1 Iloczyn tensorowy

GAL

, konspekt wyk lad´ ow: Tensory

15.6.2018

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toru´nczyk.

[Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej.

1 Iloczyn tensorowy

1.1 Zewne_,trzna suma prosta S = V ⊕ W (zbi´or r´owny produktowi kartezja´nskiemu z dzia laniami po wsp´o lrze_,dnych) mo˙ze by´c zdefiniowana przez diagram (przypomnienie)

V

S U

W

∀ φ_V



iV

//∃! φ

??

∀ φW

__

iW

1.2 [Kos roz.6 §5 Tw.3] Dla przestrzeni liniowych V i W rozwa˙zamy wszystkie odwzorowania 2- liniowe φ : V × W → U . Istnieje przestrze´n Twraz z odwzotowaniem 2-liniowym τ : V × W →To tej w lasno´sci, ˙ze ka˙zde przekszta lcenie φ faktoryzuje sie_,jednoznacznie przez τ

T

V × W

U



∃! ˜φ

77τ

''∀ φ

1.3 Przestrze´n V wraz z odwzorowaniem τ : V × W →_Tjest jedyna z dok ladno´scia_,do izomorfizmu.

Oznaczana przez V ⊗ W . Ma w lasno´s´c: dla ka˙zdej przestrzeni wektorowej U mamy L2-liniowe(V × W, U ) = L(V ⊗ W, U ).

1.4 Konstrukcja efektywna V ⊗W za pomoca_,baz w V i W . Wymiar dim(V ⊗W ) = dim(V ) dim(W ).

1.5 Inna konstukcja: Definiujemy (ogromna_,) przestrze´n o bazie e_v,w indeksowana_, parami (v, w) ∈ V × W . Jej elementami sa_,formalne kombinacje

n

X

i=1

avi,wievi,wi, gdzie avi,wi ∈ K.

Dzielimy te_,przestrze´n przez podprzestrze´n rozpie_,ta_,przez

• a e_v,w− e_av,w dla a ∈_K

• a e_v,w− e_v,aw dla a ∈K

• e_v1,w+ e_v2,w− e_v1+v2,w dla v₁, v₂ ∈ V , w ∈ W

• e_v,w1+ e_v,w2− e_v,w1+w2 dla v ∈ V , w₁, w₂ ∈ W

Elementami przestrzeni ilorazowej V ⊗ W sa_,kombinacje liniowe

n

X

i=1

vi⊗ w_i:=

n

X

i=1

[evi,wi] gdzie v_i∈ V , w_i∈ W . Wyra˙zenia te przekszta lcamy wed lug regu l:

– (a v) ⊗ w = v ⊗ (a w) = a(v ⊗ w) dla a ∈_K

– (v₁+ v₂) ⊗ w = v₁⊗ w + v₂⊗ w oraz v ⊗ (w₁+ w₂) = v ⊗ w₁+ v ⊗ w₂ 1.6 ´Cw Odwzorowanie τ : V × W → V ⊗ W ma w lasno´s´c

τ (v, w) = τ (av, a⁻¹w) dla a 6= 0 , τ (v, 0) = 0 = τ (0, w) .

Po pozieleniu przez relacje_,wynikaja_,ce z powy˙zszych r´owno´sci relacje, przekszta lcenie W → V / ∼ ⊗W jest r´o˙znowarto´sciowe.

1.7 Elementy τ (v, w) = v ⊗ w sa_,nazywane tensorami prostymi. Tensory proste rozpinaja_,V ⊗ W . 1.8 Niech dim V = dim W = 2. Tensor´ow prostych w V ⊗ W w bazie α₁ ⊗ β₁, α₁⊗ β₂, α₂⊗ β₁, α₂⊗ β₂ sk lada sie_,z czw´orek postaci

(a1b1, a1b2, a2b1, a2b2) . Te lelemnty le˙za_,na kwadryce zadaniej r´ownaniem

x₁x₄− x₂x₃= 0 .

Gdy V i W maja_,wie_,kszy wymiar, jedno r´ownanie nie wystarzy. Udowodni´c, ˙ze zbi´or tensor´ow prostych mo˙zna opisa´c uk ladem r´owna´n kwadratowych.

1.9 ´Cwiczenie: Je´sli wektory v₁, v₂, . . . , v_k sa_, liniowo niezale˙zne, oraz P v_i⊗ w_i = 0 to w₁ = w₂ =

· · · = w_k.

1.10 Macierz zamiany bazy w V przy zamianach baz w V i W je´sli {α⁰_k}, {α_i =P

ka^k_i α⁰_k} bazy V , {β_`⁰}, {β_j =P

`b<sup>`</sup>_jβ_`⁰} bazy W , to

αi⊗ β_j =P

k,`a<sup>k</sup><sub>i</sub>b<sup>`</sup>_jα⁰_k⊗ β⁰<sub>`</sub>, w konwencji Einsteina α<sub>i</sub>⊗ β<sub>j</sub> = a<sup>k</sup><sub>i</sub>b<sup>`</sup>_jα⁰_k⊗ β_`⁰.

1.11 Je´sli

T =X

i,j

T^i,jα_i⊗ β_j =X

i,j

T^0i,jα⁰_i⊗ β_j⁰, to

T^0i,j =X

k,`

T<sup>k,`</sup>a<sup>i</sup><sub>k</sub>b<sup>j</sup><sub>`</sub>.

1.12 W dalszej cze_,´sci przez przekszta lcenie, izomorfizm, itp. naturalny rozumiemy niezale˙zny od wyboru bazy. Pe lne znaczenie s lowa naturalny mo˙zna wyrazi´c u˙zywaja_,c poje_,´c kategorii (patrz naturalna transformacja funktor´ow).

1.13 Dla przestrzeni liniowych V, W, Z mamy naste_,puja_,ce naturalne izomorfizmy

• {0} ⊗ V ' {0},

• _K⊗ V ' V ,

• V ⊗ W ' W ⊗ V ,

• (V ⊗ W ) ⊗ Z ' V ⊗ (W ⊗ Z),

• (V ⊕ W ) ⊗ Z ' (V ⊗ Z) ⊕ (V ⊗ Z).

(W ostatnim wzorze nie ma konieczno´sci pisania nawias´ow po prawej stronie. Piszemy V ⊗ Z ⊕ V ⊗ Z).

2 Tensory c.d

2.1 Dla przestrzeni liniowych W , Z zbi´or przekszta lce´n liniowych L(W, Z) ma strukture_,przestrzeni liniowej. W lasno´s´c iloczynu tensorowego: istnieje naturalne przekszta lcenie,

L(V, L(W, Z)) → L(V ⊗ W, Z) ,

kt´ore jest izomorfizmem. Jest ono zadane tak: dane α : V → L(W, Z), definiujemy przekszta lcenie 2-liniowe β : V × W → Z, β(v, w) := α(v)(w). Teraz β zadaje ˜β : V ⊗ W → Z.

2.2 Istnieje naturalne przekszta lcenie V^∗⊗ W → L(V, W ), kt´ore jest izomorfizmem, je´sli dim V < ∞.

Je´sli dim V = ∞, to obraz sk lada sie_,z endomorfizm´ow, kt´orych obraz jest sk´nczonego wymiaru.

2.3 Je´sli dim V < ∞ i dim W < ∞ to V^∗⊗ W^∗' (V ⊗ W )^∗. Dow. przekszta lcenie z V^∗⊗ W^∗ wystarczy zada´c na V^∗× W^∗:

V^∗× W^∗ → (V ⊗ W )^∗ = L(V ⊗ W,_K) = L_2-liniowe(V × W,_K).

Wystarczy na tensorach prostych

f ⊗ g 7→

(v, w) 7→ f (v)g(w) . 2.4 Operacja kompleksyfikacji przestrzeni wektorowej nadR:

V_C:=C⊗ RV

oznacza iloczyn tensorowy C(jako przestrzeni liniowej nad R) z V . V_C= {1 ⊗ v + i ⊗ w | v, w ∈ V }.

Takie tensory mo˙zna mno˙zy´c przez liczby zespolone.

2.5 Mamy (V_C)_R' V ⊕ V dla przestrzeni rzeczywistej V .

2.6 Gdy V jest przestrzenia_, zespolona_,, to (V_R)_C ' V ⊕ V , gdzie V jako zbi´or jest r´owne V , ale ma zmienione mno˙zenie przez skalary zespolone: z  v := zv. ( ´Cwiczenie.)

Klasyczne tensory typu (p, q)

2.7 Tensory typu p-kowariantne q-kontrawariantne to funkcje p + q-liniowe V × V × · · · × V

| {z }

p

× V^∗× V^∗× · · · × V^∗

| {z }

q

→_K

czyli elementy



V ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V

| {z }

p

⊗ V^∗⊗ V^∗× · · · ⊗ V^∗

| {z }

q

∗

'

' V^∗⊗ V^∗⊗ · · · ⊗ V^∗

| {z }

p

⊗ V ⊗ V × · · · ⊗ V

| {z }

q

W skr´ocieT^qp(V ) = (V^∗)^⊗p⊗ V^⊗q. 2.8 Tensor typu

(1,0) – funkcjona l (0,1) – wektor (1,1) – endomorfizm (2,0) – forma 2-liniowa

(2,1) – np mno˙zenie w algebrze (0,0) – skalar

2.9 Dana baza {α_k} przestrzeni V . Niech {α^k} baza sprze_,˙zona przestrzeni V^∗, oraz dany tensor T typu (p, q). Jego wsp´o lrzednymi w bazie αⁱ¹⊗ . . . α^ip⊗ α_j1 ⊗ . . . α_jq sa_,liczby

T_i^j1,...,jq

1,...,ip = T (α_i1× . . . α_ip× α^j1 × . . . α^jq) . 2.10 Regu ly transformacji:

je´sli αi=P

ka^k_i α⁰_k niech α^j =P

`b<sup>j</sup><sub>`</sub>α^0`.

(Macierz (bⁱ_k) = (a^k_i)⁻¹, nie trzeba transponowa´c, bo transpozycja jest zawarta w notacji.)

T

1,...,ip

= X

i⁰,j⁰

b

1

. . . b

0 p

ip

T

0 1,...,j_q⁰ i⁰₁,...,i⁰_p

a

1

. . . a

.

2.11 Co to za tensor T_i^j = δ_i^j?

2.12 Kt´ory z naste_,puja_,cych tensor´ow jest tensorem prostym? a) T^i,j = i + j, b) T^i,j = i j 2.13 Mno˙zenie tensor´ow: S typu (p, q), T typu (p⁰, q⁰), to S ⊗ T typu (p + p⁰, q + q⁰).

2.14 Zwe_,˙zenie tensor´ow (kontrakcja)

– ´slad tr : End(V ) = V^∗⊗ V →_Kzadany przez przekszta lcenie 2-liniowe V^∗× V →_K, (f, v) 7→ f (v).

We wsp´o lrze_,dnychP

i,jT_i^jαⁱ⊗ α_j 7→P

iT_iⁱ ∈_K – dla wybranych indeks´ow r ≤ q, s ≤ p

tr^r_s :_T^q_p(V ) →_T^q−1_p−1(V )

tr

(T )

∨...jr q

i1,···∨...,i^s p

= X

i

T

r

i...jq

i1,···^si...,ip

.

2.15 Tensor metryczny to tensor typu (2,0), czyli forma 2-liniowa, kt´ora jest iloczynem skalarnym G =P g_i,jeⁱ⊗ e^j, zadaje izomorfizm V → V^∗, v =P

ixⁱei 7→P

i,jgi,jxⁱe^j = tr₁¹(g ⊗ v) – og´olniej tesor metryczny pozwala opuszcza´c wska´zniki T^qp(V ) →T^q−1_p+1

T 7→ tr^r₁(G ⊗ T )

– operacja podnoszenia wska´znik´ow jest zadana przez zwe_,˙zanie z tensorem typu (0,2), T 7→ tr¹_s(G⁻¹⊗ T )

gdzie G⁻¹=P

i,jg^i,je_i⊗ e_j spe lnia tr₁¹(G⁻¹⊗ G) =P

i,jδ_i^jeⁱ⊗ e_j (macierzowo [g^i,j] = [g_i,j]⁻¹).

3 Algebra tensorowa

3.1 Graficzna reprezentacja tensor´ow:

http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose graphical notation 3.2 Przez_T(V ) oznaczamy algebre_,tensorowa_,

T(V ) =

∞

M

q=0

T^q(V ) =

∞

M

q=0

V^⊗q=K⊕ V ⊕ V^⊗2⊕ V^⊗3⊕ . . .

3.3 W lasno´s´c uniwersalna: Dla dowolnej algebry A z 1 nad cia lem K L(V, A) = M oralgebry z 1(T (V ), A) .

Algebra symetryczna

3.4 Definiujemy algebre_,symetryczna_, S(V ) jako przestrze´n ilorazowa_,T(V )/ ∼. Dzielimy przez pod- przestrze´n rozpie_,ta_,przez

(v₁⊗ · · · ⊗ v_i⊗ v_i+1⊗ · · · ⊗ v_q) − (v₁⊗ · · · ⊗ v_i+1⊗ v_i⊗ · · · ⊗ v_q).

3.5 Je´sli ustali´c baze_, V i nazwa´c ja_, x₁, x₂, . . . , x_n, to S(V ) ' _K[x₁, x₂, . . . , x_n] (pier´scie´n wielo- mian´ow). Je´sli V = W^∗, |K| = ∞ to S(V ) uto˙zsamiamy z funkcjami wielomianowymi na W .

3.6 Mamy rzutowanie T(V ) → S(V ). Je´sli chrakterystyka cia la jes r´owna zero, to w T(V ) mamy podalgebre_, (te˙z be_,dzie oznaczana_, przez S(V )), kt´ora rzutuje sie_, izomorficznie na S(V ). Sk lada sie_, ona z tensor´ow symetrycznych: Grupa permutacji Σq dzia la na T^q(V ) = V^⊗q permutuja_,c wsp´o lrze_,dne.

Tensor T jest symetryczny je´sli dla ka˙zdej permutacji σ(T ) = T , tzn we wsp´o lrze_,dnych T^i1,i2,...,iq = T^{iσ(1),iσ(2),...,iσ(q)}

3.7 Symetryzacja : zak ladamy, ˙ze char(K) = 0 i u´sredniamy po permutacjach σ ∈ Σq

sym : V^⊗q → S^q(V ), sym(T ) = _q!¹ P

σσ(T ),

Mamy sym ◦ sym = sym, zatem sym jest rzutowaniem na przestrze´n tensor´ow symetrycznych.

3.8 Niech e₁, e₂, . . . e_nbaza V , wtedy tensory e_I= sym(e_i1⊗e_i2⊗· · ·⊗e_iq) dla I = {i₁ ≤ i₂≤ · · · ≤ i_q} sa_,baza_,S^q(V ).

3.9 ´Cwiczenie; obliczy´c dim S^q(Rⁿ).

3.10 Gdy charK≤ q przekszta lcenie

{tensoy symetryczne} → S^q(V )

nie jest izomorfizmem, np dla q = 2, char_K= 2 element przestrzeni ilorazowej [v ⊗ w] nie jest obrazem tensora symetrycznego.

3.11 W lasno´s´c uniwersalna: A algebra przemienna, nad cia lem_K L(V, A) = M oralgebry przemienne z 1(S(V ), A) .

Algebra zewne_,trzna

3.12 Definiujemy algebre_,zewne_,trzna_,Λ(V ) jako przestrze´n ilorazowa_,T(V )/ ∼. Dzielimy przez pod- przestrze´n rozpie_,ta_,przez

(v₁⊗ · · · ⊗ v_i⊗ v_i+1⊗ · · · ⊗ v_q) + (v₁⊗ · · · ⊗ v_i+1⊗ v_i⊗ · · · ⊗ v_q).

3.13 Mno˙zenie jest przemienne z uwzgle_,dnieniem gradacji (super-przemienne): tzn dla a ∈ ΛⁱV , b ∈ Λ^jV mamy a ∧ b = (−1)^ijb ∧ a.

3.14 ´Cw: Sformu lowa´c w lasno´s´c uniwersalna_,definiuja_,ca_,Λ(V ).

3.15 Za l´o˙zmy dla uproszczenia, ˙ze charK = 0. Tak jak w przypadku algebry symetrycznej istnieje podalgebra w T(V ) rzutuja_,ca sie_,izomorficznie na Λ(V ).

Tensor T ∈ V^⊗qjest antysymetryczny je´sli dla ka˙zdej permutacji σ σ(T ) = sgn(σ) T . We wsp´o lrze_,dnych:

T^i1,i2,...,iq = sgn(σ) T^{iσ(1),iσ(2),...,iσ(q)}. 3.16 Jedynie dla q = 2 mamy V^⊗2= S²(V ) ⊕ Λ²(V ).

3.17 Operacja antysymetryzacji

A : V^⊗q→ Λ^q(V ) A(T ) = 1

q^! X

σ∈Σq

(−1)^sgn(σ)σ(T ).

Mamy A ◦ A = A.

3.18 Niech e1, e2, . . . en baza V , wtedy tensory eI = A(ei1⊗ e_i2⊗ · · · ⊗ e_iq) dla I = {i1 < i2 < . . . iq} sa_,baza_,Λ^q(V ). Sta_,d dim Λ^q(V ) = ^{dim V}_q
.

3.19 Iloczyn zewne_,trzny: v₁∧ v₂∧ · · · ∧ v_q= A(v₁⊗ v₂⊗ · · · ⊗ v_q) ∈ Λ^q(V ) ⊂_T(V ) Dodatek

3.20 Pote_,ga zewne_,trzna przestrzeni sprze_,˙zonej Λ^p(V^∗) to p-formy alternuja_,ce na V . Gdy n = dim(V ) generatorem Λⁿ(V^∗) jest wyznacznik (rozumiany jako n-liniowa forma antysymetryczna Vⁿ→_K).

3.21 Niezdegenerowane przekszta lcenie 2-liniowe h , i : Λ^q(V^∗) × Λ^q(V ) → _K poprzez w lo˙zenie do T^qq(V ) i zwe_,˙zenie wszystkich indeks´ow. Na bazie he^I, e_Ji = _q!¹ δ_I^J,

3.22 ˙Zeby pozby´c sie_,czynnika _q!¹ dla form modyfikujemy definicje_,e^J tak, aby to by la baza sprze_,˙zona do eI. Traktuja_,c e^J jako tensor typu (q, 0) mamy

(eⁱ¹∧ eⁱ²∧ · · · ∧ e^iq)(e_i1, e_i2, . . . , e_iq) = δ^J_I (Jednak w literaturze zdarzaja_,sie_,te´z inne konwencje.)

————————

4 Algebra zewne

trzna (cd) i algebry Clifforda (wyk lad 05.06.2014)

4.1 W lasno´s´c uniwersalna: A = A^ev⊕ A^odd algebra przemienna zZ2-gradacja_,, nad cia lem K L(V, A^odd) = M oralgebry super-przemienne(ΛV, A) .

4.2 W lasno´s´c uniwersalna pote_,gi zewne_,trznej: Dla ka˙zdego wieloliniowego przekszta lcenia f : V^q → W , kt´ore jest antysymeteryczne istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe ef : Λ^qV → W takie, ˙ze f (v1, v2, . . . , vq) = ef (v1∧ v₂∧ · · · ∧ v_q).

4.3 Je´sli n = dim V , to dim ΛⁿV = 1, niezerowy wektor e₁∧ e₂∧ · · · ∧ e_n.

Dla wektor´ow v₁, v₂, . . . v_n∈ V , v_j =P aⁱ_je_i mamy v₁∧ v₂∧ · · · ∧ v_n= det[aⁱ_j] e₁∧ e₂∧ · · · ∧ e_n. 4.4 Wsp´o lrze_,dne wektora v1∧v₂∧· · ·∧v_kw bazie {eI} to maksymalne minory macierzy [v₁, v2, . . . , v_k].

4.5 ´Cwiczenie: Wektory v1, v2, . . . vk ∈ V sa_, liniowo niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy v1 ∧ v₂∧

· · · ∧ v_k6= 0.

4.6 Tw Cauchy-Bineta: je´sli A ∈ M_q×n(_K), B ∈ M_n×q(_K) to det(AB) =P

Idet(A^I) det(B_I), gdzie A_I i B^I sa_,macierzami q × q powsta lymi z A i B poprzez wyb´or kolumn/wierszy o numerkach ze zbioru I ⊂ {1, 2, . . . , n}.

Algebra Clifforda

4.7 Niech φ be_,dzie forma_, kwadratowa_, na V . Algebre_, Clifforda Cl(Q) wraz z przekszta lceniem ι : V → Cl(Q) definiujemy przez wa_,sno´s´c uniwersalnaa_,: Niech A be_,dzie algebra_, z 11, oraz niech f : V → A be_,dzie przekszta lceniem liniowym spe lniaja_,cym f (v)² = Q(v)11. Wtedy istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie algebr ˜f : Cl(Q) → A takie, ˙ze f = ˜f ◦ ι.

4.8 Konstrukcja algebry Clifforda: Cl(Q) jest ilorazem algebry tensorowej Cl(Q) =T(V )/hv ⊗ v − Q(v) | v ∈ V i ,

gdzie dla zbioru A ⊂T(V ) przez hAi rozumiemy podprzestrze´n rozpie_,ta_, przez elementy T1⊗ a ⊗ T₂, a ∈ A (tzn idea l dwustronny).

4.9 Algebry zewne_,trzne sa_,przyk ladem algebr Clifforda: wystarczy wzia_,´c Q = 0.

4.10 Iloczyny e_i1e_i2. . . e_iq indeksowane wszystkimi cia_,gami rosna_,cymi sa_,baza_,algebry Clifforda. Sta_,d dim Cl(Q) = 2^{dim V}

4.11 CiHjako algebry Clifforda.

4.12 Niech Cl(k) = Cl(R^k, (−forma standardowa)), oraz niech A[n] oznacza algebre_, macierzy o wsp´o lczynnikach z A. Mamy

Cl(0) =_R Cl(1) '_C Cl(2) '_H

Cl(3) 'H⊕_H Cl(4) 'H[2]

Cl(5) 'C[4]

Cl(6) 'R[8]

Cl(7) 'R[8] ⊕R[8]

Cl(8 + k) ' Cl(k)[16] (Periodyczno´s´c Botta)