Przestrzeń
Rn- ciąg dalszy.
Funkcje jednej zmiennej o wartościach w
Rn.
1 Przydatne definicje i pojęcia
Definicja 1.1.
Zbiór A w przestrzeni Rn jestzwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Definicja 1.2.
Ciąg (xk)∞k=1 punktów przestrzeni Rn jest zbieżny do punktu x0 wtedy i tylko wtedy gdy
∀i=1,...n xk,i −→ x0,i przy k→ ∞,
dla punktów xk= (xk,1, xk,2, . . . , xk,n), x0 = (x0,1, x0,2, . . . , x0,n) (czyli jest to tzw. zbieżność po współrzędnych).
Definicja 1.3.
Niech D⊂R będzie dowolnym zbiorem i f : D→Rn. Wtedy możemy pisać f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))
dla t ∈ D, czyli funkcje fi dla i = 1, . . . , n są współrzędnymi funkcji f w Rn. Funkcje takie nazywamy funkcjami jednej zmiennej o wartościach wektorowych.
Twierdzenie 1.1.
Niech a będzie punktem skupienia zbioru D. Funkcja f : D → Rn posiada granicę w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy każda ze współrzędnych funkcji f posiada granicę w punkcie a, przy czym
limt→af(t) = (lim
t→af1(t), lim
t→af2(t), . . . , lim
t→afn(t)) Twierdzenie 1.2.
Funkcja f : D →Rn jest ciągła w punkcie a∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy każda ze współrzędnych funkcji f jest ciągła w punkcie a, analogicznie: f : D → Rn jest ciągła (jednostajnie ciągła) w D wtedy i tylko wtedy, gdy każda ze współrzędnych funkcji f jest ciągła (jednostajnie ciągła) w D.
Twierdzenie 1.3.
Funkcja f = (f1, f2, . . . , fn) : D →Rn jest różniczkowalna w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jej współrzędnych f1, f2, . . . , fn jest różniczkowalna w punkcie a, przy tym
f(a) = (f1(a), f2(a), . . . , fn(a)),
tzn. współrzędne pochdnej w punkcie a są pochodnymi odpowiednich współrzędnych.
Arkusz 4
Twierdzenie 1.4.
Funkcja f = (f1, f2, . . . , fn) : D → Rn jest różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jej współrzędnych f1, f2, . . . , fn jest różniczkowalna, przy tym
f = (f1, f2, . . . , fn),
tzn. współrzędne pochdnej są pochodnymi odpowiednich współrzędnych.
Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów.
Twierdzenie 1.5.
Funkcja f = (f1, f2, . . . , fn) : D → Rn jest klasy C1(D) wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jej współrzędnych f1, f2, . . . , fn jest klasy C1(D), czyli każda z jej współrzędnych posiada pochodną na zbiorze D i pochodna te jest funkcją ciągłą.
Analogicznie określamy funkcje klasy Cp.
2 Zadania
1. Dla następujących zbiorów znaleźć ich wnętrze, domknięcie i brzeg. Sprawdzić, czy zbiory te są otwarte, domknięte, ograniczone, zwarte. Narysować je.
(i) A ={(x, y) : x2− 2x + y2− 3 < 0, xy 0}, (ii) B ={(x, y) : y2− x + 1 > 0, x + |y| 0},
(iii) C ={(x, y) : x + 2y2− 2 < 0, 2 |x| + y − 2 0}, (iv) D ={(x, y) : x2+ y2− 2x > 0, |x + 1| − y − 1 0}.
2. Zbadać zbieżność nastepuj acych ci agów:
(i) an = (2n!n,n3n3)∈R2, (ii) an = (nn1, (−1)n,n1sin(n))∈R3, (iii) an = (nn+12+1, nsin(1n))∈R2, (iv) an= (nsin(nπ), nsin(nπ2 ))∈R2.
3. Obliczyć granice nastepuj acych funkcji f : R → R2(Rk) przy x → a. Zbadać ciagłość tych funkcji. Wskazać ich dziedziny.
(i) f (x) =arctg1−x1 , e−1x a = 0; (ii) f (x) =sinxx , xsinx1 − cosx1 a = 0;
(iii) f (x) =arc sin(x+2)
x2+2x ,exx−1 a = −2; (iv) f (x) =√1+x+xx 2−1,√x1−2+1−√x+1√x+1 a = 0;
(v) f (x) =√
x2 + 1−√
x2− 1, sin1x a = +∞; (vi) f(x) =exx, (1 + x)x a = +∞;
(vii) f (x) =sinxx ,sin2xx ,sin3xx , . . . ,sinkxx a = 0.
4. Określić dziedzinę i obliczyc granicę limx→0+f(x) funkcji f : R ⊃ Df → R2 zadanej wzo- rem
f(x) = (xsinx, lnx ctg x).
5. Zbadać różniczkowalność funkcji f :R→R2(Rk) w punkcie 0:
Arkusz 5
(i) f (x) = (√x, x); (ii) f (x) = (x|x|, x√x);
(iii) f (x) = (|x|, |x|, . . . , |x|); (iv) f (x) = (xsinx, x);
(v) f (x) = (√
sinx2, x|x|).
6. Obliczyć pochodne (oraz określić dziedziny) następujących funkcji f :R⊃ Df →R2: (i) f (x) = (xsinx,1+cosxsinx1 2),
(ii) f (x) =sin√x−x+x2+1 , 3x·ln(3−x), (iii) f (x) =
cos(√
1− 2x · ln(−x)), 2
√4−x 2+x2
,
7. Obliczyć pochodna funkcji f : R→R2 dana równaniem: f(x) = (sinx, g(x)), gdzie g(x) =
x2sin1x dla x= 0, 0 dla x = 0.
Czy f jest ciagła?
8. Sprawdzić, czy podane funkcje sa klasy C 1(R)?
(i) f (x) = (x|x|, ex), (ii) f (x) =x2sin1x, sinex, (iii) f (x) =e−x2, g(x), gdzie g(x) =
2x2− x2sinx1 dla x = 0, 0 dla x = 0;
Arkusz 6
