Funkcje analityczne
Wykład 10. Indeks punktu względem krzywej. Formuła Cauchy’ego
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Plan wykładu
W czasie wykładu omawiać będziemy
| indeks krzywej względem punktu
| formułę Cauchy’ego dla zbioru wypukłego
| holomorficzność versus analityczność funkcji zespolonych
1. Indeks punktu względem krzywej
Indeks punktu względem krzywej: definicja
Niech Γ = (γ, γ([a, b])) będzie krzywą zamkniętą, A = C\γ([a, b]). Funkcję z 7→ IndΓ(z) daną wzorem
IndΓ(z) := 1 2πi
Z
γ
1
ξ − zdξ z ∈ A nazywamy indeksem krzywej γ względem punktu z.
Indeks krzywej względem punktu: zasadnicze twierdzenie
Twierdzenie 1. Niech Γ = (γ, γ([a, b])) będzie krzywą zamkniętą, A = C \ γ([a, b]). Funkcja Ind
IndΓ(z) := 1 2πi
Z
γ
1
ξ − z dξ z ∈ A spełnia następujące warunki:
| przyjmuje wartości całkowite
| jest funkcją stałą na składowych spójności zbioru A,
| na składowej nieograniczonej ma wartość zero.
Indeks punktu względem krzywej: mniej formalnie
Indeks punktu względem krzywej (ang. winding number, dosłownie liczba nakręceń) „mówi” nam ile razy krzywa okrążała dany punkt (uwzględnia przy tym orientację).
W poniższym przykładzie:
IndΓ(z1) = 2 IndΓ(z2) = 1 IndΓ(z3) = 0.
z1
z3 z2
Γ
1
2. Formuła Cauchy’ego dla zbioru wypukłego
Formuła Cauchy’ego dla zbioru wypukłego
Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że Γ = (γ, γ([a, b])) jest zamkniętą krzywą w zbiorze wypukłym i otwartym A oraz f ∈ H(A). Jeśli z ∈ A oraz z 6∈ γ([a, b]), to
f (z) IndΓ(z) = 1 2πi
Z
Γ
f (ξ) ξ − z dξ.
Formuła Cauchy’ego dla zbioru wypukłego: ilustracja
Rozważmy funkcję f holomorficzną w zbiorze {z ∈ C : |z| < 2} oraz krzywą C będącą okręgiem jednostkowym zorientowanym dodatnio.
Wówczas jeśli |z| < 1, to
IndC(z) = 1.
Stąd
f (z) = 1 2πi
Z
C
f (ξ) ξ − zdξ
z
ξ ∈ C
Szeregi potęgowe i szeregi Taylora
Przypomnijmy, że szeregiem potęgowym o środku w z0∈ C nazywamy wyrażenie
∞
X
n=0
an(z − z0)n ai∈ C, i = 0, 1, . . .
Każdy szereg potęgowy zbieżny jest w punkcie z0, poza tym jeśli jest gdzieś zbieżny, to zbieżny jest w tzw. kole zbieżności |z − z0| < r, r ∈ [0, ∞].
Szereg potęgowy nazywamy szeregiem Taylora jeśli istnieje funkcja f nieskończenie wiele razy róż- niczkowalna i taka, że
an=f(n)(z0)
n! n = 0, 1, . . .
Każda funkcja analityczna jest holomorficzna
Na wykładzie piątym udowodniliśmy fakt, że jeśli funkcja jest analityczna (tzn. rozwija się w szereg potęgowy), to jest holomorficzna (tzn. ma pochodną zespoloną).
Twierdzenie 3. Niech f (z) = P∞
n=0an(z − z0)n, gdzie |z − zo| < R, a R jest promieniem zbieżności tego szeregu. Wówczas
| f jest różniczkowalna w każdym punkcie dysku |z − z0| < R
|
f0(z) =
∞
X
n=1
nan(z − z0)n−1 |z − zo| < R.
2
Formuła Cauchy’ego dla zbioru wypukłego: wniosek
Twierdzenie 4. Niech A ⊂ C będzie obszarem. Jeśli f ∈ H(A), to f rozwija się w szereg potęgowy w A.
Formuła Cauchy’ego dla zbioru wypukłego: wniosek
Wniosek 1. Jeśli f ∈ H(A), to f0 ∈ H(A). W szczególności funkcja holomorficzna jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy.
Formuła Cauchy’ego dla zbioru wypukłego: wniosek
Wniosek 2. Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f ∈ H(A). Wówczas
f(n)(z) = n!
2πi Z
Γ
f (ξ)
(ξ − z)n+1dξ n = 0, 1, . . . ,
gdzie Γ = (γ, γ([a, b]) jest dowolną krzywą zamkniętą zawierającą w swoim wnętrzu punkt z oraz γ([a, b]) ⊂ A.
Nierówność Cauchy’ego
Twierdzenie 5. Niech A ⊂ C będzie obszarem zawierającym dodatnio zorientowany okrąg C o środku w z i promieniu r > 0. Jeśli f ∈ H(A), to
|f(n)(z)| ¬ n!M rn , gdzie M := sup = supξ∈C|f (ξ)|
3. Zadania na ćwiczenia
1. Obliczyć
Z
|z|=2
ez z dz.
2. Obliczyć
Z
C
cos z z2+ 4dz, przy czym C jest krzywą zadaną równaniem x2+ y2− 4y = 0.
3. Obliczyć
Z
|z−1|=2
eiπz z3(z − 1)dz.
4. Obliczyć
Z
|z−i|=5
eπz (z − 1)4dz.
5. Obliczyć
Z
|z−1|=1
sin z
(z − 1)2(z + 2idz.
3
