Kompensator PID. 1 sω z 1 ω. G cm. aby nie zmienić częstotliwości odcięcia f L. =G c0. s =G cm. G c. f c. /10=500 Hz aby nie zmniejszyć zapasu fazy

Kompensator PID

G _cs =G_cm







1 s ω_p

G_cm=G_c0 aby nie zmienić częstotliwości odcięcia f _L≤ f _c/10=500 Hz aby nie zmniejszyć zapasu fazy

Wyrażenie 1/(1+T) z kompensatorem PID

Transmitancja względem wejścia mocy układu

otwartego i zamkniętego z kompensatorem PID

Charakterystyki częstotliwościowe w pakiecie Scilab

● Deklaracja, że zmienna s ma być symbolem w wielomianach

● Definicja układu liniowego opisanego funkcją zmiennej s (transmitancją)

 'c' = układ czasu ciągłego (continous time)

● Wykres Bodego

 zakres 1 Hz…1 MHz

 clf czyści okno

● Tylko charakterystyka amplitudowa

● Wzmocnienie w dB i faza w ° dla konkretnej częstotliwości

 0 – dla składowej stałej

Zapas fazy

● Liczbowo – zapas fazy w stopniach i częstotliwość odcięcia

● Graficznie – wykres Bodego z zapasem fazy i amplitudy

● Zmodyfikowana funkcja

show_margins, gdyż oryginalna kreśli zawsze w zakresie [−0,001; 1000]

● Większość potrzebnych funkcji znajduje się w pakiecie cacsd

● Ich definicje można znaleźć w plikach

*.sci w podkatalogu modules\cacsd\macros

…………

Charakterystyki częstotliwościowe w układzie otwartym

Transmitancja pętli otwartej T(jω) Transmitancja kompensatora G_c(jω)

Charakterystyki częstotliwościowe w układzie zamkniętym

T(jω)

1/(1+T)

G_vg(jω)

G_vg 0 (DC) 100 Hz 1 kHz

OL −5,42 dB

0,536=G_g0=D −5,34 dB

0,541 +14,1 dB 5,08=G_g0·Q

CL −15,9 dB

0,161=D/(1+T_u0) −15,9 dB

0,161 −12,8 dB 0,228

CL PD −24,9 dB

0,0567=D/(1+T_u0G_c0) −24,9 dB

0,0567 −25,2 dB 0,0551

CL PID −∞ dB

0=D/(1+∞) −38,2 dB

0,0123 −26,1 dB 0,0496

Układy automatyki opisane transmitancjami w pakiecie MicroSim

źródło typu VAC (nie VSIN) wartość w ustalonym

punkcie pracy (D = 0,536) amplituda składowej

przemiennej (1 V spowoduje, że napięcie wyjściowe będzie co do wartości równe transmitancji)

wynik symulacji ustalonego punktu pracy (Bias Point)

transmitancja G_vd (element LAPLACE) osobno licznik i mianownik

dowolny opornik

Transmitancja pętli otwartej T_u

Transmitancja względem sterowania G_vd dla układu otwartego

Pętlę można przerwać w dowolnym punkcie;

najlepiej w takim, w którym znamy

składową stałą sygnału stałe wzmocnienie (element GAIN)

Analiza ustalonego punktu pracy dla układu zamkniętego

Należy tu traktować jako odchyłkę od ustalonego

punktu pracy

napięcie wyjściowe

V

napięcie wyjściowe przeskalowane

H·V napięcie

odniesienia V_ref

napięcie uchybu V_e = V_ref − HV

napięcie sterujące (wzmocniony uchyb)

V_c = G_c(0)·V_e współczynnik wypełnienia

zgodnie z charakterystyką modulatora

D = f(V_c)

Analiza ustalonego punktu pracy przy odchyłce napięcia wejściowego

zmniejszenie V_g o 5 V wzgl. ustalonego punktu pracy (28 V), tj.

do 23 V

wzrost uchybu (sprzężenie zwrotne

jest ujemne)

zmiana napięcia sterującego

zmiana współczynnika

wypełnienia

utrzymanie napięcia wyjściowego prawie

bez zmiany nie są to rzeczywiste napięcia występujące

gdziekolwiek w układzie

Charakterystyka częstotliwościowa (analiza częstotliwościowa – AC Sweep)

zapas fazy φ_m = 180° – 175,2° ≈ 5°

amplituda w dB

Gdyby napięcie wejściowe nie było jednostkowe, należałoby podzielić przezeń napięcie wyjściowe, aby uzyskać transmitancję – wykreślić V(Gvd)/V(Vd1:+)

częstotliwość odcięcia

f_c ≈ 1,8 kHz kursor A1

kursor A2 faza

Model układu zamkniętego na blokach transmitancyjnych

element DIFF element SUM

Definicja transmitancji zakłada, że zmienia się tylko jeden sygnał.

Dlatego tylko jeden sygnał może mieć niezerową składową

przemienną; w przeciwnym razie wyniki symulacji nie będą

odzwierciedlać rzeczywistości.

Amplituda składowej przemiennej Vg wynosi 1 V, więc napięcie wyjściowe Vout jest równe transmitancji G ′ układu zamkniętego

Ograniczenie wzmocnienia dla składowej stałej (f < 0,01 Hz) pomaga uniknąć problemów ze zbieżnością symulacji

Transmitancja wyjście do wejścia mocy

G_vg 100 Hz 1 kHz

OL −5,33 dB +14,1 dB CL −15,8 dB −12,8 dB CL PD −25,1 dB −25,4 dB CL PID −38,3 dB −26,3 dB

G_vg(jω)

OL CL CL PD CL PID

Analiza ustalonego punktu pracy przy odchyłce prądu wyjściowego

zmniejszenie I_load o 2,5 A wzgl. ustalonego punktu

pracy (5 A)

W układzie transmitancyjnym wszystkie sygnały mają postać napięć – automatyka nie rozróżnia wielkości fizycznych, a w każdym punkcie układu występuje tylko jedna z nich

Ponieważ model jest bezstratny, zmiana wartości ustalonej obciążenia nie powoduje obniżenia napięcia na wyjściu – tą drogą nie można zbadać zachowania układu w stanach ustalonych

Impedancja wyjściowa

Z_out (układ otwarty) 1/(1+T)

Z_out′ (układ zamknięty)

●

f → 0 ⇒ Z

→ (−∞)

⇔ 0

 ustalone napięcie wyjściowe V niezależne od ustalonego prądu obciążenia I_load

 wyprowadzony model opisuje układ bezstratny, nie rzeczywisty

źródło Viload ACMAG=1

Wpływ rezystancji kondensatora wyjściowego

●

Rzeczywisty kondensator stanowi szeregowy obwód RC

●

Rezystancja szeregowa wprowadza do transmitancji zero o pulsacji

I(s)

V(s)

V = I 1 sC∥R

=I

R 1 sC R + 1

sC

V = I

(

)

R

(

)

R +R_s+ 1 sC

R

(

)

(

)

ω_esr= 1

R_sC (LHP)

V(s) R_s

I(s)

Wpływ rezystancji kondensatora wyjściowego (cd.)

●

Dokładnie – przykładowo dla przetwornicy odwracającej

●

Ponieważ typowo R

~ mΩ, zaś R ~ Ω, więc ω

′ ≈ ω

, Q′ ≈ Q

 np. dla R_s = 10 mΩ, V = 10 V, I_load = 1 A ⇒ R = 10 Ω, C = 100 µF, L_e = 100 µH otrzymujemy ω₀′ = 0,999 ω₀, Q′ = 0,909 Q

 wpływ na ω₀ i Q zwykle zaniedbuje się G_vd(s )=G_d0

1− s ω_z 1+ s

Q₀ω₀+ s² ω₀²

⇒ G_vd(s )=G_d0

(

)(

)

1+ s

Q^ω₀^ + s² ω^₀²

ω_esr= 1

τ_C ω₀^= ω₀

√

√

R L_e= L D^2

Zero kondensatora wyjściowego

●

Dla elektrolitycznych częstotliwość zera zwykle rzędu f

a nawet f

 np. R_s = 50 mΩ, C = 500 µF ⇒ f_esr = 6,4 kHz

●

Charakterystyka zera w lewej półpłaszczyźnie

 zwiększenie fazy – korzystne dla stabilności

 +20 db/dec powyżej f_z

▶ zmniejszenie tłumienia pętli dla w.cz. – zwiększa wrażliwość na zaburzenia w.cz.

▶ może także zwiększyć f_c – uaktywnia pasożytnicze bieguny i zera w.cz.

●

Niemożliwe dokładne wyznaczenie częstotliwości zera f

 brak dokładnej charakteryzacji rezystancji szeregowej – duży rozrzut

 zmiana rezystancji i pojemności w funkcji temperatury i w czasie

 ESR często rzędu rezystancji ścieżek drukowanych – znacząca modyfikacja

●

Z powyższych względów zera tego nie używa się do zwiększenia φ

 konieczna kompensacja (neutralizacja)

Zero kondensatora wyjściowego (cd.)

●

Przykład (przerysowany) – przetwornica odwracająca

 C = 500 µF, Rs = 100 mF, L = 10 µH, D = 0,5

 f₀ = 750 Hz (→747), f_esr = 3183 Hz

●

Kompensacja przez wprowadzenie drugiego (oprócz PD) bieguna f

= f

do transmitancji kompensatora

G_vd(jω)

Zwyczajowe podejście projektowe

●

W miarę możliwości kondensator wyjściowy dobiera się tak, by f

≫ f

●

W pierwszym przebiegu wykreśla się i analizuje charakterystyki częstotliwościowe bez uwzględnienia wpływu ESR

 pozwala to dokładnie zaprojektować i zweryfikować kompensator w zakresie parametrów charakterystyk nie ulegających wątpliwości

●

Automatycznie umieszcza się dodatkowy biegun kompensatora w najmniejszej przewidywanej częstotliwości zera kondensatora

wyjściowego

●

W drugiej kolejności można zbadać, czy obecność ESR nie modyfikuje znacząco oczekiwanych charakterystyk

●

W przypadku wykrycia problemów (po konstrukcji prototypu) należy dokonać dogłębnej analizy wpływu ESR z uwzględnieniem rozrzutu i zmian pojemności i ESR

 wówczas kondensator dobiera się (wartość, seria, technologia) w oparciu o wyniki analizy częstotliwościowej

Analogowa jednostopniowa realizacja kompensatora

Dwie postaci transmitancji kompensatora PID

G_c(s)=ω_p0 s

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

●

ω

– biegun w zerze (pole at zero)

 nachylenie −20 dB/dec od ω = 0 do ∞

 wartość ω_p0 – częstotliwość, w której wzmocnienie wynosi 1 (0 dB)

rola analogiczna do G , tj. uzyskanie pożądanej częstotliwości odcięcia ω_z2≡ω_z ; ω_p2≡ω_p (PD)

ω_p1≡ω_ph (ESR)

ω_p0

s

(

)

(

)

ω_z1=ω_L ; ω_p0=G_cmω_L (PI)

Dobór częstotliwości charakterystycznych

●

f

– przetwornica + PD + PI

 poniżej: pasmo, w którym działa sprzężenie zwrotne (zmniejsza wrażliwość na

zaburzenia na wejściach)

 powyżej: pasmo, w którym tłumione są zaburzenia w pętli (pochodzące od f_s, wynikające z przełączania kluczy, szumy)

 f_c ≤ 10 f_s (patrz też f_p2)

 miejsce dla zera PI f_L

●

f

, f

– PD

 zapas fazy → stabilność, odpowiedź czasowa (przeregulowanie, czas ustalania)

 f_p2 ≤ (f_s / 2) / 3 → możliwość reakcji

 ścisły związek z f_c poprzez charakterystykę kompensatora PD

dla R ₁≫R₃, C ₁≫C ₃ f _p0= 1

2 πR ₁C ₁C ₃≈ 1 2 πR₁C₁ f _p1= 1

2 πR ₃C ₂ f _p2= 1

2 πR₂ C ₁C ₃ C ₁C ₃

≈ 1

2 πR₂C ₃

f _z1= 1 2 πR₂C₁ f _z2= 1

2 πR₁R ₃C ₂≈ 1 2 πR ₁C ₂

Dobór częstotliwości charakterystycznych (cd.)

●

f

– przetwornica

 f_p1 = f_esr(min) → kompensacja zera ESR → tłumienie zaburzeń wysokich częstotliwości w pętli

●

f

, f

(G

, f

) – PI

 wzmocnienie pętli dla składowej stałej i niskich częstotliwości → wrażliwość na zaburzenia niskiej częstotliwości oraz zmiany składowej stałej na wejściach

 częstotliwość odcięcia → patrz f_c

 f_z1 ≤ f_c / 10 → nie zmniejszyć zapasu fazy

dla R ₁≫R₃, C ₁≫C ₃ f _p0= 1

2 πR ₁C ₁C ₃≈ 1 2 πR₁C₁ f _p1= 1

2 πR ₃C ₂ f _p2= 1

2 πR₂ C ₁C ₃ C ₁C ₃

≈ 1

2 πR₂C ₃

f _z1= 1 2 πR₂C₁ f _z2= 1

2 πR₁R ₃C ₂≈ 1 2 πR ₁C ₂