Liczby zespolone

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Liczby Zespolone

ALEKSANDER DENISIUK

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Ćwiczenie 1. Oblicz:

(1) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i), (5+i)(7−6i)3+i ,

(5+i)(3+5i) i , (3−i)(1−4i) 2−i , (2 + i)3+ (2 − i)3,  −12+ √ 3 2 i 3 . (2) (2 + i)(3 + 7i) − (1 + 2i)(5 + 3i), (4 + i)(5 + 3i) − (3 + i)(3 − i), (1+3i)(8−i)(2+i)2 ,

(2+i)(4+i) 1+i , (3 + i)3− (3 − i)3, (1+i)5 (1−i)3,  −12− √ 3 2 i 3 . (3) i77,i98, i−57_.

Ćwiczenie 2. Rozwiąż równania: (1 + i)z + 5_{− 2i = −2 − i,}(7 − i)z + 1 = 7 + i, (1 + 2i)z + 1 − 2i = −i, (3 + i)z + i = 1 − i.

Ćwiczenie 3. Rozwiąż układy równań:

(1) (

(1 + i)z1+ (1 − i)z2= 1 + i,

(1 − i)z1+ (1 + i)z2= 1 + 3i,

(

(1 − i)z1− 3iz2= −i,

3z1− (3 + 3i)z2= 3 − i.

(2) (

iz1+ (1 + i)z2= 2 + 2i, 2iz1+ (3 + 2i)z2= 5 + 3i,

( 2z1− (2 + i)iz2= −i, (4 − 2i)z1− 5z2= −1 − 2i. (3)      x+ iy − 2z = 10, x − y + 2iz = 20, ix_{+ 3iy − (1 + i)z = 30.}

Ćwiczenie 4. Rozwiąż równania:

(1) z2_{= i, z}2_{= 3 − 4i, z}2

− (1 + i)z + 6 + 3i = 0.

(2) z2_{= 5 − 12i, z}2

− 5z + 4 + 10i = 0, z2+ (2i − 7)z + 13 − i = 0.

Ćwiczenie 5. Wskaż na płaszczyźnie punkty, odpowiadające liczbom:_{−4, 3, −3i, 4i, −1 − 2i, 1 − 2i, −1 + 2i, 1 + 2i,}

1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i.

Ćwiczenie 6. Zapisz liczby w postaci trygonometrycznej:

(1) 5, i, −2, 1 + i, −1 −√3i, −√3 + i, 1 +√₃3i.

(2) −3i, 1 − i, 1 +√3i, −1 +√3i, 1 −√3i,√3 + i, −√3 + i, −√3 − i,√3 − i

Ćwiczenie 7. Oblicz: (1) (1 + i)1000_{, (1 + i}√₃₎150_,√3+i 1−i 30 . (2) 1 +√3 2 + i 2 24 , (2 −√2 + i)12_, (−1+i√3)15 (1−i)20 + (−1−i√3)15 (1+i)20 . (3) (1 − i)1000_{, (−1 + i}√₃₎150_{, (}√_{3 + i)}30_,1−i√3 1+i 30 .

Ćwiczenie 8. Oblicz pierwiastki:

(1) √6 i, √6 −i, 4 √ 1,√4 −4, 6 q 2√2(1 − i), √1 + i,3 q4 −72(1 − i √ 3). (2) q4 −_1+i18√ 3, 4 q 7−2i 1+i√2+ 4+14i √ 2+2i− (8 − 2i), 3 q 1−5i

1+i − 51+2i_2−i + 2, 4 q −2+2 √ 3i 2+i√5 − 5 √ 3+i 2√5+5i. (3) √3 1, √4 1, √3 i, 10q 512(1 − i√3), √6 64, √8 16, √6 −27, 4 p 8√3i − 8, 3 √2− 2i.

E-mail address_{: denisjuk@pjwstk.edu.pl}

Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk