Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Niech funkcja

f : R

ⁿ

 D  R

(D– otwarty) posiada pochodną cząstkową xi

f



 w każdym punkcie

 D

x

. Jest więc określona funkcja

xi

f



 : Rⁿ D x (x) xi

f



 

Jeżeli powyższa funkcja ma pochodną cząstkową po j-tej zmiennej (x)



 













i

j x

f

x w punkcie x, to nazywamy ją drugą pochodną cząstkową funkcji f po zmiennych

x ,

_i

x

_j i oznaczamy

) ( )

(

2

x x xjxi

i j

x f x

f  





 .

Uwaga: Jeżeli i to będziemy stosować oznaczenie j ₂ ( )

2

x xi

f



 (pochodna czysta)

Jeżeli

i  j

to ( ) ( )

2 2

x x

j i i

j x x

f x

x f





 





 (pochodna mieszana)

Tw.(Schwarza)(Malec s.92) Jeżeli pochodne ² (x)

i j x x

f





 i ² (x)

j i x x

f





 są ciągłe w punkciex, to są równe.

Podobnie definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Pochodne mieszane, które różnią się jedynie kolejnością różniczkowania, jeżeli są ciągłe to są sobie równe.

Przykład

Funkcja









 





) 0 , 0 ( ) , ( , 0

) 0 , 0 ( ) , ( ) ,

,

( ^{2 2}

2 2

y x

y y x x

y xyx y x

f jest ciągła w punkcie (0,0) i jej pochodne

cząstkowe są równe odpowiednio:

0 0 ) lim 0 , lim ( ) 0 , 0

( 0 0 

 



 











 x x

x f x

f

x

x , 0 0

) lim , 0 lim ( ) 0 , 0

( 0 0 

 



 











 y y

y f y

f

y y









 





 



) 0 , 0 ( ) , ( , 0

) 0 , 0 ( ) , ( ) ,

(

) 4

(

2 2 2

4 2 2 4

y x

y y x

x

y y x x y x

f ,









 





 



) 0 , 0 ( ) , ( , 0

) 0 , 0 ( ) , ( ) ,

(

) 4

(

2 2 2

4 2 2 4

y x

y y x

x

y y x x x y

f .

Stąd

1 ) lim

, 0 lim ( ) 0 , 0

( ₅

5

0 0

2 





 



 

















 y

y y

y x

y f

y x

f

y ,

( , 0 ) lim 1

lim ) 0 , 0

(

₅

5

0 0

2





 



 



















x

x x

x y

x f

x y

f

x .









 





 ^ _^{ }

) 0 , 0 ( ) , ( , 1

) 0 , 0 ( ) , (

3 ,

2 2

4 2 2 4 2 2

) (

) 10 )(

2 (

y x

y x y

x

f ^{x y} _x^x _y ^{x y y}

, 









 





 ^ _^{ }

) 0 , 0 ( ) , ( , 1

) 0 , 0 ( ) , (

3 ,

2 2

4 2 2 4 2 2

) (

) 10 )(

2 (

y x

y x x

y

f ^{x y} _x^x _y ^{x y y}

.

Poza punktem (0,0) pochodne mieszane są sobie równe (bo są ciągłe) ale nie są ciagłe w punkcie (0,0), bo nie istnieją granice

x y

f





²

i x y f





²

w punkcie (0,0).

Różniczki wyższych rzędów

Oznaczenia

a  ( a

₁

,..., a

_n

)

x=(x1,..., xn) f :Ot(a,



) R Różniczką funkcji f w punkcie

a

dla przyrostu x nazywamy wyrażenie

df(a, x)= _i

n

i x

f x

i 



 

 ( )

1

a

Jeżeli przy ustalonym x funkcja d(  ,x) : Ot(a,



)R ma różniczkę punkcie

a

, to nazywamy ją drugą różniczką funkcji f w punkcie a i oznaczamy d²f (a, x).

Przykład. Wyprowadzić wzór na drugą różniczkę funkcji dwóch zmiennych. (zakładamy ciągłość pochodnych mieszanych)

2 2 1 2 1 2 1 1 2

1 2

1, ),( , )) ( , ) ( , )

(( x x x

x x f x x x x f

x x x

d 



 

 

 









 

 

 





 



 

 

 





 







2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1

2 1 2 2 1

] ) , ( )

, ( [ ]

) , ( )

, ( [

)) , ( ), , ((

x x x x x x f x x x

f x x

x x x x x f x x x

f x

x x x x d

2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2

1 2 2 1 1 2

) , ( )

, ( 2

) ,

( x x x

x x f x x x x x x f

x x x

f 







 



 

 

  x f

x x x

2

2 2 1

1 



 



 



 

 

 

Druga różniczka funkcji wielu zmiennych w danym punkcie jest formą kwadratową przyrostów

j i n

j

i j i

n

n x x

x x x f

x x x f

d  





 









) ( )

,..., ( ), ,..., ((

1 ,

2 1

1

2 x

Uwagi o zapisie macierzowym drugiej różniczki.

 

 







 











 

 







 

 





































n n

n

n n

n n

x x

x f x

x f

x x

f x

f x

x x

x x x

d 













1

2 2

1 2

1 2 2

1 2

1 1

1 2

) ( )

(

) ( )

( ))

,.

, , , ( ), ,..., ((

x x

x x

Wzór na m-tą różniczkę funkcji n zmiennych f

x x

f

d^m _{x x n} ^m

n )

,...,

( ₁

1 _^ 

  



Zadanie. Napisać wzór na drugą różniczkę funkcji trzech zmiennych i trzecią różniczkę funkcji dwóch zmiennych

Wzór Taylora

Jeżeli funkcja f : Rⁿ  Ot(a,) x f(x) R ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu m w Ot(a,



), to istnieje (0,1) takie , że dla każdego x Ot(a,) prawdziwy jest wzór

m m

m

d f r

f d df

f

f ( x )  ( a ) 

₁¹_!

( a , x  a ) 

₂¹_! ²

( a , x  a )   

₍ ¹_1)! ^1

( a , x  a ) 

gdzie

r

_m



_m¹_!

d

^m

f ( a  θ ( x  a ), x  a )

Uwaga: punkt „pośredni”caθ(xa) leży wewnątrz odcinka o końcach a i x

Dow. Parametryzujemy odcinek x(t)at(xa) ;t[0,1] i tworzymy funkcję jednej zmiennej ))

( ( )

(t  f at xa



. Mamy więc rzeczywistą funkcję



określoną na domkniętym odcinku ]

1 , 0

[ spełniającą założenia twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej. Stosując do niej wzór

Maclaurina otrzymujemy ^{m m m}

m

m

m ( ) 1

! 1 1

)!

1 (

) 0 ... (

) 0 1

! ( 1

) 0 ) ( 0 ( ) 1

(

¹

1

 



 

 

 



 





^{ } 

 ( ,1)

! ) 1 1 , 0 )! (

1 ( ... 1 ) 1 , 0

! ( 1 ) 1 0 ( ) 1

(   ¹ 

 ^m d^m

d m

d m 

 





 ^

Ale

d

^k

 ( t

₀

, t )  

^(k)

( t

₀

)( t  t

₀

)

^k

 d

^k

f  x ( t

₀

), x ( t  t

₀

)  x ( t

₀

)  ( t  t

₀

)

^k. Stąd

d

^k

 ( 0 , 1 )  d

^k

f ( a , x  a )

itd.

Szczególny przypadek

m  2

























 











 



n n n

n n

a x

a x x

f x

a f a f x x

f 

1 1

1 1

1 ( ),..., ( )

! 1 ) 1 ,..., ( ) ,...,

( a a

 

 







 











 

 







 

 

































n n n

n

n n

n

x x

a x

x x x f

x x

f

x x x x f

x f a

x a

x  

1 1

2 2

1 2

1 2 2

1 2

1 1

~ ) (

~ ) (

~ ) (

~ ) ( ,...,

! 2 1

Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x,y)=e^xsiny w punkcie (0,0) (wzór Maclaurina) dla m=4.

Odp. e^xsinyyxy¹₂ x²y ¹₆y³ r₄

Zastosowanie różniczki w teorii błędów

Dana jest funkcja f wielu zmiennych. Wektorowy argument funkcji nie jest znany lecz dysponujemy jego pomiarem x obarczonym błędem Niech x+



x oznacza prawdziwą nieznaną wartość argumentu a błąd bezwzględny pomiaru (wektorowego) nie przekracza b (



x  b nierówność wektorowa).

Wówczas ⁿ _i

i i

x b df f

f

f( ) ( )| | ( , )| | ( )|

|



1

 

 





x x x x x

x .

Wytłumaczenie przybliżonego charakteru wzoru , kiedy to przybliżenie jest „dobre” i jak postąpić gdy przybliżenia nie jest zadowalające. Przykład. Oszacować metodą różniczki zupełnej błąd jaki popełniamy obliczając objętość prostopadłościanu o krawędziach 4.1, 3.2, 8.4 zmierzonych odpowiednio z dokładnością 0.1, 0.1, 0.2. Odp. (błąd bezwzględny

8.756, błąd względny 8% (wytłumaczyć jak rozumiemy błąd względny)

Funkcje uwikłane

Przykład 1.Rozważmy równanie f(x,y)0 np.x²  y² 10 i niech ( ba, ) spełnia f(x,y)0, czyli f(a,b)0

Pytanie: Czy dla dowolnego x[1,1] istnieje taki y(x), że f(x,y(x))0 i y(a)b?

Niech (a,b)=(0,1). Wówczas funkcja y(x) 1x² ; -1x1 spełnia powyższe warunki. Ale spełnia

je także funkcja

) ( ] 1 , 1 [

] 1 , 1 [ 1

) 1

( 2

2

Q R x

Q x

x x x

y    

















  . Dokładając warunek ciągłości funkcji y(x)

eliminujemy ten przypadek.

Jeżeli (a,b)=(1,0), to nie istnieje funkcja y(x) będąca rozwiązaniem problemu, ale istnieje funkcja x(y) spełniająca warunki zadania.

Powód. W punkcie (1,0) nie istnieje styczna Ax+By+C=0 dająca się rozwikłać ze względu na y ale daje się rozwikłać ze względu na x.

Przykład 2. Wersja liniowa twierdzenia o funkcji uwikłanej

n

n R

x

x 

( ₁,..., )^T

x y(y₁,...,y_m)^TR^m

Rozważmy układ m równań z

n  m

niewiadomymi w postaci blokowej

   

0

y B x

A 



 



,  , gdzie A jest macierzą o wymiarach (m,n) a B macierzą o wymiarach (m,m)

Załóżmy, że B jest macierzą odwracalną (detB0). Wówczas

Ax B x y

B 0 By Ax

1

1

)

( ^











Idea. Jeżeli rozważymy równanie f(x,y)0 z funkcją fC_Ot¹ _{( ba, )}(f(a,b)0) , to funkcja ta zachowuje się w tym otoczeniu podobnie do pochodnej f^'(a,b), która jest odwzorowaniem liniowym. Badanie tego odwzorowania (pochodnej) dostarczy informacji o nieliniowej funkcji uwikłanej yg(x) określonej równaniem f(x,y)=0 o wykresie leżącym w otoczeniu punktu (a,b).

Twierdzenie o funkcji uwikłanej – wersja I. Jeżeli

 funkcja f(x,y) ma ciągle pochodne cząstkowe x f



 i y f



 w otoczeniu punktu (x₀,y₀)

 f(x0,y₀)=0 i ( ₀, ₀)0



 x y

y f to

1. dla każdej dostatecznie małej liczby  >0 istnieje taka liczba  >0 , że każdej wartości x z przedziału (x₀-, x₀+ ) odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie y(x) równania f(x,y)=0 należące do przedziału (y₀-, y₀+)

2. funkcja y(x) jest ciągła w przedziale (x₀-, x₀+ ) i ma w nim ciągłą pochodną wyrażoną wzorem

) , (

) , ) (

'(

y x

y x x

y

y f x f











 , gdzie y=y(x)

Dowód (szkic) Bez straty ogólności załóżmy, że

(

₀

,

₀

)  0



 x y y

f

( w przeciwnym przypadku można zastąpić równanie f(x,y)0równoważnym równaniem:  f(x,y)0. Z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej

( y x , )

y f





wnioskujemy, że istnieje kwadrat

}

|

| ,

|

| : ) ,

{( 

₀

  

₀

 

 x y x x y y

K

w którym

( , )  0 .



 x y y

f

Niech

  

.Pochodna

0 ) , (

₀





 x y y

f

funkcji jednej zmiennej

f ( x

₀

, y )

jest dodatnia, wiec w przedziale

( y

₀

 y  ,

₀

  )

, funkcja

f ( x

₀

, y )

jest rosnąca. Skoro

f ( x

₀

, y

₀

)  0

, to

f ( x

₀

, y

₀

  )  0

a

f ( x

₀

, y

₀

  )  0

(rysunek). Funkcje

f ( x , y

₀

  )

i

f ( x , y

₀

  )

są ciągle w punkcie

x

₀ istniej więc otoczenie

) ,

( x

₀

 x 

₀

 

w którym obie zachowują ten sam znak co w punkcie

x

₀. Mamy więc

0

) ,

( x y

₀

  

f

i

f ( x , y

₀

  )  0

dla

x  ( x

₀

  , x

₀

  )

. Niech

x

₁

 ( x

₀

  , x

₀

  )

. Ciągła i rosnąca funkcja

f ( x

₁

, y )

przybiera na końcach przedziału

[ y

₀

 y  ,

₀

  ]

wartości rożnych znaków, więc istnieje dokładnie jeden punkt

y ( x

₁

)

taki, ż

f ( x

₁

, y ( x

₁

))  0

, co kończy dowód istnienia funkcji uwikłanej y(x). Prosty dowód ciągłości i różniczkowalność funkcji y(x)można znaleźć ( Leja F. Rachunek różniczkowy i całkowy)



0

 x

0

x x₀



0 y



0 y

y0

K _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

+ + + + + + + + + + + + + + + +

Tw.(o funkcji uwikłanej)-wersja II. Jeżeli

f : R

^nm

 E  R

^m jest klasy

C

_E¹ (E – otwarty),

E ) ,

( ba i f(a,b)0 oraz

f

^'

( a , b )  [ A

_x

, A

_y

]

, gdzie A_y- odwracalna, to istnieją zbiory

otwarte U  Rⁿ i W R^m takie, że



_xU

 !

_yW:f(x,y)0, czyli równanie f(x,y)0 określa dokładnie jedną funkcję

g : R

ⁿ

 U  R

^m taką, że g(a)b i



_xU

f ( x , g ( x ))  0

. Ponadto g jest klasy

C

_U¹ i g a( )A_y^1A_x.

Np. n3 m2























3 1 1 1 2 2 1 3 2 1 2

2 1 2 2

1 3 2 1 1

2 6 cos )

, , , , (

3 4 2

) , , , ,

: ( ¹

x x y y y y y x x x f

x x y e y y x x x f f

y

a(3,2,7) b(0,1) 0

) , (a b 

f ! Czy ten układ równań ( równanie wektorowe)



























0 2

6 cos )

, , , , (

0 3 4 2

) , , , , (

3 1 1 1 2 2 1 3 2 1 2

2 1 2 2

1 3 2 1

1 ¹

x x y y y y y x x x f

x x y e y y x x x

f ^y

określa w otoczeniu punktu a funkcje uwikłaną?

Pochodna 



 









 

 6 1

3 2 1 0 2

0 4 ] 1

, [ ) , (

' _{x y}

f a b A A i detA_y 200

Wniosek. W pewnym otoczeniu U punktu a równanie f(x,y)0 określa w otoczeniu punktu a funkcję uwikłaną

g : R

³

 U  W  R

² taką, że g(a)b

i



 







 



 



 



 

6 1 5 6 2 1

203 5 1 4 1

2 6

3 1 20 ) 1 7 , 2 , 3

( _x

g A

Przykład. Wykorzystując wzór Taylora znajdź przybliżenie funkcji uwikłanej

y  y (x )

wielomianem stopnia trzeciego w otoczeniu punktu

( x

₀

, y

₀

)  ( 1 , 0 ).

Funkcja uwikłana zadana jest równaniem cos(xy)x2y0.

W otoczeniu punktu

( x

₀

, y

₀

)  ( 1 , 0 )

są spełnione założenia tw. o funkcji uwikłanej więc równanie 0

2 )

cos(xy x y określa w tym otoczeniu funkcję y y(x), przy czym y(1)0.

4 3

! 3

) 1 (' '' 2

! 2

) 1 (' '

! 1

) 1

('

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

) 1 ( )

( x y x x x r

y  

^y

 

^y

 

^y

 

Kolejne pochodne funkcji y(x) w punkcie

x

₀

 1

wyliczamy różniczkując równanie 1 (1) cos[xy(x)]x2y(x)0,

i otrzymujemy

(2) sin[xy(x)][y(x)xy'(x)]12y'(x)0,

a stąd dla

x  1

uwzględniając że y(1)0 otrzymujemy

y ' ( 1 )  

₂¹

.

Różniczkując równanie 2 otrzymujemy

(3)

 cos[ xy ( x )][ y ( x )  xy ' ( x )]

²

 sin[ xy ( x )][ 2 y ' ( x )  xy '' ( x )]  2 y '' ( x )  0

a stąd dla

x  1

uwzględniając że y(1)0 i

y ' ( 1 )  

¹₂ otrzymujemy

y '' ( 1 )  

₈¹

.

Różniczkując równanie 3 otrzymujemy

(4)

0 ) ( '' ' 2 )]

( '' ' ) ( '' 3 )][

( sin[

)]

( '' ) ( ' 2 )][

( ' ) ( )][

( cos[

3 )]

( ' ) ( )][

(

sin[

³

















x y x xy x y x xy

x xy x y x xy x y x xy x

xy x y x

xy

,

a stąd dla

x  1

uwzględniając że y(1)0 ,

y ' ( 1 )  

₂¹,

y '' ( 1 )  

₈¹ otrzymujemy

y ' '' ( 1 )  

²⁷₃₂ Ostatecznie y(x)₂¹(x1)₁₆¹ (x1)² ₆₄⁹ (x1)³r₄

Ekstrema lokalne funkcji rzeczywistych

Def. Funkcja f :X DR (

a  D

- otwarty,

X 

przestrzeń metryczna) ma w punkcie

a

 minimum lokalne

 

_Ot(a)D



_xOt(a)

f ( x )  f ( a )

 minimum lokalne właściwe

 

_Ot(a)D



_{xOt(a)xa}

f ( x )  f ( a )

.

Def. Funkcja f :X DR (

a  D

- otwarty,

X 

przestrzeń metryczna) ma w punkcie

a

 maksimum lokalne

 

_Ot(a)D



_xOt(a)

f ( x )  f ( a )

 minimum lokalne właściwe

 

_Ot(a)D



_{xOt(a)xa}

f ( x )  f ( a )

. Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum )

Jeżeli funkcja f :X DR ma w punkcie

a  D

ekstremum lokalne i istnieje w punkcie

a

pochodna cząstkowa (a)

xi

f



 (i 1,...,n) , to ( )0



 a xi

f dla i 1,...,n.

Dowód. dla minimum

 









 





0 0

0 ) 0

( ) (

t t t

f t

f

_i

dla a dla

e

a

i (a)

xi

f



 istnieje. Stąd (a) xi

f



 =0.

Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f : Rⁿ  D x f(x) R

 jest klasy

C

_D² (tzn. ma drugie pochodne cząstkowe ciągłe w D)

 ( )0



 a xi

f , i=1,...,n

 d²f(a, x) > 0 (<0) , x0

to f ma w punkcie a minimum (maksimum) lokalne właściwe

Dowód. Z wzoru Taylora dokładnie jak dla funkcji jednej zmiennej mamy )

), ( ( )

( )

(x  f a  ₂¹_!d²f a xa xa

f >0 x0, gdy d²f(a,x) > 0, gdyż z ciągłości pochodnych rzędu drugiego, dla ustalonych przyrostów druga różniczka jest funkcją ciągłą w a, więc z twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku d²f(a,xx⁰) i d²f(a(xa),xa)mają ten sam znak dla x0

Uzupełnienia z algebry

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R liczb rzeczywistych. Formą dwuliniową nad V nazywamy funkcję Q:VV R spełniającą warunki:

) , ( ) , ( ) ,

( v

₁

v

₂

w Q v

₁

w Q v

₂

w

Q   

Q(



v,w)



Q(v,w)

) , ( ) , ( ) ,

( v w

₁

w

₂

Q v w

₁

Q v w

₂

Q   

Q(v,



w)



Q(v,w)

dla dowolnych wektorów

v

₁,

v

₂,

w

₁,

w

₂ i dowolnej liczby rzeczywistej



.

Niech

B  { e

₁

,..., e

_n

}

będzie bazą przestrzeni V. Niech

 







 







 x

n

x



1

x

i

 







 







 y

n

y



1

y

oznaczają współrzędne

wektorów

v

i

w

w bazie B tzn. _i

n

i

x ei

v







1

i _j

n

j

y e

i

w 





1

.

Wówczas

 









ⁿ

j

i ij i j

n

j

i

Q

i j

x

i

y

j

a x y

Q

1 , 1

,

) , ( )

,

( v w e e

, czyli wartość formy dwuliniowej dla dowolnej pary wektorów jest jednoznacznie wyznaczona przez jej wartości na parach wektorów bazowych

) , (

_{i j}

ij

Q

a  e e

; i,j=1,…,n , które tworzą symetryczną (

a

_ij

 a

_ji) macierz kwadratową

 

 







 











nn n

n

ij

a a

a a

a A











1

1 11

.

Przy ustalonej bazie B przestrzeni V możemy traktować formę dwuliniową jako funkcję

R

R R

Q :

ⁿ



ⁿ



określoną w przestrzeni współrzędnych wzorem







ⁿ

j i

j i ij

x y a Q

1 ,

) ,

( y x

,

który można także zapisać jako

Ay x y x , ) 

^T

(

Q

lub

Q ( x , y )  Ax , y

gdzie

, 

oznacza klasyczny iloczyn skalarny w Rⁿ.

Przyjmując w szczególności

x  y

otrzymujemy z formy dwuliniowej tzw. formę kwadratową n zmiennych rzeczywistych

x ,...,

₁

x

_n,czyli funkcję

j n

j

i ij i

n

n

Q x x a x x

R 













1 , 1

,..., ) (

) , ( ) (

:  

 x x x x

przy czym a_ij= a_ji

Oczywiście forma kwadratowa ma przy ustalonej bazie przestrzeni V ma dokładnie jedną reprezentację macierzową

 ( x )  x

^T

Ax  Ax , x

, gdzie A jest macierzą symetryczną.

Przykład . Forma kwadratowa 3 zmiennych

. ]

, , [

2 2

2 )

, , (

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 2 1

3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 3

1 , 3 2 1

 







 







 







 























 



x x x a a a

a a a

a a a x x x

x x a x x a x x a x a x a x a x x a x

x

x

_j

j i

i



ij

Problem. Jak zmienia się macierz formy gdy zmienimy bazę przestrzeni V.

Oczywiście przechodząc od starej bazy

B  { e

₁

,..., e

_n

}

do nowej

B

^'

 { e

₁^'

,..., e

_n^'

}

określamy macierz przejścia

P    p

ij formułą _i

n

i ij

j p e

e







1

' ; j=1,…,n. Związek miedzy współrzędnymi wektora v w

starej i nowej bazie jest zadany równością

x  Px

^'. Wstawiając powyższe do równości

' ' ' ' '

, ) ( ) , ( ) ,

( x x v v x x x A x

Ax

x

^T

 Q  Q  Q 

^T otrzymujemy

' ' ' ' '

'

'

) ( ) ( )

( Px

^T

A Px  x

^T

P

^T

AP x  x

^T

A x

a stąd

AP

P A

^'



^T . Formę kwadratową  nazywamy

 nieujemną - gdy xRⁿ (x)  0

 niedodatnią - gdy xRⁿ (x)  0

 dodatnią - gdy xRⁿ ,x0 : (x) > 0

 ujemna - gdy xRⁿ ,x0 : (x) < 0

 dodatnio określoną - gdy c>0 xRⁿ : (x)cx ²

 ujemnie określoną - gdy c>0 xRⁿ : (x)c x ²

 nieokreśloną - gdy  xRⁿ(x) > 0 i  yRⁿ(y) < 0

Uwaga. W przypadku definiowania form kwadratowych na nieskończenie wymiarowej przestrzeni liniowej unormowanej należy odróżniać pojęcia.

dodatniość formy i dodatnia określoność formy ujemność formy i ujemna określoność formy

W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych pojęcia te pokrywają się. Jest to konsekwencją zwartości sfery jednostkowej w przestrzeni skończenie wymiarowej.

Badanie określoności formy kwadratowej jest szczególnie proste, gdy macierz tej formy jest macierzą diagonalną. Mówimy wtedy, że forma kwadratowa jest w postaci kanonicznej. Istnieje wiele metod sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Poniżej omówimy metodę Jakobiego, wykorzystującą tzw. przekształcenie trójkątne.

Niech

 

 







 











nn n

n

ij

a a

a a

a A











1

1 11

będzie macierzą formy kwadratowej w pewnej bazie B.

Def. Minorami wiodącymi (odpowiednich stopni) macierzy

















nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a













2 1

2 22

21

1 12

11

nazywamy

następujące wyznaczniki

D

₁

 a

₁₁,

22 21

12 11

2 a a

a

D  a ,...,

nn n

n

n n

n

a a

a

a a

a

a a

a D













2 1

2 22

21

1 12

11

 .

Załóżmy, że wszystkie minory wiodące są różne od 0.

Szukać będziemy nowej bazy

B

^'

 { e

₁^'

,..., e

^'_n

}

postaci

n nn n

n p p

p p

p

e e

e

e e

e

e e

















1 1 '

2 22 1 12 ' 2

1 11 ' 1

,co odpowiada trójkątnej macierzy przejścia

 

 





 

 





nn n n

p p p

p p

p















0 0

0

_{22 2}

1 12

11

.

W nowej bazie forma kwadratowa ma postać ^'

1 ,

' ' '

, )

(

_j

n

j i

i j

i

x x

 Q



e

e

. Szukać będziemy takiej bazy, aby

0

) , (

^'_i ^'_j



Q e e

dla

i  j

.

Łatwo zauważyć, że gdy

Q ( e

_i^'

, e

_j

)  0

dla j=1,…,i-1, to

Q ( e

_i^'

, e

^'_j

)  0

dla j=1,…,i-1.

Rzeczywiście

( , ) ( , ) ( , ) 0

1

' 1

' '

'

    





j

k

k i kj j

k k kj i j

i

Q p p Q

Q e e e e e e

.

Warunki

Q ( e

_i^'

, e

_j

)  0

dla i=1,…,n; j=1,…,i-1 wyznaczają wektory

e

^'_i z dokładnością do stałej.

Przyjmijmy więc, że

Q ( e

_i^'

, e

_i

)  1

. Wówczas

Q ( e

^'_i

, e

_i^'

)  Q ( e

_i^'

, p

_ii

e

_i

)  p

_ii. Aby wyznaczyć postać kanoniczną formy wystarczy wyliczyć przekątną

p

_ii; i=1,…,n macierzy przejścia.

1 ) , ( e

₁^'

e

₁



Q



Q ( p

₁₁

e

₁

, e

₁

)  1  p

₁₁

a

₁₁

 1 

1 11

1

11 a1 D

p  

 





 1 ) , (

0 ) , (

2 ' 2

1 ' 2

e e

e e Q

Q







 



 

 

 



 



 





1 0

22 12

22 21

12 11

p p a a

a

a



2 1

22 D

p  D

 

 





 0 ) , (

0 ) , (

' 1 '

n n k

Q Q

e e

e e





 







 









 







 







 







 







1

1

0

1

1 11















kk k

kk k

k

p p a a

a a

 k

k

D D

pkk  ^1 , k=1,…,n , przy czym

D

₀

:  1

.

W nowej bazie

B

^'

 { e

₁^'

,..., e

^'_n

}

forma kwadratowa ma postać ^'2

1

1

i n

i D

D x

i



i



 .

Jako wniosek dostajemy.

Twierdzenie. (kryterium Sylvestera).

Forma kwadratowa (x)x^TAx jest dodatnia (dodatnio określona)  Di>0 i=1,…,n.

Forma kwadratowa (x)x^TAx jest ujemna (ujemnie określona)  (-1)ⁱD_i>0 i=1,…,n.

Jeżeli wszystkie minory wiodące D_i są różne od 0 i zmieniają się inaczej niż w powyższych przypadkach , to forma jest nieokreślona.

Przykład. W bazie kanonicznej w R³ dana jest forma kwadratowa

. 1 0 2

0 1

2 2

] , , [ 4

3 2

) , , (

3 2 1

2 3

2 3

3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1

 







 







 







 



















x x x x

x x x x x x x x x x x

 x

Minory wiodące są równe

D

₁

 2

, ₄¹

2 3

2 3

2

1

2  



D

,

.

1 0 2

0 1

2 2

4 17 2

3 2 3

3

  

D

Macierz przejścia do nowej bazy jest postaci

 







 









33 23 22

13 12 11

0 0 0

p p p

p p p

P

. Kolejne jej kolumny są

rozwiązaniami układów równań

   ^{2 p}

₁₁

^{ 1}

 

 



 

 

 



 



 





1 0 1

2

22 12

2 3

2 3

p p

 







 









 







 







 







 







1 0 0 . 1

0 2

0 1

2 2

33 23 13

2 3

2 3

p p p

Stąd uzyskujemy macierz przejścia

 







 













171 17 12 178 2

1

0 0

8 0

6

P

i kanoniczną postać formy

. 8

) , ,

(x₁^' x₂^' x₃^'  ₂¹x₁^'2 x₂^'2₁₇¹ x₃^'2



Forma ta jest więc nieokreślona.