Układy liniowo niezale˙zne

Układy liniowo niezale˙zne

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

3.wykład z algebry liniowej Warszawa, pa´zdziernik 2016

Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Wówczas układ wektorów v₁, . . . ,v_k ∈ V jestliniowo zale˙znyje´sli istniej ˛a liczby α₁, . . . , α_k ∈ R, nie wszystkie równe 0, spełniaj ˛ace: α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0.

Układ wektorów jestliniowo niezale˙znyje´sli nie jest liniowo zale˙zny, czyli je´sli z równo´sci

α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0 wynika α₁= α₂= · · · = α_k =0. Przykłady

1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) ∈ R³jest liniowo zale˙zny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + (−1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0).

2. Układ (1, 2), (0, 3) ∈ R²jest liniowo niezale˙zny.

3. W przestrzeni Rⁿniech ε_i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), gdzie 1 wyst ˛epuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε₁, ε₂, . . . , εntworz ˛a układ liniowo niezale˙zny. Nazywamy je wektoramijednostkowymiRⁿ.

Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Wówczas układ wektorów v₁, . . . ,v_k ∈ V jestliniowo zale˙znyje´sli istniej ˛a liczby α₁, . . . , α_k ∈ R, nie wszystkie równe 0, spełniaj ˛ace: α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0.

Układ wektorów jestliniowo niezale˙znyje´sli nie jest liniowo zale˙zny, czyli je´sli z równo´sci

α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0 wynika α₁= α₂= · · · = α_k =0.

Przykłady

1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) ∈ R³jest liniowo zale˙zny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + (−1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0).

2. Układ (1, 2), (0, 3) ∈ R²jest liniowo niezale˙zny.

3. W przestrzeni Rⁿniech ε_i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), gdzie 1 wyst ˛epuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε₁, ε₂, . . . , εntworz ˛a układ liniowo niezale˙zny. Nazywamy je wektoramijednostkowymiRⁿ.

Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Wówczas układ wektorów v₁, . . . ,v_k ∈ V jestliniowo zale˙znyje´sli istniej ˛a liczby α₁, . . . , α_k ∈ R, nie wszystkie równe 0, spełniaj ˛ace: α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0.

Układ wektorów jestliniowo niezale˙znyje´sli nie jest liniowo zale˙zny, czyli je´sli z równo´sci

α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0 wynika α₁= α₂= · · · = α_k =0.

Przykłady

1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) ∈ R³jest liniowo zale˙zny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + (−1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0).

2. Układ (1, 2), (0, 3) ∈ R²jest liniowo niezale˙zny.

3. W przestrzeni Rⁿniech ε_i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), gdzie 1 wyst ˛epuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε₁, ε₂, . . . , εntworz ˛a układ liniowo niezale˙zny. Nazywamy je wektoramijednostkowymiRⁿ.

Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Wówczas układ wektorów v₁, . . . ,v_k ∈ V jestliniowo zale˙znyje´sli istniej ˛a liczby α₁, . . . , α_k ∈ R, nie wszystkie równe 0, spełniaj ˛ace: α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0.

Układ wektorów jestliniowo niezale˙znyje´sli nie jest liniowo zale˙zny, czyli je´sli z równo´sci

α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0 wynika α₁= α₂= · · · = α_k =0.

Przykłady

1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) ∈ R³jest liniowo zale˙zny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + (−1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0).

2. Układ (1, 2), (0, 3) ∈ R²jest liniowo niezale˙zny.

3. W przestrzeni Rⁿniech ε_i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), gdzie 1 wyst ˛epuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε₁, ε₂, . . . , εntworz ˛a układ liniowo niezale˙zny. Nazywamy je wektoramijednostkowymiRⁿ.

Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Wówczas układ wektorów v₁, . . . ,v_k ∈ V jestliniowo zale˙znyje´sli istniej ˛a liczby α₁, . . . , α_k ∈ R, nie wszystkie równe 0, spełniaj ˛ace: α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0.

Układ wektorów jestliniowo niezale˙znyje´sli nie jest liniowo zale˙zny, czyli je´sli z równo´sci

α₁v₁+ · · · + α_kv_k =0 wynika α₁= α₂= · · · = α_k =0.

Przykłady

1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) ∈ R³jest liniowo zale˙zny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + (−1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0).

2. Układ (1, 2), (0, 3) ∈ R²jest liniowo niezale˙zny.

3. W przestrzeni Rⁿniech ε_i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), gdzie 1 wyst ˛epuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε₁, ε₂, . . . , εntworz ˛a układ liniowo niezale˙zny. Nazywamy je wektoramijednostkowymiRⁿ.

Uwagi

Przyjmujemy, ˙ze układ pusty jest liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Układ zło˙zony z jednego wektora v ∈ V jest liniowo zale˙zny tylko je´sli v =0.

Twierdzenie

Podukład układu liniowo niezale˙znego jest te˙z liniowo niezale˙zny. Twierdzenie

Je´sli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zale˙zny tylko wtedy je´sli jeden z wektorów układu jest kombinacj ˛a liniow ˛a pozostałych . Twierdzenie

Układ niezerowych wektorów v₁,v₂, . . . ,v_k , z których ˙zaden nie jest kombinacj ˛a liniow ˛a poprzednich, jest liniowo niezale˙zny.

Uwagi

Przyjmujemy, ˙ze układ pusty jest liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Układ zło˙zony z jednego wektora v ∈ V jest liniowo zale˙zny tylko je´sli v =0.

Twierdzenie

Podukład układu liniowo niezale˙znego jest te˙z liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Je´sli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zale˙zny tylko wtedy je´sli jeden z wektorów układu jest kombinacj ˛a liniow ˛a pozostałych . Twierdzenie

Układ niezerowych wektorów v₁,v₂, . . . ,v_k , z których ˙zaden nie jest kombinacj ˛a liniow ˛a poprzednich, jest liniowo niezale˙zny.

Uwagi

Przyjmujemy, ˙ze układ pusty jest liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Układ zło˙zony z jednego wektora v ∈ V jest liniowo zale˙zny tylko je´sli v =0.

Twierdzenie

Podukład układu liniowo niezale˙znego jest te˙z liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Je´sli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zale˙zny tylko wtedy je´sli jeden z wektorów układu jest kombinacj ˛a liniow ˛a pozostałych .

Twierdzenie

Układ niezerowych wektorów v₁,v₂, . . . ,v_k , z których ˙zaden nie jest kombinacj ˛a liniow ˛a poprzednich, jest liniowo niezale˙zny.

Uwagi

Przyjmujemy, ˙ze układ pusty jest liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Układ zło˙zony z jednego wektora v ∈ V jest liniowo zale˙zny tylko je´sli v =0.

Twierdzenie

Podukład układu liniowo niezale˙znego jest te˙z liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Je´sli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zale˙zny tylko wtedy je´sli jeden z wektorów układu jest kombinacj ˛a liniow ˛a pozostałych . Twierdzenie

Układ niezerowych wektorów v₁,v₂, . . . ,v_k , z których ˙zaden nie jest kombinacj ˛a liniow ˛a poprzednich, jest liniowo niezale˙zny.

Twierdzenie

Twierdzenie Steinitza Je´sli wektory w_i ∈ lin(v1, . . . ,v_m)dla i = 1, . . . , k tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny w₁, . . . ,w_k to k ≤ m.

(bez dowodu).

Przykład Mamy Rⁿ=lin(ε₁, . . . , ε_n)zatem z twierdzenia Steinitza wynika, ˙ze ka˙zdy układ liniowo niezale˙zny wektorów w Rⁿma co najwy˙zej n wektorów.

Twierdzenie

Twierdzenie Steinitza Je´sli wektory w_i ∈ lin(v1, . . . ,v_m)dla i = 1, . . . , k tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny w₁, . . . ,w_k to k ≤ m.

(bez dowodu).

Przykład Mamy Rⁿ=lin(ε₁, . . . , ε_n)zatem z twierdzenia Steinitza wynika, ˙ze ka˙zdy układ liniowo niezale˙zny wektorów w Rⁿma co najwy˙zej n wektorów.

Bazy

Definicja

Układ v₁, . . . ,v_nnazywamybaz ˛aprzestrzeni V je´sli spełnione s ˛a dwa warunki

(i) układ v₁, . . . ,vnjest liniowo niezale˙zny

(ii) układ v₁, . . . ,v_nrozpina V , czyli V = lin(v₁, . . . ,v_n).

Przykłady

1. Układ ε₁, . . . , ε_nzło˙zony z wektorów jednostkowych stanowi baz ˛e Rⁿ 2. Przestrze ´n rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych ma baz ˛e zło˙zon ˛a z tylu elementów, ile parametrów (zmiennych wolnych) wyst ˛epuje w rozwi ˛azaniu ogólnym. Kolejne wektory tej bazy mo˙zna otrzyma´c przyjmuj ˛ac kolejno wybierane parametry za równe 1 za´s pozostałe za 0.

Bazy

Definicja

Układ v₁, . . . ,v_nnazywamybaz ˛aprzestrzeni V je´sli spełnione s ˛a dwa warunki

(i) układ v₁, . . . ,vnjest liniowo niezale˙zny

(ii) układ v₁, . . . ,v_nrozpina V , czyli V = lin(v₁, . . . ,v_n).

Przykłady

1. Układ ε₁, . . . , ε_nzło˙zony z wektorów jednostkowych stanowi baz ˛e Rⁿ

2. Przestrze ´n rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych ma baz ˛e zło˙zon ˛a z tylu elementów, ile parametrów (zmiennych wolnych) wyst ˛epuje w rozwi ˛azaniu ogólnym. Kolejne wektory tej bazy mo˙zna otrzyma´c przyjmuj ˛ac kolejno wybierane parametry za równe 1 za´s pozostałe za 0.

Bazy

Definicja

Układ v₁, . . . ,v_nnazywamybaz ˛aprzestrzeni V je´sli spełnione s ˛a dwa warunki

(i) układ v₁, . . . ,vnjest liniowo niezale˙zny

(ii) układ v₁, . . . ,v_nrozpina V , czyli V = lin(v₁, . . . ,v_n).

Przykłady

1. Układ ε₁, . . . , ε_nzło˙zony z wektorów jednostkowych stanowi baz ˛e Rⁿ 2. Przestrze ´n rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych ma baz ˛e zło˙zon ˛a z tylu elementów, ile parametrów (zmiennych wolnych) wyst ˛epuje w rozwi ˛azaniu ogólnym. Kolejne wektory tej bazy mo˙zna

Przykład

Rozwa˙zmy podprzestrze ´n V ⊂ R⁵opisan ˛a układem:

 x₁+ x₂+ − 2x₄+ x5 =0 2x₁+ 2x₂+ x₃+ x₄− x5 =0

Macierz ˛a tego układu jest

 1 1 0 −2 1 0

2 2 1 1 −1 0



. Operacj ˛a w₂− 2w₁sprowadzamy j ˛a do postaci schodkowej zredukowanej M =

 1 1 0 −2 1 0

0 0 1 5 −3 0



. Widzimy, ˙ze jako zmienne zale˙zne mo˙zna przyj ˛a´c x₁i x₃natomiast x₂, x₄, x₅jako parametry. Rozwi ˛azanie ogólne ma posta´c: x₁= −x₂+2x₄− x5, x₃= −5x₄+3x5

Przykład

Okre´slimy baz ˛e V zło˙zon ˛a z wektorów v₁,v₂,v₃w V nast ˛epuj ˛aco:

przyjmuj ˛ac x₂=1, x₄=x₅=0 mamy v₁= (−1, 1, 0, 0, 0).

Przyjmuj ˛ac x₂=0, x₄=1, x₅=0 mamy v₂= (2, 0, −5, 1, 0) Przyjmuj ˛ac x₂=x₄=0, x5=1 otrzymujemy v₃= (−1, 0, 3, 0, 1).

Przykład

Okre´slimy baz ˛e V zło˙zon ˛a z wektorów v₁,v₂,v₃w V nast ˛epuj ˛aco:

przyjmuj ˛ac x₂=1, x₄=x₅=0 mamy v₁= (−1, 1, 0, 0, 0).

Przyjmuj ˛ac x₂=0, x₄=1, x₅=0 mamy v₂= (2, 0, −5, 1, 0)

Przyjmuj ˛ac x₂=x₄=0, x5=1 otrzymujemy v₃= (−1, 0, 3, 0, 1).

Przykład

Okre´slimy baz ˛e V zło˙zon ˛a z wektorów v₁,v₂,v₃w V nast ˛epuj ˛aco:

przyjmuj ˛ac x₂=1, x₄=x₅=0 mamy v₁= (−1, 1, 0, 0, 0).

Przyjmuj ˛ac x₂=0, x₄=1, x₅=0 mamy v₂= (2, 0, −5, 1, 0) Przyjmuj ˛ac x₂=x₄=0, x5=1 otrzymujemy v₃= (−1, 0, 3, 0, 1).

Twierdzenie

Je´sli przestrze ´n V ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów to ka˙zda baza V ma n wektorów

Definicja

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest n-wymiarowa je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów . Liczb ˛e n nazywamy wymiarem V , co zapisujemy

dimV = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimV = 0. Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest sko ´nczenie wymiarowa je´sli jest

n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2, . . . . W przeciwnym przypadku mówimy,

˙ze jest niesko ´nczenie wymiarowa i piszemy dimV = ∞ Przykłady

1. dimRⁿ=n

2. Je´sli V_U ⊂ Rⁿjest przestrzeni ˛a rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych U to wymiar V_U równa si ˛e liczbie parametrów rozwi ˛azania ogólnego U.

2. dimR^∞= ∞bo R^∞zawiera dowolnie du˙ze układy liniowo niezale˙zne.

Twierdzenie

Je´sli przestrze ´n V ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów to ka˙zda baza V ma n wektorów

Definicja

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest n-wymiarowa je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów . Liczb ˛e n nazywamy wymiarem V , co zapisujemy

dimV = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimV = 0.

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest sko ´nczenie wymiarowa je´sli jest

n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2, . . . . W przeciwnym przypadku mówimy,

˙ze jest niesko ´nczenie wymiarowa i piszemy dimV = ∞

Przykłady 1. dimRⁿ=n

2. Je´sli V_U ⊂ Rⁿjest przestrzeni ˛a rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych U to wymiar V_U równa si ˛e liczbie parametrów rozwi ˛azania ogólnego U.

2. dimR^∞= ∞bo R^∞zawiera dowolnie du˙ze układy liniowo niezale˙zne.

Twierdzenie

Je´sli przestrze ´n V ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów to ka˙zda baza V ma n wektorów

Definicja

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest n-wymiarowa je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów . Liczb ˛e n nazywamy wymiarem V , co zapisujemy

dimV = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimV = 0.

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest sko ´nczenie wymiarowa je´sli jest

n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2, . . . . W przeciwnym przypadku mówimy,

˙ze jest niesko ´nczenie wymiarowa i piszemy dimV = ∞ Przykłady

1. dimRⁿ=n

2. Je´sli V_U ⊂ Rⁿjest przestrzeni ˛a rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych U to wymiar V_U równa si ˛e liczbie parametrów rozwi ˛azania ogólnego U.

2. dimR^∞= ∞bo R^∞zawiera dowolnie du˙ze układy liniowo niezale˙zne.

Twierdzenie

Je´sli przestrze ´n V ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów to ka˙zda baza V ma n wektorów

Definicja

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest n-wymiarowa je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów . Liczb ˛e n nazywamy wymiarem V , co zapisujemy

dimV = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimV = 0.

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest sko ´nczenie wymiarowa je´sli jest

n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2, . . . . W przeciwnym przypadku mówimy,

˙ze jest niesko ´nczenie wymiarowa i piszemy dimV = ∞ Przykłady

1. dimRⁿ=n

2. Je´sli V ⊂ Rⁿjest przestrzeni ˛a rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych

2. dimR^∞= ∞bo R^∞zawiera dowolnie du˙ze układy liniowo niezale˙zne.

Twierdzenie

Je´sli przestrze ´n V ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów to ka˙zda baza V ma n wektorów

Definicja

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest n-wymiarowa je´sli ma baz ˛e zło˙zon ˛a z n wektorów . Liczb ˛e n nazywamy wymiarem V , co zapisujemy

dimV = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimV = 0.

Mówimy, ˙ze przestrze ´n jest sko ´nczenie wymiarowa je´sli jest

n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2, . . . . W przeciwnym przypadku mówimy,

˙ze jest niesko ´nczenie wymiarowa i piszemy dimV = ∞ Przykłady

1. dimRⁿ=n

2. Je´sli V_U ⊂ Rⁿjest przestrzeni ˛a rozwi ˛aza ´n układu jednorodnych równa ´n liniowych U to wymiar V_U równa si ˛e liczbie parametrów rozwi ˛azania ogólnego U.

2. dimR^∞= ∞bo R^∞zawiera dowolnie du˙ze układy liniowo niezale˙zne.

Własno ´sci baz i wymiaru

Twierdzenie

Niech v₁, . . . ,v_nb ˛ed ˛a wektorami przestrzeni liniowej V . Nast ˛epuj ˛ace warunki sa równowa˙zne:

(i) układ v₁, . . . ,vnjest baz ˛a przestrzeni V

(ii) v₁, . . . ,v_njest maksymalnym układem liniowo niezale˙znym w V (iii) v₁, . . . ,v_njest minimalnym układem rozpinaj ˛acym V

Twierdzenie

Niech dimV = n i niech v₁, . . . ,v_k ∈ V b ˛edzie układem liniowo niezale˙znym. Wówczas:

(a) k ≤ dimV

(b) v₁, . . . ,v_k tworzy baz ˛e V ⇔ k = dimV

(c) Niech W b ˛edzie podprzestrzeni ˛a V . Wtedy dimW ≤ dimV oraz je´sli dimW = dimV to W = V

d) Niech V = lin(v₁, . . . ,v_k). Układ zło˙zony z wektorów v₁, . . . ,v_k jest baz ˛a V ⇔ dimV = k

Własno ´sci baz i wymiaru

Twierdzenie

Niech v₁, . . . ,v_nb ˛ed ˛a wektorami przestrzeni liniowej V . Nast ˛epuj ˛ace warunki sa równowa˙zne:

(i) układ v₁, . . . ,vnjest baz ˛a przestrzeni V

(ii) v₁, . . . ,v_njest maksymalnym układem liniowo niezale˙znym w V (iii) v₁, . . . ,v_njest minimalnym układem rozpinaj ˛acym V

Twierdzenie

Niech dimV = n i niech v₁, . . . ,v_k ∈ V b ˛edzie układem liniowo niezale˙znym. Wówczas:

(a) k ≤ dimV

(b) v₁, . . . ,v_k tworzy baz ˛e V ⇔ k = dimV

(c) Niech W b ˛edzie podprzestrzeni ˛a V . Wtedy dimW ≤ dimV oraz je´sli dimW = dimV to W = V

d) Niech V = lin(v₁, . . . ,v_k). Układ zło˙zony z wektorów v₁, . . . ,v_k jest baz ˛a V ⇔ dimV = k

Przykład Układ (1, 2), (0, 3) jest baz ˛a R², bo jest liniowo niezale˙zny i ma 2 = dimR²wektory.

Przykład Układ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) rozpina R³zatem tworzy baz ˛e tej przestrzeni

Współrz ˛edne wektora w bazie

Twierdzenie

Układ wektorów v₁, . . . ,v_n∈ V jest baz ˛a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, kiedy ka˙zdy wektor w ∈ V mo˙zna przedstawi´c w dokładnie jeden sposób jako kombinacj ˛e liniow ˛a: w = α₁v₁+ · · · + αnvn. (Dowód)

Definicja

Niech układ v₁, . . . ,v_nstanowi baz ˛e V , i niech w ∈ V . Wtedy układ liczb α₁, . . . , αnspełniaj ˛acy w = α₁v₁+ · · · + αnv_nnazywamy współrz ˛ednymiwektora w w bazie v₁, . . . ,vn.

Przykłady Współrz ˛ednymi wektora (1, 4, 3) w bazie ε₁, ε₂, ε₃w R³s ˛a liczby 1, 4, 3. Ogólnie: współrz ˛ednymi wektora (x₁, . . . ,x_n) ∈ Rⁿw bazie ε₁, . . . , εns ˛a liczby x₁, . . . ,xn. (inne przykłady na tablicy)