Trudności epistemologiczne związane z pojęciami: pary uporządkowanej i funkcji

S E R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 24(2002)

Zbigniew Semadeni

Trudności epistemologiczne związane

z pojęciami: pary uporządkowanej i funkcji

1. W s t ę p . Celem tej pracy* jest pokazanie poważnych trudności definicyj­ nych związanych z pojęciem pary uporządkowanej oraz trudności dotyczących pojęcia funkcji. Wskażemy też na uniki, czynione przez matematyków, aby za­ chować postulowany ideał ścisłości. Wszystko to z kolei ma istotne znaczenie dla kształcenia matematycznego, bowiem pewne t r u d n o ś c i ni e z o s t a ł y p r z e z w y c i ę ż o n e , przesunęły się jedynie w inne miejsce. W szczególności analizujemy lansowany w okresie reform „nowej matematyki” sposób określa­ nia pojęcia funkcji za pom ocą par uporządkowanych, pokazując, że nie usuwa to (ani nawet nie zmniejsza) trudności uczniów, a za to pojawiają się nowe problemy.

Pojęcia: pary i funkcji będziemy analizować, zgodnie z postulatami wy­ suwanymi w (Freudenthal, 1985; Piaget i Garcia, 1989; Sierpińska i Lerman, 1996), zarówno z perspektywy synchronicznej, zestawiając je z innymi poję­ ciami współczesnej matematyki, jak i diachronicznej, tj. z bardzo pouczającej perspektywy ich rozwoju historycznego.

(...) stadia konstruowania się rozmaitych form wiedzy są w rzeczywistości sekwencyjne — tak, że każde stadium jest zarazem wynikiem możliwości otwartych przez poprzedzające stadium, jak i koniecznym warunkiem dla następnego.

(...) nawet na najwyższych poziomach [wiedzy] istnieje integracja pewnych asocjacji, których naturę można wyjaśnić jedynie przez analizę wczesnych etapów (Piaget i Garcia, 1989, s. 2).

Jednym z celów historycznej części tej pracy jest próba szukania odpowie­ dzi na dwa pytania:

1° Kiedy i w jaki sposób w rozwoju historycznym nastąpiło stopniowe przejście od ujmowania funkcji jedynie jako p r o c e s u do bardziej dojrzałego

traktowania funkcji jako obiektu (Sfard, 1991) lub jako proceptu (Gray i Tali, 1994), tj. do funkcji rozumianej zarówno jako p r o c e s , jak i jako o b i e k t będący p r o d u k t e m tego procesu oraz do elastycznego, zależnego od sytu­ acji, przechodzenia od jednego do drugiego ujęcia?

2° Czy był jakiś związek między przejściem od funkcji-procesu do funkcji- obiektu a określeniem pojęcia funkcji w terminach par uporządkowanych?

Dokładniejsza odpowiedź na 1° wymagałaby głębszych studiów historycz­ nych, nie ulega jednak wątpliwości, że pojęcie funkcji jako obiektu dojrzało w okresie między pracami Fouriera a pracami Weierstrassa, na kilkadziesiąt lat przed pracą Peano, choć nie wykluczone są wcześniejsze, pojedyncze przejawy takiego ujmowania już w XVIII wieku.

W dalszej części pracy dyskutujemy implikacje dydaktyczne prowadzonych rozważań.

2. P o ję c ie p a ry u p o rzą d k o w a n e j. Para uporządkowana jest (od czasu wprowadzenia przez Kartezjusza metody geometrii analitycznej) jednym z klu­ czowych pojęć matematycznych. Jednakże dopiero w XX wieku, w ramach programu uściślania całej matematyki i stopniowego opierania jej na teorii mnogości, powstał problem zdefiniowania pojęcia pary (ściślej: skonstruowa­ nia go w języku teorii mnogości).

2.1. Hausdorff, w swym dziele (1914), po wzmiance o możliwości tworzenia symetrycznych par {a, b} = {6, a }, w których a i b są dowolnymi elementami, przeszedł do analizowania sytuacji niesymetrycznej, w której jeden z tych ele­ mentów ma pierwszeństwo. Pisał, że parę uporządkowaną p = (a, b) odróżnia się od odwrotnie uporządkowanej pary p* = (b,a). Dwie takie pary p = (a ,6) i p' = (a',b') uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = a' i b = b'. Jako przykłady par uporządkowanych Hausdorff podał podwójny wskaźnik (i, j ) , którym oznacza się elementy wyznacznika oraz współrzędne (x , y ) punk­ tu w układzie współrzędnych. Szczególnie ważna jest opinia następująca:

To pojęcie jest więc fundamentalne w matematyce; z psychologicznego punktu widzenia uporządkowany, niesymetryczny związek dwóch rzeczy jest nawet pierwotniejszy niż nieuporządkowany, symetryczny, kolektyw­ ny. Myślenie, mowa, czytanie i pisanie są powiązane z następstwem czaso­ wym. Wyraz jest czymś wcześniejszym niż zbiór jego liter, para uporząd­ kowana (a, b) jest wcześniejsza od nieuporządkowanej {a, 6} (Hausdorff, 1914, s. 32).

z a, ani z 6; wówczas definiuje on parę uporządkowaną wzorem (1) ( a , b ) = { { a , 1 } , { 6 , 2 } }

i stwierdza, że spełniony jest podstawowy warunek wymagany od par upo­ rządkowanych, a mianowicie wymieniony już powyżej warunek równości par: (2) (a, b) = (a', b') wtedy i tylko wtedy, gdy a = a! i b = b1.

Innymi słowy, para uporządkowana (a, b) różni się od dwuelementowego zbioru {a, b} tym, że para (a, 6) musi jednoznacznie determinować zarówno swój pierwszy element a, jak i element b będący na drugim miejscu pary.

Jest to jedyny warunek [który ma spełniać para uporządkowana], przy czym istnieją rozmaite sztuczne sposoby interpretowania par jako klas spełniających ten warunek (Quine, 1998, s. 92).

Definicja HausdorfFa (1) spełnia warunek (2), ma jednak zasadniczą wadę: za a i b nie można przyjąć żadnego z tych dwóch specjalnie wybranych elemen­ tów 1 i 2. Taka definicja pary wystarczała na potrzeby owej książki, ale była kłopotliwa przy aksjomatycznym ujęciu teorii mnogości, a co gorsza, gdyby chcieć używać jej np. przy określaniu współrzędnych punktów, symbole 1 i 2 trzeba by oczywiście zastąpić innymi.

2.2. Drugą definicję, również mającą postulowane wyżej własności (choć bardziej sztuczną) podał Wiener (1914, s. 225, por. Ferreirós, 1999, s. 349), a mianowicie

(3)

(a,b)

Kuratowski (1921) udowodnił twierdzenie następujące: jeśli A jest dowol­ nym zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację to istnieją: rodzina

X pozbiorów zbioru A częściowo uporządkowana przez relację inkluzji C oraz

bijekcja ip : A —> X taka, że a ^ b dla a,b € A wtedy i tylko wtedy, gdy

* Definicja Wienera została tu przedstawiona we współczesnej symbolice. W oryginalnej pracy (Wiener, 1914) stosowana jest symbolika z P r in c ip ia M a th e m a t ic a Whiteheada i Rus­ sella, a mianowicie para to t‘ (t‘i ‘ a U t‘ A) U ł‘ *.V6.

Van Heijenoort (1967, s. 224) pisze, że każda z trzech omawianych tu konstrukcji (1), (3), (4) ma typ o 2 większy niż typ elementów a i b (w sensie teorii typów, por. Mostowski, 1948), tzn. dodaje się po dwie pary nawiasów typu { }; van Heijenoort podaje publikacje trzech innych autorów, w których wprowadzano dalsze jeszcze definicje pary uporządkowanej tak, aby zmniejszyć różnice typów do 1 lub nawet do 0.

ip(a) C </?(&). Innymi słowy, każdy zbiór częściowo uporządkowany jest izomor­

ficzny z pewną rodziną zbiorów uporządkowaną przez relację inkluzji. Dowód tego jest natychmiastowy. Wystarczy oznaczyć

Ix = { y ■ y e A, y < x } dla x £ A;

wówczas x ^ z wtedy i tylko wtedy, gdy Ix C Iz. W przypadku np. relacji podzielności na zbiorze N + liczb całkowitych dodatnich, zbiorem In jest zbiór dzielników liczby n.

Udowodniwszy to, Kuratowski zakończył swe rozważania następującą uwa­ gą: w przypadku, gdy zbiór A składa się z dwóch tylko elementów a i 6, moż­ liwe są tylko dwa uporządkowania tego zbioru: w pierwszym a < 6, w drugim

b < a; w pierwszym przypadku konstrukcja z dowodu cytowanego tu twier­

dzenia daje rodzinę X — { { o , 6}, { a } } , a w drugim — rodzinę {{ a, 6}, {6} } . Wobec tego naturalne jest przyjęcie, że para uporządkowana (a, 6) to właśnie ta pierwsza rodzina; prowadzi to do definicji

(4) (a, b) = { { a } , {a, b}}.

Warunek (2) jest tu oczywiście spełniony. Daje to alternatywną definicję pary i pozwala uniknąć wspomnianej wady definicji Hausdorffa.

Ta definicja [tzn. definicja Hausdorffa] wydaje mi się mniej wygodna (me

semble moins commode) (...) (Kuratowski, 1921, s. 171).

2.3. Czy w ten sposób rzeczywiście — zgodnie z dość rozpowszechnionym mniemaniem — sprawa została definitywnie rozstrzygnięta? Okazuje się, że nie usunęło to trudności, tylko przesunęło je w cień tak, że umykają uwadze czytelników. Po zdefiniowaniu pary uporządkowanej wzorem (4) teorię rozwija się dalej w znany dobrze sposób, wykładany studentom. Definiuje się iloczyn

kartezjański dwóch zbiorów jako

(5) X x Y = { { x , y ) : x E X, y E Y } ,

następnie definiuje się relacje jako podzbiory zbioru X x Y , potem funkcje

f : X —» Y jako pewien specjalny typ relacji, z kolei definiuje się liczby natu­ ralne, potem ciągi ( a i , . . . , an) jako funkcje ze zbioru {1, . . . , n} oraz iloczyn

kartezjański n zbiorów jako

(6) X\ x . . . x X n = { ( x i , . . . , x n) : Xj £ X j dla j £ { 1 , . . . , n } } .

T r u d n o ś c i z w i ą z a n e z p o j ę c i a m i: p a r y i f u n k c j i

123

a funkcje jako zbiory par. Okazuje się jednak, że — wbrew nazwom i sugestyw­ nej notacji — w przypadku n = 2 iloczyn X\ x X2 zdefiniowany wzorem (fi) n ie j e s t i d e n t y c z n y z iloczynem X\ x X2 zdefiniowanym wzorem (5), bowiem określony w podany wyżej sposób c i ą g dwuwyrazowy

ix i V) ciąg = {(!> 2-)para» (2,1/)para} = { { l } > { l > a' } } > {2} ) {2, y } } }

nie jest tym samym, co para uporządkowana (x ,y )para — { { z } ) { x , y } } - Piszą 0 tym wyraźnie Kuratowski i Mostowski (1952, s. 56 i 73) po przedstawieniu — w ramach aksjornatycznej teorii mnogości — kolejnych definicji, twierdzeń 1 dowodów; dodają przy tym, że w z a s t o s o w a n i a c h jednak zazwyczaj jest obojętne, którego z tych dwóch pojęć użyć. Podobną uwagę czyni Rasiowa w swym podręczniku (1968):

W praktyce rozróżnianie między tymi dwoma rodzajami produktów jest nieistotne. Można bowiem przyporządkować w sposób wzajemnie jed­ noznaczny każdej parze uporządkowanej (01,02) należącej do produktu

A\ x A2 w sensie pierwszym ciąg (0 1,02) należący do produktu uogól­

nionego A\ x A2 • Dlatego też przyjęliśmy to samo oznaczenie na parę uporządkowaną i na ciąg dwuelementowy oraz to samo oznaczenie na pro­ dukt zbiorów A\ i A2 i na produkt uogólniony tych zbiorów (Rasiowa, 1968, s. 72).

Takie ostrzeganie o pojawiających się trudnościach nie jest częste. Na przy­ kład, Kelley (1955,) wprawdzie w dodatku do swego znanego podręcznika topo­ logii, przedstawia w formalny sposób szczegóły aksjomatycznego ujęcia teorii mnogości (Bernaysa i von Neumanna), ale w głównym tekście książki definiuje i używa zarówno (5), jak i (6), nie wspomniawszy nigdzie, że te dwie definicje są wzajemnie niezgodne. Nie raziłoby to, gdyby tekst książki nie sugerował bardzo wysokich rygorów ścisłości.

W aksjomatycznej teorii mnogości trudności te nie sprawiają kłopotów; da się tak przeprowadzić dedukcję, aby wszystko było w porządku, nie pojawia się żadna sprzeczność. Godeł (1940) nie używa określenia (6), trójki uporząd­ kowane (o, 6, c) określa jako pary (a, (6, c)), więc u niego iloczyn kartezjański

A x B x C to A x ( B x C) podobnie, jak w wielu innych systemach teorii

mnogości; wszystko jest tam precyzyjne i jednoznaczne.

Rasiowa (1968, s. 60) pisząc, że pojęcie pary uporządkowanej można wprowa­ dzić na różne sposoby tak, aby warunek (2) był spełniony, np. można przyjąć definicję (4).

Jednakże autorzy pewnych podręczników, nie rozumiejący niuansów zwią­ zanych z pojęciem pary, przyjmowali (4) za jedyną możliwą, obowiązującą definicję. W czasach silnych wpływów „nowej matematyki” (również w Pol­ sce) niektórzy lansowali tezę, że już w szkole średniej należy wprowadzić (4). Tym, co tu szczególnie wówczas raziło, było manifestowanie pedantycznej ścis­ łości, a pomijanie milczeniem trudności z tym związanych, m. in. wspomnianej wyżej niezgodności między definicjami (5) i (6).

Co gorsza, w przeciwieństwie do propozycji Hausdorffa, która była intui­ cyjnie zrozumiała (bo zawierała symbole 1 i 2), definicja (4) jest niezgodna ze zdroworozsądkową intuicją (uczniom, a nawet studentom trudno pojąć, dlaczego na drugim miejscu ponownie powtarza się element a). Prawdziwy sens definicji (4) można zrozumieć, gdy przeanalizuje się d o w ó d wspomnia­ nego twierdzenia Kuratowskiego o zbiorach częściowo uporządkowanych. Bez tego (4) wygląda jedynie na formalną sztuczkę, podobnie jak i definicja (3). Wprowadzenie dodatkowych nawiasów { } podnosi znacznie stopień abstrakcji i powoduje, że definicja ta jest trudniejsza do zrozumienia.

W matematyce nieraz mówi się o utożsamianiu pewnych pojęć; problem ten dyskutowany jest w (Semadeni, 2002b). Z reguły są to pojęcia, które już są intuicyjnie znane, a utożsamianie ich ma służyć uproszczeniu teorii. W oma­ wianym przypadku par uporządkowanych sytuacja jest jednak odmienna: utoż­ samia się pojęcia, które zostały wcześniej precyzyjnie zdefiniowane w teorii aksjornatycznej i nie są identyczne.

Dlaczego takie postępowanie jest możliwe? Dlaczego r ó ż n e obiekty trak­ tuje się, jak gdyby były równe? Dlaczego rozróżnianie między tymi dwoma rodzajami par, a także między dwoma rodzajami produktu A x B, nie jest konieczne nawet w teorii o wysokim poziomie abstrakcji i ścisłości?

Otóż, jak to zaznaczył Hausdorff w cytowanych wyżej zdaniach, pojęcie pary (a, b) jest intuicyjnie pierwotniejsze od wykorzystywanego w (4) pojęcia pary { a , b}. Definicja (4) z a c i e m n i a więc pojęcie pary, zamiast je wyjaś­ niać. W zupełności wystarczy tu pierwotne poczucie, czym jest taka para; zgodnie z terminologią wprowadzoną w (Semadeni, 2002a) tym, z czego w rze­ czywistości korzystają matematycy, gdy myślą o parze (a, 6), jest idea głęboka. Z definicji (4) nie trzeba korzystać nawet przy lekturze tak abstrakcyjnej, jak cytowana powyżej książka Kelleya (1955).

Wienera-Hausdorffa-Kuratowskie-go” , choć nie jest to jedna, lecz t r z y różne, nierównoważne definicje. Takie ujmowanie trzech definicji jako jednej sugeruje, że również dla van Heijenoorta istotne było, że pod tymi nierównoważnymi definicjami kryla się jedna tylko idea głęboka.

Mnogościowe ujęcie pojęcia pary dość długo nie było przyjmowane jako najlepsze. Nie odwołał się do niego m. in. Otton Nikodym.

Pojęcie pary uporządkowanej (pary ordynalnej) należy do logiki formal­ nej, i tam się je wprowadza w sposób ścisły i bada jego zasadnicze włas­ ności. W „Principia Mathematica” [Whiteheada i Russela] określa się uporządkowaną parę (a, b) jako pewną odpowiedniość (relację). My przyj­ mujemy je tu jako znane (Nikodym, 1937, s. 235-236).

Definicja (4) odegrała historycznie ważną rolę w rozwoju aksjomatycznej teorii mnogości, ale właściwie matematycy z niej w ogóle nie korzystają (nie licząc rozważań dotyczących podstaw matematyki).

Nie jest zresztą konieczne definiowanie pojęcia pary (a, b), nawet przy za­ chowaniu rygorów pełnej ścisłości. Na przykład, w książce (Cech, 1966, s. 24) pojęcie pary uporządkowanej nie jest w ogóle zdefiniowane, jest przyjęte jako dodatkowe pojęcie p i e r w o t n e z odpowiednią, nietrudną modyfikacją aksjo- matyki teorii mnogości; relacje są następnie zdefiniowane jako pewne klasy par, wśród nich wyróżnione są funkcje, a potem ciągi.

Jednakże traktowanie par uporządkowanych jako pojęcia pierwotnego nie oznacza pokonania opisanej powyżej trudności z dwoma różnymi produktami

A x B. Nie ma znaczenia, czy para (a, b) jest zdefiniowana jakimkolwiek wzo­

rem, czy przyjęta za pojęcie pierwotne, bowiem w ogóle nie korzysta się z tego, czym jest para, a jedynie z własności (2), przy czym ciągi uważa się za funkcje określone na liczbach naturalnych. Niezgodność dwóch określeń A x B nie jest wcale w ten sposób usunięta . Jedyne więc, co pozostaje, to pogodzenie się z myślą, że w tym przypadku w p r a k t y c e intuicja (a ściślej: idea głęboka) bierze górę nad formalnymi definicjami.

Warto zwrócić uwagę na wypieranie w y j a ś n i e ń przez e l i m i n o w a n i e : (...) Unikamy kłopotu, mówiąc raczej o alternatywnych sposobach elimi­

nacji niż o wzajemnie niezgodnych wyjaśnieniach. Nie ma jednak rzeczy­

wistej różnicy między tymi dwiema charakterystykami.

Inny, mniej popularny przykład takiego rozwiązania tego samego problemu stanowi para uporządkowana, z jej rozmaitymi nierównoważ­ nymi definicjami, które z praktycznego punktu widzenia są równie dobre (Quine, 1998, s. 128).

2.6. Część tę zakończymy następującą d y g r e s j ą . Jeśli zbiory A i B są skończone, to liczebność \A x B\ produktu A x B jest równa iloczynowi liczebności \A\ i \B\. Ten świetnie znany fakt, służy często jako definicja ilo­ czynu liczb naturalnych, gdy ich teorię opiera się na liczbach kardynalnych zbiorów. Przyporządkowanie (a, b) (6, a) wyznacza bijekcję zbioru A x B na B x A, skąd wnioskuje się o przemienności mnożenia: nm = mn. W tym kontekście interesujący jest fakt, że Tarski (1924) w swej pracy, poświęconej analizie zależności między rozmaitymi definicjami pojęcia zbioru skończone­ go, określił iloczyn liczb naturalnych w sposób następujący. Jeśli n = \A\,

m = \B\ i A n B = 0, to (niezgodnie z obecnym zwyczajem) Tarski zde­

finiował iloczyn liczb nm jako |A*E?|, gdzie A *B jest i n n y m produktem, a mianowicie

A *B = { { a , b } : a e A, b e B }

jest zbiorem par n i e u p o r z ą d k o w a n y c h . W ten sposób zbędne stało się dowodzenie przemienności mnożenia, bowiem w ujęciu Tarskiego iloczyn A *B został zdefiniowany symetrycznie względem A i B. Oczywiście konieczny był tu dodatkowy warunek, że zbiory A i B są rozłączne, co zresztą zakładane jest zawsze w analogicznej definicji sumy n + m jako \A U B\.

3. H is to r y c z n y r o z w ó j p o ję c ia fu n k cji. Od czasów Weierstrassa ka­ nonem jest następująca kolejność: najpierw wprowadza się pojęcie funkcji, na­ stępnie pojęcie granicy i dopiero wtedy pojęcie pochodnej. W rozwoju his­ torycznym kolejność była jednak odwrotna: najwcześniej (pod koniec XVII wieku) wprowadzone zostaje różniczkowanie, następnie w XIX wieku zdefinio­ wano pojęcie granicy, a z pojęciem funkcji borykano się jeszcze długo potem. Za każdym razem proces kształtowania się tych pojęć nie był dziełem jednej osoby, lecz brało w nim udział wielu czołowych matematyków danej epoki

(Boyer, 1964).

3.1. Kształtowanie pojęcia funkcji zajęło matematykom ponad 200 lat, od Newtona i Leibniza po X X wiek. Kwestią tą zajmowali się nie tylko historycy matematyki (Boyer, 1964, s. 390; Juszkiewicz, 1977, s. 271-276; Lakatos, 1976, s. 151; Youschkevitsch, 1976; Ferreirós, 1999, s. 27, 147-150, 228), lecz również dydaktycy w kontekście problemów nauczania (Freudenthal, 1973, s. 387; Kry­ gowska, 1977, s. 31; Sierpińska, 1985; Turnau, 1990, s. 166; Sierpińska, 1994, s. 95).

Euler, d ’Alembert, D. Bernoulli i niemal wszyscy wybitni matematycy toczyli spory dotyczące tego, jakie funkcje są dopuszczalne. Były to zresztą niemal zawsze konkretne przykłady funkcji (lub funkcje odwrotne do jakichś konkret­ nie danych funkcji, uwikłane lub przedstawione parametrycznie). „Dowolna funkcja” (taka, której wykres można sobie wyobrazić narysowany swobodnym ruchem ręki), a także symbol dowolnej funkcji ( / lub ip) pojawiały się jedynie sporadycznie (głównie w kontekście drgań struny).

Na początku XIX wieku, w związku z wysiłkami mającymi na celu wy­ jaśnienie pojęć: pochodnej i całki, powróciło pytanie, czym jest „dowolna” funkcja. Już w 1755 r. Euler napisał, że „wielkości, które zależą od x w ja­ kikolwiek sposób lub są przez x określone [par earn determinantur], zwane są funkcjami” , jednak takie podejście jeszcze przez z górą 100 lat budziło kontrowersje (Youschkevitsch, 1976, s. 69-79). Na przykład Cauchy, w swym słynnym Cours d ’analyse algebrique z 1821 r. definiował funkcje (jednej lub wielu zmiennych) jako wielkości będącej wynikiem operacji rachunkowych na stałych i zmiennych; jednakże w tej samej książce definicja ciągłości była już koncepcyjna, ogólna, nie odwołująca się do sposobu, w jakim te wielkości są obliczane.

Przełomowymi dla pojmowania pojęcia funkcji okazały się dwie prace Fou­ riera (jedna z 1808 r., druga słynna Theorie analytique de la chaleur opubli­ kowana w 1822r.). Metodę szeregów trygonometrycznych, którą Daniel Ber­ noulli rozwinął w naturalnym kontekście rozkładu drgań struny na składowe harmoniczne, Fourier zastosował w innym zagadnieniu, nie mającym żadnego wyraźnego związku z okresowymi zmianami, a mianowicie rozwiązywał równa­ nie przewodnictwa cieplnego. Rozwijał w tym celu dowolne funkcje na szeregi trygonometryczne.

Okazało się, że metodę Fouriera można również stosować do pewnych funk­ cji nieciągłych, określonych różnymi wzorami na różnych przedziałach, takich jak np. f ( x ) = — |7r, gdy ( 2k — l)n < x < 2kn, f ( x ) = 0, gdy x = kn oraz

f { x ) = |7r, gdy 2kn < x < (2k + l )7r. Zgodnie z poglądami z XVIII wieku, tak określone f ( x ) nie powinno być uważane za funkcję, bowiem w wykresie są nieciągłości (skoki) w miejscach, gdzie jeden wzór jest zastępowany drugim. Rewelacją było to, że f ( x ) jest pomimo to sumą szeregu

uznane za funkcję. Uważał on, że funkcją może być dowolna odpowiedniość, która odciętym przypisuje rzędne, i nie musi to być jakieś jedno wspólne prawo dla wszystkich x.

Ferreirós (1999, s. 148) pisze, że wydaje się, iż Fourier, pisząc o „dowolnej funkcji” zakładał implicite jej ciągłość (we współczesnym sensie). Lakatos (1976, s. 128) wyraził przeciwne zdanie, argumentując, że 1° już u Fouriera znajdowały się szeregi takie jak (7), tj. zbieżne do nieciągłej funkcji, oraz 2° do wykresu funkcji Fourier włączał również pionowe odcinki łączące skoki. Laka­ tos zauważył przy tym, że Fourier nie był konsekwentny, i podsunął myśl, że interpretacja Fouriera mogła zależeć od tego, czy taka nieciągła funkcja repre­ zentowała początkowe położenie struny, czy też brzegowy rozkład temperatur. Fourier podał wiarygodne argumenty za zbieżnością takich szeregów, ale nie udowodnił tego w sposób ścisły; zrobił to Dirichlet w roku 1829, przy od­ powiednich założeniach. W tej właśnie pracy Dirichlet napisał, że w pojęciu funkcji nie trzeba wymagać jakiegoś wspólnego prawa określającego zależność

y od x, tego samego dla wszystkich x, ani nawet by zależność ta była wy­

rażona działaniami matematycznymi. Jego podejście było koncepcyjne (a nie formalne, jak w XVIII wieku). Dirichlet podał też swój słynny przykład funk­ cji ipo równej 0 dla x niewymiernych i 1 dla x wymiernych; jednakże — jak argumentuje Lakatos — Dirichlet zdawał się uważać ten przykład bardziej za osobliwość (pokazującą dziwne możliwe konsekwencje mówienia o dowolnym przyporządkowaniu), niż za pełnoprawną funkcję; nie dawało się jej rozwinąć na szereg Fouriera, nie można było nawet napisać wzorów na współczynniki, bowiem funkcja ta była niecałkowalna. Później zauważono zresztą, że <p d{%)

da się jednak wyrazić pewnym wzorem, a mianowicie zachodzi równość

<pD{x) — lim [ lim (cos fc!7rx)2n],

k —yoo n—>oo

co samo w sobie jest dziś łatwym ćwiczeniem dla studentów.

Idea funkcji kształtowała się bardzo długo. W 1837 r. Dirichlet napisał, że w punkcie skoku funkcja ma d w i e w a r t o ś c i : <p(/3—0) i <p((3+0). Jeszcze 30 lat później pewni wybitni matematycy, m. in. Weierstrass i Hankel, krytyko­ wali definicję Dirichleta jako zbyt ogólną, tj. obejmującą przypadki, które nie powinny być nazywane funkcjami, ale innej definicji nie podano. Poincare, już w X X wieku, kwestionował nie tyle sposób określenia pojęcia funkcji, co przy- *

-129

wiązywanie zbyt dużej wagi do tego, aby osoby uczące się poznały osobliwe przykłady funkcji.

Niegdyś, kiedy wynajdywano jaką nową funkcję, robiono to ze względu na jakiś praktyczny cel; dziś wynajduje się je umyślnie po to, by wysta­ wić na szwank rozumowania naszych ojców, i nie wydobędzie się z nich nigdy nic ponadto (Poincare, 1911, s. 93).

To spostrzeżenie Poincarego jest nadal aktualne, tym razem w odniesieniu do rozpowszechnionego dziś stylu nauczania szkolnego.

3.2. Idea odwzorowania (Abbildung) (p ze zbioru w zbiór pojawiła się w pra­ cy Dedekinda z 1888 r., wyjaśniona jako dowolne prawo ( Gesetz), zgodnie z którym każdemu elementowi s z S odpowiada pewna rzecz </?(s); pojawiły się tam też (choć nie we współczesnej terminologii) wszystkie podstawowe poję­ cia, takie jak obraz podzbioru dany przez 99, odwzorowanie obcięte, składanie odwzorowań, odwzorowanie różnowartościowe, odwzorowanie odwrotne.

Stopniowo jako szczególne przypadki jednego, ogólnego pojęcia funkcji (z dowolnego zbioru w dowolny zbiór) zaczęto traktować pojęcia należące do wymienionych poniżej czterech podstawowowych typów, których wcześniej nie wiązano ze sobą, bowiem każdy z nich jest epistemologicznie autonomiczny oraz genetycznie niezależny od pozostałych (w tym sensie, że wywodzą się z odmiennych sytuacji konkretnych, inaczej są stosowane, odpowiadają im inne intuicje, a ponadto każdy z tych typów może w zasadzie funkcjonować bez brania pod uwagę pozostałych).

(a) funkcje o wartościach liczbowych (rzeczywistych lub zespolonych, jednej lub wielu zmiennych),

(b) ciągi liczbowe (skończone lub nieskończone), a także ciągi podwójne (czyli macierze, o skończonej lub nieskończonej liczbie wierszy i kolumn) oraz ciągi wielokrotne,

(c) przekształcenia geometryczne (przesunięcia, obroty, podobieństwa i prze­ kształcenia ogólniejsze),

(d) odwzorowania zbiorów skończonych w zbiory skończone (takie jak w gru­ pach permutacji).

Taka unifikacja była niezbędna z uwagi na rosnące znaczenie bardziej abstrak­ cyjnych metod analizy funkcjonalnej, topologii, algebry, teorii prawdopodo­ bieństwa.

3.3. Peano (1911) sformułował (w zwykłym języku matematycznym, a tak­ że w symbolice Whiteheada i Russela) następujące definicje. U niego relacja

( relazione) to pewien zbiór ( classe) par uporządkowanych ( coppie), których elementy Peano zapisywał w odwrotnej kolejności, tzn. współczesną parę (a, b) zapisywał jako b\a. Z kolei funkcja (funzione monodroma) to był pewien spe­ cjalny typ relacji, a mianowicie Peano zdefininiował funkcję jako taką relację, że jeśli y;x oraz z\x są parami należącymi do tej relacji, to y = z.

HausdorfF (1914), zdefiniowawszy produkt dowolnych zbiorów A , B jako zbiór wszystkich par uporządkowanych p = (a, 6), gdzie a G A, b G B, napisał:

(...) rozważymy pewien zbiór P takich par, mających mianowicie tę cechę, że każdy element a z A występuje na pierwszym miejscu w jednej i tylko jednej parze p z P. Każdy element a określa w ten sposób jeden i tylko jeden element 6, ten właśnie, z którym w parze p = (a, b) jest złączony; ten element określony przez a, od a zależny, przyporządkowany a, ozna­ czamy przez

b = f(a)

i mówimy, że przez to w .4 (tzn. dla wszystkich elementów z A) została zdefiniowana pewna jednoznaczna funkcja. Dwie takie funkcje f(a), f'(a) uważamy za równe wtedy i tylko wtedy, gdy przynależne zbiory par P, P' są równe, a więc dla każdego a zachodzi f(a) = f'(a) (Hausdorff, 1914, s. 33).

W taki oto sposób w teorii mnogości (w której ujęcie aksjomatyczne wpro­ wadzone przez Zermelo przez długi czas konkurowało z teorią typów Russella) stopniowo, w wyniku redukcjonistycznych tendencji u logików (tzn. dążenia do zredukowania do minimum liczby rozważanych pojęć, zarówno pierwotnych, jak i definiowanych), relacje dwuczłonowe zaczęto uważać za zbiory par upo­ rządkowanych, czyli za pewne podzbiory produktów 4 x 5 , a z kolei funkcje i odwzorowania / : A —»■ B zaczęto traktować jako relacje F C A x B speł­ niające dwa podstawowe warunki, o których pisał cytowany wyżej Hausdorff:

(8) (a, b) G F,

(9) Va€AVbeBVb'eB ((«, b) G F A (a, b1) G F ) => (b = b').

Należy tu podkreślić fundamentalną różnicę między podejściami Peana i Hausdorffa. U Hausdorffa każda funkcja / : X - » Y wyznacza zbiór par

{ ( x , f ( x ) ) : x G X } spełniających (8) i (9) oraz odwrotnie — każdy taki zbiór

Kanoniczna odpowiedniość między funkcjami a zbiorami par spełniający­ mi (8) i (9) pozwala utożsamić te pojęcia. Jednakże trzeba sobie zdać sprawę z zasadniczego skoku pojęciowego między podejściem „ m o ż n a utożsamić” a definitywnym stwierdzeniem, że „funkcja j e s t zbiorem par” , zmienia się bowiem z n a c z e n i e tych pojęć. Wrócimy do tej sprawy w dalszej części tej pracy.

3.4. W pracach Cantora pojawiły się zbiory funkcji. Funkcja więc, trakto­ wana jako pewna c a ł o ś ć , mogła być e l e m e n t e m pewnego zbioru. Jeszcze wyższym stopniem abstrakcji było potraktowanie funkcji jako pojedynczego p u n k t u przestrzeni funkcyjnej. W pracy (Hadamard, 1903) rozpatrywana była przestrzeń C[a, 6], składająca się z wszystkich funkcji ciągłych na prze­ dziale [a, 6] z odległością między funkcjami / i g określoną wzorem :

(10) p { f , g ) = su p{| /(x) - g{x)\ : a ^ x < 6} dla f , g € C [ a , b ] .

4. C z y fu n k cja t o z b ió r par u p orzą d k ow a n y ch ? Pod koniec lat pięć­ dziesiątych definiowanie funkcji jako zbioru par spełniających (8) i (9) zaczęło przenikać do zaawansowanych kursów uniwersyteckich, później do bardziej ele­ mentarnych, a w końcu, w czasach reform w duchu „nowej matematyki” , nawet do szkół średnich. Wysuwano przy tym dwa argumenty:

1° jedynie takie podejście jest poprawne naukowo,

2° takie podejście przyczynia się do lepszego zrozumienia pojęcia funkcji, bowiem zastępuje się niezdefiniowane, nieprecyzyjne terminy, takie jak „przy­ porządkowanie” , przez logicznie jasne warunki (8) i (9).

Ponadto postulowano, aby

3° możliwie wcześnie wprowadzić pojęcie funkcji, bowiem rozumiejąc, czym jest funkcja, uczeń lepiej zrozumie trudne szkolne pojęcia, jak np. proporcjo­ nalność.

Słuszność tych argumentów będziemy analizować z dwóch punktów widze­ nia: merytorycznego i dydaktycznego.

4.1. Zwróćmy uwagę na paradoksalną sytuację. Kuratowski, niewątpliwie jeden z największych na świecie mistrzów pojęcia funkcji i pojęcia pary, uważał, że studentom I roku m a t e m a t y k i należy wyjaśniać pojęcie funkcji jako „przyporządkowanie” : *

Definicje. Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowana jest jakaś liczba y = f(x), to mówimy, że określona jest funkcja / na zbiorze liczb rzeczywistych. (...) Ogólnie: jeżeli każdemu x należącemu do pewne­ go zbioru przyporządkowana jest liczba y = f{x), to mamy do czynienia z funkcją określoną na tym zbiorze (Kuratowski, 1948, s. 59).

Podobnie postępowali wielcy mistrzowie amerykańskiej algebry, Birkhoff i MacLane, w swym klasycznym podręczniku:

(...) najlepiej najpierw określić ogólne pojęcie przekształcenia <p :S —> T niepustego zbioru S w zbiór T. Rozumiemy przez nie regułę </?, która przyporządkowuje każdemu elementowi p G S jeden element tpp ze zbio­ ru T. Pojęcie przekształcenia 5 w T jest więc tym samym, co pojęcie funkcji określonej na elementach zbioru S, o wartościach w T (Birkhoff i MacLane, 1963, s. 133).

Również Rudin w swym podręczniku dla zaawansowanych studentów okre­ śla funkcję, nie odwołując się do par:

Przypuśćmy, że każdemu elementowi x ze zbioru A jest w pewien sposób przyporządkowany element ze zbioru B, który będziemy oznaczali przez

f(x). Wtedy / nazywamy funkcją z A do B (lub odwzorowaniem A w B )

(Rudin, 1982, s. 25).

Z drugiej strony wiele osób, które o funkcjach i warunkach (8) i (9) wiedzia­ ły tylko tyle, co im przekazano na studiach, głosiły (i nadal głoszą, w różnych krajach, w tym i w Polsce), że słowo „przyporządkowanie” jest określeniem za mało ścisłym i lansowały konieczność posługiwania się — już w szkole średniej parami uporządkowanymi; były więc plus catholiques que le papę. W artykułach dla nauczycieli wyjaśniano, że pary należy definiować sposobem Kuratowskiego, tzn. wzorem (4). Głoszono, że jest to p o s t ę p w stosunku do ujęcia wcześniejszego, a nauczanie staje się nowocześniejsze. Nie dało to jednak oczekiwanych efektów.

Funkcje, na przykład, były przeważnie uważane za szczególny rodzaj rela­ cji w okresie reform tzwr. „nowej matematyki” w Europie; później, wraz z trendem zbliżania matematyki do życia, funkcje były przedstawiane jako modele związków między zmiennymi wielkościami (Sierpińska, 1994, s. 39).

(...) ogólne pojęcie funkcji, którego definicję podaje się w pierwszej klasie liceum, jest potem bardzo rzadko wykorzystane. Najczęściej ucz­ niowie mają do czynienia z takimi funkcjami, które dadzą się opisać wzo­ rem analitycznym i utożsamiają funkcję z tym wzorem (Sierpińska, 1985, s. 159).

4.2. Dokładniejsza analiza pokazuje, że kwestię postawioną w tytule tej części należy rozbić na trzy osobne, niezależne pytania:

(a) Czy słuszne jest traktowanie funkcji jako relacji pewnego specjal­ nego typu (tzn. takiej, że dla każdego a istnieje dokładnie jeden element b pozostający w relacji z a ) ?

(j3) Czy słuszne jest traktowanie funkcji jako zbioru par?

(7) Czy pary należy definiować wzorem (4)?

Możliwe są tu wszelkie kombinacje odpowiedzi. Należy wyraźnie podkreś­ lić, że chodzi tu o odpowiedzi na te pytania w kontekście nauczania: szkolne­ go i niezaawansowanego uniwersyteckiego. Formalne, zaawansowane definicje omawianych pojęć nie budzą zastrzeżeń w dwóch przypadkach. Po pierwsze, są one uzasadnione wtedy, gdy zamierza się prowadzić rozumowanie czysto de­ dukcyjne, wolne od przypisywania jakiegokolwiek znaczenia rozpatrywanym obiektom, a więc np. w aksjornatycznej teorii mnogości. Po drugie, taka za­ awansowana abstrakcja nie sprawia problemów wtedy, gdy osoba stosująca te definicje dobrze już rozumie sens pojęcia funkcji i swobodnie tym operuje (dotyczy to w szczególności dobrych, należycie przygotowanych studentów).

Najłatwiejsza jest odpowiedź na pytanie (7): zgodnie z tym, co zostało opisane w pierwszej części tej pracy (a w szczególności zgodnie z cytowaną na początku opinią Hausdorffa), p a r y uporządkowane należy przyjmować jako p o j ę c i e p i e r w o t n e , które osoba ucząca się poznaje na odpowiednich

przykładach; definicja (4) może jedynie utrudnić zrozumienie pojęcia pary. Freudenthal akceptował pozytywną odpowiedź na (/?), ale za niefortunne uważał akceptowanie [a).

Powodem, dla którego ludzie wolą definiować funkcje poprzez relacje, jest złudzenie [self-deception]: ludzie fałszywie wierzą, że takie podejście lepiej odpowiada ekstensjonalistycznym wymaganiom współczesnej ma­ tematyki. (...) wszystkie te funkcje ujawniają tę samą intuicyjną struktu­ rę odwzorowania, wyznaczania, którą można tylko zaciemnić przez ogólne pojęcie relacji, o charakterze logicznym bądź mnogościowym. To jest mój pierwszy argument. Drugi to składanie funkcji (...) Trzeci argument jest najważniejszy. Relacyjna definicja funkcji nie jest, zarówno jeśli chodzi o treść, jak i o notację, nigdy stosowana. Sprawdziłem to w wielu książkach. Wprowadzona jednorazowo, może być łatwo zapomniana i nie jest nawet przywoływana w tych przypadkach, w których mogłaby być z pożytkiem zastosowana (Freudenthal, 1973, s. 389-390).

i funkcji jest niepomiernie t r u d n i e j s z e od każdego z tych p o j ę ć z o s o b - na. Relacje mają z reguły charakter s t a t y c z n y , podczas gdy np. przekształ­ cenia geometryczne mają wyraźny aspekt d y n a m i c z n y , wywodzą się bo­ wiem z ruchu figur, a permutacje kojarzą się ze zmienianiem położenia elemen­ tów; także pewne funkcje liczbowe kojarzą się z jakimiś operacjami, z jakimś działaniem.

Thurston, w kontekście żywej dyskusji o współczesnych standardach ścis­ łości w bardzo zaawansowanych badaniach naukowych, napisał:

Mamy łatwość myślenia o procesach lub ciągach czynności, co często może być wykorzystane z dobrym efektem w rozumowaniu matematycz­ nym. Jednym ze sposobów myślenia o funkcji jest myślenie o niej jako o akcji, o procesie, który przeprowadza dziedzinę w zbiór wartości. To jest szczególnie cenne przy składaniu funkcji (Thurston, 1994, s. 165).

Natomiast, w przypadku relacji nic się nie dzieje. Relacja albo zachodzi, albo nie; są tylko dwie możliwości: tak lub nie, 1 lub 0. Funkcja przyporządko­ wuje jednym elementom drugie; relacja parom przyporządkowuje jedną z war­ tości: prawda lub fałsz. Pojęcia relacji i funkcji różnią się więc zasadniczo swoimi znaczeniami (w odpowiednich sensach tego słowa, Semadeni, 2002c).

W klasie III szkoły podstawowej uczniowie rozwiązują zadania na porów­

nywanie różnicowe (w których występują charakterystyczne zwroty typu: „o 3

więcej” , „o 7 mniej” , „O ile więcej ... ?” itp.) i zadania na porównywanie ilora­

zowe („3 razy więcej” , „Ile razy mniej ...? ” ). W opinii nauczycieli tematy te

uchodziły zawsze za bardzo trudne. W końcu lat sześćdziesiątych pewni polscy dydaktycy głosili, że trudności te są wydumane, a uczeń, który rozumie cztery działania arytmetyczne (dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie) i wie, że są to pary działań wzajemnie odwrotnych, nie powinien mieć z po­ równywaniem różnicowym i porównywaniem ilorazowym kłopotów większych, niż przy zwykłych zadaniach tekstowych (tzn. takich, w których występują te same obliczenia arytmetyczne, ale bez owych porównań).

Rację jednak mieli nauczyciele, a nie owi dydaktycy. Porównywanie różni­ cowe, a w jeszcze większym stopniu porównywanie ilorazowe, sprawiają ucz­ niom poważne trudności, nawet w klasach uczonych przez bardzo dobrych nauczycieli. Przyczyn tego jest wiele, ale jedną z nich jest niewątpliwie to, że w zwykłych zadaniach zależność między wielkościami ma charakter funk­

cyjnyi, tzn. jednej liczbie przyporządkowuje się inną (przy czym wykonanie

między nimi. Jednym ze skutecznych sposobów ułatwienia dzieciom rozumie­ nia takich zadań jest przeformułowywanie ich na równoważne zadania typu funkcyjnego.

Z drugiej strony można podać przykłady przeczące cytowanej powyżej opi­ nii Freudenthala. Istnieją sytuacje, w których naturalne jest rozpatrywanie pewnych konkretnych funkcji jako specjalnych przypadków konkretnych przy­ kładów relacji, tzn. sytuacje, w których oba te pojęcia są semantycznie zgodne. Ostatecznie rozstrzygający może być argument innej natury: pojęcie relacji jest dla uczących się istotnie trudniejsze i ponadto rzadziej w praktyce stoso­ wane niż pojęcie funkcji (z tego powodu pojęcie funkcji zawsze znajdowało się w programach szkół średnich, a pojęcie relacji tylko czasami). Wyjaśnianie po­ jęcia łatwiejszego jako szczególnego przypadku pojęcia znacznie trudniejszego nie jest dobrą ideą dydaktyczną.

Warto tu dodać paradoksalną uwagę: przy odpowiedniej identyfikacji moż­ na stwierdzić, że — odwrotnie — to pojęcie relacji jest szczególnym przypad­ kiem pojęcia funkcji. Mianowicie można przyjąć, że relacją między elementami zbioru A a elementami zbioru B nazywamy dowolną funkcję

t : A x B - » {0 ,1 };

jeśli t(a,b) = 1, to mówimy, że relacja zachodzi; jeśli t{a,b) = 0, to mówimy, że relacja nie zachodzi. Jest to zgodne z intuicyjnym pojęciem relacji, objaś­ nionym w (Mostowski, 1948, s. 85-92). Z kolei, jeśli zdefiniuje się relację jako dowolny podzbiór R produktu A x B, to taką funkcję t można zdefiniować wzorem t{a, b) = 1 dla (a, b) € R i t(a, b) = 0 dla (a, b) £ R. Funkcja t wy­ znacza jednoznacznie zbiór R i, odwrotnie, zbiór R wyznacza jednoznacznie funkcję t. Litera t nawiązuje tu do słowa „truth” , a także do słowa „tak”.

4.3. Pozostaje pytanie (/?): czy funkcje należy przedstawiać jako zbiory par spełniających (8) i (9). Oprócz argumentów pochodzących z teorii mnogości można przytoczyć jeszcze jeden: na początku, przy pierwszym zetknięciu się z funkcjami, uczniowie wypełniają tabelki. W tabelkach tych pojawiają się pary: liczba u góry, liczba pod nią. Wyobrażając sobie takie tabelki o nieskończonej ilości okienek, można powiedzieć: zbiór tych wszystkich par jest to właśnie funkcja.

odwrót, wykres wyznacza jednoznacznie funkcję. Redukcjonistyczne podejście spowodowało, że zrobiono dalszy, zasadniczy krok: stwierdzono, że wobec tego można mówić, że funkcja i jej wykres to jest t o s a mo ; w ten sposób jedno pojęcie stało się zbędne. Oczywiście nie jest ono potrzebne przy czysto deduk­ cyjnym ujęciu, w zaawansowanych teoriach. Dla osób, które dopiero uczą się tego, zrozumienie każdego z tych dwóch pojęć jest niezbędne.

Dodajmy, że w szkole słowo „wykres” jest nazwą dwóch różnych rzeczy: jedno to zbiór punktów postaci (z, f { x ) ) , a drugie to r y s u n e k przedstawiają­ cy funkcję / schematycznie, z większą lub mniejszą dokładnością. To pierwsze jest abstrakcyjną figurą geometryczną; drugie — to rysunek na papierze lub

na tablicy (Turnau, 1990, s. 176).

Wykres rozumiany jako zbiór takich par staje się figurą geometryczną, gdy utożsamimy produkt R x R z płaszczyzną euklidesową E 2. Utożsamiania R2 z E2 na ogół nikt dziś nie kwestionuje (poza niektórymi geometrami). I tak dochodzimy do paradoksu, który wynika z nadmiaru utożsamiania. W tym ujęciu z przesłanek: „funkcja jest identyczna ze swoim wykresem” i „wykres jest figurą geometryczną” wynika paradoksalny wniosek: funkcja jest figurą

geometryczną. Tutaj rozdźwięk semantyczny jest tak duży, że go chyba nikt

nie akceptuje, trudno bowiem uważać, że funkcje, takie jak sinus lub logarytm, to są po prostu pewne figury geometryczne.

Przyporządkowywanie jest istotą pojęcia funkcji i tak właśnie powinni je rozumieć uczniowie liceum i studenci . W rozumowaniach matematycznych najczęściej korzysta się właśnie z operacji myślowej: elementowi x przyporząd­ kowuję y. Możliwość przedstawienia funkcji jako podzbioru produktu X x Y jest wtórna.

4.4. Ogólne pojęcie funkcji ze zbioru w zbiór jest dla matematyków jed­ nym, klarownym pojęciem; dla przeciętnego maturzysty jest to agregat (w sen­ sie określonym w Semadeni, 2002a, 11.2) pojęć trzech typów (a )-(c) lub czte­ rech (a )-(d ) wymienionych w 3.2 (co gorsza, często te pojęcia są przyswojone dość powierzchownie). Ich wspólne uogólnienie jest dla takiej osoby abstrakcją znacznie trudniejszą od każdego z pojęć składowych. Ogólne pojęcie funkcji

T r u d n o ś c i z w i ą z a n e z p o j ę c i a m i: p a r y i f u n k c j i

137

powstaje bowiem — jak każda abstrakcja — przez wyłowienie tego, co w tych czterech pojęciach jest w s p ó l n e , bez zwracania uwagi na to, czym się różnią. Wymaga to pomijania tego, co uczniowi najbardziej rzuca się w oczy; wymaga oderwania się od liczb, od punktów płaszczyzny, od wskaźników w ciągach, od kolorów permutowanych kulek itd.

W przypadku, gdy łączymy ten agregat z pojęciem relacji, zwiększamy jeszcze bardziej trudności związane z pojęciem funkcji.

Dla matematyka jest oczywiste, że między poszczególnymi pojęciami ty­ pów (a )-(d ) zachodzą ścisłe powiązania. Na przykład, przekształcenie geome­ tryczne płaszczyzny (takie jak obrót) może być utożsamione z parą funkcji z R2 w R , a także (w inny sposób) z odpowiednią macierzą. Podobnie per- mutacje można utożsamiać z pewnymi ciągami liczbowymi. Jednakże intuicje związane z przekształceniami geometrycznymi wywodzą się z ruchu figur, a nie z uogólnień funkcji liczbowych. Podobnie z przyporządkowaniami określonymi na zbiorach skończonych (takimi, jakie pojawiają się w zadaniach kombina- torycznych dotyczących układów rzeczywistych przedmiotów, a także takimi, które były modne w czasach „nowej matematyki” : w cyklicznych zmianach ko­ lorów klocków, z funkcjami typu „ojciec” na zbiorach ludzi) uczniowie wiążą zupełnie inne intuicje niż z ciągami

(a*:)-Droga dedukcyjna — od pozornie prostego, ogólnego pojęcia do szczegól­ nych przypadków — to przykład tego, co nazywa się inwersją antydydaktyczną (Freudenthal, 1973, s. 122; Freudenthal, 1985, s. 24), a mianowicie prezento­ wanie materiału w kolejności odwrotnej do tej, w której sami matematycy niegdyś te pojęcia poznawali. Ta kolejność może wydać się naturalna i prosta osobom, które rozumieją wszystkie jej elementy. Jeśli jednak uczeń ma przejść tę drogę, nie znając jeszcze tych pojęć, przechodzenie od struktury ubogiej (Freudenthal, 1991, s. 20-30), takiej jak dowolny zbiór par, do struktury bo­ gatszej, takiej jak konkretne, ważne przykłady funkcji, jest — wbrew pozorom — istotnie trudniejsze dla uczniów.

4.5. Zamiast mówić o przyporządkowaniach, w wielu publikacjach propo­ nuje się rozmaite ćwiczenia typu: dana liczba na wejściu, „maszyna” (prawdzi­ wa lub symulowana) wykonująca jakieś działanie, liczba na wyjściu. Pozwala to, również w naturalny sposób, stawiać pytania dotyczące funkcji odwrotnej (mając daną liczbę na wyjściu, pytamy o liczbę na wejściu), składania funkcji (przy dwóch maszynach), a także próby odgadnięcia, jakie operacje wykonuje maszyna, gdy znamy liczby na wejściu i na wyjściu.

mogą być traktowane jako proces lub jako obiekt, przy czym zarówno w roz­ woju historycznym, jak i w rozwoju osobniczym ujmowanie pojęcia wyłącznie jako procesu, poprzedza możliwość traktowania go jako jednego i drugiego. Wcześniejsze ujęcie dynamiczne procesu pozwala na późniejszą „enkapsulację” i swobodę przechodzenia między ujęciami: dynamicznym i statycznym, zależ­ nie od potrzeby*. Proces p o p r z e d z a powstanie p o j ę c i a . Wielokrotnie o tego rodzaju zjawiskach pisał Piaget, a w kontekście matematyki analizowali to: Krygowska (1977, s. 81-128), Sfard (1991), Gray i Tali (1994).

Dotyczy to w szczególności pojęcia funkcji. W XVIII wieku funkcję wiązano ze wzorem pozwalającym obliczyć y przy danym x; owo obliczanie można inter­ pretować jako proces. W XIX wieku matematycy stopniowo dojrzeli do trak­ towania funkcji jako pojedynczych, całościowych obiektów (widoczne to było m. in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych z warunkami początkowymi Cauchy’ego lub warunkami brzegowymi, gdzie funkcja jako c a ł o ś ć była nie­ wiadomą lub daną, podobnie było przy używaniu symbolu laplasjanu A przez Boole’a oraz w teorii aproksymacji funkcjami, w nierówności Bessela itd.). Weierstrass udowodnił swe klasyczne twierdzenie: dla każdej funkcji ciągłej f

na [a,b] i dla każdego e > 0 istnieje wielomian w taki, że \f(x) — w(x)\ < e

dla x £ [a, 6]. Twierdzenia tego nie da się ująć na poziomie funkcji-procesu;

w tym twierdzeniu funkcja musiała być już dla Weierstrassa obiektem. Należy być jednak bardzo ostrożnym z przypisywaniem pewnych idei dawniejszym matematykom, bowiem

(...) ogólna jest skłonność ludzi do nieuzasadnionego szukania w myśli dawnych ludzi — własnych, jasnych pojęć o przedmiocie i zapominania, że są one uwiecznieniem całych wieków spekulacji i poszukiwań (Boyer, 1964, s. 422).

Ujmowanie funkcji jako obiektu było zapewne nie owocem pracy pojedyn­ czej osoby, lecz efektem długich lat zmagań wielu matematyków z rozmaitymi koncepcjami i trudnościami.

Jak to stwierdzili Gray i Tali (1994), dzięki pewnej dwuznaczności sym­ boliki matematycznej, a ściślej dzięki temu, że często ten sam symbol ozna­

cza zarówno proces, jak i produkt tego procesu, pojęcie funkcji mogło w tych

rozumowaniach być traktowane jako jedno lub drugie, elastycznie, zależnie

139

od sytuacji. Idąc tym tropem, można wysunąć hipotezę, że w rozwoju his­ torycznym pojęcia funkcji istotną rolę odegrało używanie ogólnego symbolu ( / lub (/?), co jest wyraźne u Dirichleta, a sporadycznie pojawiało się wcześniej.

Sfard (1991) oraz Gray i Tali (1994) dyskutowali (w duchu piagetowskim)

hierarchię zależności: pierwszy szczebel to proces przechodzący stopniowo w

pojęcie, drugi szczebel to proces, w którym biorą udział pojęcia powstałe na pierwszym szczeblu, wynikiem tego drugiego procesu jest drugie pojęcie itd. Każdy następny szczebel to nowe piętro trudności.

Gray i Tali (1994) wprowadzili bardzo ważną koncepcję „upadku hierar­ chii” ( collapse o f hierarchy); oznacza ono tak wysoki poziom rozwoju pojęć kolejnych szczebli, że wszystkie traktowane są na tym samym piętrze abstrak­ cji. Dostosowawszy ich koncepcję do typowych sytuacji dotyczących funkcji, możemy stwierdzić, że w X IX wieku, na pewnym poziomie rozwoju, hierarchię kolejnych procesów i pojęć (np. w równaniach różniczkowych) stopniowo zastę­ powano traktowaniem na tym samym poziomie pojęć typu „funkcja” (o war­ tościach liczbowych i argumentach z podzbioru Rn).

Istotnego kroku w przechodzeniu do nowego stadium rozwoju pojęcia funk­ cji dokonali Hadamard (1903) i Frechet (1906), pokazując, że obiekt, jakim jest funkcja ciągła, można jeszcze bardziej skondensować i uważać go za pojedyn­ czy p u n k t przestrzeni metrycznej z odległością (1 0).

Wkrótce po tym nastąpiło kolejne przejście na wyższy poziom. Funkcjona­ ły (liczby przyporządkowane funkcjom) i operatory (przyporządkowania funk­ cji funkcjom, w szczególności operatory / H-+ K ( x , t ) f ( t ) d t w teorii rów­

nań całkowych) rozpatrywano przed rokiem 1910. W nowszej teorii kwantów (od roku 1926) operatory (zwłaszcza operatory różniczkowe, np. ^ czy lap- lasjan A ) stały się podstawowym narzędziem matematycznym fizyków. Pod koniec lat dwudziestych X X wieku nastąpiło jeszcze jedno przejście na wyż­ szy poziom: zaczęto badać p r z e s t r z e n i e funkcjonałów i przestrzenie ope­ ratorów, tzn. owe zaawansowane pojęcia stały się elementami jeszcze bardziej zaawansowanych struktur. '

Po bardzo wolnym rozwoju pojęcia funkcji w XVIII i XIX wieku, pełnym wahań i dyskusji, w X X wieku nastąpiło gwałtowne przyspieszenie przecho­ dzenia na coraz wyższe poziomy pojęciowe i powtarzające się coraz szybciej następujące po sobie „upadki hierarchii” , powodujące, że dla nowych genera­ cji matematyków szybkie przechodzenie na wyższe poziomy abstrakcji stało się możliwe i niezbyt trudne. Prawdopodobnie kluczowa była tu łatwość prze­ chodzenia na wyższe typy logiczne (w sensie prostej lub rozgałęzionej teorii typów, Mostowski, 1948, s. 88 i 214).

• traktowanie funkcji jako obiektów (a nie jedynie jako procesów) nastąpiło na długo przed tym, nim matematycy zaczęli identyfikować funkcje ze zbiorami par;

• myślenie o funkcjach jako o procesach bynajmniej nie dotyczy wyłącznie osób, u których pojęcie to dopiero się kształtuje. Jak to wynika m. in. z cyto­ wanej w 4.2 wypowiedzi Thurstona (1994), nawet najwybitniejsi współcześni matematycy w pewnych sytuacjach traktują funkcje właśnie jako procesy.

6. W p r o w a d z a n ie p o ję c ia fu n k cji w szkole. Wróćmy do sformułowa­ nego powyżej postulatu (7), by możliwie wcześnie wprowadzać w szkole pojęcie funkcji. Zwolennicy „nowej matematyki” głosili (głównie we Francji), że gdy tylko uczniowie opanują to fundamentalne pojęcie — a do tego wystarczy pojąć tylko warunki (8) i (9) — pomoże im to pojąć proporcjonalność i wiele innych trudnych kwestii.

Łudzono się przy tym, że łatwiejsze dla uczniów będzie zaczynanie od bliższych im zbiorów skończonych. Miały to być np. ćwiczenia z klockami, permutowanie jakichś elementów, rysowanie grafów przyporządkowań itp.

Program ten okazał się kompletną iluzją. Funkcje na zbiorach skończonych były nieprzydatne z dwóch powodów: 1) pierwszy bardziej prozaiczny: niemoż­ ność odpowiedniego przygotowania nauczycieli (nie było nawet przyzwoicie opracowanej i należycie zweryfikowanej w szkołach metodyki takiego naucza­ nia) oraz 2) bardziej fundamentalny fakt: nie zanotowano u dzieci (w nau­ czaniu masowym) transferu z ćwiczeń dotyczących odwzorowań zbiorów skoń­ czonych na odwzorowania wielkości ciągłych; większość z nich nie widziała żadnych związków między jednymi a drugimi zadaniami.

Również nie dało pozytywnego efektu stosowanie funkcji liniowych do wy­ jaśnienia proporcjonalności, w rzeczywistości bowiem, kształtowanie właści­ wego pojęcia funkcji opiera się głównie na przykładach zakładających propor­ cjonalność.

Mechanizm przenoszenia idei z teorii mnogości do szkoły był następujący. W pracach naukowych z topologii, algebry itp. zaczęto definiować funkcje jako odpowiednie zbiory par (jakkolwiek w praktyce niezbyt często korzystano w rozumowaniach explicite z (8) i (9), a z (4) korzystano jedynie w aksjoma- tycznej teorii mnogości). Ponieważ podejście oparte na produktach kartezjań- skich stało się dominujące w zaawansowanych tekstach, zaczęto objaśniać je najlepszym studentom. Gdy ci studenci później sami zaczęli uczyć innych, przekazywali im ten nowy język. Przyszli nauczyciele dowiadywali się już na początku studiów, że tak należy objaśniać pojęcie funkcji. Przenosili więc to do szkoły.

zajęło najwybitniejszym matematykom około 20 0 lat, wypełnionych wahania­ mi i kontrowersjami, co jest dobitnym dowodem na to, że pojęcie funkcji nie może być łatwe i m u s i sprawiać poważne kłopoty nauczycielom i uczniom.

Mnogość sposobów reprezentowania funkcji (za pomocą wzoru, wykresu, tabelek, a także przez analizowanie zależności w konkretnych sytuacjach) jest oczywiście nieodzowna dla ukształtowania pojęcia funkcji, ale zarazem uchwy­ cenie związków między tymi reprezentacjami jest też często dla uczniów źró­ dłem poważnych trudności.

Okazuje się, że pojęcie funkcji u wielu uczniów charakteryzuje się pewnymi specyficznymi ograniczeniami:

1. Ograniczenie czynnościowe. Aby sytuacja była interpretowana przez ucznia jako funkcja, muszą być w niej wykonywane pewne sprecy­ zowane czynności. Na przykład, dwukolumnowa tabelka z danymi może nie być uznana za funkcję, jeśli nie wykonywano żadnych czyn­ ności, aby z liczb jednej kolumny otrzymać liczby drugiej kolumny. 2. Ograniczenie liczbowe. Na wejściu i na wyjściu danej sytuacji muszą

być liczby.

3. Ograniczenie ciągłościowe. Wykres przedstawiający funkcję musi być ciągły. (Badania Vinnera, Dubinskiego i Harel, cytowane w: Harel i Trgalova, 1996, s. 679; por. Tall i Vinner, 1981.)

Szczególnie interesujące w tych wynikach jest to, że owe trudności uczniów przypominają trudności, jakie mieli wielcy matematycy XVIII wieku.

7. K o n k lu z ja . Na to, aby zrozumieć, że w ogólnym pojęciu funkcji ze zbioru w zbiór mieszczą się, jako szczególne przypadki, pojęcia (a)-(d) wy­ pisane w 3.2, trzeba przede wszystkim najpierw pojąć sens każdego z tych czterech pojęć (do tego nie wystarczą definicje; trzeba wielu miesięcy, czy ra­ czej lat, używania ich w różnych zagadnieniach). Dopiero rozumiejąc każde z pojęć (a )-(d ), można dojrzeć analogie między nimi, a pojąwszy te analo­ gie — można zrozumieć ogólne pojęcie funkcji i w szczególności warunki (8) i (9). Zaczynanie od najtrudniejszego końca, jak to chcieli „moderniści” , nie dało efektu. Jest szczególnie ważne, aby — kształcąc nauczycieli matematyki — nie wytwarzać w nich przekonania, że jedynie definicja oparta na (8) i (9) jest właściwym podejściem do zagadnienia, bowiem taki pogląd przeniosą oni

L iteratura*

B i r k h o f f, G., M a c L a n e, S.: (1963) [1954] Przegląd algebry współ­

czesnej, wyd. II, PWN, Warszawa.

B o y e r, C. B.: 1964 [1949], Historia rachunku różniczkowego i całkowego

i rozwój jego pojąć, PWN, Warszawa.

B r e i d e n b a c h, D. E., Dubinsky, E., Hawks, J., Nichols, D.: 1992, De­ velopment, of the process conception of function, Educational Studies in Ma­

thematics 23, 247-285.

C e c h , E.: 1966, Topological spaces, Academia, Prague.

F e r r e i r ó s, J.: 1999, Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and

Its Role in Modern Mathematics, Birkhauser, Basel.

F r e c h e t, M.: (1906), Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendi-

conti del Circolo Matematico di Palermo 2 2, 1-74.

F r e u d e n t h a 1, H.: 1973, Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht.

F r e u d e n t h a 1, H.: 1985 [1984], Niejawna filozofia historii i dydaktyki matematyki, Dydaktyka Matematyki 5, 7-25.

F r e u d e n t h a 1, H.: 1991, Revisiting Mathematical Education. China lec­

tures, Kluwer, Dordrecht.

G ó d e 1, K.: 1940, The consistency of the axiom of choice and the generalized

continuum-hypothesis with the axioms of set theory, Princeton.

G r a y , E. M. , T a l l , D. O.: 1994, Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view of simple arithmetic, Journal for Research in Mathematics

Education 25, no. 2, 115-141.

H a d a m a r d, J.: 1898, Sur certaines applications possibles de la theorie des ensembles, w: Verhandlugen des Ersten Internat. Math. Kongresses 1897, Leipzig, s. 202.

H a d a m a r d , J.: 1903, Sur les operations fonctionnelles, Comptes Rendus

de I’Academie des Sciences de Paris 136, 351-354.

H a r e 1, G., T r g a 1 o v a, J.: 1996, Higher mathematics education, w: Bishop et al. (red.) International Handbook of Mathematical Education, Part 1, Kluwer, Dordrecht, 675-700.

H a u s d o r f f , F.: 1914, Grundziige der Mengenlehre, Leipzig.

J u s z k i e w i c z, A. P. (red.): 1977 [1972], Historia matematyki, tom 3, PW N, Warszawa.

K e l l e y , J. L.: 1955, General Topology, Van Nostrand, Princeton.

K r y g o w s k a , Z.: 1977, Zarys dydaktyki matematyki, część 1, WSiP, War­ szawa.

K u r a t o w s k i , K.: 1921, Sur la notion d ’ordre dans la theorie des ensem­ bles, Fundamenta Mathematicae 2, 161-171.

K u r a t o w s k i , K.: 1948, Wykłady rachunku różniczkowego i całkowego, część I, Czytelnik, Warszawa.

K u r a t o w s k i , K., M o s t o w s k i , A. 1952, Teoria mnogości, Mono­ grafie Matematyczne, PTM , Warszawa.

L a k a t o s , I.: 1976 [1963-64], Proofs and refutations, Cambridge.

L e j a , F.: 1969, Rachunek różniczkowy i całkowy, wyd. X, PWN, Warszawa. M o s t o w s k i , A.: 1948, Logika matematyczna, Monografie Matematyczne, Warszawa.

N i k o d y m, O.: 1937, Dydaktyka matematyki czystej w zakresie wyzszych-

klas szkoły średniej, tom II, Ułamki i ich algebra, Nasza Księgarnia, Warszawa.

P e a n o, G.: 1911, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia

dei Lincei, Serie 5a, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali 2 0, 3-5.

P i a g e t , J., G a r c i a R.: 1989 [1983], Psychogenesis and the History of

Science, Columbia University Press, New York.

P o i n c a r e , H.: 1911 [1908], Nauka i Metoda, Warszawa 1911.

Q u i n e , W. V. O.: 1998 [1995], Od bodźca do nauki, Aletheia, Warszawa. R a s i o w a, H.: 1968, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN. Warszawa. R u d i n, W.: 1982 [1964/1976], Podstawy analizy matematycznej, wyd. III, PWN, Warszawa.

S e m a d e n i , Z.: 2002a, Trojaka natura matematyki: idee głębokie, formy powierzchniowe, modele formalne, Dydaktyka Matematyki 24, 41-92.

S e m a d e n i , Z.: 2002b, Utożsamianie pojęć, redukcjonizm i równość w ma­ tematyce, Dydaktyka Matematyki 24, 93-117.

S e m a d e n i , Z.: 2002c, Rola znaczenia w rozumowaniach matematycz­ nych, Dydaktyka Matematyki 24, 145-174.

S f a r d, A.: 1991, On the dual nature of mathematical conceptions: reflec­ tions on process and object as different sides of the same coin, Educational

Studies in Mathematics 2 2, 1-36.

S i e r p i ń s k a , A.: 1985, O niektórych trudnościach uczenia się pojęcia granicy — na podstawie studium przypadku, Dydaktyka Matematyki 4, 107—

167.

S i e r p i ń s k a , A.: 1994, Understanding in Mathematics, Faliner Press, London.

S i e r p i ń s k a , A., L e r m a n, S.: 1996, Epistemologies of Mathematics and o f Mathematics Education, w: Bishop et al. (red.) International Handbook

of Mathematical Education, Part 2, Kluwer, Dordrecht, 827-876.

T a l l , D.: 1996, Functions and Calculus, w: Bishop et al. (red.) International

T a l l , D., V i n n e r , S.: 1981, Concept image and concept definition in mathematics with special reference to limits and continuity, Educational Stu­

dies in Mathematics 12, 151-169.

T a r s k i , A.: 1924, Sur les ensembles finis, Fundamenta Mathematicae 6, 45-95.

T h u r s t o n, W. R.: 1994, On proof and progress in mathematics, Bulletin

of the American Mathematical Society 30, 161-177.

T u r n a u, S.: 1990, Wykłady o naliczaniu matematyki, PWN, Warszawa. V a n H e i j e n o o r t , J.: 1967, From Frege to Godel. A Source Book in

Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge.

W i e n e r , N.: 1914, A simplification of the logic of relations, Proceedings of

the Cambridge Philosophical Society 17, 387-390.

Y o u s c h k e v i t s c h , A. P.: 1976, The concept of function up to the mid­ dle o f the 19th century, Archive fo r History of Exact Sciences 16, 37-^85.

Epistemological difficulties concerning the concepts:

‘ordered pair’ and ‘function’

S u m m a r y

The first part of the paper is devoted to a study of the concept of an ordered pair. The standard way of modern presentation is outlined: first Kuratowski’s pair (a,b) defined as {{ a}, {a, 6}}, then the definitions: of a relation and of & function (as certain sets of pairs), and the definition of a sequence (0 1,02) (as a function on {1,2}). It is shown that this approach leads to some kind of a vicious circle. Two di f f er ent sets denoted as A x B are, in practice, treated as if they were the same (even in an axiomatically presented theory, e.g., in J. L. Kelley’s General Topology), because what mathematicians use here is not a definition but the intuitively clear concept of

a pair.