Funkcje jednej zmiennej o wartościach w

Funkcje jednej zmiennej o wartościach w

. 1 Przydatne definicje i pojęcia

Definicja 1.1.

Dla wektorów u = (u₁, u₂, . . . , u_n), v = (v₁, y₂, . . . , v_n) ∈ Rⁿ iloczyn skalarny określony jest następująco u◦ v = u₁v₁+ u₂v₂+· · · + u_nv_n.

Często używamy też zapisu u· v.

Twierdzenie 1.1.

Niech dane będą dwie funkcje f, g : D ⊂ R → Rⁿ. Niech f · g : D → R będzie ich iloczynem skalarnym, tzn. funkcją określoną wzorem

(f · g)(x) = f(x) · g(x), x ∈ D,

gdzie po prawej stronie występuję iloczyn skalarny wektorów f (x) oraz g(x). Jeżeli obie funkcje są różniczkowalne w punkcie a, to funkcja f · g też jest różniczkowalna w punkcie a, przy czym

(f · g)
(a) = f
(a)· g(a) + f(a) · g
(a).

Jeśli f i g są różniczkowalne, to f · g też jest różniczkowalna , przy czym (f · g)
= f
· g + f · g
.

Definicja 1.2.

Dla wektorów u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃)∈R³ iloczyn wektorowy możemy określić nastę- pująco:

u × v =

i
j
k u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃

,

gdzie
i,
j,
k są wersorami osi układu współrzędnych.

Twierdzenie 1.2.

Niech dane będą dwie funkcje f, g : D ⊂ R → R³. Niech f × g : D → R³ będzie ich iloczynem wektorowym, tzn. funkcją określoną wzorem

(f × g)(x) = f(x) × g(x), x ∈ D,

gdzie po prawej stronie występuję iloczyn wektorowy wektorów f (x) oraz g(x). Jeżeli obie funkcje są różniczkowalne w punkcie a, to funkcja f× g też jest różniczkowalna w punkcie a, przy czym

(f × g)
(a) = f
(a)× g(a) + f(a) × g
(a).

Jeśli f i g są różniczkowalne, to f × g też jest różniczkowalna , przy czym (f × g)
= f
× g + f × g
.

Strona 7

Definicja 1.3.

Przez iloczyn mieszany wektorów u, v, w ∈R³ rozumieć będziemy iloczyn (u× v) ◦ w.

Twierdzenie 1.3.

Niech dane będą funkcje f, g, h : D ⊂ R → R³. Niech fgh : D → R³ będzie ich iloczynem mieszanym, tzn. funkcją określoną wzorem

(fgh)(x) = f (x)g(x)h(x), x∈ D,

gdzie po prawej stronie występuję iloczyn mieszany wektorów f (x), g(x) oraz h(x). Jeżeli funkcje są różniczkowalne w punkcie a, to funkcja fgh też jest różniczkowalna w punkcie a, przy czym

(fgh)
(a) = f
(a)g(a)h(a) + f (a)g
(a)h(a) + f (a)g(a)h
(a).

Jeśli f , g i h są różniczkowalne, to fgh też jest różniczkowalna , przy czym (fgh)
= f
gh + fgh
+ fgh
.

Uwaga 1.

Funkcje o wartościach wektorowych w R³ mają następującą interpretację fizyczną. Jeśli f (t) = (x(t), y(t), z(t)) jest funkcją rózniczkowalną opisującą ruch punktu materialnego w przestrzeni, to pochodna

f
(t) = (x
(t), y
(t), z
(t))

jest wektorem prędkości w chwili t. Druga pochodna (o ile istnieje) f

(t) = (x

(t), y

(t), z

(t))

jest wektorem przyspieszenia w chwili t. Ponadto

||f
(t)|| =^(x
(t))²+ (y
(t))²+ (z
(t))²

jest długością wektora prędkości (nazywamy ją szybkością w chwili t) i ||f
(t)|| = s
(t), gdzie s = s(t) jest długością drogi przebytej przez ciało do chwili t.

2 Zadania

1. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów:

(i)
u = (−1, 2, −3),
v = (2, 0, −1), (ii)
u = (√

2,√ 3,√

5),
v = (√ 8,−√

27, 0).

2. Niech f, g :_R→R². Znaleźć pochodna iloczynu skalarnego f ◦ g, jeśli:
(i) f (x) = (e^xsinx, lnx), g(x) = (_1+x¹ ₂, cosx),

(ii) f (x) = (e^−x2, arctgx), g(x) = (e^x2, (1 + x²)²).

Strona 8

3. Obliczyć iloczyn wektorowy podanych par wektorów:

(i)
u = (−1, 2, 5),
v = (2, 0, −3), (ii)
u = (−1, −3, 4),
v = (5, 6, −2), (iii)
u = 3
i + 2
j −
k,
v = −4
i +
j + 5
k,

gdzie
i,
j,
k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.

4. Niech f, g :_R→R². Znaleźć pochodna iloczynu wektorowego f × g, jeśli:
(i) f (x) = (e^x, sinx, cosx), g(x) = (e^−x2, e^xsinx, cos²x),

(ii) f (x) = (arctgx, sin2x, e^−2x), g(x) = (sin(cosx), e^sinx, sine^x).

5. Obliczyć iloczyny mieszane uporządkowanych trójek wektorów:

(i)
u = (1, 1, 0),
v = (0, 1, 1),
w = (1, 0, 1), (ii)
u = (1, 4, −1),
v = (3, 2, 0),
w = (0, 0, −3).

6. Niech f, g, h :R→R². Znaleźć pochodna iloczynu mieszanego (f × g) ◦ h, jeśli:
(i) f (x) = (x, 2x, e^x), g(x) = (e^x, sinx, cosx), h(x) = (1, sin2x, cos2x),

(ii) f (x) = (arc sin x, sin²x, cosx), g(x) = (e^x, e^xsinx, e^−x), h(x) = (e^−x, e^x, 1).

7. Niech f : U →^R3, U ⊂^R opisuje ruch punktu materialnego w przestrzeni. Obliczyć wektor predkości, wektor przyśpieszenia oraz szybkość w chwili t = t
0, jeśli

(i) f (t) = (t, t, t);

(ii) f (t) = (cost, sint, t), t₀ = π, t₀ = π/2;

(iii) f (t) = (2cos²t, 2costsint, 2sint), t₀ = π/2 (wsk. jest to krzywa powstała z przecięcia walca o promieniu 1 i sfery o promieniu 2, nazywa się krzywą Vivianiego);

(iv) f (t) = (2cost, 2sint, 3);

(v) f (t) = (e^tcost, e^tsint, e^t) (wsk. jest to tzw. helisa stożkowa).

Po jakim torze porusza sie punkt?

Strona 9