OPTYCZNY POMIAR AMPLITUDY DRGAŃ MASZYN WIBRACYJNYCH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 35, s.51-58, Gliwice 2008

OPTYCZNY POMIAR AMPLITUDY DRGAŃ MASZYN WIBRACYJNYCH

PIOTR KOHUT , MARIUSZ GIERGIEL

Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Robotyki i Mechatroniki e-mail: pko@agh.edu.pl; giergiel@agh.edu.pl

Streszczenie.. W artykule przedstawiono wykorzystanie dwu- oraz trójwymiarowych metod wizyjnych do pomiaru amplitud drgań korpusu maszyny wibracyjnej pracującej pod wpływem obciążeń eksploatacyjnych. W tym celu opracowano metodykę, algorytmy i procedury oparte na technikach wizyjnych oraz dokonano ich implementacji w środowisku MATLAB. Przetestowano ich skuteczność eksperymentalnie na stanowisku badawczym.

1. WSTĘP

Maszyny wibracyjne realizują proces technologiczny lub transportowy na zasadzie przekazywania drgań korpusu maszyny do obrabianego ośrodka. Dużym problemem dla konstruktorów i użytkowników maszyn wibracyjnych nadrezonansowych jest bardzo znaczny wzrost amplitudy drgań podczas rezonansu przejściowego w stosunku do stanu ustalonego podczas procesów rozruchu i wybiegu [1]. Szczególnie w czasie wybiegu dochodzi do długotrwałego rezonansu przejściowego, zaś powstające w jego wyniku silne drgania korpusu mogą doprowadzić do zrzucenia nadawy, uszkodzenia fundamentu lub konstrukcji wsporczej (np. stropu), a nawet zerwania układu zawieszenia sprężystego maszyny. Zasadnicza trudność związana z prowadzonymi tradycyjnymi metodami pomiarami doświadczalnymi w czasie pracy tych maszyn związana jest z trudnościami w montażu czujników i realizacji systemu okablowania oraz z wpływem zainstalowanych konwencjonalnych czujników na zachowanie maszyny. W tradycyjnych technikach pomiaru drgań maszyn, urządzeń i konstrukcji wykorzystywane są przetworniki takie jak: akcelerometry, przetworniki siły, czujniki tensometryczne. Zastosowanie tego rodzaju przetworników wymaga ich bezpośredniego mocowania do badanych elementów podczas przeprowadzania eksperymentu. W wielu przypadkach jest to trudne, a nawet niemożliwe, bądź niepożądane poprzez wpływ na istotę mierzonego obiektu. Innym powodem są niskoczęstotliwościowe drgania spotykane w konstrukcjach maszyn wibracyjnych, a zwłaszcza układów wibroizolacji. Ich pomiar ze względu na niskie pasmo częstotliwości jest trudny, a często wręcz niemożliwy za pomocą standardowych akcelerometrów. Stwarza to konieczność wykorzystania innych narzędzi pomiarowych opartych na bezkontaktowych metodach realizacji pomiaru. W takich przypadkach system wizyjny jako narzędzie łatwe w użyciu, dokładne oraz uniwersalne może być dobrą alternatywą dokonywania pomiaru drgań. Niniejsza praca dotyczy zastosowania technik wizyjnych do pomiaru amplitud drgań korpusu maszyny wibracyjnej. W artykule

przedstawiono metodykę, algorytmy i procedury dwuwymiarowego oraz trójwymiarowego pomiaru drgań określonych punktów konstrukcji. Opracowaną metodykę i algorytmy w postaci oprogramowania osadzono w środowisku MATLAB oraz przetestowano na stanowisku badawczym.

2. DUWWYMIAROWE TECHNIKI WIZYJNE

Do pomiaru drgań analizowanego obiektu opracowano algorytmy klasycznych technik przetwarzania obrazu, w wyniku których otrzymano geometryczne środki ciężkości obrazów znaczników w wybranych punktach konstrukcji. W celu obliczenia geometrycznych środków ciężkości analizowanych obrazów obiektów na podstawie przybornika Image Processing Toolbox [2] opracowano i zaimplementowano procedury do wstępnego przetwarzania i analizy obrazów w środowisku programowym MATLAB. Opracowany algorytm procesu analizy obszarowej obrazu przedstawiono na rys. 1.

Rys.1. Schemat wykorzystanych przekształceń wchodzących w skład opracowanego algorytmu do analizy obrazu

Pozyskany obraz cyfrowy poddawany był etapowi wstępnego przetwarzania obrazu w celu polepszenie jakości obrazu, eliminacji zakłóceń oraz zaakcentowania i uwydatnienia elementów obrazu istotnych w kolejnej fazie analizy obrazu. Filtr medianowy, w razie konieczności, stosowany był do eliminacji wartości pikseli znacznie odbiegających od średniej oraz do usunięcia wszelkich lokalnych szumów i zakłóceń. Zbinaryzowany i przefiltrowany z wykorzystaniem wybranych przekształceń morfologicznych (otwarcia = erozja + dylatacja) obraz stanowił ostatnią fazę wstępnego przetwarzania obrazu i był przygotowany do przeprowadzenia analizy obrazu. W wyniku jej realizacji uzyskiwano informacje o położeniu geometrycznego środka ciężkości analizowanych obiektów w dwóch osiach. Analizę obrazu przeprowadzono na podstawie obszarowych technik segmentacji [3],[4],[5],[6],[12]

i zaimplementowano w środowisku programowym MATLAB.

Etap analizy obrazu

Obrazy ruchu maszyny z naklejonymi znacznikami (punktami pomiarowymi)

Analiza obrazu Segmentacja zorientowana obszarowo Cechy obrazu: środki ciężkości

analizowanych obiektów Filt

Medianowy / Uśredniający

Progowanie

Operacje Morfologiczne

Otwarcie/

zamknięcie Histogram

Faza wstępnego przetwarzania obrazu

Wyjście /Wynik:

W związku z powyższym zaimplementowane zostały procedury z przybornika IPT [3]

realizujące segmentację zorientowaną obszarowo, w wyniku której uzyskiwano cechy obrazu w postaci geometrycznych położeń środków ciężkości obiektów obrazu (1),(2).

∑∑

= ⁿ

i m

j

ij q p

pq i j x

m

1 1 (1)

[n,m] – rozmiar obrazu

Dla obrazu binarnego m00 oznacza pole powierzchni obiektu, zaś m10, m01 – jego środek ciężkości. Momenty cech pierwszego rzędu określają geometryczne położenie środka ciężkości figury (2):

00 01 00

10 ,

m y m m

x_c = m _c =

(2) Uzyskane wartości współrzędnych geometrycznych środków ciężkości w jednostkach pikseli wyrażone zostały w milimetrach za pomocą opracowanego modułu kalibracji. W tym celu zamontowano (naklejono) na analizowanym obiekcie wzorzec kalibracyjny w postaci okręgu o znanej średnicy, Dmm.. Z pobranych obrazów obiektu, na podstawie opracowanego algorytmu, obliczono średnicę, Dpix, obrazu wzorca kalibracyjnego z następującego wzoru (3), [3].

π

i Powierzchn Pole _

* 4

(3) Współczynnik skali Wmm_pix informujący o liczbie pikseli przypadających na 1 mm analizowanego obiektu obliczono z zależności (4):

Wmm_pix = Dmm/Dpix (4)

3. TRÓJWYMIAROWE TECHNIKI WIZYJNE

W celu pomiaru amplitudy drgań oraz trójwymiarowej struktury maszyny wibracyjnej przedstawiono zastosowanie rozszerzonych technik stereowizyjnych, tj. dyskretnych metod geometrii epipolarnej. Opracowano algorytmy i procedury umożliwiające uzyskanie amplitudy drgań analizowanych obiektów sceny (punktów pomiarowych) wraz z ich trójwymiarową strukturą na podstawie danych uzyskanych z jednej szybkiej cyfrowej kamery [14]. Dla geometrii epipolarnej parametry ruchu wyznaczane są między dwoma kolejnymi ramkami obrazu pobranymi z jednej lub więcej kamer. Stanowi ona wewnętrzną geometrią dwóch różnych perspektywicznych obrazów tej samej 3D sceny. Geometria epipolarna zależy tylko od parametrów wewnętrznych i zewnętrznych kamery i jest niezależna od trójwymiarowej struktury sceny [2],[11],[13]. Uzyskanie rekonstrukcji badanego obiektu w rzeczywistej skali narzuca znajomość parametrów wewnętrznych kamery. Oznacza to, że macierz parametrów wewnętrznych kamery, K, musi zostać wyznaczona w procesie kalibracji kamer. Wówczas mogą zostać wyliczone parametry zewnętrzne kamer(y) (R,t) oraz trójwymiarowa struktura i ruch obiektu sceny. Parametry ruchu R oraz t są estymowane poprzez faktoryzację macierzy głównej. Na ich podstawie za pomocą algorytmu triangulacji wyliczana jest trójwymiarowa rekonstrukcja oraz głębia we właściwej skali.

Wówczas gdy punkty pomiarowe znajdują się na jednej płaszczyźnie (tzn. wyróżnione wzorce o znanej geometrii na płaskim znaczniku pomiarowym, np, 10 białych kół na czarnym tle płaskiego znacznika nanoszonego na badaną konstrukcję), to trójwymiarową strukturę i ruch (parametry R i t) uzyskuje się za pomocą dekompozycji płaszczyznowej macierzy homografii H.

Płaszczyznowa macierz homografii jest liniowym odwzorowaniem między dwoma odpowiadającymi sobie płaszczyznowymi punktami w dwóch obrazach

Korespondencja punktów N

R,t H

Obraz 2 Obraz 1

X π

Normalna Płaszczyzna

Rys. 2. Macierz homografii opisująca zależność pomiędzy rzutami punktów leżących na jednej płaszczyźnie o wektorze normalnym N, na płaszczyzny obrazowe kamer 1 i 2 .

Macierz homografii zdefiniowana jest następująco [11]:

)

( ^T

d N R T

H= + (3)

gdzie : R, t – parametry ruchu; N – jednostkowy wektor normalny płaszczyzny _π względem 1 ramki kamery; d- odległość od płaszczyzny _π do punktu centralnego 1 kamery

Macierz homografii opisuje zależność między punktami X1 oraz X2 (X2 = RX1+t) i zawiera informację o parametrach ruchu badanego obiektu {R,t} – opisujących wzajemne położenie i orientację układu kamer, które pozyskały obrazy 1 i 2 oraz o jego strukturze trójwymiarowej {N,d} –położenie płaszczyzny, na której leżą punkty pomiarowe względem układu współrzędnych pierwszej kamery. Macierz homografii opisuje także z dokładnością do skali przekształcenie pomiędzy odpowiadającymi sobie punktami na obrazach pierwszym i drugim.

x2 ~ H x1 (4)

Zależność (4) określana jest odwzorowaniem płaszczyznowej macierzy homografii wprowadzanym poprzez płaszczyznę π. W celu estymacji parametrów macierzy homografii H opracowany został algorytm czteropunktowy, który umożliwia wyznaczenie macierzy H, a na jej podstawie parametrów ruchu R,t oraz parametrów struktury N i d. Do wyznaczenia trójwymiarowej struktury i ruchu obiektu we właściwej skali opracowano metodę triangulacji oraz skalowania wyników [2],[11]. Do śledzenia wydobytych cech zastosowano moduł oparty na przepływie optycznym z dekompozycją hierarchiczną obrazu zgodnie [10],[11],[13].

Poszczególne etapy dotyczące wyznaczenia t przedstawiono poniżej [2],[11]:

Mając dane co najmniej 4 pary korespondujących punktów {x1j

, x2j

} j =1, 2, ..., n ; n ≥ 4 spełniające płaszczyznowe więzy epipolarne [11]:

ˆ₂^j + ^T) ₁^j =0 ( TdN x

R x

(5)

=0

S

AHL

Krok 1. Obliczenie pierwszej aproksymacji macierzy H:

Krok 2. Normalizacja macierzy HL:

Krok 3. Dekompozycja macierzy homografii na {R,T} oraz {N,d}: H^TH = VDV^T Krok 4. Wybór rozwiązania – narzucenie warunku dodatniej głębi :

Głębia(xi, Pi) > 0, N^Te3 > 0;

Krok 5. Rekonstrukcja 3D struktury – algorytm liniowej triangulacji:

Krok 6. Skalowanie:

gdzie: H^sl – wektor o rozmiarach 9x1 składający się z nieznanych elementów macierzy HL; σ2 – wartość osobliwa macierzy HL ; e3 – wersor osi z układu kamery. ; λⁱ, γ –głębie punktów oraz wartość wektora translacji

4. EKSPERYMENT ORAZ WYNIKI

Opracowane dwu- oraz trójwymiarowe wizyjne metody pomiarowe zweryfikowano w trakcie testu na stanowisku eksperymentalnym (rys.3). Obiektem badań był przenośnik wibracyjny o konstrukcji zamkniętej (rurowej), na który naniesiono odblaskowe znaczniki reprezentujące punkty pomiarowe. Znaczniki naklejono w środku masy maszyny wibracyjnej.

Wykonano serię pomiarów amplitud drgań korpusu maszyny wibracyjnej pracującej pod wpływem obciążeń eksploatacyjnych. Sekwencje obrazów pobierane były za pomocą kamery cyfrowej XStream XS-3 i zapisywane w postaci plików w formacie ‘*.mrf”. Kamera cyfrowa umożliwia akwizycję obrazów z częstotliwością ponad 50 kHz [14].

W wyniku analizy obrazu dla każdej ramki obliczono współrzędne geometrycznych środków ciężkości obrazów naklejonego znacznika wyrażonych po procesie kalibracji w milimetrach. Dwie składowe położenia geometrycznego środka ciężkości analizowanych obiektów w funkcji czasu określały przemieszczenia środka masy urządzenia w dwóch kierunkach osi x oraz y, zaś ich złożenie trajektorię ruchu środka masy (rys 5a).

W przypadku pasywnych trójwymiarowych technik pomiarowych estymowane były parametry ruchu R,t oraz struktury N i d. Za ich pomocą po zastosowaniu algorytmów triangulacji oraz skalowania wyznaczono trójwymiarowy ruch punktów pomiarowych oraz ich trójwymiarową geometrię. Uzyskany ruch punktów pomiarowych reprezentował trzy składowe amplitudy drgań wzdłuż osi x,y,z globalnego układu współrzędnych o początku w środku masy maszyny (rys.5b). Kalibrację wewnętrznych oraz zewnętrznych parametrów kamery przeprowadzono za pomocą narzędzia programowego osadzonego w środowisku MATLAB [15].

Obliczoną amplitudę drgań oraz trajektorię ruchu środka ciężkości korpusu maszyny wibracyjnej z wykorzystaniem algorytmów analizy obrazu oraz geometrii epipolarnej z zastosowaniem macierzy homografii przedstawiono na rys.5. Dla powyższych technik dwu- oraz trójwymiarowych porównano obliczone wartości składowych amplitud drgań w osiach x oraz y i uzyskano zgodność zarówno jakościową jak i ilościową. Przykładowo pierwiastek błędu średniokwadratowego przemieszczenia dla osi y, odpowiadającego amplitudzie drgań pionowych wyniósł 0.1057mm. Dodatkowo dla technik trójwymiarowych wyznaczono trzecią składową drgań wzdłuż osi z. Wyniki pomiarów wizyjnych porównano z wynikami pomiaru klasycznego z użyciem akcelerometru (rys.4) zamontowanego w górnej części korpusu maszyny. Porównano składową pionową przyspieszenia odpowiadającą drganiom wzdłuż osi y.

0 AX=

[

]



 



= 

γ λ^j ₂^jR ₁^j ₂^jT λ^j

j x x x

M

a) b)

Rys. 3. Stanowisko badawcze:

1a) Elementy składowe stanowiska:

• System wizyjny: oświetlenie (halogen 2x500W); akwizycja obrazów z częstotliwością 200 ramek/s za pomocą kamery cyfrowej XStream XS-3, obiektyw Tamron SPAF 28-75mm f/2,8

• Obiekt badań: przenośnik wibracyjny o konstrukcji rurowej z naklejonymi znacznikami odblaskowymi reprezentującymi punkty pomiarowe. Wzbudzenie korpusu przenośnika przy pomocy falownika w zakresie 0-25Hz.

• Oprogramowanie osadzone w środowisku Matlab

1b) Znaczniki wykorzystane w wizyjnych pomiarach 2D oraz 3D

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu amplitudy drgań wyznaczonej wizyjnie porównano jej maksymalne wartości i wartości w stanie ustalonym z wynikami pomiaru akcelerometrem (rys.4.). Przykładowo wizyjna maksymalna wartość (peak-to-peak) przyspieszenia wyniosła 11.614 mm/s², zaś maksymalna wartość przyspieszenia zmierzona akcelerometrem 12.032 mm/s², co stanowi ok. 3.5% błędu. Na różnice w otrzymanych ilościowych wynikach wpłynęły błędy związane z różniczkowaniem numerycznym oraz sposobem montażu i okablowania akcelerometru. Dokładność metod wizyjnych została zweryfikowana i potwierdzona w innych pracach badawczych [6],[7][8].

8 10 12 14 16 18 20

-6 -4 -2 0 2 4 6

Czas [sek]

Prz ys pie sz enie m[ m/sek2] - oś Y

Przyspieszenie - pomiar akcelerometrem

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-6 -4 -2 0 2 4 6

Czas [sek]

Prz ys pie sz enie m[ m/s ek 2] - o ś Y

Przyspieszenie - pomiar wizyjny

a) sygnał z akcelerometru b) sygnał wizyjny

Rys. 4. Wartości składowej pionowej przyspiesza wzdłuż osi y uzyskanych z akcelerometru oraz z systemu wizyjnego po dwukrotnym zróżniczkowaniu sygnału

przemieszczenia

Płaski wzorzec wykorzystany do

analizy obrazu

Płaski wzorzec wykorzystany do wyznaczenia macierzy

homografii Akcelerometr

y x

z

Rys.5. Porównanie amplitud drgań korpusu maszyny obliczonych wizyjnymi metodami pomiarowymi:

a) metoda dwuwymiarowa oparta na analizie obrazu

b) metoda trójwymiarowa oparta na płaszczyznowej macierzy homografii WNIOSKI

Jedną z możliwości ograniczenia negatywnego oddziaływania maszyn wibracyjnych na otoczenie jest zastosowanie różnego rodzaju układów sterowania, a nawet rozwiązań zaliczanych do grupy mechatronicznych czy inteligentnych. W wielu wypadkach stosowane tam algorytmy wymagają bieżących pomiarów amplitud drgań. Ponadto zmiany parametrów dynamicznych maszyny wibracyjnej świadczyć mogą o wystąpieniu uszkodzenia powodującego w konsekwencji wzrost szkodliwego oddziaływania na otoczenie. Z tego względu istotne jest monitorowanie zmian parametrów dynamicznych. Niniejsza praca dotyczy próby wykorzystania metod wizyjnych do pomiaru amplitud drgań korpusu maszyny wibracyjnej

-0 .6 -0.4 -0.2 0 0.2 0 .4 0 .6

-0 .6 -0 .4 -0 .2 0 0.2 0.4 0.6

Ax [m m ] Ay [

mm]

Tra je kto ria 2 D ruchu środka masy

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Czas [sek]

Waośćrt prz meszczenieia m[ m ]

Amplituda drgań 2D - osie X,Y

Składowa drgań w osi X Składowa drgań w osi Y

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Składowe 3D wektora ruchu (R,T) w układzie GLOBANYM

Czas [sek]

mA plit ud a m[ m ]

Składowa drgań w osi X Składowa drgań w osi Y Składowa drgań w osi Z

-0.5 0 0.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -0.6

-0.4 -0.2 0

Ay [mm]

Trajektoria 3D ruchu środka masy

Ax [mm]

Az [ m m]

a) składowe amplitudy drgań wzdłuż osi x,y oraz trajektoria ruchu środka masy

b) składowe amplitudy drgań wzdłuż osi x,y,z oraz trójwymiarowa trajektoria ruchu środka masy

pracującej. Uzyskane wyniki mogą znaleźć zastosowanie w realizacji układów sterowania, eliminując potrzebę stosowania kosztownych i uciążliwych w instalacji i obsłudze klasycznych akcelerometrów wraz systemem okablowania i przetwarzania sygnałów.

Przeprowadzone badania z jednej strony pod względem jakościowym i ilościowym potwierdziły dokładności pomiarowe obydwu dwu- oraz trójwymiarowych technik wizyjnych ze wskazaniem korzyści metody opartej na geometrii epipolarnej, otrzymano bowiem składową drgań wzdłuż trzeciej osi, z . Natomiast z drugiej strony wskazały na różnice między pomiarami klasycznymi a wizyjnymi.

Dla wybranych punktów pomiarowych konstrukcji opracowane 2D/3D algorytmy systemu wizyjnego umożliwiają wyznaczenie: (2D/3D) przemieszczenia, prędkości, przyspieszenia;

(2D/3D) Trajektorii ruchu środka masy; (2D/3D) Rekonstrukcji obiektu; (3D) Macierzy orientacji

LITERATURA

1. Giergiel M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu maszyn wibracyjnych. Kraków:

IGSMIE, 2002.

2. Hartley, ZissermanA.: Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge Univ. Press 2004 3. Image Processing Toolbox for use with MATLAB. The MathWorks Inc. ,2002

4. Jahne B.: Digital image processing: concepts, alghorithms, and scientific application. Berlin : Springer-Verlag, 1995

5. Klette R., Zamperoni P: Handbook of image processing operators. NY: JWiley&Sons Ltd., 1996.

6. Kohut P, Uhl T.: The rapid prototyping of the visual servoing on Matlab/Simulink/dSPACE environment. Proc. of the 7^th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics. Międzyzdroje 2001, s. 672-677.

7. Kohut P., Kurowski P.: Zastosowanie systemu wizyjnego do detekcji i lokalizacji uszkodzeń.

„Diagnostyka” 2005, nr 35, s. 71-76.

8. Kohut P., Kurowski P.: The integration of vision system and modal analysis for SHM application.

W: Conference&Exposition on Structural Dynamics, IMAC XXIV, St. Louis, 2006

9. Kohut P, Holak K., Uhl T.: Diagnozowanie konstrukcji z zastosowaniem korelacji obrazu.

„Diagnostyka” 2007, nr 3 s.15–24.

10. Lucas B. D., Kanade T.: An iterative image registration technique with an application to stereo vision. W: International Joint Conference on Artificial Intelligence 1981, s. 674-679.

11. Ma Y., Soatto S., Kostecka J., Sastry S.: An invitation to 3D Vision. New York: Springer-Verlag, 2004

12. Tadeusiewicz R.: Systemy wizyjne robotów przemysłowych. Warszawa: WNT, 1992 13. Trucco E., Verri A.: Introductory techniques for 3D computer vision. Prentice-Hall, 1998 14. www.idtvision.com.

15. www.vision.caltech.edu/bouguetj

OPTICAL MEASUREMENT OF VIBRATION OF VIBRATORY MACHINE

Summary. In the paper the application of 2D and 3D vision techniques for amplitude vibration measurements of vibratory machine working under operating conditions was presented. For this purpose method and algorithms were developed of image analysis and discrete epipolar geometry with the usage of one camera.

They were implemented in programming environment – MATLAB and tested on experimental set-up.