Funkcje analityczne
Wykład 9. Twierdzenia Cauchy’ego
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Plan wykładu
W czasie wykładu omawiać będziemy twierdzenie Cauchy’ego o trójkącie
Poprzedni wykład: twierdzenie o funkcji pierwotnej
Twierdzenie 1. Niech G ⊂ C będzie obszarem, f : G → C funkcją ciągłą. Funkcja f ma funkcję pier- wotną w zbiorze G wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej krzywej regularnej zamkniętej Γ zawartej w G zachodzi równość
Z
Γ
f (z) dz = 0.
Wniosek 1. Niech G ⊂ C będzie obszarem. Jeśli Γ jest dowolną zamkniętą krzywą regularną w G, to Z
Γ
(z − z0)ndz = 0 n 6= −1.
1. Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta
Zorientowany trójkąt
Niech (a, b, c) będzie trójką liczb zespolonych (nie leżących na jednej prostej). Za brzeg ∂4 trójkąta 4 (o dodatniej orientacji) uznawać będziemy sumę odcinków [a, b], [b, c], [c, a].
a
b c
Twierdzenie Cauchy’ego dla trójkąta
Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że 4 ⊂ A jest trójkątem, natomiast A – zbiorem otwartym. Niech p ∈ A, f : A → C będzie funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}). Wówczas
Z
∂4
f (z) dz = 0.
Twierdzenie Cauchy’ego dla zbioru wypukłego
1
Twierdzenie 3. Przypuśćmy, że A jest zbiorem otwartym i wypukłym, p ∈ A, f : A → C jest funkcją ciągłą oraz f ∈ H(A \ {p}. Istnieje wówczas funkcja F ∈ H(A), dla której f = F0 i w konsekwencji
Z
Γ
f (z) dz = 0 dla dowolnej krzywej zamkniętej w A.
2. Twierdzenie Morera
Twierdzenie Morera – twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cauchy’ego
Twierdzenie 4. Przypuśćmy, że f : A → C, gdzie A ⊂ C jest obszarem. Jeśli f jest ciągłą oraz dla dowolnego trójkąta 4 ⊂ A zachodzi warunek
Z
∂4
f (z) dz = 0,
to f ∈ H(A).
3. Zadania na ćwiczenia
1. Obliczyć
Z
C
√z dz,
gdzie C jest półokręgiem o orientacji od punktu 1 do −1, a√
z jest gałęzią główną pierwiastka.
2. Niech f będzie ciągłą w pewnym otoczeniu 0. Uzasadnić, że
lim
r→0+
Z
Cr
f (z)
z dz = 2πif (0),
gdzie Cr jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w 0 i promieniu r.
3. Niech Ω ⊂ C będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu ∂Ω. Uzasadnić, że Z
∂Ω
z dz = 2i|Ω|,
gdzie |Ω| oznacza pole obszaru Ω, a krzywa ∂Ω ma dodatnią orientację.
2
![TWIERDZENIE O ALTERNANSIE Niech X = C([a, b]), gdzie −∞ < a < b < +∞, będzie przestrzenią funkcji ciągłych określonych na odcinku [a, b] z normą kfk = kfk](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)