Wyznaczenie funkcji modulacji parametru dla uzyskania założonej postaci drgań zanikających bez tłumienia
Z agadnienie szu k an ia rozw iązania różniczkow ego rów nania drgań przy danych param etrach — m ożn a odw rócić. M ożna założyć pew ne rów nanie drgań w p ostaci sk oń czonej i badać, jak m odulow ać param etry układu, a b y uzysk ać ruch założon y. Z tego szerszego zagadnienia om ów iono tu problem w ęższy — m o d u l a c j ę s p r ę ż y s t o ś c i u kładu tak ą, a b y u zy sk a ć efek t tłu m ien ia drgań bez użycia tłu m ik a. M odulacja o d b y w a się w ten sposób, że sp rężyste podw ieszenie działa n a m asę drgającą za pośred
n ictw em dźw ign i o zm ien n ym przełożeniu. P roblem ten m oże znaleźć zastosow anie w budow ie p od w ieszeń sam ochodow ych bez am ortyzatorów . K ońcow e przeliczenie przeprow adzono dla zorientow ania się w gab arytach takiego urządzenia.
1. Uwagi wstępne
S prężystość i tłu m ien ie u k ła d u drgającego, z chwilą kied y działają nie bezpośrednio n a m asę d rg ającą, ale za pośrednictw em dźwigni, zależą od w arto ści przełożenia. M ożem y się o ty m przekonać b a d a ją c w zajem ny stosunek: w ychyleń zachodzących n a m asie i n a sprężynie oraz p ręd kości w y ch y len ia m asy i tłu m ik a (rys. 1).
K ys. 1. Siły sprężystości i tłum ienia w obecności przełożenia
i
W ychylenie jednostkow e m asy m w yw oła n a sprężynie siłę c-- ft , U it co z kolei rów now ażne je s t sile c = c \ r a- 7[ n a masie.
b -j- d.
M e c h a n ik a z e s z . 3
66
M ichał L aw in aP odobnie jed nostk ow a prędkość m asy m w yw oła n a tłu m ik u siłę Ł-, - - ; , k tó ra jest rów now ażna sile Tc=k[1 , J n a m asie. M asa więc m
b + d ’ J \& -M /
u k ład u z ry su n k u 1 będzie drg ać p odobnie do u k ład u z ry su n k u 2.
R ys. 2. U kład drgający rów now ażny układow i
z rys. 1
W yobraźm y sobie teraz, że p u n k t A przesuw a się w czasie drgań w lewo i w praw o w sposób okresow y, p rzy czym ruch te n jest określony w czasie, tj. dane są fu n k cje a(t) i b(t). Jeżeli więc rów nanie różniczkow e ru ch u dla a = const, 6 = const jest:
m x + k
to w p rzy p a d k u , kiedy wielkości a i h zależą od czasu, rów nanie:
m x - i - l
d t b + d, + c
b + d x = 0
(1)
(2) opisyw ać będzie d rg ania p aram etrow e.
J a k w iadom o, założeniem :
k b
x = ueJ Ą b+dI
(3) sprow adzić m ożem y rów nanie (2) o zm iennych a(t) i b (t) do rów nania:
ii + (p{t)u=0. (4)
Z m iany wielkości a, b m ożna też uzyskać i podać w zależności od w y chylenia x m asy m, n a p rzy k ła d za pom ocą pewnej k o n stru k cji p rze
suw ającej p u n k t A w zależności od ugięcia u k ład u . W ty m w yp ad ku w rów naniu (2) czynniki a i b zależą od x: a(x), b(x), rów nanie więc tylk o form alnie będzie zgodne z rów naniem (2) — w rzeczyw istości zaś dla a(t), b(t) rów nanie (2) jest rów naniem liniow ym o zm iennych w spółczynni
kach, dla a(x), b(x) zaś rów naniem nieliniow ym . Tę isto tn ą różnicę mię-
clzy dw iem a postaciam i rów n an ia (2) u p raszcza w znacznej m ierze z a łożenie:
*=■ 0, (5)
czyli b ra k tłu m ik a w u kładzie.
Z p o d an ym i w u stęp ie 1 pojęciam i zapo znają bliżej podstaw ow e p o d ręczniki z teorii drgań , n a p rzy k ła d te, k tó re podano w bibliografii.
2. Omówienie zagadnienia
S taw iam y teraz n a stę p u ją c e zagadnienie — odw rotne do ty cb , z j a k im i zazw yczaj m am y do czynienia w teo rii drgań. Polega ono n a w y znaczeniu sterow ania p u n k te m A (rys. 1) w zależności od ugięcia m asy m ta k , a b y osiągnąć założony z góry efekt. Rów nanie ru c h u ułożone n a podstaw ie zw iązków (2) i (5) m a p o sta ć :
móc + c a(x)
x = 0. (6)
b{x)-\-d
Z ak ładam y , że rozw iązaniem jego je s t zależność:
x = x 0e(sfia)l
s < 0 . (7)
W założeniu ty m x 0 je s t p a ra m e tre m , którego rolę w rozw iązaniu z ag ad nienia om ów im y później. W ielkości n a to m ia st s, w są ściśle określone.
In n y m i słow y z w a ru n k u (7) w y n ik a, że rów nanie (6) opisuje pew ne d rg an ia zanikające o d a n y m dekrem encie i danej p ulsacji (częstości k o łowej). M ew iad om ą w układzie rów nań (6), (7) je s t więc fu n k cja :
a(x) b (x) -f- d
k tó ra , zm ieniając się okresow o w u stalo n y ch granicach, d a się oczywiście p rzedstaw ić w p o staci:
c (x ) = c [ p + y f ( x ) l (9)
R ów nanie (6) n apisan e w form ie:
móc + c [/3+ y f ( x ) ] x — 0 (1 0)
m a p o stać rów n ania M athieu, jeśli uw zględnim y w aru nek (7):
f (x ) = 0(t).
U n ik am y jed n a k tru d n o śc i całkow ania, bo całka rów nania (1 0) m a p o sta ć (7), a niew iadom ą fu n k cją w rów naniu (10) je s t ty lk o f(x), d ająca
5*
68 M ichał L aw in a
się w yznaczyć elem en tarn y m i działaniam i. I s to tn a je d n a k dla p ra k ty c z n y c h zastosow ań wyłożonej teo rii jest ro la p a ra m e tru x 0, k tó ry nie po
w inien zm ieniać c h a ra k te ru fun k cji f(x), czyli p rak tycznie: urządzenie pow inno daw ać d rgan ia zanik ające o dekrem encie i pulsacji niezależ
n y ch od x 0.
R ozw ażm y rzecz n a bardziej szczegółowej form ie rów nań.
3. Wyprowadzenie równań szczegółowych
Załóżm y, że w ychylenie x m asy rn spow oduje za pośrednictw em p e wnej k o n stru k c ji przesunięcie p u n k tu p o d p arcia A n a odległość g(x) w praw o (rys. 3). U k ład ta k i drga w edług rów nania (6), którego szcze
gółową po stacią jest:
m x + c a + g(x)
g(x) x = 0. ( U )
Zależność sprężystości od w ychylenia pow inna być w m yśl założenia ta k a , a b y d rg an ia (1 1) by ły rów now ażne drganiom tłu m io n y m u kład u
7 & * 4
R y s. 3. U kład drgający o przesuw anym p u nkcie podparcia dźw igni
o te j samej m asie m i sprężystości c oraz o pew nym p rzy ję ty m tłu m ie n iu ft0. W rów naniu więc (11) fu n k cja x m a n p . n astę p u jąc ą postać:
<5
——<u<
x = x 0e sincoi. (1 2)
J e s t to szczególna p o stać rów ności (7), gdzie x 0 jest sta lą zależną od w arunków początkow ych (od zasobu włożonej energii), a
y T U i ' (13)
6 = nk*
ma)
2i ró w nania więc (1 1) należy po w prow adzeniu założenia (1 2), (13) wy- liczyć g(x).
Poniew aż bezpośrednie obliczenie fu n k cji g{x) w postaci w yraźnej b yło by uciążliwe, lepiej zw iązek te n w yrazić za pośrednictw em p a r a m etru t. Z rów n an ia (11) w ynika:
g
[x[t)] = + ----7^ = - . (14)
1 + 1 ~ —
\ x x
Poniew aż zarów no a; ja k i a : są propo rcjo nalne do x 0, więc zależność (14) w skazuje n a to, że c h a r a k t e r y s t y k a p r z e k ł a d n i m iędzy m asą m i p u n k te m + (rys. 3) n i e z a l e ż y o d p o c z ą t k o w e g o w y c h y l e n i a .
4. Rozwiązanie przykładowe
D la zdobycia pew nych d an y ch w yjściow ych dla k o n stru k c ji takiej przek ład n i sporządźm y w ykres g(x), p rz y jm u ją c za p a ra m e try m, c, k 0 wielkości p o k ry w ające się z p rzeciętn y m i sp o ty k a n y m i w rea ln y ch ro z w iązaniach k o n stru k c y jn y c h (sam ochodow ych). Z ak ład ając dodatkow o:
a = b sp row ad zam y zw iązek (14) do po staci:
moc 1
g[x{t)] = a -r -¡ = ^ L --- . (15)
m x , „
1
cxP rz y jm ie m y więc dla w spom nianych wyżej p a ra m etró w n a stę p u jąc e w a r
tości przeciętne:
a = 200 m m ,
m = 4 ■ 10~3 k G /m m-1 sec2, c — 2,5 kG /m m ,
&0= 0 ,1 3 k G /m m- 1 sec.
W yliczam y:
70 M ichał L aw in a
x
F u n k c ję (15) ro z p a trz y m y w przedziale:
T T
4 ^ % r = ^ >
tj. n a obszarze pełnego w ychylenia n k lad u w jed n ą stronę; okresu (0,T/4) nie ro z p a tru je m y , bo p rz y rzeczyw istym zaburzeniu rów now agi p rze
biega on w sposób bliżej nie określony.
W celu łatw iejszego sporządzenia w ykresu fu n k cji (15) rozbijem y ją n a trz y funk cje:
t=cp{x) T T
dla (16)
k tó ra je st fu n k cją o d w ro tn ą do (1 2);
g{0) = a0 - 1 0 + 1'
mmgm
F u n k c ja (12) przy p rzyjęciach m a postać:
(17) naszych
x = lOOe
-5,58.,
sm ' I n
T (18)
R ys. 4. P rzebieg funkcji < p(x), i g ( 0 )
określonych w zoram i (17)
(xn jak o nieisto tn e przy jęto rów ne 10 0 m m).
N a podstaw ie (18) nakreślono k rzyw ą cp(x) n a ry su n k u 4. Z k o lei n a podstaw ie (17) w yznaczono przebieg funkcyj 0(<p) i g(0)- Ze spół więc w ykresów n a ry su n k u 4 pozw ala n a w yznaczenie w ychyle
n ia g(x) w zależności od w ychyle
n ia x — p rzy czym w ychylenia g(x) oraz x określa ry sun ek 3. N a ry su n k u 4 pokazano, ja k p rz y kładow o dla w ychylenia x = 20 m m m ożna w yznaczyć w ychylenie g(x) p u n k tu p o dp arcia dźwigni — idąc wzdłuż przeryw anej linii w k ieru n ku strzałek.
P o sporządzen iu w ykresów (rys. 4) m ożna wrócić do bezpośredniego zw iązku m ięd zy w ychyleniam i g i x przez zbudow anie nowego w ykresu z opuszczeniem p ośred n ich wielkości cp(x) i @(<p).
D o k o n a m y w szakże jed nej zasadniczej p opraw ki. P a k t, że p rzy w y chyleniu * = 0 p u n k t p o d p a rc ia m a m ieć znaczne w ychylenie, 178 m m , w skazuje n a to , że zastęp cza sztyw ność sprężyny zostaje uw ielokrot- niona. E fe k t te n je d n a k m ożna uzy sk ać doborem odpowiednio sztyw nej sp rężyn y ta k , a b y p rz y w ychyleniu x = 0 było tak ż e w ychylenie, g(0) = 0. O dpow iada to pionow em u przesunięciu krzyw ej g(&) w dół skali.
T ak zb u d o w a n y w ykres p rzedstaw iono n a ry su n k u 5. J a k o sporzą
dzony dla pew ny ch realn ie sp o ty k an y ch p aram etró w może on mieć z n a czenie k o n stru k c y jn e p rz y p ro jek to w an iu przełożenia m iędzy wychyle-
E y s. 5. Zależność m ięd zy w y ch y len iem g p u n k tu podparcia a w ych ylen iem x m asy drgającej
niem m asy i w ych ylen iem zaw ieszenia dźwigni poziom ej. K o n stru k c ji p rzek ład n i — jak o oddzielnego zagadnienia o ch ara k te rz e k in em a ty c z n y m — nie rozw ażam y w tej pracy .
5. Wnioski
K ró tk ie wnioski pły n ące z p o przed n ich w yw odów są następu jące.
D rg a n ia p a ra m etro w e , d o tą d przew ażnie uw ażane za zjaw isko p rz y p a d kow e i uboczne, m ogą b y ć w yw ołane um yślnie dla u zyskania pew nych sk u tk ó w z góry założonych. J e d n y m z tak ic h efektów p ożąd an y h jest n a p rzy k ła d z an ik an ie d rg ań resorow anego nadw ozia p o jazdu m echanicz
nego; zan ikan ie to , w yw ołane m odu lacją sprężystości (zredukow anej), czyni zbęd ny m obecność tłu m ik a w układzie.
Oczywiście przedw czesne b yło b y tw ierdzenie, że przynosi to oszczę
dności — ja k długo nie m a rozw iązania k o nstru kcy jneg o u rząd zenia do
M iclial L a w in a
przesuw ania p u n k tu p o d p arcia dźwigni albo w ogóle jakiegokolw iek u rządzen ia do m odulacji sprężystości. K o szt takiego u rzą d z e n ia może się okazać w iększy od k o sztu am o rty zato ró w , n ajp raw d o p o d o b n iej jed n a k jest niższy. P o za ty m p rac a t a w skazuje drogę do u z y sk a n ia pew nych oszczędności, chociażby początkow e jej e ta p y b y ły m niej rentow ne.
T eoria tego ro d za ju d rg ań p aram etro w y ch znacznie u praszcza się dzięki założeniu a p rio ri ró w n an ia d rg ań w p o staci skończonej. N iejed
nokro tnie założenie jednego stop n ia sw obody je s t przybliżeniem — ja k n a p rzy k ład w w y p ad k u podw ieszenia sam ochodowego, gdzie m asa kół i p n e u m a ty k i tw orzą d ru g i stopień swobody. T rudno też w tej chwili dyskutow ać o w pływie bezAyładności dźwigni i przełożenia.
Pozostaw iono dalej o tw a rtą spraw ę odprow adzenia energii, nieodzow nego p rzy drgan iach zan ik ających ; nie p rzed staw ia ono zresztą z p e wnością w iększych tru d no ści, może b y ć u zy sk an e naw et przez tarc ie suche w m echanizm ie, co ze względu n a m odulację sprężystości nie znie
kształci ró w nania ru ch u . N iem niej w świetle przed staw io n y ch rozw ażań teo rety czny ch w yd aje się celowe k o n stru k c y jn e i ruch ow e opracow anie zagadnienia.
N a w stępie podkreślono, że omówiono t u ty lk o w ąską część ogólnego p roblem u w yzyskania d rg ań param etro w ych o określonym z góry rów n aniu . N iew ątpliw ie bliższe w niknięcie w możliwości zagad nien ia pozwo
liłyb y o trzy m ać nie ty lk o zanikanie, ale i rezonans p a ra m etro w y .
B IB L IO G R A F IA
[1] I. P . D en H artog, M e c h a n i c a l v i b r a t i o n s . N ew -Jork— London 1947.
[ 2 ] C . II. C ip e jiK O B , B s e d e n u e s m e o p u w K O jieÓ a m iw . M o c K B a — d e H H H r p a g 1 9 5 1 .
