Wyk lad 5 Okre´slenie przestrzeni liniowej

Wyk lad 5

Okre´ slenie przestrzeni liniowej

1 Okre´ slenie przestrzeni liniowej

Niech V bedzie niepustym zbiorem, w kt´_, orym okre´slone jest dzia lanie dodawania + : V ×V → V (przy czym dla α, β ∈ V i bedziemy pisali α + β zamiast +((α, β))) i operacja ◦ : R × V −→ V_, mno˙zenia przez elementy z cia la R (przy czym dla a ∈ R oraz α ∈ V bedziemy pisali a ◦ α_, zamiast ◦((a, α))) oraz wyr´o˙zniony jest element θ ∈ V .

Elementy zbioru V bedziemy nazywali wektorami, wektor θ wektorem zerowym, a ele-_, menty cia la R skalarami. U˙zywa´c bedziemy greckich liter do oznaczania wektor´_, ow, a laci´nskich do oznaczania skalar´ow.

Zbi´or V (z dzia laniem +, operacja ◦ mno˙zenia przez skalary z cia la R oraz wyr´o˙znionym_, elementem θ) nazywamy przestrzenia liniow_, a (nad cia lem R), je´sli spe lnione s_, a nast_, epuj_, ace_, warunki (aksjomaty przestrzeni liniowych):

A1. ∀α,β∈V α + β = β + α, tj. dzia lanie + jest przemienne;

A2. ∀_α,β,γ∈V α + (β + γ) = (α + β) + γ, tj. dzia lanie + jest laczne;_, A3. ∀_α∈V α + θ = α, tj. wektor θ jest elementem neutralnym dzia lania +;

A4. ∀α∈V∃_δ∈V α + δ = θ;

A5. ∀_α,β∈V∀_a∈K a ◦ (α + β) = a ◦ α + a ◦ β;

A6. ∀_α∈V∀_a,b∈K (a + b) ◦ α = a ◦ α + b ◦ α;

A7. ∀α∈V∀_a,b∈K (a · b) ◦ α = a ◦ (b ◦ α);

A8. ∀_α∈V 1 ◦ α = α.

2 Przyk lady przestrzeni liniowych

Przyk lad 5.1. Zbi´or jednoelementowy V = {α} z dzia laniem + takim, ˙ze α + α = α oraz wyr´o˙znionym elementem θ = α jest przestrzenia liniow_, a, je˙zeli mno˙zenie ◦ okre´_, slimy wzorem:

a ◦ α = α dla ka˙zdego a ∈ R. Przestrzenie takiej postaci nazywamy zerowymi. 2

Przyk lad 5.2. Niech n bedzie ustalon_, a liczb_, a naturaln_, a i niech R_, ⁿbedzie zbiorem wszystkich_, ciag´_, ow postaci [a₁, a₂, . . . , a_n], gdzie a₁, . . . , a_n∈ R. Dodawanie takich ciag´_, ow i mno˙zenie przez skalary okre´slamy nastepuj_, aco:_,

[a1, a2, . . . , an] + [b1, b2, . . . , bn] = [a1+ b1, a2+ b2, . . . , an+ bn], a ◦ [a₁, a₂, . . . , a_n] = [aa₁, aa₂, . . . , aa_n].

Natomiast wektor zerowy okre´slamy jako θ = [0, 0, . . . , 0]. Latwo sprawdzi´c, ˙ze aksjomaty A1- A8 sa w tym przypadku spe lnione, a wi_, ec zbi´_, or Rⁿz tak okre´slonym dodawaniem i mno˙zeniem przez skalary oraz z wyr´o˙znionym wektorem θ jest przestrzenia liniow_, a. Przestrze´_, n te ozna-_, cza sie przez R_, ⁿ i nazywa n-wymiarowa przestrzeni_, a liniow_, a wsp´_, o lrzednych._, Dla wektora

1

[a1, a2, . . . , an] ∈ Rⁿ element ai dla i = 1, 2, . . . , n nazywamy i-ta wsp´_, o lrzedn_, a lub i-t_, a_, sk ladowa tego wektora. 2_,

Przyk lad 5.3. Oznaczmy przez R^∞ zbi´or wszystkich ciag´_, ow niesko´nczonych [a₁, a₂, . . . ] o wyrazach z cia la R. Dodawanie takich ciag´_, ow i mno˙zenie przez skalary okre´slamy nastepuj_, aco:_,

[a₁, a₂, . . . ] + [b₁, b₂, . . . ] = [a₁+ b₁, a₂+ b₂, . . . ], a ◦ [a1, a2, . . . ] = [aa1, aa2, . . . ].

Natomiast wektor zerowy okre´slamy jako θ = [0, 0, . . . ]. Latwo sprawdzi´c, ˙ze w´owczas aksjomaty A1-A8 te˙z sa spe lnione. Otrzyman_, a w ten spos´_, ob przestrze´n liniowa oznaczamy przez R_, ^∞. 2

Przyk lad 5.4. Zbi´or R[x] wszystkich wielomian´ow zmiennej x o wsp´o lczynnikach rzeczy- wistych ze zwyk lym dodawaniem wielomian´ow i z naturalnym mno˙zeniem wielomian´ow przez liczby rzeczywiste oraz z wyr´o˙znionym elementem θ = 0 jest przestrzenia liniow_, a. Oznaczamy_, ja przez R[x]. 2_,

Przyk lad 5.5. Niech m i n bed_, a ustalonymi liczbami naturalnymi. W´_, owczas zbi´or M_m×n(R) wszystkich m × n-macierzy o wyrazach z cia la R z naturalnym dodawaniem macierzy i mno˙ze- niem przez skalary oraz z wyr´o˙znionym elementem θ = 0_m×ntworzy przestrze´n liniowa. Ozna-_, czamy ja przez M_{, m×n}(R). 2

Przyk lad 5.6. Zbi´or wszystkich r´owna´n liniowych z n niewiadomymi x₁, x₂, . . . , x_n, z na- turalnym dodawaniem r´owna´n stronami i naturalna operacj_, a mno˙zenia r´_, owna´n przez skalary oraz z wektorem θ rozumianym jako r´ownanie 0 · x₁+ 0 · x₂+ . . . + 0 · x_n= 0 jest przestrzenia_, liniowa. 2_,

Przyk lad 5.7. Niech X bedzie dowolnym niepustym zbiorem. Oznaczmy przez R_, ^X zbi´or wszystkich funkcji f : X → R. Dodawanie funkcji z tego zbioru okre´slamy wzorem:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) dla x ∈ X.

Natomiast mno˙zenie przez skalary okre´slamy wzorem:

(a ◦ f )(x) = a · f (x) dla x ∈ X.

Latwo sprawdzi´c, ˙ze w ten spos´ob otrzymujemy przestrze´n liniowa, kt´_, ora oznaczamy przez R_, ^X. 2

2

3 W lasno´ sci dzia la´ n na wektorach

Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a. W´_, owczas W lasno´s´c 5.8. Prawo skracania r´owno´sci:

∀_α,β,γ∈V[α + β = α + γ ⇒ β = γ].

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze α + β = α + γ. Z A4 i z A1 istnieje δ ∈ V takie, ˙ze δ + α = θ. Zatem z A2 mamy, ˙ze (δ + α) + β = (δ + α) + γ, czyli θ + β = θ + γ, a wiec z A3 i A1 β = γ. 2_,

W lasno´s´c 5.9. Dla ka˙zdego wektora α ∈ V istnieje dok ladnie jeden wektor δ ∈ V taki, ˙ze α + δ = θ.

Dow´od. Istnienie takiego wektora δ wynika z A4. Je´sli za´s δ₁ ∈ V jest takie, ˙ze α + δ₁ = θ, to α + δ₁ = α + δ, wiec z w lasno´_, sci 5.8 mamy, ˙ze δ₁= δ. 2

Uwaga 5.10. Wektor δ ∈ V taki, ˙ze α + δ = θ nazywamy wektorem przeciwnym do wektora α i oznaczamy przez −α. Poniewa˙z z A1 (−α) + α = θ, wiec α jest wektorem_, przeciwnym do wektora (−α), czyli mamy wz´or:

−(−α) = α dla ka˙zdego α ∈ V. (1)

Uwaga 5.11. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze suma n wektor´ow z przestrzeni V nie zale˙zy od sposobu rozstawienia nawias´ow. Ponadto z przemienno´sci dodawania wektor´ow wynika, ˙ze suma n wektor´ow nie zale˙zy te˙z od kolejno´sci sk ladnik´ow.

W lasno´s´c 5.12. Dla dowolnych wektor´ow α₁, α₂, . . . , α_n∈ V zachodzi wz´or:

−(α₁+ α₂+ . . . + α_n) = (−α₁) + (−α₂) + . . . + (−α_n). (2) Dow´od. Mamy, ˙ze (α₁+. . .+α_n)+[(−α₁)+. . .+(−α_n)] = (α₁+(−α₁))+. . .+(α_n+(−α_n)) = θ + . . . + θ = θ. Zatem wektor (−α₁) + . . . + (−α_n) jest wektorem przeciwnym do wektora α1+ . . . + αn, skad mamy nasz wz´_, or. 2

W lasno´s´c 5.13. Dla dowolnych wektor´ow α, β ∈ V istnieje dok ladnie jeden wektor γ ∈ V taki, ˙ze α + γ = β. Mianowicie γ = β + (−α). Bedziemy go nazywali r´_, o ˙znica wektor´_, ow α i β i oznaczali przez β − α.

Dow´od. Mamy, ˙ze α + [β + (−α)] = [α + (−α)] + β = θ + β = β. Je˙zeli ponadto γ1 ∈ V jest takie, ˙ze α + γ₁ = β, to α + γ₁ = α + γ, wiec z w lasno´_, sci 5.8 mamy, ˙ze γ₁ = γ. 2

Uwaga 5.14. Oczywi´scie dla dowolnego wektora α ∈ V : α−α = θ, bo α−α = α+(−α) = θ.

W lasno´s´c 5.15. 0 ◦ α = Θ dla dowolnego wektora α ∈ V .

Dow´od. Poniewa˙z 0 = 0 + 0, wiec na mocy A6: 0 ◦ α = (0 + 0) ◦ α = 0 ◦ α + 0 ◦ α. Zatem z_, A3, 0 ◦ α + θ = 0 ◦ α + 0 ◦ α i z w lasno´sci 5.8, θ = 0 ◦ α. 2

W lasno´s´c 5.16. −α = (−1) ◦ α dla dowolnego wektora α ∈ V .

3

Dow´od. Poniewa˙z α = 1 ◦ α na mocy A8, wiec z A6 α + (−1) ◦ α = 1 ◦ α + (−1) ◦ α =_, (1 + (−1)) ◦ α = 0 ◦ α = θ na mocy w lasno´sci 5.15. 2

W lasno´s´c 5.17. a ◦ θ = θ dla ka˙zdego a ∈ R.

Dow´od. Z A3 mamy, ˙ze θ = θ + θ, wiec na mocy A5: a ◦ θ = a ◦ (θ + θ) = a ◦ θ + a ◦ θ, czyli_, na mocy A3, a ◦ θ + θ = a ◦ θ + a ◦ θ, wiec z w lasno´_, sci 5.15, θ = a ◦ θ. 2

W lasno´s´c 5.18. a ◦ α 6= θ dla dowolnych 0 6= a ∈ R, θ 6= α ∈ V .

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze 0 6= a ∈ R, θ 6= α ∈ V i a ◦ α = θ. Wtedy z w lasno´sci 5.17 mamy, ˙ze θ = a⁻¹◦ (a ◦ α) = (a⁻¹· a) ◦ α = 1 ◦ α = α na mocy A7 i A8, skad α = θ i mamy sprzeczno´_, s´c.

2

Uwaga 5.19. Z w lasno´sci 5.15, 5.17 i 5.18 wynika od razu, ˙ze dla dowolnych a ∈ R, α ∈ V : a ◦ α = θ ⇔ [a = 0 lub α = θ].

W lasno´s´c 5.20. (−a) ◦ α = a ◦ (−α) = −(a ◦ α) dla dowolnych a ∈ R, α ∈ V .

Dow´od. Na mocy A6 i w lasno´sci 5.15 mamy, ˙ze (−a) ◦ α + a ◦ α = ((−a) + a) ◦ α = 0 ◦ α = θ, skad (−a)◦α = −(a◦α). Ponadto z A5 i w lasno´_, sci 5.17 a◦(−α)+a◦α = a◦(α+(−α)) = a◦θ = θ, wiec a ◦ (−α) = −(a ◦ α). 2_,

W lasno´s´c 5.21. Dla dowolnego a ∈ R i dla dowolnych wektor´ow α1, α2, . . . , αn∈ V : a ◦ (α₁+ α₂+ . . . + α_n) = a ◦ α₁+ a ◦ α₂+ . . . + a ◦ α_n.

Dow´od. Indukcja wzgledem n. Dla n = 2 teza wynika z A5. Za l´_, o˙zmy teraz, ˙ze teza zachodzi dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 2 i niech α1, . . . , αn, αn+1 ∈ V . Wtedy z za lo˙zenia indukcyjnego

a ◦ (α1+ . . . + αn) = a ◦ α1+ . . . + a ◦ αn.

Zatem na mocy A5 a ◦ (α1+ . . . + αn+ αn+1) = a ◦ ((α1+ . . . + αn) + αn+1) = a ◦ (α1+ . . . + α_n) + a ◦ α_n+1= a ◦ α₁+ . . . + a ◦ α_n+ a ◦ α_n+1, czyli teza zachodzi dla liczby n + 1. 2

Z w lasno´sci 5.21 i z A7 wynika od razu

W lasno´s´c 5.22. Dla dowolnych a, a₁, . . . , a_n∈ R, α1, . . . , α_n∈ V :

a ◦ (a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n) = (a · a1) ◦ α1+ . . . + (a · an) ◦ αn.

Uwaga 5.23. Z udowodnionych w lasno´sci dzia la´n na wektorach mo˙zna latwo wyprowadzi´c nastepuj_, ace prawa rachunkowe dotycz_, ace odejmowania wektor´_, ow:

α − (β + γ) = (α − β) − γ, α − (β − γ) = (α − β) + γ,

−(α + β) = (−α) − β, −(α − β) = (−α) + β, a ◦ (α − β) = a ◦ α − a ◦ β, (a − b) ◦ α = a ◦ α − b ◦ β,

(−a) ◦ (−α) = a ◦ α.

4