Wstęp, wektory, kinematyka

(1)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA

WIADOMOŚCI

WSTĘPNE

WEKTORY

(2)

Dr Adam Prószyński

pok.101B w Wydziale Podstaw Techniki

tel.:815384505

e-mail:

a.proszynski@pollub.pl

(3)

Treści programowe przedmiotu Treści programowe

W1 Wprowadzenie. Opis zjawisk fizycznych. Podstawowe i pochodne wielkości fizyczne. Rachunek wektorowy, _{różniczkowy i całkowego. Pomiar wielkości fizycznych.}

W2 Kinematyka. Układy odniesienia. Wielkości fizyczne opisujące ruch. Opis ruchu w dwóch i trzech wymiarach. Względność ruchu. Transformacja Galileusza. Transformacja prędkości i przyspieszenia. Ruch po okręgu, wielkości kątowe. Swobodny spadek i rzut ukośny.

W3 Dynamika punktu materialnego. Masa, pęd i siła. Zasady dynamiki Newtona. Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia. Siły w układach inercjalnych. Równania ruchu. Siły bezwładności w ruchu postępowym. Zasady zachowania pędu i energii

W4 Dynamika ruch obrotowego. Dynamiczny opis ruchu obrotowego. Siły bezwładności w ruchu obrotowym. _{Moment siły. Moment pędu. Zasady zachowania momentu pędu i energii w ruchu obrotowym.} W5 Równania ruchu. Przykłady rozwiązań równań ruchu.

W6 Pole grawitacyjne. Siła centralna. Związek między siłą grawitacji a natężeniem i potencjałem pola grawitacyjnego. Energia potencjalna. Energia kinetyczna. Praca. Moc. Związek pracy i sił zachowawczych. Zasada zachowania energii mechanicznej.

W7

Mechanika bryły sztywnej. Środek mas układu wielu cząstek. Ruch środka mas. Zderzenia ciał. Ruch obrotowy bryły sztywnej. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności. Twierdzenie Steinera. Ruch obrotowy bryły sztywnej. Zasada zachowania momentu pędu. Energia kinetyczna ruchu obrotowego. Ruch postępowo-obrotowy bryły sztywnej.

(4)

W8

Mechanika relatywistyczna. Pomiary prędkości światła. Prędkość światła. Zasada względności. Transformacja Lorentza. Interwał czasoprzestrzenny, jednoczesność. Kontrakcja długości i dylatacja czasu. Relatywistyczne dodawanie prędkości. Paradoks bliźniąt. Dynamika relatywistyczna. Pęd relatywistyczny. Zależność masy od prędkości. Relatywistyczna energia kinetyczna. Związek energii z pędem.

W9

Ruch drgający. Jednowymiarowe drgania swobodne. Równanie drgań harmonicznych. Drgania tłumione stałą siłą i zależną od prędkości. Wymuszone drgania harmoniczne. Składanie drgań harmonicznych, zasada

superpozycji. Przemiany energii w ruchu drgającym. Rezonans prędkości i wyhylenia. Drgania dwuwymiarowe. Krzywe Lissajous.

W10

Fale. Rodzaje fal i wielkości charakteryzujące ruch falowy. Fala harmoniczna płaska. Równanie falowe. Fala na granicy ośrodków, załamanie fal. Prędkość fazowa. Interferencja i dyfrakcja fal. Fale stojące. Paczki falowe i prędkość grupowa. Powstawanie i rozchodzenie się fal dźwiękowych. Ultradźwięki i infradźwięki. Ciśnienie i natężenie dźwięku. Zjawisko Dopplera.

W11

Termodynamika. Układy termodynamiczne i parametry stanu. Pomiar temperatury. Równanie stanu. Zasady termodynamiki. Energia wewnętrzna. Zasada ekwipartycji energii. Ciepło właściwe gazu. Równanie Mayera. Procesy izoparametryczne. Cykl Carnota i maszyny cieplne. Sprawność maszyn cieplnych. Entropia. Równania gazów rzeczywistych.

Fizyka statystyczna. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Mikrostan i makrostan. Związek entropii gazu prawdopodobieństwa termodynamicznego. Twierdzenie o wiriale. Kinetyczny model gazu doskonałego.

(5)

W13

Optyka geometryczna. Zasada Fermata. Odbicie i załamanie światła. Zwierciadła. Całkowite wewnętrzne

odbicie. Pryzmat. Soczewki i układy soczewek. Przejście światła przez soczewkę. Równanie soczewki cienkiej. Soczewki grube. Zdolność zbierająca układu soczewek. Przyrządy optyczne. Aberracja sferyczna i

chromatyczna. Dyspersja światła normalna i anomalna.

W14

Optyka falowa. Zasada Huygensa-Fresnela. Ugięcie fal. Odbicie i załamanie fali, całkowite wewnętrzne odbicie i rozszczepienie światła. Natężenie fali. Widmo fal elektromagnetycznych. Promieniowanie widzialne.

Interferencja światła i prążki interferencyjne. Doświadczenie Younga. Dyfrakcja, obrazy dyfrakcyjne i siatki dyfrakcyjne. Polaryzacja światła. Prawo Brewstera.

W15 Kolokwium zaliczeniowe

W16 Opis ośrodków ciągłych. Pole skalarne. Pole wektorowe. Gradient pola skalarnego, dywergencja i rotacja. _{Równanie ciągłości. Równanie ruchu.}

W17

Hydrodynamika. Statyka płynów. Prawo Pascala. Prawo Archimedesa. Zmiany ciśnienia z głębokością i wysokością. Ciśnienie hydrostatyczne. Opis ruchu cieczy Lagrange’a i Eulera. Rodzaje przepływu cieczy. Równanie ciągłości. Równanie Bernoulliego. Wzór Newtona (siła lepkości). Zjawisko Magnusa. Prawo Hagena-Poisenville’a.

W18 Podstawy elektrostatyki. Ładunek elektryczny. Pole elektrostatyczne. Prawo Culomba. Wektor indukcji elektrycznej. Natężenie, potencjał pola elektrycznego. Praca w polu elektrostatycznym. Elementy elektrostatyki. Energia potencjalna ładunku. Pole układu ładunków. Prawo Gaussa. Pojemność elektryczna. Kondensatory. Prąd elektryczny. Ładunki w ruchu i prądy elektryczne. Natężenie i gęstość prądu elektrycznego. Opór

(6)

W20

Podstawy magnetyzmu. Pole magnetyczne. Pole magnetyczne ładunków w ruchu. Wektor indukcji magnetycznej. Siła Lorentza. Prawo Biota-Savarta. Zastosowanie prawa Biota-Savarta do opisu indukcji magnetycznej w punkcie leżącym w odległości x od prostego przewodnika. Siły działające między dwoma równoległymi przewodami z prądem. Prawo Ampere'a. Solenoidy i toroidy.

W21

Elementy fizyki atomowej. Doświadczenie Balmera. Widmo liniowe wodoru. Poglądy na budowę atomu. Model atomu Bohra - postulaty Bohra. Doświadczenie Francka-Hertza. Poziomy energetyczne w atomie. Dyskretne widmo energii. Emisja i absorpcja promieniowania. Wzbudzania atomów i cząstek. Emisja spontaniczna. Rozkład elektronów w atomie. Spin i liczby kwantowe. Nierozróżnialność cząstek identycznych - zakaz Pauliego.

W22 Światło laserowe. Spójność światła. Inwersja obsadzeń poziomów energetycznych. Budowa podstawowych typów laserów. Właściwości światła laserowego: zakres spektralny, monochromatyczność, kolimacja i spójność. Zastosowanie światła laserowego w diagnostyce.

W23 Elementy fizyki jądrowej Odkrycie jądra atomowego i jego właściwości. Modele jądrowe. Prawo rozpadu promieniotwórczego. Rozpad a, b, g. Rozczepienie jądra atomowego, synteza jądrowa. Reaktor jądrowy. Skutki promieniowania jonizującego. Dozymetria. Dopuszczalne dawki promieniowania jonizującego.

W24

Podstawy fizyki kwantowej. Promieniowanie temperaturowe. Ciało doskonale czarne. Prawa Kirchhoffa, Wiena, Stefana-Boltzmanna. Zależność zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego od długości fali i temperatury. Kwant energii promieniowania. Wzór Plancka. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

(7)

W25

Fizyka kwantowa. Postulaty fizyki kwantowej. Falowy charakter ruchu cząstki oraz równanie Schrödingera. Prędkość i pęd fotonu Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Zjawisko tunelowe. Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału i kwantowanie energii cząstki. Atom wodoru w ujęciu mechaniki kwantowej. Liczby

kwantowe. Degeneracja poziomów energetycznych.

W26 Elementy budowy materii. Podstawowe pojęcia fizyki ciała stałego. Budowa kryształów. Sieć krystaliczna. Układy krystalograficzne i rodzaje sieci. Wskaźniki Millera. Wiązania w kryształach. Defekty w kryształach. Ciała amorficzne.

W27

Metody badań ciał krystalicznych. Dyfrakcja rentgenowska, dyfrakcja elektronów. Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania rentgenowskiego. Promieniowanie synchrotronowe. Rozpraszanie elastyczne promieniowania rentgenowskiego na płaszczyznach krystalicznych. Prawo Bragga. Budowa dyfraktometru.

W28 Przewodnictwo elektryczne ciał stałych. Klasyczna teoria przewodnictwa. Model pasmowy. Poziomy energetyczne w krysztale. Metale, półprzewodniki i izolatory, Półprzewodniki domieszkowane. Przewodnictwo cieplne.

W29 Właściwości mechaniczne ciał stałych. Elementy elastostatyki. Prawo Hooka. Moduł Younga, współczynnik _{Poissona. Prawo Newtona.} W30 Kolokwium zaliczeniowe

(8)

1. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, Tom 1 i 2, (PWN, Warszawa, 1989). 2. D. Halliday , R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki, Tom 1 - 5, (PWN, Warszawa, 2003). 3. A. Januszajtis, I Cząstki, seria: Fizyki dla politechnik, (PWN, Warszawa, 1986).

4. A Januszajtis, II Pola, seria: Fizyki dla politechnik (PWN, Warszawa, 1986). 5. A. Januszajtis, III Fale, seria: Fizyki dla politechnik (PWN, Warszawa, 1991). 6. C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika seria: Berkeley Physics

Course, (PWN, Warszawa, 1975).

7. E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, seria: Berkeley Physics Course, (PWN, Warszawa, 1974).

8. F.Crawford, Fale, seria: Berkeley Physics Course, (PWN, Warszawa, 1974). 9. D. Halliday , R. Resnick, Fizyka, Tom 1,2 (PWN, Warszawa, 1983).

(9)

Projekt: OpenStax Polska

(10)

1. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, Tom 1 i 2, (PWN, Warszawa, 1989).

(11)

(12)

3. A. Januszajtis, I Cząstki, seria: Fizyki dla politechnik, (PWN, Warszawa, 1986). 4. A Januszajtis, II Pola, seria: Fizyki dla politechnik (PWN, Warszawa, 1986). 5. A. Januszajtis, III Fale, seria: Fizyki dla politechnik (PWN, Warszawa, 1991).

(13)

6. C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika seria: Berkeley Physics Course, (PWN, Warszawa, 1975). 7. E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, seria: Berkeley Physics Course, (PWN, Warszawa, 1974).

(14)

(15)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA H. Stöcker Nowoczesne kompendium fizyki Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010

(16)

(17)

(18)

Analiza danych w naukach ścisłych i technice

Andrzej Zięba

Wydawnictwo Naukowe PWN, 2013

(19)

Pracownia fizyczna wspomagana komputerem

Henryk Szydłowski

(20)

Praktyczna Fizyka G.L. Squires

(21)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA długość masa czas natężenie prądu temperatura termodynamiczna natężenie światła ilość masy metr [m] kilogram [kg] sekunda [s] amper [A] kelwin [K] kandela [cd] mol [mol]

Jednostka długości - metr – długość 1 metra jest równa 1 650 763,73 długości fali

pomarańczowej linii widmowej wysyłanej przez atomy czystego izotopu kryptonu o liczbie masowej 86, pobudzanego do świecenia wyładowaniem elektrycznym. (tzw. przejścia między poziomami 2p_1O i 5d₅ w 86_Kr).

Jednostka masy - kilogram - jest to masa wzorcowego walca sporządzonego ze stopu

platyny z irydem, przechowywanego we wspomnianym biurze w Sevres pod Paryżem. Masa tego wzorca jest bardzo bliska masie 1000 cm3 czystej wody w temperaturze 4°C.

Wielkości podstawowe to takie dla których łatwo jest podać sposób pomiaru. Pomiar wielkości fizycznej polega na porównaniu jej z wielkością tego samego rodzaju uznaną za jednostkę.

(22)

Jednostka czasu - sekunda - Mianowicie sekunda jest trwaniem 9192631770 okresów

promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami struktury nadsubtelnej

(F = 4, M = O i F = 3, M = O) stanu podstawowego 2S_1/2atomu cezu 133. Wzorzec sekundy można zatem odtwarzać za pomocą atomowego zegara cezowego.

Jednostka natężenia prądu - amper - jest to natężenie prądu (nie zmieniającego się) który

płynąc w dwóch równoległych, nieskończenie długich przewodach (o przekroju okrągłym, znikomo małym), umieszczonych w próżni w odległości 1 metra od siebie, wywołałby między tymi przewodami siłę 2. 10-7_{niutona na każdy metr długości. W praktyce amper określa się przy}

utyciu tzw. wagi prądowej, w której mamy cewki lub przewody skończonej długości.

Jednostka temperatury termodynamicznej - kelwin - jest to 1/273,16 część temperatury punktu

potrójnego wody. Temperaturze zera bezwzględnego T = O K odpowiada wartość temperatury

t = - 273, 15°C w skali Celsjusza, która nadal jest powszechnie używana w życiu codziennym.

Jednostka natężenia światła (światłości) - kandela - jest to światłość, którą ma w kierunku

prostopadłym pole 1/600 000 m2_{powierzchni ciała doskonale czarnego, promieniującego}

w temperaturze krzepnięcia platyny pod ciśnieniem 101 325 niutonów na metr kwadratowy.

Jednostka ilości (liczności) materii - mol- jest to ilość materii występująca, gdy liczba cząstek

(23)

mm

l



0 .

02

(24)

mm

l



0 .

05

(25)

s

t



0 .

4 

(26)

Wielkości pochodne są definiowane za pomocą wielkości podstawowych lub wielkości pochodnych wcześniej zdefiniowanych. Jeżeli jakaś wielkość a jest funkcją wielkości uprzednio zdefiniowanych np. b,c,d ..., to jednostka wielkości a jest taką samą funkcją jednostek wielkości b,c,d ....

Wielkość pochodna a = F(wielkości podstawowe b,c,d, ...) Jednostka pochodna a = F(jednostki podstawowe b,c,d, ...)

(czas)

(droga)

t

s

V



 

_













)

sekunda

(

)

metr

(

s

m

V

(27)

Przedrostek Mnożnik _przedrostkaSkrót exa peta tera giga mega kilo hekto deka decy centy mili mikro nano piko femto atto 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 E P T G M K H da d c m  n p f a

Jednostki wielokrotne tworzymy poprzez dziesiętny podział lub zwielokrotnienie wartości jednostek podstawowych lub pochodnych. Przedrostki jednostek wielokrotnych przedstawiono w poniższej tabeli.

(28)

(29)

Wektor jest wielkością, która posiada wartość, kierunek i zwrot.

W kartezjańskim układzie współrzędnych, każdy wektor zapisujemy jako:

gdzie są wektorami o długościach jednostkowych, kierunkach i zwrotach takich samych jak odpowiednie osie

współrzędnych i są do siebie wzajemnie prostopadłe.

nazywamy współrzędnymi wektora, i są równe długości rzutów prostopadłych wektora na poszczególne osie współrzędnych.

(30)

(31)

a

b

a

c



















c

a

b

a

( b

)



_

_

_

_

_



b

c

 

a

b



c

a

























a

b



k

a

k

b

k















Prawo łączności: Prawo rozdzielności:

(32)

(33)

(34)



cos

ab

b

a

c





_





a



_

b





b



_

a





b

c



a

b

a

c

a



_











_







_



(35)



sin

ab

b

a

c













a

b

a



















b

c



a

b

a

c

a



























(36)



a

b



c

(37)

k

a

j

a

i

a





_x





_y





_z



k

b

j

b

i

b





_x





_y





_z



1 



j

k

i



_



_



_



0 



j

k

i

j

i



_



_



_





 



z z y y x x z y x z y x

b

a

b

a

b

a

k

b

j

b

i

b

k

a

j

a

i

a

b

a











_







(38)



 















x y z x y z y z z y z x x z x y y x

a b

a i a j a k

b i b j b k

a b

a b i

a b

a b j

a b

a b k

 





















k

i

j

i





















0 











i

j

k

i



j



k







k







j



i



j

k

i

k





















x y z y z z x x y y x z y x z x y z

i

j

k

a b

a

a b i a b j a b k a b k a b i a b j

b

 









(39)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA   alfa   ni   beta   ksi   gamma   omikron   delta   pi E _{ epsilon} _{  ro} Z  dzeta   sigma H _{ eta} _{  tau}   theta   ypsilon I  jota   fi K  kappa X  chi   lambda   psi M _{ mi} _{  omega} Alfabet grecki

(40)

(41)

1.Układy odniesienia.

2.Wielkości fizyczne opisujące ruch.

3.Opis ruchu w dwóch i trzech wymiarach.

4.Względność ruchu. Transformacja Galileusza. 5.Transformacja prędkości i przyspieszenia.

6.Ruch po okręgu, wielkości kątowe. 7.Swobodny spadek i rzut ukośny.

(42)

 

,





 

_,

t

f

t

f

t

s

t

f

t

f

s



















 

t

.

f

dt

t

df

dt

t

ds

funkcji

pochodna





W granicy

t  0

(43)

 

_{ }

,

t

g

dt

t

df



f t

 





g t dt

 



 



 

.

,

sin

2 2

t

g

t

g

t

f



Niech f(t) ma postać:

(44)

0 Stała, niezależna od

t

n t

n-1

t

n

-sin t

cos t

sin t

Pochodna

Funkcja

Pożyteczne wzory

(45)

Całki

sin t a = stała Całka f (t) Funkcja g(t)

 

g a dt t df at adt t f    



) ( bo      t g t t dt t d t t t f          



sin sin cos cos sin bo

(46)

a cos at

sin at

-2t sin(t

2

₎

cos(t

2

₎

2t cos(t

2

)

sin (t

2

)

pochodna

funkcja

(47)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Najczęściej obserwowanym zjawiskiem fizycznym jest zjawisko ruchu. Stykamy

się z nim wszędzie, posiada on różne postacie i różne przyczyny: ruch człowieka i zwierząt, ruch powietrza i fal, itp. Praktycznie w każdym zjawisku fizycznym mamy do czynienia z ruchem pewnych ciał.

Do pełnego zbadania ruchu istotne jest uwzględnienie oddziaływania ciała w ruchu z ciałami go otaczającymi. Badanie te możemy podzielić na opis czasowo-przestrzenny (kinematykę) oraz badanie ruchu z uwzględnieniem przyczyn tego ruchu (dynamikę).

Mówiąc o ruchu ciała, mamy na myśli zmianę położenia ciała względem innych ciał w czasie. Ciała względem, których badamy ruch nazywamy układem odniesienia, z którym zwykle wiążemy pewien układ współrzędnych. Jeżeli badane ciało nie zmienia swojego położenia względem układu współrzędnych to mówimy, że dane

(48)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Układ kartezjański ) , , (x y z P

Jednym z najprostszych układów współrzędnych jest prostokątny układ trzech osi wzajemnie prostopadłych przecinających się w jednym punkcie. W tym układzie położenie punktu w przestrzeni opisywane są przez trzy liczby, zwane odpowiednio współrzędnymi x,y i z.

Współrzędne położenia punktu są jednocześnie współrzędnymi

wektora łączącego początek układu współrzędnych z miejscem, gdzie znajduje się obserwowany obiekt.

y

z

k

P

r

Z

UKŁADY ODNIESIENIA

(49)

Położenie ciała jest pojęciem względnym; można je wyznaczyć tylko względem

innych ciał, zwanych ciałami odniesienia z którymi związany jest układ współrzędnych.

( ) [ ( ), ( ), ( )]

r t





x t y t z t

( )

r t





x t i

 



y t j z t k

 







(50)

W czasie ruchu ciało zmienia swoje położenie względem określonego układu współrzędnych. Jeśli położenie początkowe ciała jest r₁, a końcowe r₂, to

przemieszczeniem nazywamy wektor r₁₂.

Wektory położenia są różne dla obserwatorów umiejscowionych w różnych miejscach układu współrzędnych, natomiast

wektor przemieszczenia wyznaczony dla y

z P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) r₁ r_{1 2} r₂ P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) z₁ y ₁ z ₂ y ₂ k t z j t y i t x r₁  ( ₁) ( ₁)  ( ₁) k t z j t y i t x r₂  ( ₂) ( ₂) ( ₂)



x t x t

 

i y t y t

 

j z t z t



k r r r₁₂  ₂  ₁  ( ₂) ( ₁)  ( ₂) ( ₁)  ( ₂) ( ₁) 

(51)

Torem nazywamy krzywą geometryczną, którą zakreśla punkt materialny podczas

swego ruchu. Równanie promienia wodzącego jest równaniem parametrycznym toru, natomiast jeśli wyeliminujemy parametr t (czas) wówczas otrzymamy

równanie w postaci uwikłanej (bezpośrednia zależność współrzędnych).

W zależności od toru ruchu rozróżniamy ruchy prostoliniowe i krzywoliniowe, płaskie i przestrzenne.         ) ( ) ( ) ( t z z t y y t x x      ) ( ) ( 2 1 x F z x F y y z r₃ r₄ r₅ r₆ T o r r ( t ) P 1 r₁ r P 2 z

S - d r o g a

(52)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Metoda triangulacyjna

)

sin(

sin















OA

OP

)

sin(

sin











 L

OP

POMIAR ODLEGŁOŚCI

(53)

2

1

2 t

t

OP c





POMIAR ODLEGŁOŚCI Metoda radarowa

2 t

OP c





(54)

r

v









z P 1 r₁ r_{1 2} r P 2 V_{ś r} x y z P 1 r₁  r_{1 2} r₂ P 2 V P 3 P 4 r₃ r₄  r_{1 3}  r_{1 4}

t

r

t

r

v

t

d

lim

0



_





 

Def. Prędkość jest to pochodna wektora położenia po czasie.

(55)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA y z O V Z V V _Y x y O r3 r2 V2 V3 r1 V 1

( )

d ( )

dz( )

d

x y z

v v t i v t j v t k

x t

y t

t

i

j

k

t











2 2 2 z y x

v





PRĘDKOŚĆ

(56)

t

v

a

_sr







z P 1  V1 2 P 2 V ₁ V 2 2

d

t

r

t

r

t

v

a



_

















t

v

t

v

a

t

d

lim

0



_





  2 2 2 2 2 2 d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d y x z x y z v t v t v t x t y t z t a a t i a t j a t k i j k i j k t t t t t t                PRZYSPIESZENIE

(57)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA hodograf położenia

x

y

z

O

a _Z a _X

a

a _Y 2 2 2 z y x

a





y _V 1 T o r r ( t ) a 2 V1 PRZYSPIESZENIE

(58)

const



v

)

(

)

(

t

x

t

s



0 

a

]

0 ,

0 ),

(

[

)

(

t

x

t

r





] 0 , 0 ), ( [ ) (t v t v  _x

dt

t

ds

dt

t

dx

v

_x



( 

)

(

)

v

_x

dt



ds

(t

)



t

v

dt



s

ds

t v O v = v = c o n s t0 s = v t t s O s = v t PRZYKŁADY RUCHU

(59)

const



a

_s

₍

_t

₎

_

_x

₍

_t

₎

] 0 , 0 ), ( [ ) (t v t v  _x dt t ds dt t dx v_x  ( ) ( ) ) (t ds dt v_x 







s s t t xdt ds v 0 0







        t t x t t x t t x x dt t t a dt v s dt t t a v s s 0 0 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0

]

0 ,

0 ),

(

[

)

(

t

x

t

r





Gdy kierunek ruchu pokrywa się z osią OX

] 0 , 0 ), ( [ ) (t a t a  _x dt t dv a x x ) ( 



 v v x t t xdt dv a 0 0 ) ( ₀ 0 0 0 t t a v dt a v v _x _x t t x x x  



   2 0 0 0 0 ( ) 2 1 ) (t t a t t v s s   _x   _x  PRZYKŁADY RUCHU

(60)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA 0

v

t

a

v











0 0 2

2 v

t

r

t

a

r















Gdy żadna oś układu nie pokrywa się z torem ruchu: t a x O a = c o n s t_x v - vx 0x t t s - s 0  = a r c t g a x v 0 x s = s + v t + a t / 20 0x x 2 PRZYKŁADY RUCHU

(61)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA PRZYKŁADY RUCHU

Charakterystyka ruchu: wektor wodzący r

obraca się, zachowując stała prędkość. Prędkość kątowa  Droga kątowa  Droga liniowa s Prędkość liniowa v Droga liniowa s =  r Prędkość liniowa

r

s

d

_



t

d







W równaniu (3) prędkość kątowa (1)

(2)

(4)

Całkując (4) otrzymujemy

(62)







t

0

d





Dla  = const i  = 0 gdy t = 0, z równania (5)

otrzymujemy  = t Dla  = 2 i t = T, otrzymujemy





2 

T

(6) (7) (8) Uwaga: jednostka T: s Uwaga: jednostka f: s-1

(63)

PRZYKŁADY RUCHU _{Niejednostajny ruch po okręgu}

Przyspieszenie kątowe - pochodna prędkości kątowej względem czasu

2 2

d

t

d

t









(1) Z równ. (1) 0

d

t





 



(2)

(64)

Współrzędne wektora położenia punktu P

cos ( )

sin ( )

x r

t

y r

t





(1)₍₂₎

)

(t



gdzie - to droga kątowa , która jest funkcją t. Współrzędne wektora prędkości:

sin

cos

x y

dx

d

v

r

dt

dy

d

v

r

dt



_

_

_



_

_

_



 



(3) (4)

Współrzędne wektora przyspieszenia:

(65)

PRZYKŁADY RUCHU Przyspieszenie normalne i styczne w ruchu po okręgu

Z równań (5) i (6) mamy

2

 





a r

r

(7)

Przyspieszenie normalne, skierowane do środka koła wzdłuż promienia okręgu ale przeciwna do wektora r:

r

a

_n







2 (8)

Przyspieszenie styczne, skierowane równolegle do wektora prędkości v tzn.

Wartość bezwzględna przyspieszenia normalnego wynosi:

r

v

r

a

2 2 n







(9)

(66)

Wartość bezwzględna przyspieszenia stycznego: t

d

v

a

r

dt

r









 

(11)

Przyspieszenie normalne i styczne w ruchu po okręgu

1 d v

dv

dt r

r dt





 

_{ }



 

1 dv

dv

a



r



(67)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Ruch jednostajny Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch niejednostajnie przyspieszony Ruch prostoliniowy Ruch krzywoliniowy Ruch po okręgu 0 v at v   0 0 2 2 v t s at s    const  a const  v 0 s vt s   0  a __ _ _const const   const   const  a 0 r t v r     0  a const  v const  a 0 v t a v   0 0 2 2 v t r t a r    const  a 0     t  0   t    0 0 2 2   t   _   t PRZYKŁADY RUCHU Klasyfikacja ruchów

(68)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA PRZYKŁADY RUCHU 2

( )

at

y t



y



v t



0 0

0 v

a

g

y

h



 



Kiedy ciało spadnie na ziemię?

*

( ) 0

y t



*2 *2 *2

2

0

2

2 gt

h

gt

h

t

g

 









*

2 h

*

2 h

t

g



  

Jaka będzie prędkość końcowa?

(69)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA PRZYKŁADY RUCHU 2 0 0

( )

2 at

y t



y



v t



0 0

0

0 v

a g

y





Wysokość będzie max gdy prędkość ciała się wyzeruje

*

( ) 0

v t



Jaka będzie maksymalna wysokość

na jaką wzniesie się ciało? ₂

0 * ₀ max

( )

0

2 v

g

v

h

y t

v

g

 

 

 





* * ₀ 0

0 v

gt

t

v

g

 

 

2 2 2

v

(70)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Rzut poziomy PRZYKŁADY RUCHU x

v

y

v

_v

z





0

( )

x t



v t

2

( )

2 gt

y t

 

h

*

( ) 0

y t

 

*2

0

2 gt

h

 

*2 *2

2

2 h

gt



h



t



(71)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Rzut poziomy PRZYKŁADY RUCHU x

v

y

v

_v

z * * 0 0

2 ( )

h

z x t

v t

v

g



Jaki będzie zasięg rzutu?

Jakie będzie równanie toru?

0

( )

o

x

x t

v t

t

v



 

2

x

g

 

2

( )

2 gt

y t

 

h

(72)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Rzut ukośny PRZYKŁADY RUCHU 0 0 0 0

cos

sin

x y

v



 

0

( )

_x

x t



v t

2 0

( )

2

y

gt

y t



v t



0

( )

cos

x t



v t



2

gt







2 0

( )

sin

2 gt

y t



v t





(73)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Rzut ukośny

PRZYKŁADY RUCHU

Po jakim czasie ciało spadnie na ziemię?

*

( ) 0

y t

 

*2 * 0

sin

0

2 gt

v t







* * 0

sin

0

2 gt

t v



_







_







*

₀

*

2 sin

v

₀

t

g



  

(74)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA Rzut ukośny

PRZYKŁADY RUCHU

Jaki będzie zasięg rzutu?

* * ₀ 0 0

2 sin

( )

cos

v

cos

z x t

v t

v

g





(75)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA PRZYKŁADY RUCHU 2 0

sin 2

( )

v

z

g





Funkcja osiąga ekstremum jeśli pochodna się zeruje

2 0

2 cos 2

dz

v

d

g





2 0

2 cos 2

0 v

g



_

cos 2





0

Rzut ukośny

(76)

PRZYKŁADY RUCHU Rzut ukośny

Jaka będzie maksymalna wysokość na jaką wzniesie się ciało?

2 2 0 max ₂

sin

( ')

sin

2

o o

v

h

y t

v

g







'

( ) 0

y

v t





' ' 0

sin

0 v t





gt



t’_{czas po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość}

'

v

₀

sin

t

g



(77)

Jakie będzie równanie toru?

0 0

( )

cos

v

x t

v t



t





 

2 0

( )

sin

2 gt

y t



v t





2

( )

x

y t



xtg





2 0 0 0

cos

( )

sin

cos

2 x

g

v

x

y t

v



















(78)

Z jaką prędkością ciało uderzy w ziemię?

* 2 2

( )

_x _y

v t





v



v





2 * 2 2 * 0 0 0

( )

cos

sin

v t





v





v





gt



v

*

2 sin

v

₀

t

g





(79)

Nie istnieje ruch absolutny. Opis ruchu jest możliwy tylko względem obranego przez nas układu odniesienia, z którym wiążemy odpowiedni układ współrzędnych i traktujemy jako nieruchomy. Układy te zwykle są związane z obserwatorem. Różni obserwatorzy ruchu tego samego obiektu mogą się poruszać względem siebie, i wobec tego mamy do czynienia z ruchomymi układami odniesienia. Ruch jest względny, gdyż każdy z obserwatorów traktuje swój układ jako nieruchomy, pozostałe jako ruchome.

(80)

Podczas ruchu jednego układu względem drugiego, układ ruchomy przyjmuje położenia, które można zawsze osiągnąć poprzez złożenie przesunięcia równoległego (translacji) i obrotu (rotacji) wokół pewnej osi.

x y z O U X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’ X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’ x ’ y ’ z ’ X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’  x y z O U R

(81)

R

r







,





V v t R t r t r v            , , d d d d d d '

R

 





k t z j t y i t x v    d d d d d d    ' , ' , ' , ' d d d d d d k t z j t y i t x v       tr v v v  ,   R x y z O U X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’ V R ’ x y z O U X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’ V ’

(82)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA A a t V t v t v a       _ _ , _ _ , _ d d d d d d tr a a a  ,   ' , z ' , y ' , x ' d d d d d d k t v j t v i t v a       k t v j t v i t v a    d d d d d d _x _ y _ _z 

Jeżeli odpowiednie wersory układu poruszającego się mają takie same kierunki jak wersory układu spoczywającego, wówczas: i X R   V Vi A  Ai ' ' ' z z y y X x x     ' ' ' z z y y x x v v v v V v v     ' ' ' z z y y x x a a a a A a a    

(83)

'

O



,

r

 



' , ' , ' ' ' _x_i _y _j _z _k r       k z j y i x r     k v j v i v v  _x _y _z  k a j a i a a  _x _y _z ' ' ' ' ' ' ' _v _i _v _j _v _k v  _x  _y  _z  ' ' ' ' ' ' ' _a _i _a _j _a _k a  _x  _y  _z

Ruch dowolnego punktu materialnego opisany jest poniższymi równaniami odpowiednio przez obserwatora związanego z układem nieruchomym i układem obracającym się względem niego ruchem obrotowym wokół osi przechodzącej przez wspólny początek obu układów.

x y z O U X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’  x y z O U X ’ y ’ Z ’ O ’ U ’    ’ Ruch obrotowy

(84)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA t k z t j y t i x k t z j t i t x t r t r v d d d d d d d d d dy d d d d d d ' ' ' ' ' ' ' , ' , ' , , _ _ _       _ _ _ _ _ _ _ _ r v t r _ _ ___ _ _ d d ' ' d d i t i _    ' '

_r

v

















' ' d d j t j _     ' ' d d k t k _   



' ' ' ' ' '



' ' ' ' ' ' ' ' k z j y i x v k z j y i x v v                              t r r t t v t v a d d d d d d d d ' ' ,        _ _ _  _ ___

Wzór na transformację wektora prędkości:



' ' ' ' ' '



' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , z ' , y ' , x ' d d d d d d d d d dv d d d d v a k v j v i v a t k v t j v t i v k t v j t i t v t v z y x                               

(85)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA ) ( ) ( d d , _'' _' _' _' r v r v t r _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

_ _

_

_ _

_

_ _

_

_

_

_



) ( d d _' _' _' ' ' _r _v _r t v a a   



  



   



  



 



  

)

(

2 d

d

' ' ' '

_r

_v

_r

t

a











































Ostateczny wzór na transformację wektora przyspieszenia punktu materialnego między układem pozostającym w spoczynku a układu obracającym się:

r r t a 



   



  d d

(86)

WYKŁAD 1 WSTĘP, KINEMATYKA ' 2 v a_c 



  ) ( r' a_d 



 



  

(87)

(88)

Wyrażenia na transformację prędkości i przyspieszenia z układu nieinercjalnego do inercjalnego

)

(

2 d

d

_' _' _' '

_r

_v

_r

t

a











_tr





































' '

_v

_r

v











_tr











rot tr

v







,









rot tr u

v











Prędkość unoszenia: rot tr u

a











Przyspieszenie unoszenia: rot tr

a







'









) ( d d _' _' _' r v r t a_rot         

(89)

(zasada względności Galileusza)

Ruch jednostajny i prostoliniowy układu odniesienia nie wpływa na przebieg zachodzących w nim procesów mechanicznych. Na podstawie doświadczeń mechanicznych

przeprowadzonych wewnątrz układu inercjalnego nie można stwierdzić, czy ten układ pozostaje w spoczynku, czy też porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

' ' ' ' t t z z y y X x x      ' ' ' z z y y x x v v v v V v v     ' ' ' z z y y x x a a a a a a   

Szczególnym przypadkiem poruszających się układów odniesienia są tzw. układy inercjalne, czyli poruszające się ze stałą prędkością względem innego układu inercjalnego.

Transformacja Galileusza