Relacje
1 Iloczyn kartezjański
W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory.
Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
Zadanie 1 Wykaż, że jeśli a 6= b, to (a, a) 6= (a, b).
Zadanie 2 Udowodnij, że (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
Przypomnijmy definicję iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B:
A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}.
Zadanie 3 Korzystając z definicji pary uporządkowanej, wyznacz zbiór A × A, jeśli:
(a) A = {a}, (b) A = {a, b}.
Zadanie 4 Zauważ, że ∅ × ∅ = ∅.
Zadanie 5 Wykaż, że jeżeli A ⊂ C i B ⊂ D, to A × B ⊂ C × D.
Zadanie 6 Udowodnij, że
A × B = C × D ⇔ ((A = C ∧ B = D) ∨ ((A = ∅ ∨ B = ∅) ∧ (C = ∅ ∨ D = ∅))).
2 Własności relacji
Relacja zachodząca między elementami pewnych zbiorów to podzbiór iloczynu kartezjańskie- go tych zbiorów. Relacja binarna (dwuargumentowa) na zbiorze A to podzbiór zbioru A × A.
Mówimy, że relacja ρ ⊂ A × A jest:
– zwrotna, jeśli aρa dla każdego a ∈ A,
– symetryczna, jeśli aρb ⇒ bρa dla dowolnych a, b ∈ A,
– antysymetryczna, jeśli aρb ⇒ ¬(bρa) dla dowolnych a, b ∈ A,
– słabo antysymetryczna, jeśli (aρb) ∧ (bρa) ⇒ (a = b) dla dowolnych a, b ∈ A, – przechodnia, jeśli (aρb) ∧ (bρc) ⇒ (aρc) dla dowolnych a, b, c ∈ A.
Zadanie 7 Rozważmy dowolny podzbiór A ⊂ R. Określ, które z powyższych własności mają następujące relacje binarne w zbiorze A:
(a) xρy ⇔ x < y;
(b) xρy ⇔ x6 y;
(c) xρy ⇔ x = y;
(d) xρy ⇔ x 6= y.
Zadanie 8 Określ, jakie własności mają następujące relacje binarne w zbiorze Z:
(a) xρy ⇔ x i y są tej samej parzystości;
(b) xρy ⇔ x i y są względnie pierwsze;
(c) xρy ⇔ x | y;
(d) xρy ⇔ x | y ∧ y | x;
(e) xρy ⇔ x = y + 1.
Zadanie 9 Określ, jakie własności mają następujące relacje binarne w zbiorze R:
(a) xρy ⇔ |x| < |y|;
(b) xρy ⇔ |x|6 |y|;
(c) xρy ⇔ |x| = |y|.
(d) xρy ⇔ xy > 0;
(e) xρy ⇔ xy> 0;
(f) xρy ⇔ xy = 0.
Zadanie 10 Jakie własności mają następujące relacje binarne określone w zbiorze A:
(a) relacja pusta ρ = ∅ ⊂ A × A,
(b) relacja przekątniowa ∇A= {(a, a); a ∈ A} ⊂ A × A, (c) relacja pełna 4A= A × A?
Zadanie 11 Uzasadnij, że relacja antysymetryczna jest słabo antysymetryczna.
Zadanie 12 Opisz wszystkie relacje ρ ⊂ A × A, które są:
(a) jednocześnie symetryczne i słabo antysymetryczne, (b) jednocześnie symetryczne i antysymetryczne, (c) jednocześnie zwrotne i antysymetryczne.
Zadanie 13 Podaj przykład relacji, która:
(a) jest słabo antysymetryczna i nie jest antysymetryczna, (b) jest przechodnia i symetryczna, ale nie jest zwrotna.
3 Relacje typu równoważności
Mówimy, że relacja binarna na zbiorze A jest typu równoważności, jeśli jest zwrotna, syme- tryczna i przechodnia.
Zadanie 14 Sprawdź, że następujące relacje są relacjami typu równoważności:
(a) (mod n) ⊂ Z × Z, x(mod n)y ⇔ n | x − y, gdzie x, y ∈ Z,
(b) ρ1 ⊂ N2× N2, (k, l)ρ1(m, n) ⇔ k + n = l + m, gdzie (k, l), (m, n) ∈ N2× N2,
(c) ρ2⊂ (Z×(Z\{0}))×(Z×(Z\{0})), (a, b)ρ2(c, d) ⇔ ad = bc, gdzie (a, b), (c, d) ∈ (Z×(Z\{0})).
Dla dowolnej funkcji f : X → Y , w zbiorze X określamy relację binarną (kerf ) w ten sposób, że x1(kerf )x2 ⇔ f (x1) = f (x2).
Zadanie 15 Sprawdź, że relacja (kerf ) jest relacją typu równoważności.
Zadanie 16 Przeanalizuj przykłady relacji postaci (kerf ) dla funkcji head, tail, rev.
Zadanie 17 Zbadaj sens geometryczny relacji (kerf ) dla następujących funkcji:
(a) f : R → R, f (x) = [x],
(b) f : R2→ R2, f (x, y) = x2+ y2, (c) f : R2→ R2, f (x, y) = |x| + |y|.
Niech ρ będzie dowolną relacją binarną w zbiorze A. Dla każdego elementu a ∈ A określamy zbiór [a]ρ= {x ∈ A : xρa}.
Zadanie 18 Wyraź za pomocą zbiorów postaci [a]ρ warunki zwrotności, symetrii, itd.
Jeśli ρ jest relacją typu równoważności, to zbiór podzbiory postaci [a]ρ dla a ∈ A nazywa- my klasami abstrakcji. Zbiór wszystkich klas abstrakcji (dla danej relacji) nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy symbolem A/ρ.
Zadanie 19 Opisz zbiór klas abstrakcji dla relacji typu równoważności z poprzednich zadań.
4 Relacje częściowego porządku
Relację binarną ρ określoną w zbiorze A nazywamy relacją częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna. Zbiór z określoną w nim relacją częściowego porządku (A, ρ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub posetem.
Zadanie 20 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Znamy relację binarną „⊂” w zbiorze 2X wszystkich podzbiorów zbioru X. Czy ta relacja jest relacją częściowego porządku?
Zadanie 21 Sprawdź, czy następujące relacja „|” jest w danym zbiorze relacją częściowego po- rządku.
(a) |⊂ N1× N1, a | b ⇔ ∃c∈N1 b = ac;
(b) |⊂ N × N, a | b ⇔ ∃c∈Nb = ac;
(c) |⊂ Z × Z, a | b ⇔ ∃c∈Zb = ac;
(d) |⊂ Q+× Q+, a | b ⇔ ∃c∈Q+ b = ac;
Zadanie 22 Określmy relację binarną „4” w zbiorze R2 (czyli4⊂ R2× R2) w ten sposób, że (x, y)4 (z, t) ⇔ x 6 z ∧ y 6 t,
dla dowolnych x, y, z, t ∈ R. Sprawdź, że relacja „4” jest częściowym porządkiem. Zbadaj ana- logiczną relację w Rn.
Zadanie 23 Wykaż, że jeżeli (A, ρ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to dla dowolnego podzbioru B ⊂ A, zbiór (B, ρ ∩ (B × B)) też jest częściowo uporządkowany.
Niech (A,4) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeśli a 4 b i a 6= b, to mówimy, że element a jest mniejszy od elementu b, a element b jest większy od elementu a.
Element a nazywamy maksymalnym, jeśli nie ma elementów od niego większych. Element a nazywamy największym, jeśli wszystkie pozostałe elementy są od niego mniejsze.
Zadanie 24 Zapisz definicje elementu maksymalnego i elementu największego w sposób formal- ny.
Zadanie 25 Podaj słowne definicje elementu minimalnego i elementu najmniejszego i zapisz je w sposób formalny.
Zadanie 26 Znajdź (jeśli istnieją) elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze w zbiorach częściowo uporządkowanych z zadań 20, 21, 22.
Zadanie 27 W danym zbiorze A ⊂ R2 określmy relację binarną „4” jak w zadaniu 22. Znajdź, jeśli istnieją, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze.
(a) A = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2 6 1}, (b) A = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2 < 1}, (c) A = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y|6 1},
(d) A = {(x, y) ∈ R2: |x + y| + |x − y|6 1}, (e) A = {(x, 0); x ∈ R},
(f) A = {(x, x); x ∈ R},
(g) A = {(0, 0), (−1, 0), (1, 0), (−12, 1), (12, 1), (0, 2)}, (h) A = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}.
Zadanie 28 Uzasadnij, że jeżeli w zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje element najwięk- szy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym).
Niech (A,4) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element a nazywamy ogranicze- niem z góry zbioru B ⊂ A, jeśli wszystkie elementy zbioru B są mniejsze lub równe a. Element a nazywamy kresem górnym zbioru B ⊂ A, jeśli jest najmniejszym ograniczeniem z góry zbioru B.
Zadanie 29 Zapisz formalną definicję kresu górnego. Podaj analogiczną definicję kresu dolnego i zapisz ją formalnie.
Zadanie 30 Zbadaj istnienie kresów podzbioru A zbioru R2 z zadania 27.
Zadanie 31 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Udowodnij, że kresem górnym podzbioru A ⊂ 2X (z relacją „⊂”) jest SA∈AA, zaś kresem dolnym jest TA∈AA.
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
3 (a) Rozwiązanie. A × A = {(a, a)} = {{{a}, {a, a}}} = {{{a}, {a}}} = {{{a}}}.
6 Wskazówka. Rozważ oddzielnie przypadek, gdy jeden ze zbiorów A, B, C, D jest pusty.
10 Odpowiedź.
(a) Relacja pusta ρ = ∅ ⊂ A×A nie jest zwarta (o ile A 6= ∅), jest symetryczna, antysymetryczna, słabo antysymetryczna i przechodnia.
(b) Relacja przekątniowa ∇A = {(a, a); a ∈ A} ⊂ A × A, jest zwarta, symetryczna, nie jest antysymetryczna (o ile A 6= ∅), jest słabo antysymetryczna i przechodnia.
(c) Relacja pełna 4A = A × A jest zwarta, symetryczna, nie jest antysymetryczna (o ile A 6= ∅), jest przechodnia. Jeśli zbiór A jest pusty lub jednoelementowy, to relacja 4A jest
słabo antysymetryczna. Jeśli zbiór A ma co najmniej dwa elementy, to relacja 4Anie jest słabo antysymetryczna.
12 Wskazówka / szkic rozwiązania.
(a) Dla dowolnych elementów a, b ∈ A, jeśli aρb, to a = b. Zatem ρ ⊂ . . .
(b) Założenie, że aρb dla pewnych a, b ∈ A, doprowadza do sprzeczności. Zatem jedyną relacją spełniającą te warunki jest ρ = . . .
(c) Założenie, że aρa dla pewnego a ∈ A, doprowadza do sprzeczności. Zatem jedyna możliwość to A = . . .
18 Rozwiązanie. Relacja ρ ⊂ A × A jest:
– zwrotna, jeśli ∀a∈Aa ∈ [a]ρ;
– symetryczna, jeśli ∀a,b∈Ab ∈ [a]ρ⇒ a ∈ [b]ρ, czyli dla każdego a ∈ A mamy a ∈ \
b∈[a]ρ
[b]ρ;
– antysymetryczna, jeśli ∀a,b∈Ab ∈ [a]ρ⇒ a6∈[b]ρ, czyli dla każdego a ∈ A mamy a6∈ [
b∈[a]ρ
[b]ρ;
– słabo antysymetryczna, jeśli ∀a,b∈A((b ∈ [a]ρ) ∧ (a ∈ [b]ρ) ⇒ (a = b)), czyli dla każdego a ∈ A mamy
a6∈ [
b∈[a]ρ\{a}
[b]ρ;
– przechodnia, jeśli ∀a,b,c∈A ((b ∈ [a]ρ) ∧ (c ∈ [b]ρ) ⇒ (c ∈ [a]ρ)), czyli dla każdego a ∈ A mamy [
b∈[a]ρ
[b]ρ⊂ [a]ρ.
27 Odpowiedź.
(a) Zbiór elementów maksymalnych:
{(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = 1, x> 0, y > 0} =
(cos t, sin t); t ∈
0,π
2
.
Zbiór elementów minimalnych:
{(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = 1, x6 0, y 6 0} =
(cos t, sin t); t ∈
π,3π
2
.
Nie ma elementu największego ani najmniejszego.
(b) Nie ma.
(c) Zbiór elementów maksymalnych:
{(x, y) ∈ R2 : x + y = 1, x> 0, y > 0} = {(t, 1 − t); t ∈ [0, 1]}.
Zbiór elementów minimalnych:
{(x, y) ∈ R2 : x + y = −1, x6 0, y 6 0} = {(−t, t − 1); t ∈ [0, 1]}.
Nie ma elementu największego ani najmniejszego.
(d) Element maksymalny i największy: (12,12). Element minimalny i najmniejszy: (−12, −12).
30 Odpowiedź.
(a), (b), (c) Kres górny: (1, 1), kres dolny: (−1, −1).
(d) Kres górny: (12,12), kres dolny: (−12, −12).
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.
Relacje, wersja czwarta, 12 II 2003.
