Brzegowa zasada Harnacka dla funkcji harmonicznych na podzbiorach R 3 o gªadkich

Brzegowa zasada Harnacka dla funkcji harmonicznych na podzbiorach R ³ o gªadkich

brzegach

Mateusz Kwa±nicki 2 lipca 2008

Poni»sza notatka jest krótkim, elementarnym dowodem brzegowej zasady Harnacka dla nieujemnych funkcji harmonicznych na zbiorach posiadaj¡cych wªasno±¢ kuli zewn¦trznej i wewn¦trznej.

1. Zbiory gªadkie. B¦dziemy zawsze zakªadali, »e D jest otwartym i spój- nym podzbiorem R³ o nast¦puj¡cej wªasno±ci: dla pewnej liczby ρ > 0 i ka»- dego punktu z ∈ ∂D istniej¡ kule Bz = B(p_z, ρ) ⊂ D i B^z = B(p^z, ρ) ⊂ D^c, których brzegi zawieraj¡ z. Takie zbiory cz¦sto okre±la si¦ mianem zbiorów klasy C^1,1. Dla x ∈ D oznaczamy przez zx pewien punkt na ∂D najbli»szy x. Ponadto okre±lamy δ(x) = |x − zx|. Przez f b¦dziemy zawsze oznaczali nieujemn¡ funkcj¦ ci¡gª¡ na D i harmoniczn¡ w D.

2. Funkcja Greena i j¡dro Poissona. Funkcja Greena GD(x, y)to, przy ustalonym x ∈ D, ci¡gªa funkcja zmiennej y ∈ ¯D \ {x} równa zero na ∂D i speªniaj¡ca warunek R_DG_D(x, y)∆f (y)dy = −f (x) dla f ∈ Cc^∞(D). Jest to symetryczna funkcja harmoniczna ze wzgl¦du na ka»d¡ ze wspóªrz¦dnych.

J¡dro Poissona PD(x, y) to, przy ustalonym x ∈ D, ci¡gªa funkcja y ∈

∂D zdeniowana jako pochodna funkcji Greena w (wewn¦trznym) kierunku normalnym do ∂D. Je±li f jest ci¡gª¡ funkcj¡ na ∂D, to po rozszerzeniu f na D wedªug wzoru f(x) = R_∂DP_D(x, y)f (y)σ(dy), gdzie σ jest miar¡

powierzchniow¡, otrzymamy funkcj¦ ci¡gª¡ na ¯D i harmoniczn¡ na D.

Funkcja Greena jest rosn¡c¡ funkcj¡ zbioru. St¡d wynika te» analogiczna wªasno±¢ dla j¡dra Poissona na cz¦±ci wspólnej brzegów. Zachodzi ponadto G_D(x, y) ≤ 1/(π |x − y|).

1

Dla kuli D = B(0, r) mamy:

G_D(x, y) = 1

π |x − y|− |x|²|y|² π

|y|³x − |x|³y 

, and PD(x, y) = r²− |x|² 4π |x − y|³ .

3. Zasada Harnacka. Je±li K ⊂ D jest spójnym zbiorem zwartym, to dla pewnej staªej c > 0 zale»nej od K i D zachodzi:

P_D(x₁, y) ≤ cP_D(x₂, y)

dla wszystkich x1, x₂ ∈ K, y ∈ ∂D. W istocie, wpierw na mocy wzoru na j¡dro Poissona kuli stwierdzamy, »e kule domkni¦te zawarte w D maj¡ t¦

wªasno±¢, a nast¦pnie pokrywamy K sko«czon¡ liczb¡ takich kul.

4. Zasada Harnacka dla kuli. Wobec wzoru na j¡dro Poissona kuli B(z, ρ), dla x ∈ D takiego, »e δ(x) < ρ, z = zx i y ∈ ∂D:

P_D(x, y) ≥



1 − (ρ − δ(x))² ρ²



P_D(p_z, y) .

5. Oszacowanie j¡dra Poissona. Niech D = B(0, r) \ ¯B(0, ρ). Funkcja f (x) = 1/ρ − 1/ |x| jest harmoniczna na D i ci¡gªa na ¯D, a wi¦c:

r − ρr |x|⁻¹ r − ρ =

Z

∂B(0,r)

PD(x, y)σ(dy) .

6. Oszacowanie funkcji Greena. Niech p, q ∈ R³ oraz r ≤ |p − q|/3.

Zaªó»my, »e r > ρ i okre±lmy D = ( ¯B(p, ρ) ∪ ¯B(q, ρ))^c. Niech x, y ∈ D, x ∈ B(p, r)i y ∈ B(q, r), i niech D1 = B(p, r)\ ¯B(p, ρ), D2 = B(q, r)\ ¯B(q, ρ). Zachodzi:

G_D(x, y) = Z

∂B(p,r)

Z

∂B(q,r)

G_D(ξ, η)P_D1(x, ξ)P_D2(y, η)dηdξ .

Korzystaj¡c z oszacowania j¡dra Poissona, nierówno±ci |ξ − η| ≥ r oraz G_D(ξ, η) ≤ 1/(π |ξ − η|), otrzymujemy:

G_D(x, y) ≤ 1

πr· r − ρr |x − p|⁻¹

r − ρ · r − ρr |y − p|⁻¹ r − ρ . 2

7. Brzegowa zasada Harnacka. Niech F b¦dzie spójnym zbiorem zwartym zawartym w otwartym zbiorze G. Niech D b¦dzie spójnym zbiorem otwartym o wªasno±ci kuli wewn¦trznej i zewn¦trznej z promieniem ρ. Niech f, g b¦d¡ nieujemnymi funkcjami harmonicznymi na D i ci¡gªymi na ¯D, i niech ponadto f(z) = g(z) = 0 dla z ∈ G ∩ ∂D. Wówczas istnieje staªa c > 0 zale»na tylko do D, F i G taka, »e dla wszystkich x, y ∈ F ∩ D:

f (x)

g(x) ≤ cf (y) g(y).

Dowód. Oznaczmy K = {x ∈ D : δ(x) ≥ ρ}. Niech 5r b¦dzie odlegªo±ci¡

pomi¦dzy F i G^c. Mo»emy bez straty ogólno±ci zaªo»y¢, »e 4ρ ≤ r. Niech x, y ∈ D \ K, |x − y| ≥ 4r. Niech p = p^zx, q = p^zy. Wówczas |p − q| ≥ 3r.

Na mocy oszacowania funkcji Greena i zawierania D ⊂ ( ¯B^zx∪ ¯B^zy)^c: GD(x, y) ≤ 1

πr ·r − ρr(ρ + δ(x))⁻¹

r − ρ · r − ρr(ρ + δ(y))⁻¹ r − ρ

= rδ(x)δ(y)

(r − ρ)²(ρ + δ(x))(ρ + δ(y)). Obliczaj¡c pochodn¡ przy y → z ∈ ∂D otrzymujemy:

P_D(x, z) ≤ rδ(x) ρ²(r − ρ)²

dla wszystkich x ∈ D \ K, z ∈ ∂D takich, »e |x − z| ≥ 5r. Z drugiej strony zasada Harnacka dla kuli daje:

P_D(x, z) ≥ δ(x) ρ · inf

K×∂DP_D.

Zauwa»my, »e PD jest ci¡gª¡, dodatni¡ funkcj¡, a wi¦c inf

K×∂DP_D > 0.

Poniewa» dla x, y ∈ (D \ K) ∩ F oraz z ∈ ∂D \ G zachodzi |x − z| ≥ 5r,

|y − z| ≥ 5r, wi¦c:

f (x) f (y) =

R

∂D\GP_D(x, z)f (z)σ(dz) R

∂D\GP_D(y, z)f (z)σ(dz) ≤ cδ(x) δ(y)

ze staª¡ c zale»n¡ od D, F i G. Na mocy zasady Harnacka powy»sza nie- równo±¢ zachodzi tak»e w K ∩ F ze staª¡ zale»n¡ od D i K. To dowodzi tezy.

3