ROZWIĄZYWANIE BELEK O ZMIENNEJ SZTYWNOĝCI METODĄ RÓĩNIC SKOēCZONYCHWiesáaw Buczkowski

Pełen tekst

(1)Architectura 8 (3–4) 2009, 49–64. ROZWI ZYWANIE BELEK O ZMIENNEJ SZTYWNOCI METOD RÓNIC SKOCZONYCH Wiesaw Buczkowski Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Streszczenie. W pracy przedstawiono rozwizania dla belek o zmiennej sztywnoci. Obliczenia wykonano metod rónic skoczonych. Pokazano sposób post powania przy budowie macierzy ukadów równa przemieszczeniowych oraz przedstawiono rozwizania dla kilku schematów statycznych belek o zmiennej sztywnoci, obcionych w sposób masowy oraz rónic temperatury mi dzy doln i górn paszczyzn belki. Przedstawione w pracy macierze ze wspóczynnikami o ogólnych oznaczeniach pozwalaj w prosty sposób uzyska

(2) rozwizania dla belek o tym samym schemacie statycznym, ale o dowolnych sztywnociach. Sowa kluczowe: belki o zmiennej sztywnoci, obcienie temperatur, metoda rónic skoczonych. WSTP W powszechnie dost pnej literaturze technicznej nie mona znale

(3) rozwiza analitycznych dla belek o zmiennej sztywnoci, obcionych temperatur (rónic temperatury mi dzy doln a górn paszczyzn belki). Od wielu lat przy wykonywaniu oblicze statycznych dla powok, pyt i belek z duym powodzeniem stosowana jest metoda rónic skoczonych [Bielewicz i in. 1967, Podhorecki i Przedpeski 1982, Buczkowski 2007]. Metoda ta, stosunkowo prosta w stosowaniu, moe by

(4) take zastosowana do poszukiwania rozwiza dla dowolnych schematów statycznych belek o zmiennej sztywnoci, dowolnie obcionych, w tym take temperatur. WARIACYJNE UJCIE METODY RÓNIC SKOCZONYCH W ZASTOSOWANIU DO ROZWI ZYWANIA BELEK Funkcjona energii cakowitej odksztacenia spr ystego zginanej belki o staej sztywnoci dany jest zalenoci: Adres do korespondencji – Corresponding author: Wiesaw Buczkowski, Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu, Wydzia Melioracji i Inynierii rodowiska, Katedra Mechaniki Budowli i Budownictwa Rolniczego, ul. Pitkowska 94, 60-649 Pozna, e-mail: kmbibr@ up.poznan.pl.

(5) W. Buczkowski. 50. V. 2 2 EJ d 2 w 2t t d 2 w t t 2. h 2 l dx 2 h dx 2 . dl qwdl l . (1). gdzie: V – funkcjona energii, E – modu spr ystoci materiau belki, J – moment bezwadnoci przekroju belki, t – wspóczynnik liniowej rozszerzalnoci termicznej materiau belki, t – rónica temperatury mi dzy doln i górn paszczyzn belki (t = td – tg), h – wysoko

(6) przekroju belki, q – obcienie równomiernie rozoone na dugoci belki, l – dugo

(7) belki, w(x) – funkcja opisujca ugi cie belki. Poszukujc rozwiza dla konkretnego przypadku, naley dugo

(8) belki podzieli

(9) na l dowoln liczb odcinków n, kady dugoci s . Pochodne funkcji ugi cia, wyst pujce n w funkcjonale energii, zast puje si ilorazami rónicowymi, a cakowanie – sumowaniem po przedziaach podziau belki. Z twierdzenia, mówicego, e dla ustroju b dcego w stanie równowagi energia cakowita osiga minimum, wynika, e warunkiem koniecznym jest zerowanie si pierwszych pochodnych, co w rozpatrywanym przypadku V 0, gdzie V jest funkcjonaem okrelonym równaniem (1). Z warunku tego oznacza wi otrzymuje si liniowy ukad równa algebraicznych na wyznaczenie przemieszcze (wi) we wszystkich w zach przyj tego podziau belki. Korzystajc z otrzymanych wartoci przemieszcze (wi), mona obliczy

(10) momenty zginajce dla wszystkich w zów podziau z zalenoci: d 2w M xi EJ i 2 t t hi1 dx . (2). ROZWI ZYWANIE BELEK O LINIOWO ZMIENNEJ WYSOKOCI Przy poszukiwaniu rozwiza dla belek o liniowo zmiennej wysokoci mamy do czynienia z przypadkiem, gdzie w kadym w le podziau przyj tego do oblicze wyst puje inna wysoko

(11) belki, a wi c i inna sztywno

(12) belki. W takiej sytuacji sztywno

(13) wyst pujca w funkcjonale (V) musi znale

(14) si pod cak. Tworzc równanie przemieszczeniowe dla punktu i, wykorzystujemy drugie pochodne (ilorazy rónicowe) rozpisane w punktach: i – 1, i oraz i + 1 (rys. 1). Rodzi si zatem wtpliwo

(15) , czy poszczególnym pochodnym przypisywa

(16) sztywno

(17) (EJi), wyst pujc w punkcie i, dla którego tworzy si równanie, czy odpowiednie sztywnoci naley przypisa

(18) poszczególnym pochodnym, tzn. pochodnej napisanej w punkcie i – 1 przypisa

(19) sztywno

(20) EJi-1, w punkcie i – sztywnoci EJi, a w punkcie i + 1 – sztywno

(21) EJi+1. Na rysunku 1 pokazano fragment belki o liniowo zmiennej wysokoci wraz z przyj tymi oznaczeniami. Acta Sci. Pol..

(22) Rozwizywanie belek o zmiennej sztywnoci metod rónic skoczonych. 51. a). hi-2 i-2. hi-1. hi. i-1. i+1. i 2. 2. wi 2 2wi 1 wi wi 1 2wi wi 1 wi 2wi 1 wi 2 s2 s2 s2 . b). i-2. i-1. Rys. 1.. i+2. x. 2. i+1. i s. hi+2. hi+1. i+2. s. Fragment belki z zaznaczonymi jej wysokociami w poszczególnych punktach przyj tego podziau (a), rozpisane w rónicach skoczonych drugie pochodne funkcji ugi cia, w których wyst puje ugi cie w punkcie i (b) Beam fragment with its heights in individual points of section grid (a), second derivatives of de ection function in nite-differences (de ection in i point) (b). Fig. 1.. Poniej dla punktu i utworzono lew stron równania przemieszczeniowego, róniczkujc rozpisane wyej pochodne wzgl dem przemieszczenia wi, a zamiast cakowania przypisano poszczególnym pochodnym odpowiednie odcinki przyj tego podziau belki. W pierwszej kolejnoci (wersja A), post pujc w sposób opisany wyej, przypisano wszystkim pochodnym sztywno

(23) wyst pujc w punkcie centralnym i: V EJ i 2(wi 2 2wi 1 wi ) s 2(wi 1 2wi wi 1 ) (2)s 2(wi 2wi 1 wi 2 ) s . wi 2 s4 s4 s4 EJ (3) 3 i (wi 2 4wi 1 6wi 4wi 1 wi 2 ) s. W dalszej kolejnoci (wersja B) postpiono w sposób opisany wyej, z t jednak rónic, e odpowiednie sztywnoci, wyst pujce w poszczególnych w zach podziau belki, przypisano drugim pochodnym funkcji ugi cia (ilorazom rónicowym) rozpisanym w danym punkcie: V EJ i 1 2(wi 2 2wi 1 wi ) s EJ i 2(wi 1 2wi wi 1 ) (2)s EJ i 1 2(wi 2wi 1 wi 2 ) s . wi 2 2 2 s4 s4 s4 . E s3. J i 1wi 2 2(J i 1 J i )wi 1 (J i 1 4J i J i 1 )wi 2(J i J i 1 )wi 1 J i 1wi 2 . (4). W literaturze technicznej [np. Pietrzak i in. 1979, Jastrz bski i in. 1974, Orowski i Sowaski 1978] znale

(24) mona rozwizania dla belek o zmiennej wysokoci, gdzie równania przemieszczeniowe zbudowano wedug wersji A. Na fakt, e otrzymuje si w takim przypadku b dne rozwizania, wskazali w swojej pracy Podhorecki i Przedpeski [1982]. Architectura 8 (3–4) 2009.

(25) W. Buczkowski. 52. Prawidowy sposób post powania powinien by

(26) zgodny z wersj B. Post pujc w ten wanie sposób, dla belki wspornikowej pokazanej na rysunku 2, o liniowo zmiennej wysokoci, zbudowano ukad równa (na ogólnych symbolach), sucy do wyznaczenia przemieszcze w poszczególnych w zach przyj tego podziau belki. q. h0. h1. h2. 1 s. h3. 2 s. 3. h4 4. h6. h5 5. s. 6. s. l 6. l = 6s. Rys. 2. Fig. 2.. Belka wspornikowa o liniowo zmiennej wysokoci – podstawowe oznaczenia Semi-beam of lineary changeable height – basic designations. Zaoono, e belka b dzie obciona w sposób równomierny obcieniem o intensywnoci q oraz e obcienie belki stanowi

(27) b dzie rónica temperatury t = const na caej jej dugoci (t = td – tg). Otrzyman macierz ukadu równa przemieszczeniowych pokazano w tabeli 1. Przykad liczbowy.Wpracy Podhoreckiego i Przedpeskiego [1982] zamieszczono przykad liczbowy dla belki o schemacie jak na rysunku 2 dla danych: ho = 6 cm, h1= 5,5 cm, h2 = 5,0 cm, h3 = = 4,5 cm, h4 = 4 cm, h5 = 3,5 cm, h6 = 3 cm, szeroko

(28) belki b = 3 cm, dugo

(29) belki l = = 60 cm, dugo

(30) odcinka podziau belki s = 10 cm, modu Younga E = 20,6·1010 N·m–2, obcienie równomierne rozoone q = 1000 N·m–1. Dla powyszych danych przedstawiono rozwizanie cise uzyskane metod prac wirtualnych. Poniej zamieszczono rozwizanie tej samej belki uzyskane metod wariacyjnego uj cia rónic skoczonych. Po podstawieniu powyszych danych do macierzy pokazanej w tabeli 1 i po rozwizaniu tak otrzymanego ukadu równa uzyskano wielkoci ugi

(31) w punktach podziau belki. W tabeli 2, dla porównania, zestawiono wartoci ugi

(32) dla obliczanej belki zamieszczone w pracy Podhoreckiego i Przedpeskiego [1982], uzyskane metod prac wirtualnych, oraz uzyskane przez autora niniejszej pracy metod wariacyjnego uj cia rónic skoczonych. Dla belki opisanej w powyszym przykadzie liczbowym wykonano obliczenia dla obcienia temperatur i w wyniku otrzymano nast pujce wartoci przemieszcze w poszczególnych punktach podziau belki: w1 = –2,315·10–3 t tl2 w2 = –9,680·10–3 t tl2 w3 = –22,601·10–3 t tl2 w4 = –41,695·10–3 t tl2 w5 = –67,733·10–3 t tl2 w6 = –101,708·10–3 t tl2. Acta Sci. Pol..

(33) 2(h43 h53 ). h33 4h43 h53 2(h43 h53 ) h53. 2(h33 h43 ) h43. h33. h53. 2h53. h52 t ts 2. (2h52 h42 ) t ts 2. (2h42 h32 h52 ) t ts 2. (2h32 h22 h42 ) t ts 2. (2h22 h12 h32 ) t ts 2. (2h12 ho2 h22 ) t ts 2. Obcienie temperatur Load with temperature. Oznaczenia – Explanations: b – szeroko

(34) belki – beam width, l l s – dugo

(35) odcinka przyj tego podziau belki s – length of maesuring segment of beam s , 6 6 l – dugo

(36) belki – beam length, q – obcienie równomiernie rozoone – uniform load, E – modu Younga – Young’s modulus, t – wspóczynnik termicznej rozszerzalnoci liniowej – coef cient of thermal linear expansion, t td t g – rónica temperatury mi dzy doln i górn paszczyzn belki – temperature gradient between bottom and upper surface of beam.. 6qs 4 Eb. 12qs 4 Eb. 2h53. h43 4h53. 12qs 4 Eb. 12qs 4 Eb. 12qs 4 Eb. 12qs 4 Eb. w6. Obcienie równomiernie rozoone Uniform load. h53. h43. 2(h33 h43 ). h23 4h33 h43. 2(h23 h33 ). h23. h33. 2(h23 h33 ). h13 4h23 h33. h23. 2(h13 h23 ). w5. 2(h13 h23 ). w4. 2h03 4h13 h23. w3. w2. w1. Ugi cie – De ection. Tabela 1. Macierz ukadu równa przemieszczeniowych dla belki o schemacie pokazanym na rysunku 2 Table 1. Matrix of displacement system of equations for beam with scheme showed in Figure 2.

(37) W. Buczkowski. 54. Tabela 2. Porównanie wyników ugi

(38) uzyskanych w pracy Podhoreckiego i Przedpeskiego [1982] oraz przez autora dla belki o schemacie pokazanym na rysunku 2 Table 2. Beam with scheme showed in Figure 2 – comparison between results of de ections obtained in Podhorecki and Przedpeski [1982] and by the author. Ugi cie De ection w1 w2 w3 w4 w5 w6. Wyniki cise wedug PodWyniki uzyskane przez autora metod horeckiego i Przedpeskiego wariacyjnego uj cia rónic skoczonych [1982] Author’s results obtained with use of Precise results variation nite-diference method [cm] [cm] 0,00078 0,00081 0,00302 0,00308 0,00650 0,00659 0,01093 0,01106 0,01596 0,01613 0,02123 0,02144. Bd wzgl dny Realative error [%] 3,8 2,0 1,4 1,2 1,1 1,0. Natomiast momenty zginajce, obliczone wedug zalenoci (2), w kadym punkcie podziau belki byy równe zeru. Byo to zgodne z oczekiwaniami, gdy dla ustrojów statycznie wyznaczalnych obcionych temperatur wyst puj przemieszczenia bez wywoywania napr e. Poniej przedstawiono kolejny przykad belki o zmiennej sztywnoci, a mianowicie belk swobodnie podpart, o liniowo zmieniajcej si wysokoci, obcion równomiernie oraz rónic temperatury. Schemat statyczny oraz podstawowe zalenoci pokazano na rysunku 3. q. h0. h1 2. 1 s. s. h4. h3. h2 3 s. 4 s. h6. h5 5 s. s=. l 6. s. l. Rys. 3. Fig. 3.. Belka swobodnie podparta, o liniowo zmiennej wysokoci Free-ends beam of lineary changeable height. Obliczenia statyczne wykonano, posugujc si opisan wyej metod rónic skoczonych w uj ciu wariacyjnym, przypisujc drugim pochodnym funkcji ugi cia (ilorazom rónicowym) sztywnoci przekroju, wyst pujce w punkcie, w którym utworzono odpowiedni iloraz rónicowy, a wi c post pujc w sposób przedstawiony w wersji B. Utworzon macierz ukadu równa przemieszczeniowych pokazano w tabeli 3. Szczegóowe obliczenia wykonano, przyjmujc dane: ho = 2,5h, h1 = 2,25h, h2 = 2h, h3 = 2,5h, h4 = 1,5h, h5 = 1,25h, h6 = h. Po podstawieniu odpowiednich wartoci do macierzy przedstawionej w tabeli 3 otrzymano ukad równa przemieszczeniowych z pi cioma niewiadomymi. Po rozwizaniu ukadu równa uzyskano ugi cia w punktach podziau belki.. Acta Sci. Pol..

(39) h33. 2(h23 h33 ). h13 4h23 h33. 2(h13 h23 ). h23. h23. 2(h13 h23 ). 4h13 h23. 2(h43 h53 ). h33 4h43 h53 2(h43 h53 ). 2(h33 h43 ) h43. h43 4h53. h43. w5. 2(h33 h43 ). h33. w4. h23 4h33 h43. 2(h23 h33 ). w3. w2. w1. Ugi cie – De ection. Tabela 3. Ukad równa przemieszczeniowych dla belki pokazanej na rysunku 3 Table 3. Displacement system of equations for beam showed in Figure 3. (2h42 h32 h52 ) t ts 2 (2h52 h42 ) t ts 2. 12qs 4 Eb 12qs 4 Eb. (2h22 h12 h32 ) t ts 2. 12qs 4 Eb. (2h32 h22 h42 ) t ts 2. (2h12 h22 ) t ts 2. 12qs 4 Eb. 12qs 4 Eb. Obcienie temperatur Load with temperature. Obcienie równomiernie rozoone Uniform load.

(40) W. Buczkowski. 56. Dla obcienia równomiernego otrzymano: w1 = 0,0143 w2 = 0,0266 w3 = 0,0342 w4 = 0,0341. w5 = 0,0230. ql 4 Ebh3 ql 4 Ebh3 ql 4 Ebh3 ql 4 Ebh3 ql 4 Ebh3. Dla obcienia belki temperatur otrzymano: w1 = 0,0374 t tl2h–1 w2 = 0,0624 t tl2h–1 w3 = 0,0735 t tl2h–1 w4 = 0,0688 t tl2h–1 w5 = 0,0455 t tl2h–1 Korzystajc z zalenoci (2), obliczono momenty zginajce w poszczególnych punktach przyj tego podziau belki: Mx1 = 0,06945ql2 Mx2 = 0,11109ql2 Mx3 = 0,12501ql2 Mx4 = 0,11110ql2 Mx5 = 0,06945ql2 Wartoci momentów zginajcych dla obcienia belki temperatur, obliczone wedug zalenoci (2), w kadym punkcie podziau belki byy równe zeru. Wykresy ugi

(41) oraz momentów zginajcych pokazano na rysunku 4.. Acta Sci. Pol..

(42) Rozwizywanie belek o zmiennej sztywnoci metod rónic skoczonych. 57. q. Fig. 4.. 1,5h. h. 0,0230. 5. w Wykres ugi

(43) dla obcienia równomiernego. Diagram of deflections for uniform load. 0,069. 4. ql 0,0341Ebh 3. 0,111. 4. ql 0,0342Ebh 3. 1,25h. 4. 0,0125ql2. 0,0266 0,111 0,0624. 0,0143 0,069 0,0374. Rys. 4.. 1,75h 3. M Wykres momentów zginajcych dla obcienia równomiernego. Diagram of bending moments for uniform load. 0,0455. 2h 2. 0,0688. 2,25h 1. 0,0735t tl2h-1. 2,5h. w Wykres ugi

(44) dla obcienia temperatur. Diagram of deflections for loading with temperature. Wykresy ugi

(45) i momentów zginajcych dla belki swobodnie podpartej o liniowo zmiennej wysokoci De ection and moment diagrams for free-ends beam of lineary changeable height. ROZWI ZYWANIE BELEK O SKOKOWO ZMIENNEJ WYSOKOCI Przy rozwizywaniu belek o skokowo zmiennej wysokoci metod rónic skoczonych uzyskanie poprawnych wyników uzalenione jest od waciwego przyj cia sztywnoci belki w punkcie, w którym nast puje zmiana wysokoci. Korzystajcy z tej metody mog mie

(46) wtpliwoci, czy w punkcie zmiany wysokoci belki przyj

(47) do oblicze redni arytmetyczn obliczon ze sztywnoci stykajcych si fragmentów belki, czy moe redni harmoniczn lub redni geometryczn? ( rednia arytmetyczna jest ilorazem sumy liczb przez ich liczb . rednia harmoniczna dwóch liczb jest odwrotnoci redniej arytmetycznej odwrotnoci tych liczb. rednia geometryczna dwóch liczb jest pierwiastkiem z ich iloczynu). Jeeli mamy dwie liczby C i D, to: – rednia arytmetyczna jest równa C D , 2 2CD – rednia harmoniczna jest równa , C D. – rednia geometryczna wynosi CD . Architectura 8 (3–4) 2009.

(48) W. Buczkowski. 58. Spraw waciwego przyj cia sztywnoci w punkcie skokowej zmiany gruboci belki mona rozstrzygn

(49) na wiele sposobów. W pracy Kurowskiego i Parszewskiego [1970] zamieszczono rozwizanie dla belki pokazanej na rysunku 5 uzyskane na drodze oblicze analitycznych poprzez cakowanie równa róniczkowych osi ugi tej oddzielnie dla lewej i prawej cz ci belki. Stae cakowania wyznaczono z uzgodnienia warunków brzegowych na granicy przedziaów (ugi cie i kt obrotu) oraz z warunków, wynikajcych ze sposobu podparcia belki. q. y. x l l 2. E2 J 2. E1 J1. Rys. 5. Fig. 5.. Przykad belki swobodnie podpartej, o skokowo zmiennej wysokoci, równomiernie obcionej, dla której podano rozwizanie w pracy Kurowskiego i Parszewskiego [1970] Example of free-ends beam with a piece-wise constant stiffness and uniformly loaded solution given in Kurowski i Parszewski [1970]. Otrzymane równania osi ugi tej belki przedstawiaj si zalenociami:. – dla 0 x l/2 E1 J1 y1 . E1 J1 qx 4 qlx3 ql 3 . 11 5 x 24 12 384 E2 J 2 . (5). – dla l/2 x l 5 qx 4 qlx3. ql 3 24 12 384. E2 J 2 y2 . E2 J 2 7 5ql 4 E2 J 2 x. 1 E1 J1 128 384 E1 J1 . (6). 1 Korzystajc z powyszych zalenoci dla x , a wi c dla punktu, w którym nast 2 puje zmiana sztywnoci belki, otrzymano: y1 y2 . gdzie ( EJ ) H . 5 ql 4 5 2 E J E J 384 1 1 2 2 384 E1 J1 E2 J 2. ql 4 ! EJ " H. (7). 2 E1 J1 E2 J 2 . E1 J1 E2 J 2. Acta Sci. Pol..

(50) Rozwizywanie belek o zmiennej sztywnoci metod rónic skoczonych. 59. Jak z powyszego wynika, chcc uzyska

(51) dokadn warto

(52) ugi cia w punkcie o skokowej zmianie wysokoci belki, naley przyj

(53) w tym punkcie sztywno

(54) obliczon jako redni harmoniczn ze sztywnoci ssiednich odcinków belki. Kolejny przykad, mogcy da

(55) odpowied w sprawie waciwego przyjmowania sztywnoci przy obliczaniu belek o skokowo zmiennej wysokoci, przedstawiono poniej.. Wykres momentów zginajcych Diagram of bending moments. Obcienie wtórne Fictitious load. Rys. 6. Fig. 6.. Schemat statyczny oraz podstawowe zalenoci wykorzystywane przy obliczaniu ugi cia belki metod obcie wtórnych Static scheme and basic relations applied in calculations of beam de ection with use of. ctitious method. Dla belki pokazanej na rysunku 6, stosujc metod obcie wtórnych, wyznaczono równania linii ugi cia dla obydwóch rónicych si sztywnociami odcinków belki: – dla lewej cz ci belki o sztywnoci EJ1 dla 0 x1 l/2 y1 . Px13 Pl 2 2 1 . x 1 48 EJ1 EJ 2 12EJ1. (8). – dla prawej cz ci belki o sztywnoci EJ2 dla 0 x2 l/2 y2 . Px23 Pl 2 2 1 . x2 48 EJ 2 EJ1 12EJ 2. Korzystajc z powyszych zalenoci dla x1 x2 y1 y2 . Pl 3 Pl 3 2 EJ1 EJ 2 48EJ H 48 EJ1 EJ 2. Architectura 8 (3–4) 2009. (9) 1 , otrzymano: 2. (10).

(56) W. Buczkowski. 60. W obu przedstawionych przykadach obliczania ugi

(57) okazao si , e w miejscu zmiany wysokoci belki naley uwzgl dni

(58) sztywno

(59) obliczon jako redni harmoniczn ze sztywnoci ssiednich odcinków. Do podobnego wniosku doszli Podhorecki i Przedpeski [1982], którzy wskazywali równie na inne publikacje [Jastrz bski i in. 1974, Orowski i Sowaski 1978, Pietrzak i in. 1979], w których uwzgl dniono sztywno

(60) obliczon jako redni arytmetyczn ze sztywnoci ssiednich odcinków i z tego powodu otrzymano b dne wyniki. Poniej przedstawiono rozwizania dla belki swobodnie podpartej, o skokowo zmiennej wysokoci w rodku jej rozpi toci. Rozwizania uzyskano metod rónic skoczonych (MRS). Jako obcienie uwzgl dniono: obcienie równomierne (q), obcienie si skupion (P) przyoon w rodku rozpi toci belki oraz obcienie rónic temperatury (t) mi dzy doln a górn paszczyzn belki. Przyj te do oblicze schematy obcie pokazano na rysunku 7, a przyj ty w obliczeniach podzia belki oraz podstawowe oznaczenia pokazano na rysunku 8.. Rys. 7. Fig. 7.. Belka o skokowo zmiennej wysokoci: a – obciona równomiernie, b – obciona si skupion, c – obciona temperatur Beam with a piece-wise constant stiffness: a – uniformly loaded, b – pointly loaded, c – loaded with temperature. EJ1 Rys. 8. Fig. 8.. EJ2. Belka swobodnie podparta o skokowo zmiennej wysokoci – podstawowe oznaczenia przyj te do oblicze Free-ends beam with a piece-wise constant stiffness – basic desigantions taken for calculations. Macierz ukadu równa przemieszczeniowych dla dowolnych wielkoci J1 i J2 przedstawia tabela 4. Poniej wykonano obliczenia szczegóowe dla danych: h1 = 6 cm, h2 = 3 cm. J1 . b h13 b 63 18b cm 4 12 12. J2 . b h23 b 33 2,25b cm 4 12 12 Acta Sci. Pol..

(61) 6J2. –4J2. 5J2+Jr. –4J2. J2. –2(Jr+J1). J2. Jr. –2(Jr+J2). –4J2. J2. J1+5Jr+J2. –2(J1+Jr). J1. –2(J1+Jr). Jr. 5J1+Jr. –4J1. J1. J1. –4J1. J1. 6J1. w6. –4J1. w5. –4J1. w4. 5J1. w3. w2. w1. Ugi cie – De ection. 5J2. –4J2. J2. w7. Obcienie si skupion Point load 0. 0. 0 Ps 3 E. 0. 0. 0. Obcienie równomierne Uniform load qs 4 E qs 4 E qs 4 E qs 4 E qs 4 E qs 4 E qs 4 E. Tabela 4. Macierz ukadu równa przemieszczeniowych dla belki pokazanej na rysunku 8 Table 4. Matrix displacement system of equations for beam showed in Figure 8. (J 2 h21 ) t ts 2. 0. (J 2 h21 J r hr1 ) t ts 2. (2 J r hr1 J1h11 J 2 h21 ) t ts 2. (J1h11 J r hr1 ) t ts 2. 0. J1h11 t ts 2. Obcienie temperatur Load with temperature.

(62) W. Buczkowski. 62. 2J1 J 2 2 18b 2,25b 4b cm 4 J1 J 2 18b 2,25b 2h h 263 hr 1 2 4 cm h1 h2 6 3. J r . J1 h11 18b 61 3b J1 h11 J r hr1 18b 61 4b 41 2b 2J r hr1 J1 h11 J 2 h21 2 4b 41 18b 61 2,25b 31 1,75b J 2 h21 J r hr1 2,25b 31 4b 41 0,25b J 2 h21 2,25b 31 0,75b. Po podstawieniu szczegóowych danych do macierzy pokazanej w tabeli 4 otrzymano ukad równa przedstawiony w tabeli 5, a jego rozwizanie zamieszczono w tabeli 6. Uwaga! Aby uzyska

(63) wartoci przemieszcze wi w centymetrach, naley do oblicze podstawi

(64) dane w nast pujcych jednostkach: q [kN·cm–1], s [cm], b [cm], E [kN·cm–2], 1 P [kN], t [°C], t . oC Tabela 5. Macierz ukadu równa przemieszczeniowych Table 5. Matrix of system of displacemented equations Ugi cie. Obcienie równomierne Uniform load. Obcienie si skupion Point load. Obcienie temperatur Load with temperature. 1. 0. 3. 1. 0. 0. 1. 0. 2. 1. 1. –1,75. w1. w2. w3. 90. –72. 18. –72. 108. –72. 18. 18. –72. 94. –44. 4. 18. –44. 36,25. 12,5. 2,25. 4. 12,5. 15,25. –9. 2,25. 1. 0. –0,25. 2,25. –9. 13,5. –9. 1. 0. 0. 2,25. –9. 11,25. 1. 0. 0,75. Mnonik do prawych stron Multiplier for right sides. qs 4 Eb. Ps 3 Eb. t ts 2. w4. w5. w6. w7. Acta Sci. Pol..

(65) Rozwizywanie belek o zmiennej sztywnoci metod rónic skoczonych. 63. Tabela 6. Wyniki oblicze ukadu równa przedstawionego w tabeli 5 Table 6. Calculation results of system equations are shown in Table 5 Ugi cie De ection. Obcienie równomierne Uniform load. Obcienie si skupion Point load. Obcienie temperatur Load with temperature. w1. 3, 7917. qs 4 Eb. 0, 7569. Ps3 Eb. 0, 75 t ts 2. w2. 7,3889. qs 4 Eb. 1, 4861. Ps 3 Eb. 1,3333 t ts 2. w3. 10, 6528. qs 4 Eb. 2,1597. Ps 3 Eb. 1, 75 t ts 2. w4. 13,5. w5. 14,3472. qs 4 Eb. 2,8403. w6. 11,8611. qs 4 Eb. w7. 6, 7083. qs 4 Eb. qs 4 Eb. 2, 75. Ps3 Eb. 2 t ts 2. Ps 3 Eb. 2 t ts 2. 2, 2639. Ps3 Eb. 1, 6667 t ts 2. 1, 2431. Ps 3 Eb. 1 t ts 2. Poniej zamieszczono obliczone wartoci momentów zginajcych w punkcie rodkowym belki dla poszczególnych rodzajów obcie: – obcienie równomierne M x 4 EJ r. 10,6528 2 13,5 14,3475 qs 4 0,12498ql 2 Eb s2. – obcienie si skupion M x 4 EJ r. 2,1597 2 2,75 2,8403 Ps3 0,25Pl Eb s2. – obcienie temperatur 1, 75 2 2 2 t ts 2 t t 41 0 M x 4 EJ r 2 s . PODSUMOWANIE W pracy przedstawiono wykorzystanie wariacyjnego uj cia metody rónic skoczonych do poszukiwania rozwiza belek o liniowo oraz skokowo zmieniajcych si wysokociach, obcionych oprócz tradycyjnego typu obcieniami, take temperatur. Istotn spraw byo rozstrzygni cie waciwego przyjmowania w obliczeniach sztywnoci Architectura 8 (3–4) 2009.

(66) W. Buczkowski. 64. belki w miejscu skokowej zmiany wysokoci. Wykazano, e w takich przypadkach naley przyj

(67) sztywno

(68) obliczon jako redni harmoniczn ze sztywnoci stykajcych si fragmentów belki o rónej wysokoci. Wyniki uzyskane metod rónic skoczonych dla obcie masowych porównano z dost pnymi w literaturze wynikami cisymi. Zgodno

(69) wyników bya bardzo dua. Rozwizania przedstawione w niniejszej pracy stanowi przyczynek do poszukiwania rozwiza metod rónic skoczonych dla zbiorników prostopadociennych ze cianami o przekroju trapezowym lub ze cianami o zmiennej skokowo gruboci z uwzgl dnieniem przestrzennej pracy statycznej ustroju, a take z uwzgl dnieniem obcie temperatur.. PIMIENNICTWO Bielewicz E., Wachowiak J., Wilde P., 1967. Analiza statyczna przekrycia jednosupowego. Archiwum Inynierii Ldowej XIII, 167–180. Buczkowski W., 2007. Obcienia termiczne belek, pyt i konstrukcji inynierskich. Wydawnictwo SGGW, Warszawa. Jastrz bski P., Mutermilch J., Orowski W., 1974. Wytrzymao

(70) materiaów. Arkady, Warszawa. Kurowski R., Parszewski Z., 1970. Zbiór zada z wytrzymaoci materiaów. PWN, Warszawa. Orowski W., Sowaski L., 1978. Wytrzymao

(71) materiaów. Przykady oblicze. Arkady, Warszawa. Pietrzak J., Rakowski G., Wrzeniowski K., 1979. Macierzowa analiza konstrukcji. PWN, Warszawa-Pozna. Podhorecki A., Przedpeski J., 1982. Niektóre problemy obliczania pr tów o zmiennej sztywnoci metod rónic skoczonych. Archiwum Inynierii Ldowej XXVIII, 1–2, 67–77.. SOLUTION OF BEAMS OF CHANGEABLE RIGIDITY WITH USE OF FINITE-DIFFERENCE METHOD Abstract. The paper presents solutions of beams with changeable rigidity. The nite-difference method was used for calculations. The way of construction of matrixes of displaced equation systems was presented. A solution for several static schemes of changeable rigidity beams loaded with mass and temperature gradient between bottom and upper plane of beams was given. Matrixes with their coef cients of general designations make it possible to get solutions for beams of the same static schemes but different rigidities. Key words: beams of changeable rigidity, loading with temperature, nite-difference method. Acta Sci. Pol..

(72)