Geneza i rozwój pojęcia praw statystycznych

Stanisław Mazierski

Geneza i rozwój pojęcia praw

statystycznych

Studia Philosophiae Christianae 15/1, 61-80

1979

S tu d ia P h ilo s o p h ia e C h r is tia n a e A T K

15/1979/1

S T A N IS Ł A W M A Z IE R S K I

GENEZA I ROZWÓJ POJĘCIA PRAW STATYSTYCZNYCH

1. U w a g i w s tę p n e . 2. P ie r w s z e p ró b y w y k r y w a n ia p ra w id ło w o ś c i s t a ­ ty s ty c z n y c h . 3. P ro c e s k s z ta łto w a n ia się w z a je m n e j r e l a c ji m ię d z y p r o ­ b a b ilis ty k ą a s ta ty s ty k ą . 4. M e to d y s ta ty s ty c z n e s to s o w a n e do z ja w is k tłu m n y c h ty p u m e c h a n ic z n e g o . 5. M e to d y s ta ty s ty c z n e s to s o w a n e w f i ­

zy ce X X w . 6. G ru p a re p r e z e n ta ty w n y c h prarw s ta ty s ty c z n y c h .

1. U W A G I W STĘPN E

A czkolw iek początki sporządza nia różnych sta ty s ty k sięgają staro ży tn o ści greckiej i rzym skiej (pom ijając cyw ilizacje poza­ europejskie), jed n ak nie znano wówczas p ra w staty sty czn y ch p rz y n a jm n ie j w tym sensie, w jak im je form ułow ano w cza­ sach now ożytnych. Z resztą te n ty p p ra w nie m ieściłby się w ram ach nauki n ak reślo ny ch przez A rystotelesa. W iadomo, że w nioski w yprow adzone na pod staw ie rozum ow ania s ta ty ­ stycznego są tylko praw dopodobne. Praw dopodobieństw o bo­ w iem je s t m iarą niepew ności. Ju ż P la to n tw ierdził, że „a rg u ­ m en ty o p a rte na praw dopodobieństw ie są czcze” . S ta g iry ta zaś, chociaż zdaw ał sobie spraw ę, iż w iedza ludzka dostarcza róż­ nych stopni pew ności zależnie od p rzedm io tu badanego, jed n ak był prześw iadczony, że n auka pow inna zaw ierać tezy ogólne, pow szechne, konieczne i pew ne h W p rak ty c e te n w ielki m y ­ śliciel odstępow ał nieraz od swego ideału. W sy tuacjach, k tó re nie pozw alają na uzyskanie zasad p ew nych, trzeb a się zadowo­ lić tezam i albo też przyczynam i praw dopodobnym i zachodzą­ cych zjaw isk. Ściśle m ów iąc nie one stan o w ią in te g raln ą część nauki. S ta g iry ta zdaw ał sobie sobie sp raw ę z różnicy pom iędzy m etodycznym postępow aniem , w k tó ry m w ychodzi się od po­ jęć i zasad ogólnych oraz pew n ych a rozum ow aniem , w k tó ­ ry m p u n k tem w yjścia są niepew ne fa k ty dośw iadczenia, acz­ kolw iek idea rela cji m iędzy teorią a empdrią w całej sw ej zło­ żoności i p recy zji kształtow ać się będzie dopiero w czasach 1 A n , P o st., I, 33, 88 b 30—34. P o r. ta k ż e S. M a a ia rsk i, P ro le g o m e n a do filo z o fii p r z y r o d y in s p ir a c ji a r y s to te le s o w s k o - to m is ty c z n e j, L u b lin 1969, 145—Ί46.

now ożytnych, kiedy to do głosu dojdą m eto dy pom iarow e, opis i sy stem aty zacja zjaw isk oraz p rzew idyw anie now ych. U św ia­ d am iał on sobie, że gdy chodzi n p . o ru c h y ciał niebieskich, to w tej dziedzinie obiekty dośw iadczenia są niekom pletn e, fra g ­ m entary czn e, a obserw acja n iep ew n a.2. Z darzenia nie zaw sze jaw ią się zm ysłom bezpośrednio, a wówczas odwołać się trzeba do przy czy n praw dopodobnych.

2. PIERW SZE P R Ó B Y W Y K R Y W A N IA PR A W ID ŁO W O ŚC I ST A TY STY C ZN Y C H

Chociaż n iek tó rzy m yśliciele staro ży tn i znali ideę p raw d o ­ podobieństw a, jed n a k obce im było pojęcie p raw pro b ab ili­ stycznych czy też staty sty czn y ch . W y k ry w anie praw idłow ości ty p u statystycznego poprzedziły opisy in fo rm acy jn e, jak ich do­ konyw ano w poszczególnych społeczeństw ach zorganizow anych w pań stw a. Początkow o m iały one c h a ra k te r jakościow y i do ­ tyczy ły położenia geograficznego, u k ształto w ania pow ierzchni, zasobów n a tu ra ln y c h , ludności itd. P ie rw o tn e s ta ty sty k i m iały za zadanie zestaw ianie fak tó w z różnych dziedzin życia (np. gospodarczego, społecznego, k u ltu ra ln e g o itp.) i w yrażan ia ich liczbowo najczęściej w postaci tabel, w ykresów , diagram ów . Tego ro d zaju sta ty sty k i znane by ł od zarania p a ń stw cyw ilizo­ w anych. Na ty m poziom ie b ad ania obranego asp ek tu rzeczy­ w istości nie stw ierd zam y jeszcze p raw sta ty sty czn y ch u łe o re - tyzow anych i uzasadnionych za pom ocą teo rii sta ty sty c z n ej. W skazyw ały one jed n ak drogę do form ułow ania p raw i teorii sta ty sty czn y ch stosow anych n a jp ie rw poza obszarem bad ań przyrodniczych.

P rzełom ow y kro k w dziedzinie s ta ty sty k i stanow ią prace J. G ra u n ta (1620— 1674) i W. P e tty ’ego (1623— 1687). P rzedm io­ tem ich zaintereso w ania by ły zagadnienia, k tó re z biegiem cza­ su nazw ane zostaną dem ograficznym i. P ierw szy z ty ch a u to ­ rów 3 na podstaw ie lon d y ń sk ich b iu lety n ó w urodzeń, u m ie ral­ ności i zaw ierania zw iązków m ałżeńskich, opracow ał dane do­ tyczące n atu raln eg o ru ch u ludności w L on dyn ie (relacje lic z ­ bow e m iędzy ilością urodzonych chłopców i dziew cząt, m iędzy ilością urodzeń i zgonów, m iędzy ilością zachorow ań na pew ne choroby a globalną ilością m ieszkańców danego regionu lub

2 D e coelo, II, 3, 286 a 2— 17. P or. też S. M azierski, dz. cyt., 152.

s J. G ra u n t, N a tu ra l a n d p o litic a l o b s e r v a tio n s m e n tio n e d in a fo l­

lo w in g I n d e x , a n d m a d e u p o n th e B ills o f M o r ta lity ..., w: T h e e c o n o m ic w r itin g s o f S ir W illia m P e tt y , Camtoriidge 1892, v. II, 317—431.

obszaru państw a). G ra u n t pierw szy spostrzegł, że w p rzy p a d ­ k o w y ch zjaw iskach m asow ych dadzą się zaobserw ow ać pew ne

praw idłow ości, które w przyszłości stan ą się podstaw ą fo r­ m ułow ania p ra w staty sty czn ych . S. Konferowtiez, opierając się na licznych w ypow iedziach G rau n ta, dochodzi do w niosku, że te n siedem nastow ieczny badacz życia społecznego „był bliski zrozum ienia p ra w w ielkich liczb, m ającego podstaw ow e znaczę, nie dla oceny stopnia dokładności u sta le ń statystyczn ych. W każdym razie zapoczątkow ując u stalen ie na w ielką skalę praw idłow ości sta ty sty czn y ch J. G ra u n t in tu ic y jn ie w yczuw ał przejaw ian ie się tzw. p raw a w ielkich liczb” (sc. w badaniach dem ograficznych).4 U G ra u n ta m ożem y doszukać się początków stosow ania in d u k cji staty sty czn ej w celu uzyskania w niosków ogólnych na p o dstaw ie k o n k retn y c h przesłan ek liczbow ych otrzy m an ych drogą obserw acji rzeczyw istości społecznej. Ze w zględu na to, że n ik t p rzed ty m a u to rem ta k w nikliw ie, rze ­ teln ie i k ry ty czn ie nie podchodził do d o k u m en tacji dem ogra­ ficznej jako podstaw y w nioskow ania stayty sty cznego , J. G ra u n t u w ażany jest za tw órcę staty sty czn ej m eto dy bad ania z ja ­ w isk społecznych.

A nalogiczne badania staty sty czn e p row adził W. P e tty z tym , że jego zain teresow an ia badaw cze m iały szerszy zakres, pon ie­ waż o bejm ow ały także zagadnienia ekonom iczne. W przedm o­ w ie do swego dzieła Political A r ith m e tic k 5 p re z e n tu je się on jako teo re ty k sta ty sty k i, c h a ra k te ry z u ją c m etodę jak ą się posługuje w sw ych pracach badaw czych: „M etoda, k tó rą tu stosuje, jeszcze się nie upow szechniła (is n o t y e t v e r y usual), zam iast używ ać jedynie słów w stopniu w yższym i najw yższym oraz uciekać się do arg u m en tó w sp ek u lacy jn ych , w stąpiłem na drogę... w y rażania sw ych m yśli term in a m i liczby, w agi i m ia­ ry, stosując li tylko a rg u m e n ty pochodzące od dośw iadczenia zm ysłów i rozw ażając jedynie te przyczyny, k tó re posiadają widoczną podstaw ę w natu rze; a te przyczyny, k tó re zależą od niestałości um ysłów , opinii, p rag n ień i nam iętności poszcze­ gólnych łudzi — pozostaw iam do zbadania in n y m ”.6 S tosując m etodę a ry tm e ty k i polityczej o c h a ra k te rz e staty sty czn y m do różnych działów gospodarki an gielskiej, usiłow ał w ykazać, że

4 S. K onterow iez, L ic z b y p r z e m ó w iły . J. G r a u n t i W. P e tty tw ó r c y m e to d s t a ty s t y c z n y c h , W arszaw a 1957, 23.

5 J. P e tty opracow ał A r y t m e t y k ę p o lity c z n ą w la ta c h 1672—1676, k tó ra została o publikow ana w L ondynie po śm ierci a u to ra w 1690, 233—313.

A nglia przew yższa F ra n cję pod w zględem ekonom icznym i m i­ lita rn y m . Z estaw ienia staty sty cze pozw oliły m u przew idzieć szybki ekonom iczny i polityczny rozw ój Anglii.

P raw idłow ości dostrzeżone w zjaw iskach ekonom iczno-spo­ łecznych przez P e tty ’ego nie m ogły jed n a k stanow ić m ocnej i szerokiej p latfo rm y dla generalizacji staty sty czn y ch , gdyż b ra k im było teo rety czn ej podbudow y. Stało się to m ożliwe, gdy p o jaw iły się początki nowego działu m ate m a ty k i zwanego teo rią praw dopodobieństw a (probabilistyką) obejm ującą n a j­ p ie rw ra c h u n e k praw dopodobieństw a, a z biegiem czasu ró w ­ nież aksjom aty zację rac h u n k u praw dopodobieństw a. Teoria ta zawdzięcza sw e pow stanie przede w szystkim B. Pascalow i, do którego zw rócił się gracz h azard o w y C hevalier de M ère z p ro ­ pozycją w y jaśn ienia poczynionych przezeń spostrzeżeń do­ tyczący ch gier h azardow ych.7 W zw iązku z tą spraw ą Pascal

(1623— 1662) naw iązał k o n tak t k o resp o n d ency jny z m a te m a ty ­ kiem P. F e rm a tem (1601— 1665). W ym iana m yśli na om aw iany tem a t m iędzy ty m i dw om a m ate m a ty k am i doprow adziła do p o w stan ia pierw szych zrębów rac h u n k u praw dopodobieństw a. Tem u zagadnieniu pośw ięcił także Ch. H uygens (1629— 1695) sw ą pracę o praw idłow ościach w grach hazardo w ych (1657).8 W ielk ie zasługi dla rozw oju p ro b ab ilisty k i m a rów nież Ja k u b B ernoulli (1654— 1705), k tó ry w swej p rac y pt. Ars coniectandi poszerzył i w zm ocnił p o d staw y ra c h u n k u praw dopodobieństw a, a w szczególności sform u ło w ał i dowiódł tzw. praw a w ielkich liczb, k tó re w uproszczonym sform ułow aniu słow nym brzm i: jeśli pew ne zdarzenie m a praw dopodobieństw o W, to przy do­ stateczn ie dużej liczbie dośw iadczeń zachodzących w takich sam ych w a ru n k a ch w zględna częstość w ystępow ania tego zda­ rzenia je s t bliska W (tym bliższa jest W, im w ięcej dośw iad­ czeń przeprow adzono). T w ierdzenie B ern o u lli’ego pozw oliło sto­ sow ać p ro b ab ilistyk ę w staty sty ce. R achunek praw dopodobień­ stw a wzbogacili w ażnym i tw ierdzeniam i m atem aty cy fra n c u ­ scy A. de M oivre 9, P. L aplace i S. Poisson.

L aplace (1749— 1827) stosow ał teorię praw dopodobieństw a w dem ograficznych b adania w P a ry żu . R ozw ażania swe w tym przedm iocie zam ieścił on w tra k ta c ie Théorie analitiąue des

7 A. W eryha, Z a sa d y s t a ty s t y k i, cz. I, S ta t y s t y k a ogólna, W arszaw a 1950, 9.

8 D e r a tio c in iis in lu d o a lea e, 1657; je s t to p ierw szy p o d ręczn ik r a ­ c h u n k u praw dop o d o b ień stw a. O zasługach Oh. H uygensa dila rozw oju n a u k i pisze A. E. Bell w książce: C h ris tia n H u y g e n s a n d th e d e v e lo p ­ m e n t o f sc ie n c e in th e s e v e n te e n th c e n tu r y , L ondon 1948.

probabilités, k tó ry jest u w ażany za podstaw ę s ta ty sty k i m a­ tem aty czn ej. Teorię swą poprzedził w y kładem Essai philosophi­ que sur les probabilités, w k tó ry m podał definicję praw dopodo­ bieństw a p o stu lu jącą zd arzenia jednakow o praw dopodobne.10 W edług L ap lace’a p rob lem y zw iązane z pojęciem praw dopodo­ bień stw a p o jaw iają się na sk u te k naszej częściowej w iedzy i częściowej niew iedzy. K onsekw encją takiego spostrzeżenia było jego znane stw ierdzenie, k tó re jest skrótow ą in te rp re ta ­ cją osiem nastow iecznego m echanicyzm u: „Intelig encja, k tó ra b y w danej chw ili znała w szystkie siły ożyw iające przyrodę i odpow iednie położenia sk ład ający ch się na nią rzeczy, k tó ra b y ponadto b y ła dostatecznie po tężn a, ab y te dane poddać rachu n ko w i, zdołałaby objąć ty m sam ym w zorem ru c h y n a j­ w iększych ciał w szechśw iata i ru c h y najlżejszego atom u: niie pozostaw ałoby dla niej n ic niepew nego — i przyszłość za­ rów no ja k przeszłość roztaczałaby się p rzed jej oczam i” n .

Do rozbudow y podstaw sta ty sty k i m atem aty cznej znacznie przy czyn ił się jed en z n ajw iększych m atem aty k ó w w szystkich czasów C. F. G auss (1777— 1855), k tó ry opracow ał teorię p rz y ­ padkow ych błędów obserw acji.

W pierw szej połow ie X IX w. nie m ały w p ły w na rozw ój m y­ śli staty sty czn ej w y w a rł belgijski m ate m a ty k i fizyk A. Q ue- telet, k tó ry stosow ał ra c h u n e k p raw dopodobieństw a w dziedzi­ nie b ad ań socjologicznych. W ty m przedm iocie dociekań epo­ kow e znaczenie m ają szczególnie jego dwie prace: S u r 1’h o m m e et le d é v elo p p e m e n t des ses facultés, ou essai de physique sociale (1836) oraz Du s y stè m e social et des lois, qui le ré­ gissent (1848).12 Będąc z w y kształcenia m atem aty k iem , fizykiem i astronom em usiłow ał przenieść m etody b adań przyrodniczych na g ru n t b adań rzeczyw istości społecznej, anatom icznej, m o­ ra ln e j i politycznej. Dzięki zastosow aniu języka m atem aty czn e­ go w różnych działach w iedzy ludzkiej w celu w yk rycia p ra ­ w idłowości zjaw isk Q u etelet s ta ł się tw ó rcą m atem atycznego k ieru n k u w staty sty ce. U praw ian ą przez siebie sta ty sty k ę n a ­ zw ał fizyką społeczną, k tó ra m iała prow adzić do fo rm ułow ania p ra w dotyczących rozw oju człow ieka i społeczeństw a nie m niej

10 P. Lapüace, E ssa i p h ilo so p h iq u e su r les p r o b a b ilité s , P a ris 1940 6. Por. ta k ż e D. J. Strudk, K r ó tk i za r y s m a te m a ty k i, tłum . z ang. P. S zep­ tycki, W arszaw a 1960, 214—218.

11 T am że, 4.

12 P rz e k ła d z jęz. franc.: U kład, sp o łe c zn y i je g o p ra w a , W arszaw a 1874. Por. rów nież: L. W aśoiszew ski, S ta t y s t y k a . T e o ria m e to d y s t a ty ­ s ty c z n e j, L u b lin 1930, 10—33.

dokład ny ch i ścisłych niż to czynią nau k i przyrodnicze u sta ­ lające determ in isty czn y bieg zjaw isk. Dla w ykonania tego zadania zastosow ał teorię śred n ich w ielkości, średn ich w ła ­ sności do b adań n ad człow iekiem , narodem , ludzkością. U zupeł­ nieniem naszej w iedzy fizycznej o człow ieku i społeczeństw ie p ow inn y być dociekania idące w k ie ru n k u ich w łasności m o­ ra ln y c h i politycznych. Je śli w ty ch w szystkich zjaw iskach da się stw ierdzić określone praw idłow ości to w idocznie rządzi nim i pow szechne praw o przyczynow ości, któ re jest podstaw ą p rzew id y w ania zjaw isk

Ju ż w 1829 r. zajął się obliczaniem praw dopodobnych p rze ­ stę p stw i z zadziw iającą dokładnością przew id ział na r. 1830 liczbę p rzestęp stw w e F ra n c ji i to z w yszczególnieniem ich rodzajów . Q u e te le t nie ustrzegł się przesadnego d eterm inizm u w analizie zjaw isk społecznych i m o ralny ch tw ierdząc, że po­ szczególne jed n o stki tylko w pew nej m ierze są odpow iedzialne za sw e czyny, k tó re są re z u lta te m u w a ru n k o w ań fizycznych, rod zinn y ch i społecznych.

Spośród auto ró w sto su jący ch m etody staty sty czn e w róż­ nych gałęziach w iedzy naukow ej należy także lek arz i p rzy ro d ­ nik angielski F. G alton (1822— 1911).13 Dzięki zapoczątkow aniu teorii k o rela cji cech i b ad a n iu m etodą sta ty sty c z n ą zagadnienia zm ienności i dziedziczności cech sta ł się p rek u rso rem aplikacji m etod staty sty czn y ch w biologii. W założonym przez niego czasopiśm ie B iom etrica publikow ano w y n iki bad ań zm ienności w p o p u lacjach organizm ów żyw ych i re z u lta ty p rac teo rety cz­ n y ch z zakresu s ta ty sty k i m atem aty czn ej. T ak p o w stała an g iel­ ska szkoła staty sty k ó w -m a te m a ty k ó w , do k tó rej zaliczyć trz e ­ ba m. in. A. BoWley’a a przede w szystkim R. F ish era, tw órcę teo rii estym atorów .

3. PRO CES (K SZTA ŁTO W ANIA SIĘ W ZA JEM N EJ R ELA C JI M IĘD ZY iPR O B A B IST Y K Ą A ST A T Y ST Y K Ą

P a ra le ln ie do rozw oju n au k em p iry czny ch i fo rm aln y ch m o­ żna zauw ażyć proces k ształto w an ia się w zajem nej rela cji m ię­ dzy p ro b ab ilisty k ą i sta ty sty k ą . P ierw sza z ty ch dyscyplin nauko w ych szeroko rozum iana obejm ow ała n a jp ie rw rach u n ek p raw dopodobieństw a a zbiegiem czasu tak że aksjo m atyzację tegoż rac h u n k u . R ach u n ek praw dopodobieństw a zajm u je się p rzed e w szystkim badaniem p raw rządzących zjaw iskam i lo­

13 F. G a lto n , A d e s c r ip tiv e lis t o f a n th r o p o m e tr ic a p p a ra tu s..., C a m ­ b rid g e 1887.

sowym i. S ta ty sty k a zaś jest „nau k ą o w yciąganiu globalnych w niosków , m ający ch c h a ra k te r praw idłow ości m atem atyczny ch, z w ielkiej ilości danych em pirycznych dotyczących częstości w ystępow ania zjaw isk rozpatry w an eg o ty p u ”.14 Z historyczne-, go p u n k tu w idzenia trzeb a stw ierdzić, że sta ty sty c e przyszła w su k u rs m ate m a ty k a ze sw ym rac h u n k iem p raw dopodobień­ stw a; w m ate m a ty ce szukała ona m ia ry ścisłości naukow ej. W X X w. sam a s ta ty sty k a stała się działem m atem aty k i. O ile sta ty sty k a e le m en ta rn a ograniczała się do w yczerpującego b a­ dania zbiorowości, poniew aż rozporządzała ograniczoną liczbą indyw iduów , a w nioski z n ie j w yprow adzone m iały moc bez­ w zględnie obow iązującą, o ty le sta ty sty k a m atem aty czn a dy ­ sponuje Zbiorami nieskończonym i i u sta la m etody w nioskow a­ nia o całej zbiorowości na p odstaw ie danych dotyczących czę­ ści zbiorowości staty sty czn ej. Do rozbudow y teo rii p raw do po ­ dobieństw a przyczynili się znacznie au to rzy ro sy jscy i radziec­ cy jak P. Czebyszew, A. M arkow , S. B ernstein , A. Kołm ogo- row , A. C hinczyn i inni.

Na związki istn iejące m iędzy p ro b ab ilisty k ą i sta ty sty k ą w skazują p ew n e w spólne określen ia, jak im i się one posłu gu ją ja k np. „m asa sta ty sty c z n a ” , „zjaw iska m asow e”, „częstość w ystępow ania zjaw isk ” , „praw idłow ość m ate m a ty cz n a ”. N ie­ m niej jed n ak da się ustalić pew ne odrębności n a tu r y epistem o- logicznej m iędzy rozw ażanym i gałęziam i w iedzy.

N ie m ożem y pow iedzieć zasadnie że p ro b ab ilisty k a jest „czy­ stą te o rią ”, a sta ty sty k a p rak ty czn y m zastosow aniem w nio­ sków w yprow adzonych z teorii praw dop o do bień stw a.15 S ta ty ­ sty k a bow iem nie ogranicza się do w yprow adzenia w niosków z dostatecznie dużej liczby zdarzeń losow ych, gdyż sam a s ta je się rów nież teorią w nioskow ania statystycznego, a to znaczy, że m a także swą podbudow ę teoretyczną. Różnice tk w ią w czym ś innym . D la ich uw idocznienia posłużym y się n a stę p u ją ­ cym przykładem . Założym y, że w u rn ie z n a jd u je się pew na ilość k u l w trzech kolorach A, B, C. N iech pierw sza podklasa (A) liczy 20 kul, druga (B) — 30 ku l, a trzecia (C) — 40 kul. Je śli chcem y odpowiedzieć na p y tan ie , jakiego ko lo ru kulę w yciągniem y na „chybił tra f ił” z u rn y , wówczas m am y do czynienia z zagadnieniem typow o p ro babilistycznym . W p rzy to ­

14 W. W e a v e r, E le m e n ta r z r a c h u n k u p r a w d o p o d o b ie ń s tw a , z jęz. aing. tłu m . B. Eim ipacher, W a rs z a w a 1970, 251.

15 T a m ż e , 252. P o r. talkże W. Slknzywain, H isto ria s t a ty s t y k i, W a rs z a ­ w a 1954, 169— 175.

czonym p rzy p ad k u p ro b ab ilisty k a określa praw dopodobieństw o, że w yciągnięta k u la okaże się koloru A, bądź B, bądź C.

Jeżeli zaś nie w iem y, jak a jest zaw artość u rn y , m ożem y przeprow adzić szereg prób losow ych, w yciągając pew ną ilość k u l z urn y. Z kolei zliczam y ilość ciągnięń i u stalam y , ile w yciągnęliśm y k u l poszczególnych kolorów (A, B, C). Po w y ­ ko nan iu ty ch prób u siłu jem y odpowiedzieć, jak a jest z aw ar­ tość u rn y . W tej sy tu a c ji nie p o tra fim y dać jednoznacznej od­ pow iedzi na postaw ione p y tan ie, lecz w y suw am y k ilk a hipotez, z k tó ry c h a k c ep tu je się n ajb ard ziej praw dopodobną. Takie postępow anie m etodyczne je s t ch a ra k te ry sty c z n e dla rozum o­ w ania statystycznego (dla staty sty k i).

Jeżeli zaw artość u rn y nazw iem y p opulacją, pow iem y, że s ta ­ ty sty k a , o pierając się na w iedzy o składzie próbek losow ych, w yprow adza n ajpraw dopodobniejsze w nioski dotyczące niezna­ nego skład u populacji.

A żeby zdobyć in fo rm ację o ch ara k te rz e całej pop u lacji sta ­ ty sty k a nie ogranicza się jed y n ie do w y prow adzenia w niosków z p ró b ek losow ych, lecz rów nież — p la n u je dośw iadczenie tak, by uzyskane na jego podstaw ie re z u lta ty d o starczały jak n a j­ w ięcej w iedzy o sam ej populacji. Chodzi tu o kw estie, jak n a­ leży przeprow adzić b ad an ia w yryw kow e, ja k pobierać próbki losowe i je użytecznie opisyw ać oraz ocenić, ab y otrzym ać n a j- w iarygodniejsze i m ożliw ie w yczerp u jące in fo rm acje o p o p u ­ lacji.

P rz ed sta w io n y sch em at rozum ow ania statystyczn eg o jest b a r­ dzo uproszczony. W łaściw ie m ów iąc, nie jesteśm y up raw n ien i do w yprow adzenia jakich k o lw iek w niosków dotyczących po­ p u lac ji na p o d staw ie p ró b ek losow ych, jeśli uprzednio nie po­ czyniliśm y pew n ych założeń co do sam ej populacji, czyli „m u ­ sim y znać w artości praw dopodobieństw a p rio ri otrzym ania (w naszym przykładzie, S.M.) k u l poszczególnych kolorów , aby m ożna było na podstaw ie tw ierd zen ia B ayesa zm odyfikow ać pierw o tn e założenia; samo tw ierd zenie B ayesa nie może nam dostarczyć ty ch założeń”.1® Poza ty m trzeba określić teo rety cz­ nie w ach larz m ożliw ych składów p róbek i to dla każdej popu ­ lacji, u w zględniając rów nież sposób p obierania próbek. P o stu ­ lu je się, b y w ym ienione p obieranie dokonyw ało się w sposób ty po w y , a więc w drodze losow ania. W p rzeciw nym razie n a ­ razilib y śm y się na zarzu t ten d en cyjn o ści w w yborze ciąg­ nięć.

Jeżeli zaś chodzi o pro b ab ilisty k ę, to w niej ze znajom ości skład u pop u lacji w yprow adza się najpraw do po do bn iejsze w nio­ ski dotyczące nieznanego c h a ra k te ru jej p róbek losow ych.

K lasyczną ilościową definicją praw dopodobieństw ow ą jest tzw . d efinicja fre k w e n c y jn a zaproponow ana przez R. von M i- sesa: W (c) = lim m /n (gdzie m oznacza liczbę p rzypadków

n —»co

sprzy jający ch , n — ogólną liczibę w y k on an ych doświadczeń). Praw dopodobieństw o zachodzenia zdarzeń jakiegoś ty p u określa się jako granicę, do k tó re j dąży stosunek m /n, gdy n rośnie nie- ogramiczenie. P ra k ty k a pokazuje, że gdy liczba dośw iadczeń w zrasta praw dopodobieństw o poszczególnych podklas zdarzeń danego ty p u zbliża się do jedności. Z fre k w e n c y jn ej definicji w yprow adzono 5 reg u ł rac h u n k u praw dopodobieństw a. W X X w. pow stała teoria m iary , k tó re j tw órcam i są E. Borel i H. Lebesque. T eoria ta określa pojęcie m iary za pom ocą r e ­ guł analogicznych do reg u ł frek w encyjnego rac h u n k u p ra w ­ dopodobieństw a z tym , że zam iast reg u ły IV : W (X + Y) = = W (X) + W (Y) w prow adza się m ocniejszy p o stu lat IV ', a przez to rozciąga się praw o dodaw ania na nieskończenie w iele dodajników .17 M atem aty cy okresu m iędzyw ojennego zauw aży­ li, że niesprzeczność reg u ł rac h u n k u praw dopodobieństw a jest kon sekw encją niesprzeczności teo rii m iary. O dtąd rach u n ek praw dopodobieństw a uznano za dział m ate m a ty k i rów nież ści­ sły jak in n e działy tejże dyscypliny naukow ej.

Now oczesna teo ria sta ty sty k i w yro sła na podstaw ach tw ie r­ dzenia B ayesa, pozostającego w zw iązku z m atem aty czną teo­ rią rozum ow ania indukcyjnego. Ze w zględu na w ielką rolę, jak ą to tw ierd zen ie odegrało w h isto rii s ta ty sty k i p rzed staw im y je w k ontekście zabiegu up raw d op o d ab n iam a h ipotezy czy też p raw a naukow ego.18

P rzyp u śćm y , że zaszło jakieś zdarzenie c. P o staw m y sobie za zadanie znalezienie p rzyczyny tego zdarzenia, k tó rą m ożna po­ tra k to w a ć jako hipotezę h. Nie m ogąc w tej sy tu acji znaleźć w łaściw ej przyczy n y zdarzenia c, odw ołujem y się do szeregu h ipotez (przyczyn) praw dopodobnych, czyli w yk luczających się zdarzeń h b h 2, ...., h n, k tó re uw ażać będziem y za jed y n e m oż­

17 H. Steinihafus, R a c h u n e k p ra w d o p o d o b ie ń s tw a i s ta ty s t y k a m a te ­ m a ty c z n a , w: E n c y k lo p e d ia — P rzy r o d a i te c h n ik a , W arszaw a 1067, 993.

18 S. Maziersiki, P ra w a p r z y r o d y ja k o u o g ó ln ie n ia in d u k c y jn e , Rocz­ n ik i F ilo zo fic zn e , 11 (1963) z. 3, 27—28; por. też B. G aw ęcki, O h ip o ­ te z a c h w fiz y c e , R oczniki F ilozof rożne, 6 (1958) z. 3, 147—156.

liw e przy czyn y zjaw iska c. Znaczy to, że to zdarzenie zachodzi tylk o w ted y , g d y zaszło jedno ze zdarzeń hi, h 2, ...,> h n. Jeśli zdarzenie с n astąpiło, nasuw a się p y tan ie, k tó re ze zdarzeń h 1( h 2, ..., h n było jego rzeczyw istą przyczyną. Inaczej m ówiąc, jak ie je s t praw dopodobieństw o (W), że zdarzenie h k (gdzie к = 1, 2, 3, ..., n) je s t przyczyną zdarzenia c, albo też jak ie jest praw dopodobieństw o h k ze w zględu n a posiadaną wiedzę o c; sym bolicznie: W (hk/c) = ?

N a podstaw ie reg u ły m nożenia praw dopodobieństw a: W (tą · h 2/f) = W (hj/f) W (hs/hd) = W (h2/f) W ( h ^ f )

■— (gdzie hj, h 2 oznaczają jakieś dwie w y kluczające się hipo­ tezy, f — dane początkow e stanow iące dotychczasow ą naszą w iedzę o ja k ie jś hipotezie; W (hj/f) czytam y: praw dopodobień­ stw o hip o tezy hi ze w zględu na naszą w iedzę f) — m ożna n a ­ pisać:

W (c · h k) = W (c) W (hk/c) lub

W (c · hk) = W (hk) W (c/'hk), a stą d o trzy m u je się: W (c)

Poniew aż założyliśm y, że: W (c) = W (hiC + h 2c, ..., h nc) =

n

У i W (hj/c) = ^ W (hi) W (c/h,), wobec tego otrzym u jem y : W ( hk/ c ) = ^ m ^

£ W (hi) W (c/hi) i= l

To o statn ie w y rażenie jest w zorem (tw ierdzeniem ) Bayesa na praw dopodobieństw o a posterio ri, czyli na praw dopodobieństw o p rzyczyn y ze w zględu na zaszły skutek. Z akłada się tu , że praw dopodobieństw o a p rio ri odnośnej hipotezy pow inno być różne od zera p rzed w szelkim i problem am i określenia p ra w ­ dopodobieństw a tejże hipotezy.

4. M ETO DY ST A T Y ST Y C Z N E ST O SO W A N E DO Z JA W ISK T ŁU M N Y C H T Y P U M ECH AN IC ZN EG O

W raz z rozw ojem n a u k przyrodniczych a zwłaszcza fizyki rosło rów nież zainteresow anie teo rią p raw dopodobieństw a i s ta ­ ty sty k ą m atem aty czn ą. F izycy uśw iadom ili sobie, że w iele p raw fizycznych m a c h a ra k te r staty sty czn y . M etody s ta ty s ty ­ czne zaczęły stosow ać inne d y scy plin y przyrodnicze jak m eteo ­

rologia, ‘biologia, bakteriologia, antropologia i inne. Opis fi­ zycznych zjaw isk m asow ych b y łb y niem ożliw y bez prob ab ili­ styki i sta ty sty k i.

Ilu stra c ją tego fa k tu może być ew olucja teo rii atom istycz- nej, k tó ra p raw ie do połow y X IX w. m iała c h a ra k te r sp ek u la­ cji um ysłow ej nie potw ierdzonej dośw iadczalnie. Do u g ru n to ­ w ania em pirycznych p o d staw tej teo rii przy czyn ił się D aniel B ernoulli, k tó ry w 1738 r. w y tłu m aczy ł praw o B oyle’a-M ario t- t e ’a, o pierając się na założeniu o istn ien iu atom ów jako bezład­ nie p oruszających się kuleczek m asow ych. D ał on rów nież atom ow o-km etyczną in te rp re ta c ję ciśnienia w gazach. Z tego pow odu uw aża się go za p rek u rso ra kinetyczn ej teo rii gazów zbudow anej za pom ocą m etod staty sty czn y ch .

Na przełom ie X V III i X IX w. p rzedm iotem szczególnego zaintereso w ania chem ików było w yodrębnienie czystych p ie r­ w iastków . M etoda operow ania czystym i pierw iastk am i i zw iąz­ kam i chem icznym i doprow adziła do ek sp ery m en talneg o w y­ krycia p raw a stały ch w agow ych relacji (J. L. P ro u st, J. B. R ich­ te r).19 W stosunkow o kró tk im czasie (1804— 1808) J. D alton w p ro sty sposób w y tłum aczył praw o stały ch stosunków p rzy założeniu, że każdy p ierw iastek składa się z atom ów o je d n a ­ kow ych m asach; w relacjach chem icznych p ierw iastk i łączą się w określony ilościowo sposób w jednakow e drobiny. W ty m ­ że okresie czasu (1805) J. G ay-L ussac i A. v. H um boldt stw ierd zili ek sp ery m en taln ie, że w zw iązkach chem icznych, k tó ry c h w yjściow e p ierw ia stk i z n a jd u ją się w stanie gazowym , sto su n ek ich objętości jest sta ły p rzy ty m sam ym ciśnieniu i tem p e ra tu rz e . W kilk a la t później (1811) A. Avogadro na podstaw ie teorii atom ow ej i p raw a G ay-L ussaca w ysu nął h i­ potezę, że rów ne objętości różnych gazów, będących pod tym sam ym ciśnieniem i w te j sam ej tem p e ra tu rz e , zaw ierają je ­ dnakow ą licźbę drobin.

H ipoteza stałości skład u zw iązków chem icznych i p rześw iad­ czenie o istn ien iu d ro b in y o stałej stru k tu rz e atom ow ej stały się p rzedm iotem teo rety czn y ch rozw ażań w połow ie X IX w. T en k ieru n ek bad ań pow stał w zw iązku z zainteresow aniam i fizyków term o d y nam ik ą, k tó ra w sw ych początkach m iała cha­ ra k te r fenom enologiczny i m akroskopow y. To samo należy po­ wiedzieć o elek trodynam ice J. M axw ella. W ym ienione działy fi­ zyki posługiw ały się takim i p a ra m e tra m i i fu n k cjam i p a ra m e ­ tró w jak te m p e ra tu ra , ciśnienie, energia w ew n ętrzn a, entropia, przenikliw ość d ielek try czn a i m agnetyczna, ale nie p o tra fiły

dać im podbudow y teo rety czn ej i w łaściw ej in te rp re ta c ji. Z te ­ go pow odu nie m ożna było prognozow ać liczbow ych w yników teorety czn y ch i k onfrontow ać ich z obiektam i dośw iadczenia. Dopiero w drugiej połowie X IX w. p rzyrodnicy, idąc drogą w skazaną przez W atersto n a, usiłow ali w yjaśnić zjaw iska w y ­ stęp u jące w m akrokosm osie p rzy pom ocy założeń dotyczących m ik ro s tru k tu ry ciał.20 P rz y ję to p ro sty m odel o p a rty na zało­ żeniu, że d robin y gazu są kuleczkam i o określonej m asie, z n a j­ du jący m i się w ciągłym ru ch u . S tosując do drob in gazu m eto­ dę k o lejn y ch przybliżeń (zaniedbyw ano n a jp ie rw ro zm iary drobin oraz ich ro zrzu t prędkości, a potem uw zględniano roz­ m ia ry drobin, nieelastyczność zderzeń i sta ty sty c z n y rozkład prędkości) skonstruow ano kin ety czn ą teo rię gazów. P rzez u śre d ­ nienie n iek tó ry ch m ik roskop ijn y ch w łasności dro bin gazu (w odpow iednio dużej m asie staty sty czn ej) m ożna było z in te rp re ­ tow ać i obliczyć odpow iednie wielkości m akroskopow e ściśle zw iązane z m echanicznym i w łasnościam i m ikroskopow ym i. U czynił to R. C lausius i K. K rönig, (zaniedbując jeszcze roz­ m iary d ro b in i oddziaływ anie m iędzy nim i), k tó rz y z k in ety c z ­ nej teo rii gazów w yprow adzili wzór: 21

pv = 1/ N m c2 (gdzie p oznacza m akroskopow e ciśnienie gazu, v — objętość jednego m ola gazu, N — liczbę Avogadro, m — m asę drobiny, с2 — śred n i k w a d ra t prędkości).

Na podstaw ie ró w n an ia sta n u gazów doskonałych pv = RT (gdzie T oznacza te m p e ra tu rę w stopniu K elvina, R — u n iw e r­ salną stałą gazową) o trz y m u je się n a stę p u jąc y wzór:

T = 3 łT m c 2 = 3kTEkin

(gdzie к = R/N oznacza stałą B oltzm anna). O kazało się, że te m ­ 20 N a w ie lk ie z n a c z e n ie .p ro b a b ilis ty k i i s t a ty s t y k i d la ro z w o ju f i ­ z y k i z w ró c ił u w a g ę w y b itn y p o ls k i fiz y k M. S m olucbow sfci, p isz ą c : „ W p ro w a d z o n y p o ra z p ie r w s z y w la ta c h 1857— 1860 p rz e z G la u siu sa i M axw eM a do k in e ty c z n e j te o r ii gafców ja k o swoisty p o m o c n ic z y śro­ dek m a te m a ty c z n y — r a c h u n e k p ra w d o p o d o b ie ń s tw a z d o b y ł so b ie po p rz e jś c io w y m o k re s ie z a s to ju z u p e łn ie podstawowe z n a c z e n ie d la c a łe j fiz y k i — g d y atoim dstyczny p u n k t w id z e n ia o d n ió s ł o s ta te c z n e z w y c ię ­ stw o ; diziś r a c h u n e k t e n s ta n o w i je d n o z n a jw a ż n ie js z y c h n a rz ę d z i p rz y b a d a n ia c h w d z ie d z in ie n o w o c z e sn y c h te o r ii m a te r ii, e le k tro n ik i, p ro m ie n io tw ó rc z o ś c i i p ro m ie n io w a n ia , g d y ż jeg o is to ta n a jz u p e łn ie j o d p o w ia d a p a n u ją c e j dziś te n d e n c ji s p r o w a d z a n ia — n a w z ó r k in e ­ ty c z n e j teo ria g a z ó w — w s z y s tk ic h p r a w fiz y k i do s t a ty s t y k i u ik ry ty ch z d a rz e ń e le m e n ta r n y c h ...” (W y b ó r p is m filo z o fic z n y c h , W a rs z a w a 1956 296— 297).

p e ra tu ra T jest p ro p o rcjo n aln a do śred n iej energii kinetycznej drobią. gazu, W te n sposób sta ty sty c z n e ujęcie dostatecznie d u ­ żej ilości dro b in gazu doprow adziło do z in terp reto w an ia pod­ staw ow ej wielkości fizycznej jak ą je s t niew ątp liw ie te m p e ra ­ tu ra .

D alszy postęp w rozw oju pierw szej m ikroskopow ej s ta ty ­ stycznej teorii zjaw isk m ak ro św iata zaw dzięczam y M axw ellow i, k tó ry sch arak tery zo w ał m atem aty czn ie rozkład prędkości dro­ bin w stanie rów now agi term o d y n am iczn ej.22 O p ierając się na M axw elow skrm rozkładzie prędkości m olekuł L. B oltzm ann dokonał uogólnienia kinetycznej teorii gazów i na tej drodze s k o œ tru o w a l ogólniejszą teorię fizyczną, k tó ra nazw ana została klasyczną m echaniką staty sty czn ą. Tenże au to r, w ychodząc z przesłan ek teo retyczn y ch , z in te rp re to w ał staty sty czn ie p r a ­ wo w zro stu en tro pii i drugą zasadę term od y nam ik i. W trak cie ty ch bad ań w ykazał on, że entrop ia jest p ro p o rcjonalna do lo- g a ry tm u n atu raln eg o term odynam icznego praw dopodobieństw a (S = klnW , gdzie к oznacza pew n ą stałą u n iw ersaln ą, W ■— praw dopodobieństw o danego sta n u gazu) a bieg zjaw isk w u k ład a c h izolow anych dąży do stanów n ajb ard ziej p raw d o ­ podobnych. Ze w zględu n a to, że w zjaw iskach ty ch biorą udział m iliony cząsteczek, będących w ru c h u jed n o sta jn y m lub d rg ających „praw dopodobieństw o zupełnego nieuporządkow a­ nie ty c h częsteczek jest ty le razy w iększe od praw dopodobień­ stw a pew nego ich p orządku, że w szystkie zjaw iska biegną, p rak ty c zn ie biorąc, zaw sze w k ieru n k u ty ch ugru pow ań b a r­ dziej praw do po d o b ny ch ” 23. K ażdem u w zrostow i entrop ii u k ła ­ du odpow iada przejście tegoż u k ład u do bardziej praw dopodob­ nych ugrup o w ań m olekuł, p rzy czym zjaw isku tem u to w a rz y ­ szy d eg rad acja energii, poniew aż żaden u k ład sam orzutn ie nie pow raca do stan u m niej praw dopodobnego. W te n sposób po­ jęcie en tro p ii zostało w yjaśnione za pom ocą m etod sta ty sty c z ­ nych.

B ardziej a b stra k c y jn ie i ak sjo m aty czn ie p o tra k to w a ł p ro ­ blem aty k ę staty sty czn ą w p rzy ro do zn aw stw ie W. G ibbs.24 Bio­ 22 E w o lu c ję te o r ii a to m ie ty c z n e j do r. 1911 p r z e d s ta w ił M. S m o lu c b o w - sk i n a p o sie d z e n iu P o ls k ie j A k a d e m ii U m ie ję tn o ś d i 20.V.1911 r. (W y b ó r p is m filo z o fic z n y c h , 235— 256).

23 S. P ie ń k o w s k i, F iz y k a d o ś w ia d c z a ln a , t. I, W a rs z a w a 1952, 502. 24 I s to tn ą ró ż n ic ę p o m ię d z y k in e ty c z n ą te o r ią gatzów a m e c h a n ik ą s ta ty s ty c z n ą u p a t r u j e Sm oiluchow slki w ty m , „że p ie rw s z a o p ie r a się na p e w n y c h w p ra w d z ie s iln ie p r z e m a w ia ją c y c h do p rz e k o n a n ia , a le n ie d o w ie d z io n y c h śc iśle id e a c h z d z ie d z in y p r z y p a d k u i p raw d o p o d o fo ień

-rą c za p u n k t w yjścia w łasności ensem bli w p rze strz e n i fazo­ w ej określił on dw a podstaw ow e rozkłady praw dopodobień­ stw a: kanoniczny i m ikrokanoniczny. Z zestaw ienia i porów ­ n ania rozkładów Gibbs doszedł do w niosku, że M axw ellow ski ro zk ład jest szczególnym p rzy p ad k iem rozkładu kanonicz­ nego.

5. M E T O D Y S T A T Y S T Y C Z N E S T O S O W A N E W F IZ Y C E X X W . W m iarę w y k ry w an ia now ych zjaw isk św iata atom ow ego jasn y m się staw ało, że nie w szystkie zjaw iska fizyczne dają się opisać za pom ocą m eehanistycznej a p a ra tu ry pojęciow ej. Do nich należą zjaw iska elektro m ag n ety czn e nie mieszczące się w schem acie m echaniki klasy cznej. Dla ich opisu należało uw zględnić p rzede w szystkim elek try czn ą s tru k tu rę m aterii i w łasności pola elektrom agnetycznego. Je d n y m z pierw szych, k tó ry zajął się badaniem tej dziedziny zjaw iśk b y ł H. A. Lo­ re n tz (1853— 1928). O pracow ał o n podstaw y m ikroskopow ej sta ty sty c z n ej teorii zjaw isk elek tro m ag n etyczn y ch, zw anej teo ­ rią elektronow ą. A u to r te n w y su n ął supozycję, że atom y i d ro ­ b in y sk ład ają się z elek try czn ie naład ow any ch cząstek, a p rąd ele k try c z n y je s t niczym in n ym jak ru ch em sw obodnych ła ­ dunków elek try czn y ch w przew odnikach. Chcąc otrzym ać m a­ kroskopow e wielkości elek tro m agn ety czn e i rela cje m iędzy n i­ m i w yrażone za pom ocą M axw ellow skich p raw , L o rentz do­ konał u średn ienia odpow iednich w ielkości m ikroskopow ych (atom ów i drobin). W w y n ik u tego zabiegu m ógł u jąć w ielko­ ści m akroskopow e w form ie fu n k cji ciągłych położenia i czasu. Ze w zględu na to, że teo rie sta ty sty c z n e czyniły założenia dotyczące s tr u k tu ry m ikroobiektów , p rzeto o d g ry w ały rolę łącznika m iędzy m ikro- a m akrośw iatem . P o k azu ją bowiem , ja k i w pływ w y w ierają w łasności i p raw a m ifcroświata na w ła ­ sności i p raw a m ak ro św iata z jed n ej stro n y , a z drugiej u ja w ­ n iają fak t, że prognozy w yprow adzone z teo rii staty sty czn y ch i skonfron to w an e z obiektam i dośw iadczenia w ym ag ają ko- r e k tu ry poczynionych założeń co do s tr u k tu r y i p ra w m ik ro - św iata.25

N iezm iernie w ażny etap na drodze ew olucji teorii budow y m aterii zawdzięcza fizyka M. Planckow i, k tó ry zaproponow ał s tw a , p o d czas g d y d ru g a ... p o m ija ją c o w e id e e , je s t z b u d o w a n a p rz y p o m o c y m e to d ś c iś le s ta ty s ty c z n y c h ” (W y b ó r p is m filo z o fic z n y c h ..., 327, p rzy p .).

rozw iązanie p ro b lem u prom ieniow ania za pom ocą kw antów energii. W edług niego n ajm niejsza p o rcja energii jak ą może w yprom ieniow ać lub absorbow ać h arm o n iczny oscylator, jest p ro p o rcjo n aln ą do częstości fali E = h , gdzie h jest stałą P lanck a, a v — częstością drg an ia fali elektrom agnetycznej. Tego ro d zaju zjaw iska (i in n y ch zjaw isk atom ow ych) nie po­ tra f i w yjaśn ić m ech an ika klasyczna m ająca c h a ra k te r d e te rm i­ nistyczn y w sensie ścisłym . W celu opisania w yjaśn ienia z ja ­ w isk św iata atom owego trzeb a było stw orzyć now ą m echanikę, zw aną m echaniką falow ą, k tó rą cechu je indeterm inizm . Do p o w staw an ia now ej fizyki w sposób szczególny przyczynili się L. V. de Broglie, W. H eisenberg, M. B orn, E. S chrödinger, P. A. D irac i W. P au li. Opis zjaw isk atom ow ych sta ł się m o­ żliw y dzięki ró w n an iu falow em u S chrödingera. Podobnie jak w fizyce klasyczn ej ta k i w m echanice k w an to w ej istotn ym elem entem sta n u u k ład u (który u siłu je się wyznaczyć) jest położenie o b iek tu fizycznego. W teorii klasycznej lokalizację u kład u i jego ew olucję w czasie u stala się na podstaw ie n e w ­ tonow skich ró w n a ń ru c h u p rzy zachow aniu p ew n y ch w a ru n ­ ków , n ato m iast w teo rii kw antów w odniesieniu do m ikroczą- stefc rolę tę przejęło ogólne ró w n anie S ćh ro d in g erra sp ełn ia­ jące fu n k cję ψ. Nie m a jed n a k w śród fizyków zgodnej odpo­ w iedzi na kw estię, co w łaściw ie re p re z e n tu je fu n k cja falo­ wa. W zw iązku z ty m p o w stały różne in te rp re ta c je tej funk cji, do k tó ry ch m. in. należą: (1) in te rp re ta c ja operacjonistyczna, (2) in te rp re ta c ja stan d ard o w a (realistyczna), (3) in te rp re ta c ja k openhaska, (4) fizyków Zw iązku Radzieckiego in te rp re ta c ja m echan ik i k w an tó w .26

Sam form alizm m echaniki falow ej w skazuje na jej in d ete r- m inisty czn y c h a ra k te r. A czkolw iek ró w n an ie falow e o dtw arza teorety czne zachow anie się m ik ro u k ładu w m iarę u p ły w u cza­ su, jed n a k za jego pom ocą nie m ożna opisać procesu pom iaro­ w ego, k tó ry pow oduje „skokow ą”, niezd eterm in ow an ą zm ianę stan u . Znaczy to, że u k ła d U, k tó ry b y ł w stan ie ψ, w chw ili p om iaru w y k o n u je nie dający się przew idzieć „skok” do je d n e ­ go ze stanów w yróżnionych przez przyrząd. Znajom ość więc sta n u ψ nie jest podstaw ą jednoznacznej prognozy, k tó rą z m o­ żliw ych w artości w ielkości m ierzonej p rzy rząd uw idoczni. M o­ żna jed y n ie w yznaczyć praw dopodobieństw o w ystąpien ia je d ­ nego ze stan ó w m ożliw ych. Nie m ożna rów nież w yznaczyć do­ k ład nie położenia m dkroobiektu. F u n k c ja Ψ opisuje tylko p ra w ­ 26 S. M a a ie rstd , E le m e n ty k o s m o lo g ii filo z o fic z n e j i p r z y r o d n ic z e j, P o z n a ń 1972, 324—337.

dopodobieństw o znalezienia cząstki w d anym elem encie o b ję­ tości. D okładniej m ówiąc, k w a d ra t bezw zględnej w artości fu n k ­ cji falow ej określa lokalizację m ikro u k ład u . K onsekw encją ta ­ kiego sta n u rzeczy jest akcep tacja in d eterm in izm u zasadnicze­ go teorii k w an to w ej, k tó ry w yraża rela cje staty sty czn e, za­ chodzące m iędzy fu n k cją ψ a dan y m i ek sp ery m en taln y m i. N a­ leży zaznaczyć, że odm iennie in te rp re tu je się rozbieżności — w fizyce klasycznej i m echanice k w an to w ej — pom iędzy w y ­ nikam i p om iaru otrzy m an y m i ek sp ery m en taln ie a rez u lta tam i w yw nioskow anym i odpow iednio z ty ch dwóch typów teorii. D y spersję w yników w m echanice klasycznej tłum aczy się błęd am i pom iarów w chw ili początkow ej, n ato m iast w teo rii k w an tó w oprócz tego ro d zaju niedokładności m ierzenia bierze się pod uw agę fak t, że „założenia i reg u ły w iążące te o re ty c z ­ n y sta n u k ład u z danym i e k sp ery m en taln y m i zaw ierają nie dającą się usunąć kom ponentę sta ty sty c z n ą ”.27 A jeżeli tak się rzeczy m ają, to m echanika falow a w swej n a tu rz e jest teo rią in d eterm in isty czn ą, gdyż opis sta n u u kład u przez nią stosow any i w nioski (prognozy) z nich w yprow adzone m ają zasadniczy c h a ra k te r sta ty sty c z n y .28

Jed n ak że w teorii k w a n tó w sto su je się innego ro d zaju s ta ­ ty sty k ę niż w fizyce new tonow skiej. Z adecydow ał o tym od­ m ienn y (w sto su n k u do cząstek w sensie m akroskopow ym ) c h a ra k te r cząstek elem en tarn y ch , k tó re m ają w łasności k o r- p u sk u la rn e i falow e. N adto posiadają one tzw. sp in czyli w e ­ w n ę trz n y m om ent pędu, w y rażający się całkow itą lub połów ­ kow ą w ielokrotnością stałej P lancka. Częstki e lem en tarn e pod­ legają rów nież zasadzie nierozróżnialności, k tó ra głosi, że czą­ 27 E. N a g e l, S t r u k tu r a n a u k i, p r z e k ła d z b io ro w y z jęz. a n g ., W a r­ sz a w a 1970, 270.

28 O d m ie n n ą iirrtenpreta/eję te o r ii k w a n tó w z a p ro p o n o w a ł D. B o h m . W ty m eeiłu p o d ją ł p ró b ę s k o n s tr u o w a n ia d e te r m in is ty c z n e j, d y n a ­ m ic z n e j te o r ii mikroizjawdisfc, k tó r a m ia ła b y ć o d p o w ie d z ią n a „ d o g m a ­ ty c z n ą ” in t e r p r e t a c j ę sizkoły k o p e n h a s k ie j. Z ob. D. B o h m , F ilo z o fic z n e p r o b le m y n o w e g o u ję c ia m e c h a n ik i k w a n to w e j, S tu d ia F ilo z o fic z n e , (1959) z. 1, 30—60; (1959) z. 2, 70—'94; .te n ż e : P r z y c z y n o w o ś ć i p r z y p a ­ d e k w fi z y c e w s p ó łc z e s n e j, tłu m . z an g . S. R o u p p e rt, W a rs z a w a 1961. P o r. ta k ż e Z. H a jd u k , D. B o h m a d e te r m in iz m w o b e c n ie k tó r y c h w s p ó ł­ c z e s n y c h u ję ć teg o z a g a d n ie n ia , R o c z n ik i F ilo z o fic z n e , 14 (1966) z. 3, 75— 91.

N a p o tr z e b ę p o w ro tu do o b ra z ó w p r z e s trz e n n o - c z a s o w y c h (d e te r m i­ n is ty c z n y c h ) w m e c h a n ic e k w a n to w e j z w ró c ili iuw agę L. d e B ro g lie i A. E in s te in . K o p e n h a s k a i n t e r p r e ta c ja b o w ie m m e c h a n ik i k w a n to w e j p r o w a d z i d o s u b ie k ty w iz m u zb liż o n e g o do -idealizm u w s e n s ie filo z o ­ fic z n y m i z a p rz e c z e n ia r e a ln o ś c i fiz y c z n e j is tn ie ją c e j n ie z a le ż n ie od

stk i kw an tow e nie m ają indyw idualności. Nie m ożem y ich oznaczyć o d rębnym i dw iem a nazw am i. W oddziaływ aniach bo­ w iem jed n y ch cząstek z drugim i nie da się np. w skazać, k tó ra cząstka e lem en tarn a pobiegła w p raw ą stro nę a k tó ra w lewą. P rzytoczone w łasności cząstek e le m en tarn y ch spraw iły , że w m echanice k w an to w ej fizycy p osługują się specyficznym i s ta ­ ty sty k a m i do k tó ry c h należą dwie zasadnicze: sta ty sty k a Bo- sego-E insteina oraz Ferm iego-D iraca. P ierw szą z n ich sto­ s u je się do cząstek o spinie rów nym całkow itej w ielokrotności stałej P lan ck a, opisanych przez fu n k cje sy m etryczne (ψ8). Czą­ stk i takie n azy w ają się bozonam i, a zbiory tak ich cząstek zbio­ ram i Bosego— E insteina, k tó rzy opracow ali sta ty sty k ę dla tego ro dzaju cząstek.29

N atom iast cząstki o spinie ró w n ym połów kow ej w ielo k rotno­ ści stałej P la n ck a opisane są przez a n ty sy m etry czn e fu n k cje (ψ3). Cząstki tego ro d zaju noszą nazw ę ferm ionów a ich zbiory zw ą się zbioram i Ferm iego— D iraca. Fizycy ci, opierając się na tzw. zasadzie Pauliego, w edług k tó re j dw ie identyczne czą­ stk i nie mogą się znaleźć w tak im sam ym stan ie, stw orzyli sta ty sty k ę dla w ym ienionego ty p u cząstek.

6. G R U PA REPR EZEN TA TY W N Y C H P R A W ST A TY STY C ZN Y C H

Dzięki m etodom sta ty sty czn y m stosow anym do opisu w iel­ kich zbiorow isk jako całości udało się w y kryć w nich szereg praw idłow ości ty p u statystycznego, k tó re są podstaw ą do fo r­ m ułow ania p ra w staty sty czn y ch . Jed n ak że dotychczas nie roz­ porządzam y a d ek w atn ą k lasy fik acją ty ch p raw dlatego w za­ kończeniu naszych rozw ażań ograniczym y się do p rzed staw ie- nia n ajb ard ziej rep re z en ta ty w n y ch ujęć p ra w sta ty sty c z n y ch .30 Spośród nich w yróżniam y: (1) p raw a w y rażające zw iązki m ię­ dzy cecham i stały m i (2) p raw a stw ierd zające zw iązki m iędzy cecham i zm iennym i oraz (3) p raw a u stalające rela cje m iędzy pew ną cechą sta łą a cechą zm ienną.

Do pierw szych należą tw ierdzen ia, k tó re p odają jak często jak ie jś cesze A (albo jej brakow i A) tow arzyszy różna od niej cecha В (albo jej b rak B). Zw iązek tak i zachodzi rów nież m ię­ dzy układ em cech A b A2, ..., An lub A u A2, ..., An, a różną od nich cechą В (lub B). Tego rod zaju p raw a stw ierdzają, jak i

29 D. B ło ch in cew , P o d s ta w y m e c h a n ik i k w a n to w e j, tłu m , z rosi Z. K o ­ peć i J. W erte, W arszaw a 1954. 446— 450, 474— 477; por. też J. R ay­ ski,! M echanika k w a n to w a , w : E nc. P r z y r o d a i te c h n ik a , 7£H6·—7Д8.

pro cen t p rzedm iotów m ający ch cechę A posiada też cechę В (ρ%· A jest В) lub ja k i jest sto su n ek liczby przedm iotów A m ający ch cechę В do liczby p rzedm iotów A, czyli jak a jest częstość w ystępow ania przedm iotów В w śród przedm iotów A.

^ N /A^~ = k ’ §^zie ^ sym bolizuje liczbę przedm iotów A; N (A, B) — liczbę przedm iotów A, k tó re są В, к zaś spełnia w a ru n e k 0 ^ к l . 31

P ra w a staty sty czn e u stalające zw iązek m iędzy pew ną cechą stałą a pew n ą cechą zm ienną nazy w ają się p raw am i rozkładu statysty czn eg o pew nej cechy zm iennej w zbiorze przedm iotów w yróżnionym przez pew ną cechę C. Cechy ■'mienne są bądź ciągłe, bądź skokowe. W artości zm iennej ciągłej tw orzą zbiór ciągły (np. zbiór liczb rzeczyw istych). Zm ienne, k tó re nie są ciągłe, n azy w ają się zm iennym i skokow ym i. Ich w artościam i są zbiory skończone. Z różnicow anie p ra w rozkładu sta ty sty c z ­ nego jest u w aru n k o w an e w ystępow aniem w nich zm iennych ciągłych lu b skokow ych. P ra w a rozkładu dla cechy skokowej X pod ają częstość, z jak ą w zbiorze przedm iotów С w y stęp u ją p rzedm ioty posiadające różne w artości cechy zm iennej X i n a ­ zyw ają się p raw am i rozkładu p raw dopodobieństw a. Jeżeli bo­ w iem cecha X posiada skończoną liczbę w artości, w te d y częstość z jak ą p ew n a w artość tej cechy w y stęp u je, rów na jest p raw d o ­ podobieństw u w ystąp ien ia te j w artości.32. Dla zm iennych ciągłych fo rm u łu je m y analogiczne praw a rozkładu z ty m tylko, że nie, in te re su je m y się praw em rozkładu ich praw dopodobieństw a na poszczególne w artości zm iennej, lecz raczej p raw em , na pod­ staw ie którego dałoby się obliczyć dla każdego p rzedziału (xb Xj) praw dopodobieństw o, z jak im zm ienna X p rz y jm u je w a r­ tość z tego przedziału. Takim p raw em jest tzw . praw o roz­ kład u gęstości praw dopodobieństw a zm iennej X na poszcze­ gólne w artości, jakie ta zm ienna może przyjm ow ać.

W ystęp ująca w ty m p ra w ie gęstość praw dopodobieństw a zm iennej X w przedziale (xb x 1+1) dana jest zależnością: G (Δχ;) O bszar zm ienności zm iennej ciągłej X dzie­ lim y na przedziały: (xb x 2), (x2, x 3) ... (xb x i+i). P rzez W (Axj) w y rażam y stosunek przedm iotów C, k tó ry m p rzy słu g u ją w a r­ tości zm iennej cechy X z p rzedziału (xb x i+i), do ogółu p rze d ­ m iotów C. Gęstością p raw dopodobieństw a zm iennej X w p rze ­

31 K . A jd u ik iiew iez,. L o g ik a p ra g m a ty c z n a , W a rs z a w a 1965, 291 u. 32 T am że, 298 nn.

dziale (xb x i+1) zw ie się stosunek p raw dopodobieństw a znale­ zienia się w arto ści zm iennej X w p rzedziale (xb x i+1) do rozpię­ tości tego przedziału. P rzez gęstość p raw dopodobieństw a zm ien­ nej X dla w arto ści Xi rozum ie się granicę, do k tó re j dąży gę­ stość p raw dopodobieństw a zm iennej X w przedziale (xb x i+1), gdy rozpiętość przedziału zm ierza do zera. Je śli gęstość p ra w ­ dopodobieństw a w punk cie x t oznaczym y przez g (Xi), w ted y

» W СхЛ g (Xi) = lim G (Δ;) = lim

zJx ->0 J x Ł->0 X i

P ra w a sta ty sty c z n e w y rażają rów nież zw iązki m iędzy dw ie­ m a cecham i zm iennym i X i Y. Cecham i tak im i m ogą być np. objętość i ciężar ciała. W ty m p rzy p ad k u in te re su je nas kw e­ stia, czy określona w artość cechy X w yznacza w artość cechy Y. Czy więc p rzy ro sto w i w artości cechy X tow arzyszy p rzyrost cechy Y, czy też o d w ro tn ie — p rzy ro st w arto ści cechy X jest zw iązany z u b y tk iem w artości cechy Y. P ra w a staty sty czn e o k reślające związki m iędzy cecham i zm iennym i stw ierd zają zachodzenie ten d e n c ji do tego, że p rzyrostow i jed nej cechy zm iennej tow arzyszy p rzy ro st lub u b y tek drugiej i podają ilo­ ściową c h a ra k te ry sty k ę tychże ten den cji. Tego ro d zaju te n d e n ­ cje nazyw an e są k o relacjam i cech a p raw a je stw ierd zające i podające ich ilościow ą c h a ra k te ry sty k ę — p raw am i k o relacji cech zm iennych. Istn ieje różnica m iędzy zależnością fu n k c y j­ n ą a k o relacy jną. Zależność fu n k cy jn a m iędzy zm iennym i X i Y zachodzi w ów czas, gdy każdej określonej w artości jed nej zm iennej odpow iada pew na określona w artość dru giej zm ien­ nej. Jeśli zaś określonej w arto ści jed n ej zm iennej odpow iadają różne w artości d ru g iej zm iennej, m am y do· czynienia z zależ­ nością k o relacy jn ą lub k o relacją.3*

Na g ru ncie nau k em pirycznych, w yznaczających s ta n u k ła ­ du badanego na drodze zabiegów pom iarow ych m ożna określić p raw a sta ty sty c z n e n astępująco: jeśli s ta n ń k ład u U w chw ili t dan y jest jako Si (sym bolicznie: f (t) = Si), w ted y w chw ili t + 1 zostanie zrealizow any jed en z n astęp u jący ch stan ó w u k ład u Sji, ..., S.,,, z praw dopodobieństw em odpow iednio w u .... wn, p rzy czym JE/Wi = 1. Sym bolicznie:

(Sji; Wi f ( t ) = S i - > f ( t + 1) = J f i 2’ Wz

Sji —· oznacza m ożliw e sta n y u k ładu , jak ie zdolny je st on p rz y ­ jąć, jeśli d any jest sta n początkow y u k ład u ; Wi — praw d op o­ dobieństw o w y stąp ien ia S u. Sum a ty ch praw dopodobieństw rów na je s t jedności, poniew aż jed e n z m ożliw ych stanów końcow ych u k ład u m usi się zrealizow ać, gdy jest d a n y s ta n początkow y.34

Pojęcie praw dopodobieństw a w y stę p u ją c e w tw ierdzeniach p ro b ab ilisty czn y ch o treści em pirycznej m a c h a ra k te r em pi­ ryczny. Jed n ak że eksplikacja em piryczności tego pojęcia n a­ p o ty k a pew ne tru d no ści i d okonuje się na różne sposoby. P rz ed sta w ien ie różnych stanow isk wobec tego zagadnienia w y ­ kroczyłoby poza ra m y tem aty czne niniejszego a rty k u łu .

34 W. S te g m m iiid e r, P r o b le m e u n d R e s u lta te d e r W is s e n s c h a fts th e o r ie u n d a n a ly tis c h e n P h ilo so p h ie , B e rlin 1969, B d. I, 211—212.