5. Granica ciągu

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”

realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik

5. Granica ciągu

Ćw. 5.1 Zbadaj monotoniczność ciągu (aⁿ). Które z podanych ciągów są ograniczone?

Które są zbieżne?

1. an= 2n + 1 n+ 1 , 2. an= n

2ⁿ,

3. an= n²+ 2n + 1 n²− 3 , 4. an= 2ⁿ

n!, 5. an= (−1)ⁿ, 6. an= n⁽⁻¹⁾ⁿ, 7. an= (n + 1)! + n!

(n + 1)! − n!, 8. an= 1 + 2 + · · · + n

n² − n− 1 n

, 9. an=



−1 2

2n+1

.

Ćw. 5.2 Na podstawie definicji pokaż, że 1. lim

n→∞

2n + 1 n+ 1 = 2, 2. lim

n→∞



−1 5

ⁿ

= 0,

3. lim

n→∞

 3 2

n¹

= 1, 4. lim

n→∞

3n + 2 n+ 1 6= 1, 5. lim

n→∞

(−1)²ⁿ

2n 6= −2, 6. lim

n→∞2n − 7 = ∞,

1

7. lim

n→∞−n + 100 = −∞, 8. lim

n→∞log n = ∞, 9. lim

n→∞− ln(ln n) = −∞, 10. lim

n→∞2ⁿ = ∞.

Ćw. 5.3 Oblicz granicę ciągu (aⁿ).

1. an= 4n − 3 6 − 5n,

2. an= (n − 1)(n + 3) 3n²+ 5 , 3. an= 5n³− 2

1 − 3n³

3

, 4. an= 3^2−5n+10n

2 3n+15 , 5. an= 1

2

³ⁿ

2+5 2n3 +7

, 6. an=

√1 + 2n²−√

1 + 4n² n

, 7. an= (n + 2)! + (n + 1)!

(n + 2)! − (n + 1)!, 8. an=

n+2 n

n²

,

9. an= 1 + ¹₂ +¹₄ + · · · + ₂¹ⁿ 1 + ¹₃ +¹₉ + · · · + 3¹ⁿ

. Ćw. 5.4 Oblicz granicę ciągu (an).

1. an= 4ⁿ⁻¹− 5 2²ⁿ− 7 , 2. an= 3 · 2²ⁿ⁺²− 10

5 · 4ⁿ⁻¹+ 3 , 3. an= 2ⁿ⁺¹− 3ⁿ⁺²

3ⁿ⁺² , 4. an= −8ⁿ⁻¹

7ⁿ⁺¹ .

Ćw. 5.5 Oblicz granicę ciągu (an).

1. an=√

n+ 2 −√ n,

2

2. an= n −√

n²+ 5n, 3. an= 3n −√

10n⁶+ 6n − 15, 4. an= 5n²+√

2n⁶− 3.

Ćw. 5.6 Oblicz granicę ciągu (aⁿ).

1. an= cos(n³)

2n − 3n

6n + 1, 2. an= nsin(n!)

n²+ 1 , 3. an= acos(nπ) 2ⁿ , 4. an= 2n

2n²− 1cos

 n+ 1 2n − 1



,− n

1 − 2n · n(−1)ⁿ n²+ 1 , 5. an= 1 + 2 + · · · + n

n³+ 1 cos(n!), 6. an=

 2 + 7

3n

_n² .

Ćw. 5.7 Oblicz granicę ciągu (aⁿ).

1. an=

 1 + 2

n

ⁿ , 2. an=

 1 − 4

n

⁻ⁿ+3

,

3. an=

n²+ 6 n²

ⁿ² ,

4. an=

n²+ 2 n²+ 1

ⁿ² ,

5. an= n (ln(n + 1) − ln n), 6. ln 1 + _n³

1 n

.

Ćw. 5.8 Oblicz granicę ciągu (aⁿ).

1. an= √ⁿ

3ⁿ+ 2ⁿ, 2. an= √ⁿ

10ⁿ+ 9ⁿ+ 8ⁿ, 3. an= ⁿ

s 2 3

ⁿ + 3

4

ⁿ ,

3

4. an= √ⁿ

2 · 3ⁿ+ 4 · 7ⁿ. Ćw. 5.9 Oblicz granicę ciągu (aⁿ).

1. an= (2n)ⁿ¹(5n + 1) n+ 3 , 2. an= √ⁿ

3n + sin n, 3. an= r (−1)^{n n}

n + 2n, 4. an=

 1 + 1

n²

ⁿ .

Ćw. 5.10 Oblicz granicę ciągu (aⁿ).

1. an= n² 3ⁿ, 2. an= 2ⁿ

n!, 3. an= 2ⁿ· 3²ⁿ

n! . ŹRODŁO:

• W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1.

• Banaś J., Wędrychowicz S.: Zbiór zadań z analziy matematycznej.

4