Zadania z algebry (zestaw 3)

Zadania z algebry (zestaw 3)

1. Prosz¦ zapisa¢ w postaci trygonometrycznej liczb¦

z = 1 + cos α − i sin α.

2. Prosz¦ obliczy¢

z = (1 + cos α − i sin α)

. 3. Prosz¦ znale¹¢ wszystkie pierwiastki równania z

= −1 .

4. Prosz¦ poda¢ miejsce geometryczne punktów na plaszczy¹nie zespolonej spelniaj¡cych waru- nek

(a) |z| ≤ 2,

(b) |z − i − 1| = 2, (c) |z + i| + |z − i| = 4, (d) z

= 1 .

5. Prosz¦ znale¹¢ na pªaszczy¹nie zespolonego z (o osiach x = Re z, y = Im z):

(a) wierzchoªek trójk¡ta równobocznego, zbudowanego na odcinku (z

, z

) , (b) ±rodek ci¦»ko±ci (punkt przeci¦cia ±rodkowych) tego trójk¡ta.

6. Prosz¦ pokaza¢, »e zbiór liczb zespolonych o module 1 stanowi grup¦ ze wzgl¦du na mno»enie.

7. Prosz¦ pokaz¢, »e zbiór pierwiastków n−tego stopnia z 1 (czyli zbiór liczb z o tej wªasno±ci, »e z

= 1 , gdzie n jest liczb¡ naturaln¡ wi¦ksz¡ od zera) stanowi grup¦ ze wzgl¦du na mno»enie.

8. Prosz¦ rozwi¡za¢ równania kwadratowe

z

− 3z + 3 + i = 0, z

+ (1 + 4i)z − (5 + i) = 0.

A. Rostworowski