 1, 2, ¢m)

, ^(j= 1, 2, ¢n) ui

c R v

j

c R

Wskaźniki optymalności w zagadnieniu transportowym ij= ui+ vj− cij

Liczba zmiennych bazowych ij= 0 wynosi m+ n − 1 Liczba nieznanych wartości oraz wynosi ui vj m+ n

Rozwiązanie niezdegenerowane zawiera m+ n − 1 dodatnich zmiennych xij

Rozwiązanie zdegenerowane - jeśli ich liczba jest mniejsza od m+ n − 1

Zadanie zamknięte (zbilansowane)



iai=



jbj

Zadanie otwarte (niezbilansowane)



^{a >}



^b lub



^{a <}



^b

Algorytm transportowy

I. Wyznaczenie wstępneg planu przewozów Metody

y kąta płónocno - zachodniego (KPZ) y minimum w wierszu

y minimum w kolumnie y minimum w macierzy kosztów

jednostkowych

II. Kryterium optymalności y metoda przydziałów y metoda potencjałów

Wskaźniki optymalności

ij= ui+ vj− cij

lub

ij= cij− ui+ vj

Ocena optymalności jak w algorytmie simpleks

III.Kryterium WEJŚCIA do bazy



kl

=

ij<0

min 

ij

(i = 1, 2, ..., m) (j = 1, 2, ..., n)

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 17

Metoda KPZ 1. Maksymalny przepływ na

trasie (1, 1) : x11= min(a1, b1) 2. Korekta podaży a1= a1− x11 i

popytu b1= b1− x11

3. Wybór następnej trasy

‚s= s + 1 jeżeli ar> 0, bs= 0

‚r= r + 1, s = s + 1 jeżeli ar= 0, bs= 0

‚r= r + 1 jeżeli ar= 0, bs> 0 4. Maksymalny przepływ na

trasie (rs) : xrs= min(ar, bs) 5. Jeżeli r= m oraz s= n to

KONIEC postępowania 6. Korekta podaży ar= ar− xrs i

popytubs= bs− xrs

7. Powrót do kroku 3

IV.Kryterium WYJŚCIA z bazy A. Wyznaczenie cyklu

Wskazać węzły cyklu zawierającego trasę wchodzącą do bazy i oznaczyć elementy cyklu znakami “+” lub “-” (element wchdzący znakiem “+”)

- zbiór tras oznaczonych znakiem “+”



⁺

- zbiór tras oznaczonych znakiem “-”



⁻

B. Wyznaczenie maksymalnego przewozu na trasach cyklu

 = min x

_− ij

V. Wyznaczenie nowego planu przewozów x_ij^∏ x_ij^∏= xij+  dla (i,j)c⁺

x_ij^∏= xij+  dla (i,j)c⁻

x_ij^∏= xijdla (i,j)"⁻oraz (i,j)"⁺

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 18

Cykl - taki zbiór węzłów, że w każdej linii tego zbioru znajdują 2 węzły lub nie ma żadnego węzła tego zbioru

Z bazy wypadnie trasa (r, s), dla której xrs= 

Degeneracja w trakcie rozwiazywania - jako zmienną bazową przyjmuje się tę, która wypadła z cyklu

Postępowanie w przypadku niezbilansowania

podaż < popyt



i ai

<

j



bj Fikcyjny dostawca m+ 1. y

.

j cm+1j

= 0

y am+1

=



j ^bj

− 

i ^ai

podaż > popyt



i ai

>

j



bj Fikcyjny odbiorca n+ 1. y

.

i cin+1

= 0

y bn+1

=



i ai

− 

j bj

Postępowanie w przypadku ograniczenia przepustowości trasy y Całkowita blokada trasy

(k, l)

Przyjąć ckl

= M (M >> 0)

y Częściowa blokada trasy: ograniczenie na trasie

(k, l)

wynosi x_kl^max 1. Zastąpić -tą kolumnę (odbiorcę)l

dwiema kolumnami i l^∏ l^∏∏

2. Popyt: bl^∏

= (b

k

− x

_kl^max

) b

i l^∏∏

= x

_kl^max 3. Współczynniki:

c

_il^∏

= c

_il i

c

_il^∏∏

= c

_il

dla i= 1, ¢, m

4. Zablokować trasę

(k, l

^∏

)

, tj. przyjmjąc

c

_kl^∏

= M (M >> 0)

5. Rozwiązać zmodyfikowany model

6. Optymalny plan przewozów do -tego odbiorcy: l xil= xil^∏+ xil^∏∏ (i= 1, ¢, m)

Analogiczną procedurę postępowania można również rozpocząć od zastąpienia -tegor wiersza

Macierz jednostkowych kosztów przewozu, ilość towaru u dostawców oraz

zapotrzebowanie odbiorców

300 70

150 80 Popyt

200 6

9 0 2

100 4

7 3 1

Numer dostawcy

3 2

1 Podaż

Numer odbiorcy Jednostkowe

koszty transportu

cij = 3 7 4

4 9 6 [ai]= 100 200 bj =

80 150

70 - zadanie zbilansowane



iai=



jbj

Model 3x11+ 7x12+ 4x13+ 4x21+ 9x22+ 6x23 t min 3x11+ 7x12+ 4x13+ 4x21+ 9x22+ 6x23 t min

x11+ x12+ x13 = 100 x21+ x22+ x23= 200

x11+ x21 = 80

x12+ x22 = 150

x13 x23 = 70

xijú 0 (i= 1, 2 j = 1, 2, 3)

u1

u2

v1

v2

v3

zmienne dualne

Macierz współczynników A=

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

Model dualny

100u1+ 200u2+ 80v1+ 150v2+ 70v3 t max u1+ v1ñ 3

u1+ v2ñ 7 u1+ v3ñ 4 u2+ v1ñ 4 u2+ v2ñ 9 u2+ v3ñ 6

uic R (i= 1, 2) vjc R (j= 1, 2, 3)

Tabela przewozowa Tabela wskaźnikowa

v 4 u 7 3 300

70 150 80

1 9 6 2

200 5 70 130- +

0 0

7 4 3 100

20+ 80-

 = min⁻80, 130 = 80 Kryterium optymalności: ui+ vj− cijñ 0

v 4 u 7 2 300

70 150 80

2 6 9 4 200

70- 50+ 80

0

-1 4 0

2 7 + 100

100-

Rozwiązanie jest niejednoznaczne bo liczba wskaźników optymalności równych 0 wynosi (4+1) > (2+3-1)

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 21

Rozwiązanie optymalne x^opt∏= 0 100 0 80 50 70 Optymalna wartość funkcji celu:



i



_j cijx_ij^opt∏= 4 $ 80 + 7 $ 100 + 9 $ 50 + 6 $ 70 = 1890

 = min⁻100, 70 = 70

v 4 u 7 2 300

70 150 80

2 6 9 4 200

120 80

0

-1 4 0

2 7 100

70 30

x^opt∏∏= 0 30 70 80 120 0



i



_j ^cijx_ij^opt∏∏= 4 $ 80 + 7 $ 30 + 9 $ 120 + 4 $ 70 = 1890 x^opt= x^opt∏+ (1 − )x^opt∏∏=  0 100 0

80 50 70 + (1 − ) 0 30 70 80 120 0 gdzie 0 ñ  ñ 1

Na przykład

 = 0, 5

x_=0,5^opt = 0, 5 0 100 0

80 50 70 + (1 − 0, 5) 0 30 70

80 120 0 = 0 65 35 80 85 35



i



_j ^cijx=0,5opt = 4 $ 80 + 7 $ 65 + 9 $ 85 + 4 $ 35 + 6 $ 35 = 1890

Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii 22