Uwagi o zbiorach miary zero i o różniczkowalności funkcji monofonicznych

E.

(Wroclaw)

Uwagi o zbiorach miary zero i o różniczkowalności funkcji monofonicznych

Jest to fragment referatu wygłoszonego 30 grudnia 1962 r. na przeglądzie pu­

blikacji, urządzonym przez Instytut Matematyczny Uniwersytetu im. Bolesława Bieruta i Katedrę Matematyki Politechniki Wrocławskiej.

Jedną z najlepszych książek matematycznych, jakie ukazały się w ostatnich latach, jest z pewnością dzieło znakomitego matematyka węgierskiego F. B ie s z ą i jego ucznia B. Sz.-N agy’ego, poświęcone funkcjom rzeczywistym i analizie funkcjonalnej [3]. Nota niniejsza, to tylko uwagi na marginesie tej pięknej książki, ściślej mówiąc, jej stro­

nic początkowych.

1. Na czoło pierwszego rozdziału książki, który traktuje o różnicz­

kowaniu, wysunięte jest pojęcie zbiorów miary zero (oczywiście: miary Lebesgue’a). Zbiór położony na prostej jest miary zero, gdy do każdej liczby dodatniej można znaleźó pokrycie tego zbioru ciągiem (przeli­

czalnym) przedziałów, których długości tworzą szereg o sumie mniej­

szej od tej liczby.

Zaraz po definicji podają autorzy łatwy do udowodnienia, a bardzo interesujący warunek konieczny i dostateczny:

(*) Zbiór N jest miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg przedzia­

łów, których długości tworzą szereg zbieżny, a które tak pokrywają zbiór JSf, że każdy jego punkt należy do nieskończenie wielu spośród tych przedziałówx).

Waiunek ten przydaje się autorom do dyskusji podstawowego twier­

dzenia Lebesgue’a, orzekającego, że każda funkcja monofoniczna jest różniczkcwalna (to znaczy: ma skończoną pochodną) prawie wszędzie (to znaczy, że zbiór punktów, w których nie jest różniczkowalna, jest miary zero).

*) Riesz i N a g y [3], str. 5.

142 E. Marczewski

Twierdzenie to bywa zwykle dowodzone za pośrednictwem mocnych twierdzeń o mierze lub całce Lebesgue’a 2 3 ). Biesz udowodnił je elemen­

tarnie w 1932 roku i obecnie dowód ten reprodukuje w książce 8).

2. Kasuwa się oczywiście zagadnienie, czy twierdzenia Lebesgue’a nie można by wzmocnić, czy zatem wielkość zbioru punktów nieróżnicz- kowalności funkcji monotonicznej nie mogłaby być oszacowana jeszcze ostrzej % I oto właśnie za pomocą zacytowanego przed chwilą warunku koniecznego i dostatecznego autorzy dają negatywną odpowiedź na to pytanie, udowadniając łatwo następujące

Tw i e r d z e n i e 1 .

Do każdego zbioru N miary zero istnieje niemałe

jąca funkcja ciągła, która w żadnym punkcie zbioru N nie jest różniczko- walna4). «

Dla dowodu wystarczy pokryć zbiór N ciągiem przedziałów { 4 ) tak, jak wymaga tego warunek (*), a następnie oznaczyć przez f(so) sumę długości przedziałów I n lub ich części znajdujących się na lewo od %;

mówiąc ściślej, oznaczamy przez fn(x) długość części wspólnej półprostej ( —oo,a?) i przedziału I n, a następnie przyjmujemy /(# )= = /i(# )+ /a( # )+ ...

Dowodzi się łatwo, że f ( x ) =

dla każdego % należącego do N i że f jest funkcją ciągłą.

3. Każda funkcja monotoniczna ma, jak wiadomo w każdym punk­

cie granicę lewostronną f ( x —0) i prawostronną f(oo-J-0). Bóżnica f(os-j-0) —

—/(#?—0) nazywa się skokiem funkcji f w punkcie x. Funkcja monotoniczna / nazywa się funkcją skoków, gdy — z grubsza mówiąc — przyrosty jej od punktu do punktu są równe sumie skoków między tymi punktami, lub — mówiąc ściśle — gdy

f(b — 0) — f(a -f- 0) = lf(cs -{- 0) — f(oo — 0)] dla a < b .

a < x < b

(Sumę z prawej strony należy oczywiście rozumieć jako sumę tych skład­

ników, które są różne od zera, a jest ich tylko ilość przeliczalna.) Wśród funkcji monotonicznych funkcje skoków są niejako przeciwstawieniem funkcji ciągłych.

L em a t. Do każdego ciągu różnych liczb {%n} i każdego ciągu liczb do­

datnich |sn} o sumie skończonej istnieje niemalejąca funkcja skoków /,

2) Początkowo Ł e b e s g u e udowadniał to twierdzenie, jako jedno z końcowych wyników swej teorii całki [1]. Obecnie dowodzi się go zazwyczaj za pomocą twierdze­

nia Yitaliego o pokrywaniu; czyni tak np. N a t a n s o n [2], str. 186. Elementarny dowód Riesza przydatny jest tylko dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej; w do­

wodzie analogicznego twierdzenia dla wielu zmiennych rola twierdzenia Vitaliego jest istotna. Por. S a k s [4], str. 70.

3) R ie s z i N a g y [3], str. 6-9.

4) R ie s z i N a g y [3], str. 6.

Uwagi o zbiorach miary zero

letóra ma w każdym z punktów xn skok sn, a w każdym innym punkcie jest ciągła 5).

Dla dowodu wystarczy przyjąć

Udowodnię obecnie analogon twierdzenia 1 dla funkcji skoków:

Tw i e r d z e n ie 2.

Dla każdego zbioru N miary zero istnieje niemale- jąca funkcja skoków, która w żadnym punkcie zbioru N nie jest różniczko- walna.

Ponieważ N jest miary zero, więc dla każdej liczby naturalnej к istnieje ciąg przedziałów otwartych J*, ! § , .. . pokrywający zbiór N, któ­

rych długości d\,d\,... spełniają warunek

Oczywiście można przedziały te tak dobrać, żeby wszystkie ich prawe końce bn (n—1 , 2 , . . . ; & = 1 ,2 ,...) były różne.

Na mocy lematu istnieje niemalejąca funkcja skoków /, która w każ­

dym punkcie ma skok równy iЫ*, ponieważ

Jeżeli x e j\r, to dla każdego naturalnego k istnieje takie n, że x e l k n.

czyU x < b k < x + dk n. Wynika stąd, że

Z nierówności dk < 1 [k3 wynika już teraz, że w punkcie x funkcja / nie ma skończonej pochodnej, c. b. d. o.

Zagadnienia omówione w tej nocie dotyczą tylko wielkości (z punktu widzenia miary) zbioru punktów nieróżniczkowalności funkcji. W pracach różnych autorów, zwłaszcza Z. Z a h o r s k ie g o , traktowane jest znacznie trudniejsze zagadnienie pełnej charakterystyki tego zbioru dla różnych klas funkcji. W szczególności Zahorski wykazał ([5], str. 508), że na

s) Por. książkę R ie s z a i N a g y 'eg o [3], str. 14-16, gdzie sprawa ta jest ujęta bardziej szczegółowo.

/(*) = Z - v

/(* + <£) - m > f(bl + 0) - f { b l - 0) = Ml ,

czyli

E. Marczewski

to, by zb iór-# był zbiorem wszystkich punktów nieróżniczkowalności funkcji monofonicznej, potrzeba i wystarcza, by był on zbiorem typu G8a miary zero.

144

Prace cytowane

[1] H. L e b e s g u e , Leęons sur V integration et la recherche des fonctiom prim i­

tives, Paris 1904.

[2] И. П. Н а т а н с о н , Теория функций вещественной переменной, Москва Ленинград 1950.

[3] F. R ie s z et В . Sz. - N a g y , Leęons d’analyse fonctionnelle, Budapest 1952.

[4] S. S a k s, Zarys teorii całki, Warszawa 1930.

[5] 3 . З а г о р с к и й , О множестве точек недифференцируемости непре­

рывной функции, Математический сборник 9 (1941), str. 4 8 7 -5 1 0 .

INSTYTU T M ATEMATYCZNY U N IW E R S Y T E TU W ROCŁAW SKIEGO IM. BOLESŁAW A BIERUTA

3. МАРЧЕВСКИЙ (Вроцлав)

П Р И М Е Ч А Н И Я О М Н О Ж Е С Т В А Х МЕРЫ Н УЛ Ь И О Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р У Е М О С Т И М О Н О Т О Н Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й

РЕЗЮМЕ •

Примечания о множестве точек недифференцируемости монотонной функ­

ции; в частности доказательство следующей теоремы:

ТЕОРЕМА. Дл я каждого линейного множества N меры нуль существует монотонная функция скачков, недифференцируемая ни в одной точке множества N.

Е. Ma r c z e w s k i (Wroclaw)

R E M A R K S ON SETS OP M E A SU R E ZERO A N D TH E D E R IV A B IL 1 T У OF M O N O TO N IC FU N CTIO N S

S UMMARY

Remarks on the set of points of non-derivability of a monotonie function;

in particular a proof of the following

Th e o r e m. F or every linear set N of measure zero there exists a purely disconti­

nuous monotonie function which is non derivable at every point belonging to N .