Golfdemper op basis van eindige differenties

Golfde~pe~ o p b a s i s ~a~ ei~dige diffe~e~ties

Delft

Inische Universiteit Delft

R.P. Boeije

22-05-'90

INHOUDSOPGAVE

1 Inleiding . .

2 Golfdemper op basis van eindige differenties

2.1 Eendimensionale golfvergelijking . . .

2.2 Werking golfdemper . . . • .

2.3 Aanpassing submatrices 2.4 Simulaties

2.5 Conclusie • .

3 Verbetering numerieke golfdemper 3.1 Geschiedenis van een golf . 3.2 Simulaties 3.3 Conclusie 2 4 4 5 7 8 10 12 12 19 20 4 Al ternatieve aanpak • • • . . • . . . • . 21

4.1 Bij voorgaande hoofdstuk . . . • 21

4.2 Versterkingsmatrix als somma tie van

matrices 21

4.3 Versterkingsmatrix als het product van matrices

5 Conclusie • • . . .

.

.

. . . . .

.

. . . . .

.

.

,,,,,,,,,',,,,TU

Delft

Library

Prometheusplein 1

2628 ZC Delft

23

1 Inleiding

De vervormingen in continue constructies kunnen worden be-schouwd als een gesuperponeerd golfverschijnsel. Kenmerkend voor iedere golf is dat een verschijnsel zich verplaatst met een bepaalde voortplantingssnelheid. We beperken ons hier tot eendimensionale mechanische constructies waarbij een golfver-schijnsel zichtbaar is als een vervorming, terwijl de voort-planting slechts in twee richtingen kan plaatsvinden (naar links en naar rechts).

Het is mogelijk zijn om aan de hand van de toe stand (vervor-ming / vervor(vervor-mingssnelheid) van een (eendimensionale) con-structie de grootte en de looprichting (dus naar links en/of naar rechts) van de golven te bepalen. Door Schmidt [1] is hiervan gebruik gemaakt om een actieve demping te ontwikkelen waarvan de werking afhankelijk is van de looprichting van de golven. De actieve demping wordt gerealiseerd met een externe (punt) belasting, waarvan de grootte zodanig is gekozen dat golven uit de ene richting zich als het ware onvervormd kunnen voortplanten, terwijl golven uit de andere richting ter plaatse van de belasting 'worden gereflecteerd. In [2] is voor deze vorm van actieve demping de naam golfdemper geintroduceerd.

Een golfdemper wordt gerealiseerd grootte en de looprichting van de uitwendige belasting waarmee de

met een meting waardoor de golven bekend zijn, en een gemeten golven beinvloed kunnen worden. Bi j een golfdemper is het verband tussen de gemeten golven en de uitwendige belasting (=regelwet) dus zodanig gekozen dat in het totaalbeeld golven uit de ene richting volledig reflecteren tegen de golfdemper, terwijl golven uit de andere richting onvervormd passeren.

In [1] is een golfdemper ontworpen voor de eendimensionale golfvergelijking en de buigligger (model van Timoshenko) op basis van karakteristieken. In [2] bleek dat de oplossing

voor de Timoshenko-buigligger niet erg robuust is, terwi jl voor de meer eenvoudige Euler-Bernoulli-buigligger geen oplossing gevonden werd. Di t is de aanleiding om hier een andere aanpak te volgen, in plaats van karakteristieken wordt hier gebruik gemaakt van eindige differenties.

r

2 Golfdemper op basis van eindige differenties

Fysische golfverschijnselen worden beschreven door hyperboli-sche differentiaalvergelijkingen. Hier beperken we ons tot de mechanische gol ven zodat het golfverschi jnsel zich

manifes-teert in vervormingen. V~~r de verschillende

vervormings-grootheden met de gebruikte modellering(en) kan een bijbeho-rende (partiEHe) differentiaal vergeli jking worden afgeleid. Het Timoshenko-model van de vorige pagina levert op deze manier een (stelsel) hyperbolische partiele differentiaalver-gelijkingen, het Euler-Bernoulli-model van diezelfde pagina

geeft echter een elliptische differentiaal vergeli jking.

Kennelijk zorgen de toegepaste vereenvoudigingen in het

Euler-Bernoulli-model ervoor dateen fysische niet juiste differentiaalvergelijking ontstaat. Hier staat tegenover dat de Euler-Bernoulli benadering in de praktijk goed voldoet.

Bij het gebruik van eindige differenties geven de verschil-lende typen differentiaalvergelijkingen geen aanleiding voor

een essentieel verschillende aanpak. Er is hier dan ook

gekozen om een eenvoudige vergelijking te bekijken; n.l. de eendimensionale golfvergeli jking. Bi jkomend voordeel is dat voor deze vergelijking langs analytische weg een golfdemper is bepaald in [1] en [2].

2.1 Eendimensionale golfvergelijking

De differentiaalvergelijking luidt, zie [1]:

pA a2

w/ae - EA

a2w/ax2

=

f

(x, t)

Met bijbehorende beginvoorwaarden:

w(x,O)

=

qJ(x)

aw/at(x,O)

=

~(x) Randvoorwaarden in oneindig •. 4 (1.1)

- - - - I

r

I

_«

Beschouwen we de toestand (wen 8w/8t) in een punt, dan kan deze veroorzaakt worden door een externe belasting (f(x,t)), dan weI het gevolg zijn van een beginvoorwaarde (rp(x) of 'ljI(x)). Het is in te zien dat iedere externe belasting kan worden vervangen door equivalente beginvoorwaarde (eventueel constructie uitbreiden tot + en

-00).

Het is dan ook mogelijk om zonder verlies van algemeenheid uit te gaan van de homo-gene vergeIijking; dus f(x,t)=O met bijbehorende beginvoor-waarde. Door voor de afgeleiden naar de plaats eindige diffe-renties te schrijven wordt het volgende stelsel gevonden:

y

=

C.y Of ingevuId:

.

[ i ]

=

(EA/pA)* [

~

(1.2)

(Met 0 B en r sub.atric.a)

Hierin Ievert ~ de discrete verplaatsingen van de punten; y

de snelheden. I is de eenheidsmatrix; B = -2 1 0 0 0 0 (1.3) 1 -2 1 0 0 0 +O( 8X2) 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 1 -2 2.2 Werking golfdemper

In (1.1) Iigt met gegeven w(O,x) en 8W/8t(O,x) het begin-waarde probleem eenduidig vast. De grootte van de golfdemper-kracht moet dan ook afhankeIijk zijn van de grootte van de uitwijking (w) en/of de snelheid (v) op hetzeIfde of een eerder tijdstip. Het invoeren van een golfdemperkracht Ievert voor (1.1) een rechterlid Ope Het numerieke stelsel wordt hiermee (met handhaving van algemeenheid):

r

_t

.

[

:kl

]

=

(EA/pA)*

[

0

~

_]

[

:kl

]

+ Y.. B Y..

[

0

g2]

.

[

:kl

]

+ C1 Y.. (1.

4)

[

0

g4]

.

[

:kl j-l ] +

. ...

C3 Y.. j-l

( Eerste regel is stelsel (1.2)1 volgende regals geven uitwendige belasting

-rechterlid (1.1»)

Oe invloed van de golfdemperkracht manifesteert zich dan ook in de laatste twee delen van stelsel (1.4).

Een goed ontworpen golfdemper superponeert op de naar rechts lopende golf een golf in tegenfase, waardoor het totaalbeeld is dat de golfdemper slechts golven vanuit een richting doorlaat. In het numerieke schema moet dit resultaat zijn terug te vinden. Om dat nader te bekijken wordt (1.4) eerst anders geschreven.

We hebben te maken met een causaal systeem, daardoor is het steeds mogelijk om vanuit een eerder tijdstip de toestand op een later tijdstip te herleiden. oat dit mogelijk is kan ook direct worden gezien aan stelsel (1.2), aan de hand van de huidige toestand wordt de toestand op een later t i jdstip geschat. Het gevolg is dat het mogelijk moet zijn om het rechterlid van (1.4) om te schrijven naar een willekeurig eerder tijdstip t=j-n. Met behoud van de algemeenheid wordt nu gevonden:

(1.5)

j,n E nat. getallen

In de submatrices 01 is dus de invloed van de eendimensionale

golfvergelijking en van de golfdemper gesuperponeerd. Als we een golfdemper beki jken die spert voor de van links aanko-mende gol ven (

-I

<- ) dan moet het resul taat zi jn dat de punten rechts van de golfdemper geen invloed ondergaan van de

r

i

toestand links van de golfdemper. We nemen nu aan dat de golfdemperkracht aangrijpt in het punt s. Het gevolg van de golfdemper moet zijn dat de punten met grid-nr.>s niet worden beinvloed door uitwijkingen of verplaatsingen met grid-nr.<s. We kiezen punt s tussen twee grid-punten in. Het gewenste resultaat kan worden verkregen door te eisen dat de

submatri-ces D1 het volgende uiterlijk hebben

_*

= (willekeurige)

waardei s=i+~ )

.

.

i-3 i-2 i-I i i+l i+2 i+3

*

*

*

*

*

*

*

[i-3]

*

*

*

*

*

*

*

[i-2]

*

*

*

*

*

*

*

[i-I]

*

*

*

*

*

*

*

[i] (1. 6) 0 0 0 0

_*

_*

_*

[i+l] 0 0 0 0

_*

_*

_*

[i+2] 0 0 0 0

_*

_*

_*

[i+3] 2.3 Aanpassing submatrices

De in de voorgaande alinea aangegeven methode is bij het gebruik van differenties met O(h2) voor de eendimensionale

golfvergelijking eenvoudig toe te passen. We kunnen een

kracht aanbrengen waarvan de grootte zodanig is dat (1.3) de

onderstaande vorm krijgt (stelsel (1.2) gehandhaafd):

i-I -2 1

o

o

i 1 -2

o

o

i+l

o

1 -2 1 i+2

o

o

1 -2

1

[i-I] [i ] [i+l] [i+2] (1. 7)

Een mogelijkheid om dit te realiseren is een puntlast waarvan de grootte afhankelijk is van de verplaatsing (w) in het punt

r

I

.

[

'5!!..

]

= (EA/pA)*

[

0

~

]

[

'5!!.. _{] +} y. _{B Y.}

[

0 g2]

.

[

'5!!..

]

C1 _{Y. (1.4)} Met: B =

[

-~

1 0 0

1

C1=

[

0 0 0 0

₁

-2 1 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 -1 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 c2 = 0 2.4 Simulaties

Om de werking van de op deze wijze ontworpen golfdemper na te gaan zijn twee simulaties uitgevoerd. Als oplosser is gekozen voor de methode Runge Kutta. Bij de eerste simulatie loopt de golf in de sperrichting van de golfdemper, bij de tweede simulatie in de doorlaatrichting.

8. tIIIII8II8 _, ... ... I---~ ~---~ golf sperrichting 3& .I1881III9 ,""-.. \ "f golf sperrichting

r

I I: I

i

iI.1III8IIIlII / .. golf doorlaatrichting I---~, .... -./ ,. golf doorlaatrichting 2.5 Conclusie

Aan de hand van de simulaties in de vorige alinea kan de werking van de golfdemper worden getoond. De tweede simulatie werd gemaakt met een golf, die in doorlaatrichting naar de golfdemper loopt. De werking van de golfdemper is voor di t geval verre van ideaal. Het gewenste resultaat is dat de golf onvervormd wordt doorgelaten. In plaats daarvan wordt slechts een klein deel van de golf doorgelaten, terwijl een veel groter deel wordt gereflecteerd. Voor de eerste simulatie

-waarbij de golf in sperrichting loopt - is het resultaat weI

goed. De verwachting hierbij is dat het constructie-deel rechts van de golfdemper geen enkele invloed ondervindt van het links gelegen deel. De werking van de golfdemper komt perfect tegemoet aan deze wens. De in sperrichting lopende golf wordt t.p.v. de golfdemper volledig gereflecteerd.

V~~r de golf die in sperrichting loopt voldoet de gestelde eis aan het te bereiken resultaat. Een complicatie is dat de in doorlaatrichting lopende golf niet onvervormd doorloopt. Kenneli jk heeft de gestelde numerieke (golfdemper) eis in-vloed op de in doorlaatrichting lopende golf.

Een conclusie die kan worden getrokken is dat de uitwerking van de golfdemper te groot is. Aan de gestelde eis wordt voldaan; de golf kan de golfdemper niet in sperrichting passeren, echter de golf in doorlaatrichting wordt ook be-invloed. Dat de golf in doorlaatrichting vervormd wordt is een ongewenste bijwerking. Het is echter mogelijk (en voor de eendimensionale golfvergelijking zeker, zie [1] en [2]) dat ook aan de gestelde goldemper eis kan worden voldaan met een golfdemper die de golven in doorlaatrichting niet verstoord. In het volgende hoofdstuk zal geprobeerd worden dit resultaat te bereiken met een numerieke golfdemper.

3 Verbetering numerieke golfdemper

De conclusie ui t het vorige hoofdstuk is dat gol ven in de

doorlaatrichting niet onvervormd doorlopen. De oorzaak hier-van moet liggen in stelsel (1.2):

.

[ i ]

=

(EA/pA)* [

~

(1.2) Door de golfdemper is submatrix B veranderd.

B (zonder demper)

=

[

-2 1 -2 1 0 1 0 0

₁

0 1 -2 1 0 0 1 -2 (1. 8) B (met demper)

₌

[

-2 1 -2 1 0 1 0 0

₁

0 0 -2 1 0 0 1 -2 (1. 9)

Logisch is dat het veranderen van de een in een nul ook invloed heeft op de van rechts naar links lopende golven. Een

goede oplossing moet dUs geven dat di t element afhankeli jk

van de looprichting van de golf nul of een is. Op voorhand is in het numerieke schema echter niet bekend of de uitwijking in een punt ontstaat ten gevolge van een van links of een van rechts komende golf.

3.1 Geschiedenis van een golf

uit het bovenstaande blijkt dat het van belang is om te weten of de uitwijking/snelheid van een punt is ontstaan t.g.v. een van links of een van rechts komende golf. Bij een (gekozeni expliciete) t i jdsintegratie methode is het mogeli jk om van een (willekeurig) punt de geschiedenis te bepalen. De ge-schiedenis van een punt is in dit geval de bijdrage aan de uitwijking van een punt door de van links en van rechts komende gol ven. Bi j een expliciete integratie methode komt deze invloed tot uitdrukking in de bijdrage aan de uitwijking

van ons punt vanuit punten links en rechts van het beschouwde punt.

Als eenvoudig voorbeeld kan bekeken worden hoe de uitwijking van een punt is ontstaan als er is gekozen voor tijdsintegra-tie met methode Runge-Kutta; een tijdstap:

Runge-Kutta: :& = h*Yj

& = h* (Yj

+

~&.)

k3 = h*(Yj

+

~k2) (2.1)

k4

=

h*(Yj

+

k3)

Yi+l = _Yi

₊

(1/6) ( _kl

+

2*k2

+

2*k3

+

k4 )

(geen uitwendige be1asting)

ui twerken geeft (eendimensionale golfvergeli jking met aIle grootheden gelijk aan een) :

ui

=

(1/24) h4 _{* Wi-}2

+

(1/2) h2 _ (1/6) h4 * Wi-1

+

(1 - h 2

+

(1/4) h4 * Wi

+

(2.2) (1/2) h 2 _ (1/6) h4 * Wi+l

+

(1/24) h4 * Wi+2

+

(1/6) h 3 * Vi-1

+

h - (1/3) h 3 * Vi

+

(1/6) h 3 * Vi+l

Op deze manier is voor de ui twi jking Wi bepaald van welke voorgaande toe stand (in de vorm van bi jdragen van punten) deze uitwijking afhangt. Op dezelfde wijze kan bepaald worden welke punten invloed hebben op de snelheid in het punt i op een later tijdstip. Een logische redenering is nu dat als de punten links van i geen invloed hebben op de uitwijking/snel-heid in punt i dat de naar, links lopende golven de golfdemper niet kunnen passeren.

Bi j de aanpak in het vorige hoofdstuk werd voor de tussen-oplossingen (k1 • • k4 ) al gesteld dat er geen invloed vanui t

links mocht zi jn. In de bovenstaande alinea is een iets minder zware voorwaarde gekozen: Aileen het eindresultaat van een t i jdstap (= U i en Vi in (2.2)) mag niet worden beinvloed

door punten links van s. Ook bi j simulatie met deze minder zware eis werd gevonden (zie hierna) dat de golven in door-laatrichting niet onvervormd de golfdemper kunnen passeren.

Graf isch is de aanpak ui t het vorige hoofdstuk hieronder

weergegeven: t = j

=

j-1 zonder golfdemper t

=

j t

=

j-l met golfdemper

Een uitbreiding is nu om te kijken naar de ontstaansgeschie-denis van de toe stand van de punten die de verandering van de toe stand van het punt i beinvloeden (volgens vgl. (1.2)). De

voorgestelde uitbreiding resulteert erin dat we nagaan hoe Wi

en Vi worden bepaald uit de uitwijking/snelheid van punten op

twee ( of meer ) tijdstappen eerder.

uitwerken hiervan levert een schema gelijkvormig aan formule ( 2 . 2). Doordat nu twee (of meer) i . p. v . een t i jdstap terug wordt gekeken zullen er ook meer punten invloed hebben op de

---~ ~~

-ui twi jking/verplaatsing in punt i. Het idee is dat als er maar genoeg tijdstappen terug in de tijd wordt gekeken dat er dan een golfdemper ontstaat waarbi j de gol ven in doorlaat-richting zonder vervorming kunnen passeren. In de onderstaan-de figuren is onderstaan-de werking van dit systeem schematisch weerge-geven.

D o o r 1 a.i:::e:n.

Ir

i Si

if

_,

" I

I

L

Met de hand is het al snel onmogelijk om een systeem volgens (2.2) te volgen. Met de computer levert dit weinig problemen

Ope De basis voor een berekening met de computer is dat

iedere integratie-slag een matrix-vermenigvuldiging is:

y.j+1 =

c.

Y.j (2.3)

Met Runge-Kutta wordt voor C gevonden:

c

=

I + h.A + (h.A)2/2! + (h.A)3/3! + (h.A)4/4!

(2.4) Hierin is A de matrix uit stelsel (1.2).

Iedere integratie komt dus overeen met het vermenigvuldigen met C. Het ui twerken van twee t i jdstappen komt dus overeen met vermenigvuldigen met C2. Op deze manier kan de ui twi j-king/snelheid in een punt (golfdemperpunt) worden voorspeld op grond van de ui twi jking/snelheid van een beperkt aantal punten een aantal t i jdstappen eerder. Door de voorspelling over een voldoende groot aantal tijdstappen te do en moet het mogelijk zijn om voor punt i de splitsing tussen de van links en de van rechts komende golf te maken.

Door de beperking van het geheugen van de gebruikte AT-compu-ter is het niet mogelijk om meer dan 4 tijdstappen vooruit te voorspellen. Het is bekend dat bij de eendimensionale golf-vergelijking de golven zich voortplanten met een snelheid van

j (EA/ pA). In ons geval dus een [m/s ]. In vier ti jdstappen heeft de golf zich dus verplaatst over een afstand van vier t.x. Het gebruik van een voorspelling van vier tijdstappen lijkt dan ook ruim voldoende te zijn om een duidelijk onder-scheid tussen de van links en de van rechts komende golven te vinden.

18

3.2 simulaties

Er zijn simulaties uitgevoerd waarbij de golfdemper is geba-seerd op de toestand op een steeds eerder tijdstip. De resul-taten volgen hierna. Simulaties voor een golf die in sper-richting loopt zijn niet weergegeven omdat voor dit geval het resultaat steeds perfect is.

- 8.1J111188 ....•. 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .1 opot 11.245 .kIn II • • • tDt 11.245 Begin uitwijking. t.= 35 .1JIIII88 I _ _ _ _ _ _ _ _ _ /r-,: ~t 11.1111 ~In 11.1311 btot 11.2411

Een stap Runge Kutta.

.:

!

,~/ I---~ "",t 8.1116 ""in 8.159 tDt 8.2M //-""'./~ ... ... \~---~/ Twee stappen Runge Kutta.

- 411.I181I8II j

1---~t 11.169 Ficin 8.185 ~t 11.354 \( ... , ','---~/

Vier tijdstappen Runge Kutta.

3.3 Conclusie

'

-Door steeds van eerder t i jdstip ui t te gaan verbetert het resultaat. Desondanks lijkt het erop dat dit proces niet convergeert naar een perfecte oplossing, en een acceptabel resultaat op deze wijze niet kan worden verkregen.

4 Alternatieve aanpak

4.1 Bij voorgaande hoofdstuk

Gezien de simulaties Ii jkt het dat met de ontworpen golf-demper nooit meer dan 50% van de golf de golfgolf-demper (in door-laatrichting) kan passeren. Theoretisch (en ook numeriek) moet het echter mogelijk zijn om het volledige reisprogramma van de golven juist te voorspellen. Kennelijk is de gehan-teerde aanpak onjuist.

Een numeriek schema bevat dezelfde informatie als de

oor-spronkelijke differentiaalvergelijking. Dat het numerieke

schema voldoet is eenvoudig te controleren door een golf te volgen. Als er geen golfdemper aanwezig is blijkt het schema te voldoen aan de wet van behoud van energie. Het is dan ook gerechtvaardigd om te concluderen dat het numerieke schema voldoende informatie met voldoende hoge nauwkeurigheid bevat. Het is reeel om te veronderstellen· dat de numerieke bena-dering niet de oorzaak van de problemen is. De conclusie moet dan ook zijn dat de regelwet niet voldoet. Hieronder voIgt een aanzet voor een tweetal alternatieve benaderingen.

4.2 Versterkingsmatrix als sommatie van matrices

Een mechanisch (golf) verschi jnsel is steeds opgebouwd ui t golven die in beide richtingen lopen (naar links en naar rechts). Het superpositie beginsel is steeds geldig zodat het mogelijk moet zijn om de golven uit beide richtingen apart te

bekijken. De oplossing moet numeriek twee verschillende

matrices geven waarbij de ene matrix de naar links lopende golf beschri jft en de andere matrix de naar rechts lopende golf. We vonden voor de tijdsintegratie (2.3):

(3.1) Met C-versterkingsmatrix.

!:

i Ii

L

Met het voorgaande idee van spli tsing kan di t worden omge-werkt tot (zie ook (2.4)):

(3.2)

Hierbi j is C1 de matrix die de naar links lopende golf

be-schrijft, Cr beschrijft de naar rechts lopende golf. Op basis

van deze splitsing moet het mogelijk zijn op een golfdemper

te ontwerpen. Met de methode van Euler wordt voor C-I

gevon-den: C-I =

[

A

~

_]

C ( 3 • 3 ) Met: A

₌

[

0 0 0 0 0 0

₁

o·

0 0 B

=

[

h 0 0

1

0 h 0 0 0 h ( 3 .4) C

₌

[

-2h h -2h h 0 h

₁

0 h -2h D

₌

[

0 0 0 0 0 0

₁

0 0 0

De aan matrix C1 en Cr te stellen eisen zijn:

(3.5)

Yj+l

=

C_{1 •} Yj beacbr1j:tt vol.l.ed1g de naar 1.1nks l.opende gol.ven.

Yj+l

=

Cr. Yj beacbr1j:tt vol.l.ed1g de naar rechts l.opende gol.ven.

De eerste vergelijking van (3.5) is een splitsing van C die

op oneindig veel manieren kan worden gemaakt. De correcte

scheiding moet volgen ui t de tweede en derde vergeli jking .

Deze beide vergelijkingen zijn wiskundig niet volledig

be-schreven zodat de matrices Cr en C1 hierui t niet gevonden

kunnen worden. Het zoeken is dus naar een correcte wiskundige

22

---~

-beschrijving van golven die maar in een richting lopeno Oe oplossing van dit probleem is hier niet gevonden.

4.3 Versterkingsmatrix als het product van matrices

Een andere aanpak is om de versterkingsmatrix te zien als het

product van twee matrices. Hierbij beschrijven de beide

matrices weer de golven uit de verschillende richtingen. oit geeft:

(3.6)

Het c-versterkingsmatrix.

Met C geschreven als het product van twee matrices geeft dit:

(3.7)

Waarbij C1 en Cr weer de representatie zijn van de resp. naar

links en naar rechts lopende golven. Als we de submatrices van (3.4) bekijken zullen matrix A, B en 0 geen invloed hebben op de voortplanting van de golven. Submatrix 0 zorgt er voor dat een golf zich kan voortplanten. uit deze matrix moet dat ook de splitsing tussen de verschillende

golf-richtingen te vinden zijn. Als matrix C1 wordt bekeken mag

deze geen golfvoortplanting van links naar rechts beschri j-ven. Als C1 de vorm van een bovendriehoeksmatrix heeft wordt

automatisch aan deze eis voldaan. Op dezelfde manier kan van

Cr geeist worden dat di t e e n onderdriehoeksmatrix is. In

verband met symmetrie kan de aanvullende eis gesteld worden dat beide matrices elkaars getransponeerde zijn.

Om dit uit te werken moet een LOU transformatie worden ge-maakt. Als uitkomst wordt gevonden:

L

₌

[

-1 1 0 1 0 0 0 0

₁

(3.8)

a

-1 1 0 0 0 -1 1 D

₌

[

-1 0 -1 0 0 0 0

a

₁

0 0 -1

a

0 0 0 -1 U

₌

[

1 -1 0 1 -1 0

a

0

₁

0 0 1 -1 0 0 0 1

Direct is in te zien dat het resultaat L en U

een

eerste

afgeleide naar de plaats geeft. Als

een

mootje met grootte dx

wordt bekeken geeft U de kracht op het rechteruiteinde en L

de kracht op het linkerui teinde. Er is dus inderdaad

een

scheiding tussen de van links en de van rechts komende in-vloed gevonden. Het is ook in te zien dat deze scheiding niet het gewenste resultaat tot gevolg kan hebben, immers dit is geen eis die afhankeli jk van de looprichting van de gol ven is.

om

de golf met

een

golfdemper tegen te houden (=sperren) is

een

geschikte eis om op een punt te stellen dat het rechtse deel weI

een

kracht uit kan oefenen op het linkse deel, maar dat het linkse deel geen kracht kan uitoefenen op het rechtse

deel. Het is echter direct in te zien dat om

een

golf

on-vervormd in doorlaatrichting te laten passeren beide krachten (voor deze golf) volledig aanwezig moeten zijn.

5 Conclusie

Essentieel voor het ontwerpen van een golfdemper is dat er een scheiding kan worden gevondentussen de van links en de van rechts komende golven. Bij een goede scheiding is het zo

dat er een splitsing ontstaat waarbij de ene term

uitslui-tend de ene golf representeert, en de andere term uitsluiuitslui-tend

de andere golf. Dit is ook direct het punt waarop de

numerieke golfdemper mank gaat: Uit de simulaties blijkt dat de splitsing niet volledig is waardoor ook de golf in door-laatrichting door de golfdemper wordt beinvloed.

uit het voorgaande is gebleken dat de gekozen strategie geen acceptabel resultaat oplevert. Toch is er een duidelijke probleemstelling terwijl -zeker voor de eendimensionale

golf-vergeli jking- duideli jk is in welke richting de oplossing

gezocht moet worden. Mogeli jk dat toekomstig onderzoek het een en ander nog duidelijk maakt.

Literatuur:

[1] schmidt, Entwurf von Reglern zur aktiven

Schwingungsdampfung an flexiblen mechanischen Strukturen, Dissertation T.H. Darmstadt, Wiesbaden, 1987.

[2] Boeije, Actieve demping van liggers en snaren,