1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu)

1 Pochodne wyższych rzędów

Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R ^m , określonym na zbiorze G ⊂ R ^k . Załóżmy, że zbiór tych x ∈ G, dla których istnieje pochodna cząstkowa D i f (x) jest niepusty. Wówczas, jeśli istnieje pochodna cząstkowa D _j (D _i f )(x ⁰ ), to nazywamy ją drugą pochodną cząstkową (pochodną cząstkową drugiego rzędu) odwzorowania f w punkcie x ⁰ względem i-tej i j-tej zmiennej i oznaczamy ją przez D _j D _i f (x ⁰ ), (i, j = 1, . . . , k).

Inne stosowane oznaczenia:

∂ ² f

∂x _j ∂x _i (x ⁰ ), lub f _x ⁰⁰

i

x

(x ⁰ ).

Cząstkowe pochodne drugiego rzędu dla i 6= j nazywa się pochodnymi mieszanymi. Pochodną D _i D _i f (x ⁰ ) oznaczamy również D ² _i f (x ⁰ ), lub ^∂ _∂x

^f

i

(x ⁰ ).

Przykład: Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f (x, y) = x ^p y ^q , dla (x, y) ∈ R ² , (p, q ∈ N).

Definicja 1.2 (Pochodna drugiego rzędu) Odwzorowanie f o wartościach w R ^m okre- ślone w otoczeniu G punktu x ⁰ ∈ R ^k nazywamy dwukrotnie różniczkowalnym w tym punkcie, jeśli:

1) jest ono różniczkowalne w każdym punkcie pewnego otoczenia punktu x ⁰ ;

2) przy każdym ustalonym h ∈ R ^k odwzorowanie x 7→ Df (x)h

(określone w pewnym otoczeniu punktu x ⁰ , o wartościach w R ^m ) jest różniczkowalne w punkcie x ⁰ . Wówczas dwuliniowe (tzn. liniowe ze względu na każdą z dwóch współrzęd- nych przy drugiej ustalonej) odwzorowanie:

(h ⁰ , h) 7→ D(Df (x)h)h ⁰

określone na produkcie R ^k × R ^k ( o wartościach w R ^m ) nazywamy pochodną drugiego rzędu odwzorowania f w punkcie x ⁰ i oznaczamy D ² f (x ⁰ ):

D ² f (x ⁰ )h ⁰ h.

Twierdzenie 1.1 Warunkiem dostatecznym dwukrotnej różniczkowalności odwzorowania f

w punkcie x ⁰ jest istnienie w pewnym otoczeniu punktu x ⁰ ciągłych pochodnych cząstkowych

pierwszego rzędu oraz istnienie w pewnym otoczeniu tego punktu drugich pochodnych cząst-

kowych i ich ciągłość w punkcie x ⁰ .

Twierdzenie 1.2 Jeśli odwzorowanie f jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x ⁰ , to istnieją drugie pochodne cząstkowe D j D _i f (x ⁰ ) (i, j = 1, . . . , k) oraz zachodzi wzór

D ² f (x ⁰ )h ⁰ h =

k

X

i,j=1

h ⁰ _j h _i D _j D _i f (x ⁰ ) dla dowolnych h ⁰ = (h ⁰ ₁ , . . . , h ⁰ _k ), h = (h 1 , . . . , h k )

Dotąd zrobiłem na ostatnim wykładzie

Twierdzenie 1.3 (Schwarza o symetrii drugiej pochodnej) Jeśli odwzorowanie f (przy oznaczeniach jak poprzednio) jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x ⁰ to pochodna jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym, tzn zachodzi:

D ² f hh ⁰ (x ⁰ ) = D ² f k ⁰ h(x ⁰ ), w szczególności: D _i D _j f (x ⁰ ) = D _j D _i f (x ⁰ ) przy dowolnych h, h ⁰ ∈ R ^k .

Twierdzenie 1.4 (Wzór Taylora drugiego rzędu) Jeśli odwzorowanie f : G → R ^m jest dwukrotnie różniczkowalne w punkcie x ⁰ ∈ R ^k , to zachodzi wzór:

f (x ⁰ + h) = f (x ⁰ ) + Df (x ⁰ )h + 1

2 D ² f (x ⁰ )hh + α(h) gdzie α(h) = o(h ² ), tzn lim _h→0 ^kα(h)k _khk

= 0.

Uwaga:

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów definiujemy indukcyjnie jako pochodne cząstkowe po- chodnych cząstkowych rzędu o jeden mniejszego. Odwzorowanie nazywamy n krotnie różnicz- kowalnym jeśli jego pochodna rzędu n − 1 jest różniczkowalna przy ustalonych wektorach na których obliczamy wartość tej pochodnej. Zachodzą analogiczne twierdzenia dotyczące zależ- ności między różniczkowalnością a istnieniem i ciągłością pochodnych cząstkowych. Zachodzi twierdzenie Schwarza o symetrii.

Twierdzenie 1.5 (Wzór Taylora) Jeśli odwzorowanie f jest n krotnie różniczkowalne (przy danym n ∈ N) w punkcie x ⁰ , to zachodzi wzór:

f (x ⁰ + h) = f (x ⁰ ) + 1

1! Df (x ⁰ )h + . . . + 1

n! D ⁿ f (x ⁰ )h ⁿ + α(h) gdzie α(h) = o(h ⁿ ), tzn lim _h→0 ^kα(h)k _khk

= 0.

Macierz drugiej pochodnej

Załóżmy, że funkcja rzeczywista f określona w otoczeniu G punktu x ⁰ ∈ R ^k jest dwukrotnie różniczkowalna w tym punkcie oraz oznaczamy a _ij = D _i D _j f (x ⁰ ), (i, j = 1, . . . , k). Niech A : R ^k → R ^k oznacza odwzorowanie liniowe o macierzy (a _ij ). Odwzorowanie to jest syme- tryczne i nazywamy je odwzorowaniem liniowym drugiej pochodnej funkcji f w punkcie x ⁰ a macierz A macierzą tej pochodnej. Mamy:

D ² f (x ⁰ )hh ⁰ = h ^T Ah ⁰ , (h, h ⁰ ∈ R ^k ).

Twierdzenie 1.6 (Warunek konieczny ekstremum lokalnego) Niech G ⊂ R ^k będzie otoczeniem punktu p. Wówczas jeśli funkcja f : G → R przyjmuje w tym punkcie ekstre- mum lokalne oraz istnieje pochodna kierunkowa ^∂f _∂h (p), to jest ona równa zeru; dotyczy to w szczególności pochodnej cząstkowej D _i f (p).

Dowód Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że f ma w punkcie p ekstremum lo- kalne. Załóżmy ponadto, że istnieje w p niezerowa pochodna kierunkowa.Bez straty ogólności załóżmy, że

∂f

∂h (p) > 0. (1)

Z definicji pochodnej kierunkowej oznacza to iż lim t→0

f (p + th) − f (p) t > 0.

Skoro tak, to dla t dostatecznie bliskich 0 (zarówno ujemnych jak i dodatnich) mamy f (p + th) − f (p)

t > 0.

Stąd wynika, że dla t jak wyżej mamy

f (p + th) − f (p) > 0 dla t > 0 oraz f (p + th) − f (p) < 0 dla t < 0 a to przeczy istnieniu ekstremum lokalnego w punkcie p.

 Definicja 1.3 Formą kwadratową B na R ^k nazywamy wielomian

B(x) =

k

X

i=1 k

X

j=1

a _ij x _i x _j , gdzie a _ij = a _ji .

Zauważmy, że symetryczna macierz drugiej pochodnej A zadaje formę kwadratową:

h → h ^T Ah.

Definicja 1.4 Forma kwadratowa B na R ^k jest dodatnio (ujemnie) określona, jeśli B(h) > 0 (B(h) < 0) dla każdego h 6= 0, h ∈ R ^k . Forma jest nieokreślona jeśli przyjmuje zarówno ujemne jak i dodatnie wartości.

Uwaga: nie zapominamy o ważnym narzędziu służącym do badania określoności formy kwadratowej jakim jest Twierdzenie Sylwestera omówione dokładnie na I roku!

Uwaga: wiedząc, że macierz drugiej pochodnej zadaje formę kwadratową możemy mówić o określoności macierzy drugiej pochodnej.

Twierdzenie 1.7 (Warunek wystarczający ekstremum lokalnego) Niech f będzie

funkcją rzeczywistą określoną w otoczeniu G punktu p ∈ R ^k , dwukrotnie różniczkowalną w

tym punkcie, przy czym Df (x ⁰ ) = 0. Wówczas jeśli forma kwadratowa zadana macierzą

drugiej pochodnej jest w p dodatnio (ujemnie) określona, to funkcja f przyjmuje w punkcie

p minimum (maksimum) lokalne. Jeśli forma ta jest nieokreślona to f nie ma ekstremum w

tym punkcie.

Dowód Załóżmy, że f spełnia założenia twierdzenia. Niech B(h) = D ² f hh oznacza formę kwadratową wyznaczoną przez drugą pochodną w punkcie p. Załóżmy, że B jest dodatnio określona, tzn B(h) > 0 dla h 6= 0. Wynika stąd, że dla h 6= 0 mamy

B( h

||h|| ) > 0

Ponieważ dla h 6= 0 wektory _||h|| ^h należą do sfery jednostkowej, która jest zwarta, B jest ciągła, istnieje więc M > 0 takie, że

B( h

||h|| ) > M.

Stąd dla wszystkich h ∈ R ^k mamy B(h) ­ M ||h|| ² . Rozwińmy funkcję f w szereg Taylora rzędu 2 w otoczeniu punktu p, uwzględniając zerowanie się pierwszej pochodnej

f (p + h) = f (p) + 1

2 B(h) + α(h) gdzie α(h) = o(h ² ). Stąd dla dowolnego h ∈ R ^k mamy

f (p + h) − f (p) = 1

2 B(h) + α(h) ­ 1

2 M ||h|| ² + ||h|| ² + α(h)

||h|| ² = ||h|| ² ( M

2 + α(h)

||h|| ² ) > 0 dla ||h|| dostatecznie małego (wynika to z własności α(h)).

 Zadanie Zbadaj ekstrema lokalne f (x, y) = 4xy + ¹ _x + _y ¹ . (Odp: minimum lokalne równe √

³

2

w punkcie (

√ 2 2 ,

√ 2 2 ).)

Ekstrema związane Zajmiemy się teraz zagadnieniem istnienia ekstremów warunkowych (związanych). Przyjmijmy następujące oznaczenia: U ⊂ R ⁿ - zbiór otwarty, f : U → R - funkcja, której ekstremum warunkowe chcemy zbadać.Zakładamy, że f jest klasy C ¹ w otoczeniu pewnego punktu p. Warunek przy którym będziemy badać ekstremum związane określamy jako zbiór M składający się z zer pewnego przekształcenia G : U → R ^l , tzn M = G ⁻¹ (0). Zauważmy że w ten sposób mamy l warunków ograniczających - zakładamy, że l < n. Zakładamy, że p ∈ M - stąd dostaniemy l równań pozwalających odnaleźć punkty w których może istnieć ekstremum warunkowe. Ponadto konieczne jest założenie że

rzDG(p) = l - tzn rząd pochodnej G w p jest maksymalny i równy l. Wówczas prawdziwe jest następujące

Twierdzenie 1.8 (Lusternika) Przy powyższych oznaczeniach i założeniach, jeśli funkcja f ma w punkcie p ekstremum lokalne związane, to istnieje wektor

Λ = [λ ₁ , . . . , λ _l ] ^T taki, że

L(x, Λ) := f (x) − hΛ, G(x)i spełnia

D _i L(p, Λ) = 0

dla i = 1, 2 . . . , n.

Podamy od razu warunek dostateczny istnienia ekstremum związanego. Przyjmiemy oznaczenie D ²   

X L(p, Λ) - oznacza to drugą pochodną odwzorowania L obliczoną jedynie w kierunku przestrzeni X - tzn w macierz drugich pochodnych uwzględniamy jedynie

pochodne po zmiennych x (a nie po λ _i ). KerDG(p) oznacza jądro pochodnej odwzorowania G w punkcie p (czyli zbiór tych wektorów h ∈ R ⁿ na których DG(p) się zeruje.

Twierdzenie 1.9 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum związanego) Zachowujemy powyższe oznaczenia. Niech ponadto spełnione będą założenia Twierdzenia Lusternika oraz zarówno f jak i G są klasy C ² w otoczeniu punktu p. Wówczas jeśli D ²   

X L(p, Λ) jest dodatnio (ujemnie) określona na KerDG(p) to f ma minimum (maksimum) związane w punkcie p.

Dowody ze względu na ich złożoność pomijamy.

Zadanie Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y, x) = xyz na zbiorze

M = {(x, y, z) ∈ R ³ : x + y + z = x ² + y ² + z ² = 1}.