MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 35, s. 163-168, Gliwice 2008
OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW MODELOWANYCH RÓWNANIAMI NAVIERA-LAMEGO NA PODSTAWIE PURC I ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH
E
UGENIUSZZ
IENIUK, K
RZYSZTOFS
ZERSZEŃ, A
GNIESZKAB
OŁTUĆInstytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku Sosnowa 64, 15-887 Białystok
e-mail: {ezieniuk, kszerszen, aboltuc}@ii.uwb.edu.pl
Streszczenie. Celem niniejszej pracy jest optymalizacja kształtu brzegu w wielokątnych dwuwymiarowych obszarach o własnościach liniowo-spręŜystych.
Sterowany algorytmem genetycznym proces optymalizacji sprowadza się do poszukiwania najlepszego (optymalnego) rozwiązania w wyniku wielokrotnego rozwiązywania zagadnień analizy dla róŜnych kształtów brzegu. Do efektywnego rozwiązywania zagadnień analizy (ze zmodyfikowanym brzegiem) zastosowano parametryczny układ równań całkowych (PURC), który charakteryzuje się radykalnie uproszczonym w stosunku do MES i MEB sposobem deklaracji i modyfikacji kształtu brzegu.
1. WSTĘP
Problem optymalizacji kształtu obszarów naleŜy do waŜnej klasy zagadnień mających ogromne znaczenie praktyczne. Problemy optymalizacji naleŜą do metod komputerowego wspomagania projektowania pozwalających na poprawę mechanicznych właściwości ośrodka, takich jak: redukcja poziomu wewnętrznych napręŜeń w obszarze, czy teŜ minimalizacja jego masy. Optymalizacja kształtu jest problemem na tyle złoŜonym, Ŝe praktycznie jego rozwiązanie sprowadza się do numerycznego rozwiązywania nieliniowych układów równań algebraicznych, jest więc procesem iteracyjnym.
Do rozwiązywania tego typu zagadnień najczęściej wykorzystywane są metody oparte na minimalizacji przyjętej funkcji celu, co ostatecznie praktycznie sprowadza się do iteracyjnego rozwiązywania zagadnień analizy ze zmodyfikowaną geometrią brzegu [4]. Modelowanie optymalizowanego obszaru oraz rozwiązywanie problemów analizy realizowane jest zazwyczaj na podstawie MES [6] oraz MEB [2]. Wspólną cechą tych metod jest konieczność dyskretyzacji optymalizowanego obszaru na elementy skończone lub brzegu na elementy brzegowe. Takie dyskretyzowanie w przypadku problemów optymalizacyjnych jest wysoce nieefektywne wobec konieczności ponownej redyskretyzacji przy jakiejkolwiek modyfikacji kształtu obszaru.
W pracy [5] pokazano odrębną w stosunku do metod elementowych koncepcję rozwiązywania zagadnień brzegowych, która jeszcze bardziej upraszcza modelowanie wejściowej geometrii brzegu oraz samych obliczeń. Otrzymane parametryczne układy równań całkowych (PURC) [5] wyeliminowały konieczność nie tylko dyskretyzacji obszaru, ale takŜe
jego brzegu. Brzeg ten w PURC jest deklarowany globalnie przy pomocy niewielkiego zbioru punktów brzegowych lub kontrolnych. Wobec tego proces optymalizacji kształtu brzegu moŜe być zredukowany w PURC jedynie do identyfikacji tych punktów.
Celem niniejszej pracy jest praktyczne wykorzystanie zalet PURC w powiązaniu z klasycznym algorytmem genetycznym (AG) do optymalizacji kształtu dwuwymiarowego wielokątnego obszaru o właściwościach liniowo spręŜystych opisanych równaniami Naviera- Lamego. Optymalizacja kształtu związana jest z otrzymaniem załoŜonych własności projektowych, takich jak ograniczenie poziomu wewnętrznych napręŜeń czy teŜ pola powierzchni przekroju poprzecznego. Przedstawione podejście ogólnie zapewnia szerokie spektrum moŜliwych do wygenerowania róŜnorodnych wielokątnych kształtów obszarów.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACJI KSZTAŁTU
Problem optymalizacji kształtu brzegu nie jest problemem nowym i jest przedmiotem szeregu badań naukowych. Głównym celem pracy jest opracowanie nowej procedury obliczeniowej, pozwalającej na efektywny i automatyczny dobór właściwego pod względem przyjętych załoŜeń w funkcji celu (1), optymalnego kształtu brzegu (profilu).
Optymalizowany obszar jest obszarem płaskim, liniowo-spręŜystym modelowanym równaniami przemieszczeniowymi Naviera-Lamego. Problem optymalizacji dla rozpatrywanego zagadnienia zdefiniowano za pomocą następującej funkcji celu:
( )
[ ]
≤ +
−
= =
max 2 / 2 1
12 2 22 11
min
σ σ
σ σ σvm
F W , (1)
gdzie
W - jest wartością minimalizowanego pola rozpatrywanego przekroju poprzecznego obszaru Ω ograniczonego brzegiem Γ ,
σvm- jest wartością napręŜeń zredukowanych (von Misesa), która w dowolnym punkcie we wnętrzu obszaru nie powinna przekroczyć ustalonej wartości maksymalnej σmax.
NapręŜenia zredukowane σvm są obliczane na podstawie składowych napręŜeń σ11,σ12,σ22 uzyskanych na podstawie numerycznej analizy zagadnienia za pomocą PURC dla aktualnego kształtu brzegu Γ oraz załoŜonych warunków brzegowych. Do optymalizacji funkcji celu (1) zastosowano algorytm genetyczny (AG) z automatycznym połączeniem go z PURC.
3. PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ LINIOWO-SPRĘśYSTYCH
Sformułowane w poprzednim punkcie zadanie optymalizacji dla funkcji celu (1) z ograniczeniami sprowadza się praktycznie do wielokrotnego rozwiązywania zagadnienia analizy ze zmodyfikowaną geometrią brzegu. Efektywność proponowanej metody zaleŜy od dwóch czynników: 1) od efektywności modelowania i modyfikowania kształtu geometrii brzegu oraz efektywności rozwiązywania zagadnień analizy, 2) algorytmu odpowiadającego za efektywne sterowanie wielokrotnym rozwiązywaniem zagadnień analizy.
Efektywność przeprowadzenia takiej optymalizacji w duŜym stopniu będzie uzaleŜniona od łatwości przeprowadzania modyfikacji geometrii brzegu. Rozwiązanie numeryczne zagadnienia analizy w literaturze najczęściej jest otrzymywane przy pomocy MES oraz MEB.
Metody te, pomimo niewątpliwych zalet, nie spełniają wymogu prostoty definiowania i modyfikacji obszaru (lub brzegu), co jest szczególnie niezbędne w przypadku problemów
dotyczących optymalizacji czy identyfikacji obszaru. Takie uwarunkowanie MES i MEB powoduje gwałtowny wzrost liczby zmiennych projektowych (węzłów siatki) w obszarze (lub na jego brzegu). Czasochłonnym problemem jest takŜe powtarzanie dyskretyzacji zmodyfikowanego obszaru (lub brzegu) po kaŜdym etapie iteracji.
Zastosowanie w miejsce tradycyjnej MES lub MEB rozwijanego PURC umoŜliwia bardziej efektywne numeryczne rozwiązywanie zagadnień brzegowych, bez konieczności wprowadzania jakiejkolwiek dyskretyzacji obszaru (lub brzegu). Kontur obszaru (brzeg) w przypadku obszarów wielokątnych jest opisywany za pomocą niewielkiego zbioru punków naroŜnych. Przy przeciąganiu jednego lub więcej punktów naroŜnych brzegu moŜliwa jest bardzo efektywna modyfikacja kształtu brzegu. Deklaracja brzegu przy pomocy punktów naroŜnych jest bezpośrednio powiązana z PURC. Dla równań Naviera-Lamego PURC jest przedstawiany w następującej postaci [5]:
} {
( , ) ( ) ( , ) ( ) ,) ( 5 . 0
1
1 1
1
1
ds s s s s
s s J
s
n
r s
s
r pr
r pr
r p
r
r
∑ ∫
=
∗
∗
−
−
= U p P u
u (2)
przy czym sp−1≤s1 ≤sp,sr−1 ≤s≤sr,natomiast funkcje Upr*(s1,s) oraz Ppr*(s1,s) w zapisie macierzowym przyjmują następującą postać
−
−
−
−
−
−
− −
=
2 2 2 2
2 2
2 1
η η η
η η η
ν η η
η
η η ν η
µ ν
π (3 4 )ln( )
) ln(
) 4 3 ( ) 1 ( 8 ) 1 , (
2 1
2 1
1
* s s
Upr , (3)
, ,...
2 , 1 , ) ,
1 ( 4 ) 1 , (
22 21
12 11 1
* p r n
P P
P s P
pr s =
− −
= π ν η
P (4)
gdzie
, 2
) 2 1 (
2 1
11 n
η η2 ∂
∂
− +
= η
ν
P 12 2 1 2 (1 2 ) 1 2 2 1 ,
+
−
∂ −
= ∂ n n
P n η η
η η2
η ν η
η η
, )
2 1 (
2 2 1 2 1 1 2
21
+
−
∂ −
= ∂ n n
P n η η
η η2
η η η ν
η (1 2 ) 2 ,
2 2
22 n
η η2 ∂
∂
− +
= η
ν P
) ( )
( (1) 1
) 1 (
1 =Γr s −Γp s
η ,η2 =Γr(2)(s)−Γp(2)(s1), η=[η12+η22]0.5, 1 n1 2 n2 η η
n η
∂ +∂
∂
=∂
∂
∂ η η
.
Występujące w powyŜszych wyraŜeniach funkcje Γr(i)
( )
s , i ={ }
1,2 , to parametryczne funkcje liniowe, których współczynniki wyliczane są na podstawie współrzędnych punktów naroŜnych Pi(
xi,yi)
zadawanych w celu zdefiniowania wielokątnej geometrii brzegu.W dalszych rozwaŜaniach punkty naroŜne Pi
(
xi,yi)
przyjęto jako zmienne projektowe w procesie optymalizacji. Ich identyfikacja prowadzi do wygenerowania poszukiwanego optymalnego brzegu dla załoŜonej funkcji celu (1). W wyniku zastosowania w PURC do rozwiązywania zagadnień analizy, moŜliwe jest otrzymanie składowych napręŜeń22 12 11,σ ,σ
σ w dowolnym punkcie optymalizowanego obszaru Ω . Na podstawie obliczonych napręŜeń wyliczana jest wartość napręŜeń zredukowanych (von Misesa), która jest następnie traktowana jako warunek ograniczający w funkcji celu (1) dotyczącej optymalizacji powierzchni obszaru.
4. POŁĄCZENIE PURC Z ALGORYTMEM GENETYCZNYM (AG)
Wybór algorytmu genetycznego (AG) jako narzędzia optymalizacji funkcji celu (1) wynika ze stosunkowej łatwości jego zintegrowania z PURC. PURC (2) automatycznie dostosowuje się do nowych obszarów modelowanych punktami naroŜnymi rozwiązywanego zagadnienia analizy. Natomiast w AG naleŜy jedynie określić funkcję kryterialną (1) z przyjętymi ograniczeniami. Zmienne projektowe w pracy są utoŜsamiane ze współrzędnymi punktów naroŜnych Pi
(
xi,yi)
, modelujących wielokątny kształt w PURC optymalizowanej geometrii brzegu.Rozwiązanie zadania optymalizacji sprowadzono w tym wypadku do znalezienia połoŜenia wybranych punktów naroŜnych, zakodowanych w chromosomie AG. Na podstawie aktualnego połoŜenia tych punktów, w celu zminimalizowania funkcji celu (1), moŜliwe jest obliczenie pola przekroju powierzchni optymalizowanego obszaru Ω . Ponadto po rozwiązaniu PURC dla zidentyfikowanego połoŜenia punktów naroŜnych otrzymywane są w obszarze składowe napręŜeń σ11,σ12,σ22, niezbędne do wyliczenia wartość σvm (von Misesa) uŜywanego w formule (1) jako warunku ograniczającego.
5. WERYFIKACJA ALGORYTMU OPTYMALIZACJI NA PRZYKŁADZIE
Na rys. 1a przedstawiono problem doboru optymalnego kształtu [1] symetrycznego profilu pomiędzy punktami AB , przy oczekiwanym poziomie wewnętrznych napręŜeń (von Misesa) poniŜej wartości granicznej równej σmax =34.54MPa. Profil ten jest poddawany zewnętrznej sile rozciągającej o wartości F =109.50N/mm. Przyjęto następujące parametry ośrodka
MPa
E=206850 oraz ν =0.3.
a) b)
Rys. 1. Rozpatrywany problem optymalizacji (a), deklaracja geometrii brzegu w PURC 12 punktami naroŜnymi (b)
W pracy [1] przedstawiono rozwiązanie powyŜszego problemu projektowego bazujące na połączeniu MES z AG. Wybór MES jako narzędzia analizy ośrodka spręŜystego spowodował konieczność wprowadzenia zbioru punktów (węzłów) opisujących zarówno cały obszar, jak równieŜ modyfikowany fragment jego brzegu. Rozpatrywany obszar zadeklarowano w tym wypadku 96 elementami skończonymi (117 węzłów). W rezultacie uzyskano redukcję pola przekroju poprzecznego z wartości początkowej 61935.36mm do wartości docelowej równej 2
00 2
.
45665 mm , co daje wartość procentową na poziomie 27%.
Na bazie powyŜszego przykładu rozpatrywano następnie podejście łączące proponowany PURC z AG. W przeprowadzonej symulacji zastosowano binarny AG, bazujący na klasycznym schemacie Goldberga, zaimplementowany na podstawie obiektowej biblioteki C++ GAlib [3] dla parametrów przedstawionych w tabeli 1.
Tabela 1. Parametry zastosowanego AG
Kodowanie 16 bitów
Reprodukcja proporcjonalna
KrzyŜowanie jednopunktowe z prawdopodobieństwem 0.6 Mutacja równomierna z prawdopodobieństwem 0.03
Rozmiar populacji 50
Liczba iteracji 100
Zgodnie z rys. 1b wejściową geometrię brzegu w PURC zamodelowano po wprowadzeniu 12 punktów naroŜnych. ZałoŜono następnie, Ŝe punkty P0,P1,P2,P5,P6,P7,P8,P11 są punktami stałymi, natomiast optymalizowana część brzegu jest modyfikowana tylko 4 punktami naroŜnymi P3,P4,P9,P10. Przy załoŜeniu symetrii osiowej obszaru problem optymalizacji kształtu został zredukowany do identyfikacji dwóch punktów P3,P4.
a) b)
Rys. 2. Rozkład poziomu wewnętrznych napręŜeń von Misesa dla początkowego(a) oraz końcowego (b) kształtu geometrii brzegu
W uzyskanym profilu docelowym (rys. 2b), wybranym spośród 5 niezaleŜnych wywołań algorytmu pole przekroju poprzecznego powierzchni zostało zredukowane o ponad 28% do wartości równej 44096.70mm , co jest porównywalne z wcześniej prezentowanymi 2 rezultatami dla MES. Zastosowanie PURC nie tylko uprościło deklarację optymalizowanego obszaru Ω w porównaniu z MES, ale takŜe pozwoliło na otrzymanie wartości wewnętrznych napręŜeń w dowolnych punktach tego obszaru (rys. 2b).
6. WNIOSKI
Celem niniejszej pracy jest wstępna analiza potencjalnych zastosowań opracowanego PURC w zagadnieniach optymalizacji kształtu płaskich ośrodków liniowo spręŜystych.
Przytoczony przykład testowy potwierdza moŜliwość zastosowania powyŜszego podejścia w praktycznych problemach inŜynierskich, a takŜe uwypukla pewne zalety w porównaniu z metodami klasycznymi rozpatrywanymi na przykładzie MES. Mówimy tutaj o uproszczeniu deklaracji optymalizowanego obszaru, przy wyeliminowaniu zwłaszcza konieczności powtarzania uciąŜliwej dyskretyzacji po kaŜdej modyfikacji obszaru, jak ma to miejsce w
MES, a takŜe w MEB. Proces optymalizacji kształtu obszaru ostatecznie został sprowadzony do identyfikacji niewielkiego zbioru punktów naroŜnych opisujących geometrię brzegu.
Uzyskane pewne pozytywne rezultaty są zachęcające do przeprowadzenia w przyszłości dalszych badań dotyczących z jednej strony rozszerzenia pola potencjalnych zastosowań proponowanego podejścia, a z drugiej - takŜe poprawiających samą efektywność uzyskiwanych rozwiązań. Mamy tu na myśli moŜliwość optymalizacji kształtu o konturze krzywoliniowym w PURC poprzez zastąpienie aktualnie stosowanych segmentów liniowych krzywymi parametrycznymi, np. Béziera lub B-spline. Z drugiej strony celowe są dalsze prace nad metodami sterującymi procesem optymalizacji - zastosowanie efektywniejszych operatorów genetycznych, zwiększenie liczby rozpatrywanej populacji, czy teŜ zaadaptowanie algorytmów ewolucyjnych oraz metod klasycznych, np. metody Newtona. Dodatkowym zagadnieniem jest opracowanie efektywnych kryteriów zakończenia procesu optymalizacji – w pracy z racji duŜej zbieŜności procedury oraz małych zmian kształtu powyŜej 40 iteracji działania AG arbitralnie ograniczono się do wielokrotnego uruchamiania procedury optymalizacyjnej i analizy rozwiązań po pierwszych 100 iteracjach AG.
Praca naukowa finansowana ze środków budŜetowych na naukę w latach 2005-2007 jako projekt badawczy 3T11F01528
LITERATURA
1. Annicchiarico W., Cerrolaza. M.: Optimization of finite element bidimensional models:
an approach based on genetic algorithms. “Finite Elements in Analysis and Design” 1998, 3-4/29, s. 231-257.
2. Brebbia, C. A., J. C. F. Telles.; L. C. Wrobel.: Boundary element techniques, theory and applications in engineering. New York : Springer-Verlag, 1984.
3. GAlib: A C++ Library of Genetic Algorithm Components, version 2.4. Mechanical Engineering Department, Massachusetts Institute of Technology.
4. Liu G.R., Han X.: Computational inverse techniques in non-destructive evaluation. CRC Press LLC, 2003.
5. Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving 2D boundary problems defined on polygonal domains modeled by Navier equation. “International Journal of Solids and Structures” 2006, 43, 25-26/43 s. 7939-7958.
6. Zienkiewicz O.: The finite element methods. London : McGraw-Hill, 1977.
A PIES AND GA COMBINED TECHNIQUE FOR SHAPE OPTIMIZATION OF POLYGONAL DOMAINS
MODELLED BY NAVIER-LAME EQUATION
Summary. The paper discusses computational techniques for shape optimization in 2D linear elasticity problems. Considered optimization is performed by forward model analysis for modified shape of considered boundary geometry. The procedure combines mesh-free boundary geometry description with problem formulation based on the parametric integral equation system (PIES). The technique reduces the number of identified unknowns to minimum with significant possibilities of geometry modification. The study evaluates the accuracy of an established optimization in connection with genetic algorithms (GA) by computer simulation.
