Tom asz P R IM K E , Z d z is ła w D U D A P o lite ch n ika Śląska
C AŁK O W ITO LICZBO W Y A LG O R Y TM E W O LU C Y JN Y D LA PR O B L EM U BALANSOW ANIA LIN II M ONTAŻOW EJ
Streszczenie.
W pracy opisano a lg o ry tm e w o lu c y jn y d la pro ble m u balansowan ia lin ii m ontażow ej. W a lg o ry tm ie w ykorzysta no kodow anie c a łk o w ito lic z b o - we. W y n ik i dzia łan ia a lg o ry tm u porów nano z w y n ik a m i u zyskanym i za pom ocą znanych m etod heurystycznych.
IN T E G E R E VO LU TIO NA RY A LG O R ITH M FO R ASSEM BLY LINE B A L A N C IN G PR O B L EM
Sum m ary.
In this paper an e vo lu tio n a ry a lg o rith m is proposed fo r assem bly lin e b alan cing p roblem . The E A uses integer encoding. Solutions obtained w ith the E A are com pared w ith solutions obtained w ith know n heuristic methods.1. W prow adzenie
Z na nych je s t w ie le klas p ro b le m ó w balansow ania lin ii m ontażow ej [3 ], je d n a k że w zdecydow anej w iększo ści obszernej lite ra tu ry dostępnej na ten tem at uwaga je s t skupiona na pew nej specyficznej klasie p ro b le m ó w zw anych S A L B P (ang. S im ple A s sem bly L in e B a lan cing P roblem ). Istn ieją różne w ersje tego problem u. W pracy uwagę skupiono na p ro b le m ie zw anym S A L B P -1, w k tó ry m d la danego czasu c y k lu należy z m in im a liz o w a ć liczbę stacji roboczych, na k tó ry c h będą realizow ane operacje procesu zgodnie z d an ym i relacja m i k o le jn o ś c io w y m i.
Z aproponow ano rozw iązanie problem u S A L B P -1 za pom ocą c a łk o w ito lic z b o - w ego a lg o ry tm u ew o lucyjne g o (C A E ). Isto tn ą ro lę stanow i w n im o ryg in a ln a procedura dekodująca, k tó ra zostanie opisana w dalszej części pracy. W y n ik i działania p ro po no wanego a lg o ry tm u porów nano z w y n ik a m i u zyskan ym i za pom ocą znanych m etod heu
rystycznych.
2. C ałkow itoliczbow y algorytm ew olucyjny (CAE)
A lg o ry tm y e w o lucyjne są a lg o ry tm a m i stochastycznym i, k tó ry c h działanie opar
te je s t na zasadach procesów e w o lu c ji obserw ow anych w przyrodzie. A lg o ry tm y te prze
tw arzają jednocześnie w iele rozw iązań, posługując się pew nym sposobem zapisu ro z w iązania, zw anym kodow aniem .
żą się w ięc zupełnie nieprzydatne w p rzypadku p ró by rozw ią za n ia p ro b le m ó w inn ych klas.
K o do w an ie c a łk o w ito lic z b o w e użyte w C A E je s t inne. W artości poszczególnych genów w chrom osom ie nie są ściśle zw iązane z ro z w ią z y w a n y m p roblem em i każdy gen m oże p rz y jm o w a ć w artości z przedziału [0 ; R ], p rzy cz y m liczb a naturalna R zwana je s t rozm iarem alfabetu.
P rzyjęcie c a łk o w ito lic z b o w e g o ko dow ania w C A E u m o ż liw iło zastosowanie ope
ra to ró w genetycznych, któ re są zdolne do w y k o n y w a n ia operacji na w ektorach lic z b c a łk o w ity c h [5 ], O peratory te m ożna zastosować w e wszystkich a p likacjach C A E , n ie
zależnie od klasy rozw iązyw anego p ro ble m u . Jest to k o le jn a cecha om awianego a lg o ry tm u , k tó ra w yra źn ie o dróżn ia go od inn ych a lg o ry tm ó w e w o lu c y jn y c h opisyw an ych w literaturze.
K a ż d y chrom osom je s t przekształcany na fe no typ . Sposób tego przekształcenia je s t ściśle zw iązany zarów no z kodow aniem , ja k i z ro z w ią z y w a n y m problem em . P ro
cedura dekodująca w C A E (poza w yznaczaniem w arto ści fu n k c ji przystosow ania dla danego fe no typ u) je s t jedynym m iejscem , w k tó ry m u w zg lęd nio na je s t specyfika da
nego problem u. Z p un ktu w id ze n ia operatorów genetycznych, ja k ró w n ie ż p rocedury generującej populację początkow ą, ważna je s t ty lk o liczb a genów oraz ich w artości.
W procedurze dekodującej w arto ści genów są interpretowane w zależności od klasy rozw iązyw anego problem u.
D ostosow anie C A E do ro zw ią zyw a n ia pro ble m u danej klasy polega w ięc na za
p ro ponow aniu o d p ow ied nie j procedury dekodującej, zwanej dekoderem . W procedurze dekodującej m ożna u w z g lę d n ić w szystkie ograniczenia zw iązane z danym problem em , zastosować a lg o ry tm y o p ty m a liz a c ji lo k a ln e j, z m o d yfiko w a ć chrom osom itp.
3. Z astosow anie CAE do problem u SALBP-1
W p ro b le m ie S A L B P -1 danych je s t K o pe ra cji do w y ko n a n ia na stacjach ro b o czych. D la operacji tych określone są relacje ko le jno ścio w e. D any je s t ró w n ie ż c y k l C, c z y li okres czasu, przez ja k i operacje m ogą b yć w y k o n y w a n e na je d n e j stacji roboczej.
R ozw iąza nie m p ro ble m u S A L B P -1 je s t takie p rzyporządkow anie o pe ra cji do stacji ro boczych, aby b y ły zachowane relacje ko le jno ścio w e, czas c y k lu n ie b y ł prze kro czon y na żadnej ze stacji, a liczba stacji N b y ła ja k n ajm niejsza. Jako dodatkow e k ry te ria p rz y ję to też dw a w s k a ź n ik i: e fektyw n ość lin ii (ang. line efficiency) L E oraz w s p ó łc z y n n ik gła dko ści (ang. smoothness index) SI. Są one zdefiniow ane następująco:
Rys. 1. Dwuetapowa procedura dekodująca
spN rp
L E = . T 1 J • 100%
N - C
S I = N
(Tm a x
1=1
T O 2
( 1 )
( 2 )
gdzie:
C - c y k l,
N - liczb a stacji roboczych,
T i - czas w y k o n y w a n ia operacji na i-te j stacji roboczej, Tm a x — m a x * T i .
R ozw iązanie p ro ble m u z zadanym c y k le m m ożna w yznaczyć na podstaw ie do puszczalnej p e rm u ta c ji operacji. Znając taką perm utację, m ożna w yznaczyć przyp orząd ko w a nie o pe ra cji do stacji roboczych, przyd zie lają c ko le jne operacje do stacji tak długo, ja k d łu g o n ie zostanie p rzekroczony zadany czas c y k lu . Po p rzyd zie len iu operacji do p ierw szej stacji p rz y d z ie la się następne operacje do d ru gie j stacji itd.
Poniew aż C A E przetw arza chrom osom y dane w postaci w e k to ró w nieujem nych lic z b c a łk o w ity c h , w ię c w procedurze dekodującej należy zaproponować metodę prze
kształcenia tych w e k to ró w w fe n o typ y będące p erm utacjam i dopuszczalnym i operacji.
D la p ro b le m u S A LB P -1 zaproponow ano dw uetapow ą procedurę dekodującą, k tó re j schemat je s t przedstaw iony na rys. 1. Procedura ta n a jp ie rw przekształca c h ro m osom na w e k to r d e c y z ji dopuszczalnych, będący perm utacją dopuszczalną operacji.
Następnie, przez p rzypisanie k o le jn y c h operacji ze znanej p erm u ta cji dopuszczalnej do k o le jn y c h stacji roboczych, w yznaczany je s t fe notyp.
P roponuje się ite ra cyjn y sposób k o n s tru k c ji fe n o typ u [ / i , /
2
, • • • , fh '}1 dla ch ro m osom u [p i,52
, • • •, 9s]T zgodnie ze w zorem (3):Pi = P i-x U { d i } , Po = 0 (3) gdzie: Pi, i= l,2 ,...,K , je s t uporządkow anym zb io re m operacji, a ¿¿jest decyzją w ybraną z ciągu d e cyzji D i = (c i.j, c2,,-,. . . , cL ti) o w arto ści di = cj t i , j £ { 1 , 2 , . . . , L } . L ic z ba m o ż liw y c h do podjęcia d e cyzji L w o g ó ln y m p rzypadku zależy od danego zadania (lic z b y o peracji K oraz re la c ji ko le jn o ś c io w y c h p o m ię d zy operacjam i) oraz od d ecyzji
dopuszczalna Pk (c z y li poszukiw any fenotyp).
Przy k o n s tru k c ji dopuszczalnej p erm u ta cji P/< należy I< - 1 razy skorzystać ze w zoru (4). C hrom osom zatem p o w in ie n zawierać s — K — 1 genów.
C iąg D i może się składać z co n a jw yżej ty lu elem entów , ile je s t operacji w p ro b le m ie S A L B P -1 . A b y w przypadku takiego ciągu indeks j w e w zorze (4) m ó g ł być ró w n y K (lic z b ie operacji), wartość genu gt m usi b yć o dp ow ie d n io duża. G d y b y ro z m ia r alfabetu R b y ł m n iejszy od L - l , to indeks j n ig d y b y n ie m ó g ł być ró w n y K . W idać w ięc, że dla pro ble m u z K operacjam i ro z m ia r alfabetu R p o w in ie n b yć ró w n y p rz y n a j
m niej K .
4. B adania num eryczne
A b y spraw dzić działanie a lg o ry tm u opisanego w pop rze dn im punkcie, przepro
w adzono badania num eryczne. R ozw iązyw a no zadania S A L B P -1 , k tó ry c h dane są do stępne na stronie internetow ej [3 ].
D o porów n an ia u żyto w ybran ych m etod heurystycznych znanych z lite ra tu ry :
• m etoda K illb r id g e ’ a i W estera [4 ] (ja k o pierw sze w yko n yw a n e są te operacje, k tó re m ają m niejszą liczbę p o p rze dn ików ),
• m etoda H o ffm a n n a [2 ] (bazująca na m acierzy re la c ji ko le jn o ś c io w y c h ),
• IU F F -N O F , IU F F -N O IF , IU F F -N O P , IU F F -W E T oraz IU F F -B R P W [1 ],
W badaniach num erycznych p rzyję to , że p rzy ro z w ią z y w a n iu danego p ro ble m u a lg o ry tm e w o lu c y jn y zostanie w ykon an y 20 razy, a za w y n ik ostateczny uznane zostanie najlepsze spośród 20 rozw iązań. Stosowanym k ry te riu m stopu, w je d n y m w y k o n a n iu (re a liz a c ji) a lg orytm u, b y ła realizacja 900 pokoleń.
D la każdego rozw iązania uzyskanego za pom ocą a lg o rytm u C A E b y ły ró w n ie ż w yznaczane dodatkow e w s k a ź n ik i. Przede w s z y s tk im analizow ano o d ch yle nie standar
dow e <7 u zyskiw a nych w y n ik ó w (w yznaczone na podstaw ie dw udziestu rozw iązań).
M a ła w artość a m ogła św iadczyć o dużej pow ta rza lno ści a lg o rytm u . In n y m w ażnym w s k a ź n ik ie m b y ła średnia liczba pokoleń G sr, po k tó ry c h b y ło znajdyw ane najlepsze rozw iąza nie ; m ała w artość tej lic z b y św iad czy o tym , że a lg o ry tm szybko znajduje ro z w iązanie zadania. Pewną m iarą ja k o ś c i a lg o ry tm u m oże b yć też standardowe o dchylenie średniej lic z b y p oko le ń a c , którego m ała w artość św iadczy o tym , że ja k o k ry te riu m sto
pu m ożna p rzyją ć liczb ę pokoleń zb liż o n ą do G sr.
W badaniach rozw ażano dw a zadania: Bow m ana i Gunthera [3 ]. Zadania te ró ż
n ią się lic z b ą o peracji oraz re la cja m i k o le jn o ś c io w y m i. W zadaniu B ow m ana je s t 8 ope
ra c ji, a w zadaniu G unthera 35.
W ta be li 1 przedstaw iono uzyskane w y n ik i dla zadania Bow m ana. A lg o ry tm e w o lu c y jn y z n a jd y w a ł rozw iąza nie ju ż w p ie rw s z y m p o ko le niu (z tego pow odu w ta
belach p o m in ię to oceny statystyczne). Oznacza to, że m echanizm y e w o lu cyjn e nie b y ły w ogó le w yko rzystyw a n e do rozw iązania ty c h zadań. W ystarczyło u życie samego deko
dera i w ygenerow anie losow o o dp ow ie d n io dużej lic z b y chrom osom ów . Pow odem tego b y ła bardzo m ała przestrzeń rozw iązań dopuszczalnych dla tego zadania, w zw iązku z c z y m p raw dopodobieństw o, że dobre ro zw iąza nie zostanie w ygenerow ane losow o, b y ło stosunkow o duże. Badane proste m eto dy heurystyczne ró w n ie ż dobrze p o ra d z iły sobie z ty m zadaniem .
Tabela 1 W yniki dla zadania Bowmana
O S II 00 cykl = 25 cykl = 35
L. stacji LE SI L. stacji LE SI L. stacji LE SI
K&W 5 83% 8.66 4 75% 16.40 3 71% 23.02
Hoffmann 5 83% 8.66 4 75% 16.40 3 71% 23.02
IUFF-W ET 5 83% 6.63 4 75% 14.46 3 71% 23.02
IUFF-NOP 5 83% 8.66 4 75% 16.40 3 71% 18.97
IUFF-NOIF 5 83% 8.66 4 75% 16.40 3 71% 23.02
IUFF-NOF 5 83% 8.66 4 75% 16.40 3 71% 23.02
IUFF-BRPW 5 83% 8.66 4 75% 16.40 3 71% 23.02
CAE 5 83% 6.63 4 75% 11.09 3 71% 11.05
W tabelach 2 i 3 pokazano w y n ik i uzyskane d la zadania Gunthera. Zadanie to b y ło ju ż znacznie trudniejsze. W y n ik i uzyskiw ane przez m etody heurystyczne b y ły ju ż b ardziej zróżnicow ane, p rzy czym w yra źn ie w y ró ż n ia ła się m etoda IU F F -N O IF . A lg o ry tm C A E d ał je d n a k ró w n ie dobre w y n ik i. W arto zauważyć, że w y n ik i te b y ły bardzo zbieżne (zerow a wartość o d ch yle nia standardowego). N ajlepsze rozw iązanie b y ło u zy
skiw ane stosunkow o szybko (po m alej lic z b ie p okoleń) w przypadku m ałych i dużych w arto ści c y k lu oraz w yra źn ie p óźn ie j w przypadku średniego c y k lu . M o że to m ieć z w ią zek z rozm iarem przestrzeni rozw iązań dopuszczalnych, któ ra zależy od czasu cy k lu .
5. Podsum ow anie
Proponow any a lg o ry tm C A E cechuje się stosunkow o prostym dekoderem. Prze
prow adzone badania num eryczne m ia ły na celu p orów n an ie tego a lg o ry tm u z pro stym i m eto da m i h e u rystyczn ym i. W y n ik i przedstaw ione w tabelach 1, 2 i 3 w ykazały, że algo
ry tm C A E daje w y n ik i p o ró w n y w a ln e do w y n ik ó w u zyskiw a nych przez proste m etody heurystyczne.
A lg o ry tm C A E , ja k k o lw ie k daw ał dobre w y n ik i we w szystkich sprawdzanych przypadkach, to je d n a k d z ia ła ł w o ln ie j w p o ró w n a n iu z p ro s ty m i m etodam i heurystycz
n y m i. B io rą c je d n a k pod uwagę fa kt, że p ro ble m S A L B P - 1 d otyczy określenia stru ktu ry przedsiębiorstw a p ro du kcyjne go (albo ściślej: konkretnego fragm entu takiego przedsię
b io rstw a , pewnego podsystem u pro du kcyjne go ), ła tw o je s t zauważyć, że problem taki
CAE 13 88% 21.98 8 92% 9.85 6 89% 9.54
Tabela 3 W yniki dla zadania Gunthera
cykl = 42 cykl = 65 cykl = 90 L. stacji L. stacji L. stacji
CAE 13 8 6
a 0.00 0.00 0.00
G sr 3.05 110.65 7.15
°G 1.70 160.53 7.31
je s t ro z w ią z y w a n y najczęściej raz na k ilk a m iesięcy (w szczególnym przypadku: ty g o d n i). Z m ia na s tru k tu ry lin ii m ontażow ej (p ro d u k c y jn e j) w iąże się z o g ro m n y m i koszta
m i. Zadanie S A L B P -1 nie m usi b yć w ięc rozw iązyw a ne bardzo szybko i bardzo często;
nawet czas rzędu g o d zin je s t akceptow alny. D late go też um iejętność znalezienia ro z w ią zania pro ble m u S A LB P -1 w czasie rzędu m in u t nie je s t w adą danego alg orytm u.
B io rą c pod uwagę w szystkie pow yższe u w agi, m ożna s tw ie rd zić, że proponow a
ny a lg o ry tm C A E je s t e fe k ty w n y m narzędziem do ro zw ią zyw a n ia problem u S A L B P -1 .
Praca finansowana vu ramach projektu badawczego K B N n r 3T11A02229.
B IB L IO G R A F IA
1. H ackm an S. T., M agazine M . J., Wee T. S.: Fast E ffe ctive A lg o rith m s fo r S im ple A sse m bly L in e B a lan cing Problem s. O perations Research, 1989, vo l. 37(6), p. 916- 924.
2. H o ffm a n n T. R.: A sse m bly L in e B a la n cin g w ith a Precedence M a trix . M anagem ent Science, 1963, vo l. 9(4), p. 551-562.
3. H om epage fo r assem bly lin e o p tim iz a tio n research, h ttp ://w w w .w iw i.u n i- jen a.de/E ntscheidung/alb/index.htm
4. K ilb rid g e M . D ., W ester L .: A H e u ris tic M e th o d o f A ssem bly L in e B alancing. Jour
nal o f In d u s tria l E ngineering, 1961, vo l. 12(4), p. 292-298.
5. P a w la k M .: A lg o ry tm y e w o lu cyjn e ja k o narzędzie harm onogram ow ania p ro d u k c ji.
W y d a w n ic tw o N aukow e P W N , W arszawa 1999.
6. P rim ke T.: A n a liz a e fe k ty w n o ś c i a lg o rytm u ew olucyjnego w w ybran ych p ro b le m ach sterow ania d yskre tn ym i procesam i p ro d u k c ji. Rozprawa doktorska, In s ty tu t A u to m a ty k i, P o lite c h n ik a Śląska, G liw ic e 2008.
Recenzent: P rof. d r hab. inz. Z b ig n ie w Banaszak
A bstract
In this paper an e vo lu tio n a ry a lg o rith m is proposed fo r assem bly lin e balancing p ro ble m . T h e E A uses integer encoding and classical genetic operators. A tw o-stage decoding procedure is proposed. The fitness fu n c tio n is based on measures fo r the as
sem bly lin e balancing p roblem know n fro m literature. Solutions obtained w ith the E A are com pared w ith solutions obtained w ith k n o w n h eu ristic methods.
