Funkcje analityczne Wykład 9. Twierdzenia Cauchy’ego

Funkcje analityczne

Wykład 9. Twierdzenia Cauchy’ego

Paweł Mleczko

Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Plan wykładu

W czasie wykładu omawiać będziemy twierdzenie Cauchy’ego o trójkącie

1. Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta

Zorientowany trójkąt

Niech (a, b, c) będzie trójką liczb zespolonych (nie leżących na jednej prostej). Za brzeg ∂4 trójkąta 4 (o dodatniej orientacji) uznawać będziemy sumę odcinków [a, b], [b, c], [c, a].

a

b c

Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta

Twierdzenie 1. Przypuśćmy, że 4 ⊂ A jest trójkątem, natomiast A – zbiorem otwartym. Niech p ∈ A, f : A → C będzie funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}). Wówczas

Z

∂4

f (z) dz = 0.

Twierdzenie Cauchy’ego dla zbioru wypukłego

Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że A jest zbiorem otwartym i wypukłym, p ∈ A, f : A → C jest funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}. Istnieje wówczas funkcja F ∈ H(A), dla której f = F⁰ i w konsekwencji

Z

Γ

f (z) dz = 0 dla dowolnej krzywej zamkniętej w A.

1

2. Twierdzenie Morera

Twierdzenie Morera – twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cauchy’ego

Twierdzenie 3. Przypuśćmy, że f : A → C, gdzie A ⊂ C jest obszarem. Jeśli f jest ciągłą oraz dla dowolnego trójkąta 4 ⊂ A zachodzi warunek

Z

∂4

f (z) dz = 0,

to f ∈ H(A).

3. Zadania na ćwiczenia

1. Obliczyć

Z

C

√z dz,

gdzie C jest półokręgiem o orientacji od punktu 1 do −1, a√

z jest gałęzią główną pierwiastka.

2. Niech f będzie ciągłą w pewnym otoczeniu 0. Uzasadnić, że

lim

r→0⁺

Z

C_r

f (z)

z dz = 2πif (0),

gdzie Cr jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w 0 i promieniu r.

3. Niech Ω ⊂ C będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu ∂Ω. Uzasadnić, że Z

∂Ω

z dz = 2i|Ω|,

gdzie |Ω| oznacza pole obszaru Ω, a krzywa ∂Ω ma dodatnią orientację.

2