Ćwiczenia nr 10, AM I, 6.12.2019 Własności funkcji zmiennej reczywistej. Granica funkcji w punkcie. Zadanie 1. Narysuj wykresy funkcji: (a) y = x

Ćwiczenia nr 10, AM I, 6.12.2019

Własności funkcji zmiennej reczywistej. Granica funkcji w punkcie.

Zadanie 1. Narysuj wykresy funkcji:

(a) y = x²− 3x + 2, (b) y = x²− ^2(x_|x|−1²⁻¹⁾ − 1,

Zadanie 2. Uzasadnij, że wykres funkcji y = ax²+ bx + c, gdzie a 6= 0 jest figurą podobną do wykresu funkcji y = x².

Zadanie 3. Wystrzelono pocisk po kątem 45^◦ względem płaszczyzny poziomej z prędkością początkową 600 m / sek. Narysuj wykres trajektorii pocisku, znaleźć największą wysokość i odległość od miejsca wystrzału, jaką osiągnie pocisk. Przyjmij, że przyspieszenie ziemskie jest równe g ≈ 10 m / sek².

Zadanie 4. Która z funkcji jest parzysta, nieparzysta, a która nie jest ani parzysta, ani nie- parzysta

(a) y = 3x − x²,

(b) f (x) = ^q3 (1 − x)²+^q3(1 + x)²,

(c) f (x) = ln^1−x_1+x, (d) f (x) = ln(x +√

1 + x²).

Zadanie 5. Oblicz granice funkcji w punkcie (a) lim_x→∞√

x + 3 −√ x − 2, (b) limx→01 + ^x_|x|³,

(c) lim_{x→1 x}^x−12−1, (d) lim_x→−1 ^x2_|x+1|^−2x−3,

(e) lim_x→−¹

2

2x³+x²−2x−1 2x³+x²+2x+1, (f) lim_x→0 ^e2x_3x⁻¹,

(g) lim_x→0 ^e2x−1

3√ x²+x³,

(h) lim_x→0e^−1/x2, (i) limx→1 1

1+e^1/(1−x), (j) lim_{x→2 x−2}¹ −_x2⁴−4, (k) lim_x→−1 √3 ^x2−1

1+x²−1, (l) lim_x→∞√³

x³+ 2x²+ 1−√³

x³+ 3x²+ 2, (m) lim_x→0 (1+x)(1+2x)(1+3x)−1

x ,

(n) lim_x→1 ^x_x¹⁰⁰50−2x+1^−2x+1.

Zadanie 6. Oblicz granice funkcji w punkcie (a) limx→0 sin 7x

sin 13x, (b) lim_{x→π π}^{sin x}2−x²,

(c) lim_x→0 ⁴

√1+x−1 x , (d) lim_x→0x sin_x¹,

(e) limx→∞

r

x +^qx +√ x −√

x

!

, (f) lim_x→0 ^{1−cos x}_x2 ,

(g) lim_x→0x ctg 3x.

Zadanie 7. Oblicz granice funkcji w punkcie (a) lim_x→0^{+ ln x}_x, gdzie  > 0,

(b) lim_x→0⁺x ln x,

(c) lim_x→0⁺x^x (d) lim_x→0 ^ln(1+x)_x ,

(e) limx→0 (1+x)^a−1 x , (f) limx→∞x · (sin√

x + 1 − sin√ x), (g) lim_x→0xb¹_xc,

(h) limx→∞1+e^x x , (i) lim_x→1 ^1−x_1−x^1/π1/e, (j) lim_x→7

√x+2−√³ x+20

√4

x+9 −2 .

Zadanie 8. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f (lub uzasadnij, że f nie ma funkcji odwrot- nej):

(a) f (x) = 2x + 3, x > −1, (b) f (x) = _2x−1^x+3 , x 6= ¹₂,

(c) f (x) = x², x ∈ [−1, 0).

Zadanie 9. Znajdź wszystkie funkcje rosnące f : R → R takie, że dla wszystkich x ∈ R zachodzą równości

f (2x) = 2f (x) − 1, f (x + 2) = 4 + f (x).

2