MODELOWANIE ORAZ BADANIA
DOŚWIADCZALNE ODDZIAŁYWANIA
DRGAŃ NORMALNYCH NA SIŁĘ TARCIA W RUCHU ŚLIZGOWYM
Mariusz Leus
1a, Paweł Gutowski
1b, Marta Abrahamowicz
1c1Katedra Mechaniki i PKM, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
amariusz.leus@zut.edu.pl, bpawel.gutowski@zut.edu.pl, cmarta.abrahamowicz@zut.edu.pl
Streszczenie
W pracy przedstawiono wyniki analiz symulacyjnych i badań doświadczalnych wpływu drgań normalnych do płaszczyzny poślizgu na siłę tarcia w ruchu ślizgowym. Do przeprowadzenia analiz symulacyjnych opracowano, w środowisku Matlab/Simulink, oryginalny model obliczeniowy bazujący na dynamicznych równaniach ruchu prze- suwanego ciała. Do opisu siły tarcia wykorzystano dynamiczny model tarcia Dahla. Badania doświadczalne prze- prowadzono na specjalnie w tym celu zaprojektowanym stanowisku badawczym. Uzyskano bardzo dobrą zgodność wyników analiz symulacyjnych i badań doświadczalnych.
Słowa kluczowe: modelowanie, siła tarcia, drgania normalne
MODELLING AND EXPERIMENTAL TESTS
OF THE INFLUENCE OF NORMAL VIBRATIONS ON FRICTION FORCE IN SLIDING MOTION
Summary
In the paper the results of simulation and experimental tests of the influence of normal, to the plane of motion, vibrations on friction force in sliding motion have been presented. For simulation analyses, on the base of dynamic equation of motion of shifted body, the original computational model was elaborated. This model was implemen- ted in Matlab/Simulink environment. For friction force description in this model, the Dahl’s dynamic friction model was used. Experimental tests were carried out on an especially for this purpose designed test stand. A very good agreement of simulation and experimental tests results was achieved.
Keywords: modelling, friction force, normal vibrations
1. WSTĘP
Fakt, że siła niezbędna do wprawienia ciała w ruch ślizgowy i utrzymania tego ruchu może być w znaczący sposób zmniejszona poprzez wprowadzenie podłoża lub przesuwanego ciała w ruch drgający, jest przez człowie- ka znany i wykorzystywany od wielu lat. Mechanizm tego zjawiska jest złożony i jeszcze nie w pełni poznany i opisany. Prowadzone analizy teoretyczne wykazują, że inne czynniki wywołują redukcję siły tarcia przy drga- niach stycznych, a inne przy drganiach normalnych do płaszczyzny poślizgu. Przy drganiach stycznych inne
czynniki decydują o poziomie tej redukcji w przypadku, gdy są to drgania wzdłużne, czyli zgodne z kierunkiem poślizgu, a inne, gdy są to drgania poprzeczne – prosto- padłe do tego kierunku.
W odniesieniu do drgań normalnych przyjęty jest pogląd [1, 2], że redukcja siły tarcia pod ich wpływem jest następstwem chwilowego zmniejszania się nacisków normalnych w obszarze styku ślizgających się po- wierzchni, powodowanego drganiami. W dostępnej literaturze przedstawione są obszerne wyniki analiz
modelowych i badań doświadczalnych poświęconych temu zjawisku. Istnieją jednak między nimi znaczne rozbieżności. Często są one nie tylko ilościowe, ale również i jakościowe [1–8]. Różnice między wynikami analiz modelowych i badań doświadczalnych można dość łatwo wytłumaczyć niedokładnością przyjmowanych modeli obliczeniowych, a w szczególności faktem przyj- mowania w tych modelach prostych, tzw. statycznych modeli tarcia bazujących na modelu Coulomba i nie- uwzględniających żadnej, ani sprężystej, ani sprężysto- plastycznej podatności strefy styku przemieszczających się względem siebie ciał. Trudno jest natomiast wyjaśnić jakościowe różnice wyników badań doświadczalnych, występujące między wynikami prac różnych autorów badających w podobnych warunkach wpływ tego samego czynnika na poziom siły tarcia w ruchu ślizgowym w obecności drgań.
W niniejszej pracy przedstawiony został oryginalny model obliczeniowy do analizy wpływu drgań normal- nych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym, bazujący na dynamicznych równaniach ruchu przesuwanego ciała.
Przyjęto w nim nieliniową zależność odkształcenia styku w kierunku normalnym od obciążenia. Do opisu siły tarcia wykorzystano dynamiczny model tarcia Dahla [9], dzięki czemu można było w prowadzonych analizach uwzględnić także podatność styku w kierunku stycznym.
Opracowany model został zaimplementowany w środo- wisku Matlab/Simulink. Przy jego wykorzystaniu prze- prowadzone zostały analizy symulacyjne zmian siły tarcia pod wpływem drgań normalnych. W prowadzo- nych analizach przyjęto, że miarą średniej siły tarcia w kierunku poślizgu, w czasie jednego okresu drgań, jest wartość siły napędu niezbędnej do utrzymania ruchu
ślizgowego. Wyniki analiz porównano z wynikami badań doświadczalnych przeprowadzonych na oryginalnym stanowisku badawczym, na którym zmianę nacisków normalnych na powierzchni styku przesuwanego ciała i podłoża uzyskiwano, wykorzystując zmienną siłę bez- władności dodatkowej masy, wprawianej w ruch drgają- cy za pomocą wzbudnika piezoelektrycznego umieszczo- nego między tą masą a przesuwanym ciałem. Uzyskano bardzo dobrą zgodność tych wyników
.
2. MODEL OBLICZENIOWY
W opracowanym modelu, którego szkic ideowy przedstawiony jest na rys. 1, rzeczywisty styk przesuwa- nego ciała z podłożem, po którym odbywa się ruch ślizgowy, modelowany jest za pomocą elementu spręży- sto-tłumiącego o różnej sztywności i różnym tłumieniu w kierunku stycznym i normalnym do powierzchni pośli- zgu. Przyjęto przy tym założenie upraszczające, że w płaszczyźnie stycznej do powierzchni poślizgu właściwo- ści sprężysto-dyssypacyjne styku nie zależą od kierunku.
Rozkład sił działających na przesuwane wzdłuż osi 0x i wprawiane w ruch drgający, w kierunku osi 0z prostopa- dłej do płaszczyzny poślizgu, ciało, pokazany jest na rys. 1c.
Występujące w modelu współczynniki sztywności styku kn i kτ, w kierunkach normalnym i stycznym do płaszczyzny poślizgu, wyznacza się na podstawie do- świadczalnie wyznaczonych charakterystyk podatnościo- wych styku (rys. 2). Należy przy tym podkreślić, że współczynnik kτ jest dla danej pary ciernej nieliniową funkcją nacisków normalnych pn [10].
Rys. 1. Rzeczywisty styk i jego model
Rys. 2. Charakterystyki podatnościowe styku przyjęte w opracowanym modelu; a) kierunek normalny, b) kierunek styczny
Układ napędu modelowany jest jednym, liniowym, elementem sprężysto-tłumiącym o sztywności kd i tłu- mieniu hd. Dynamiczne równanie ruchu przesuwanego ciała, w postaci wektorowej, ma postać:
∙ = ௗ+௭++ே+ி (1) gdzie: – przyspieszenie przesuwanego ciała, ௗ – siła napędu, ௭ – siła wymuszająca drgania, – siła ciężko- ści, ே – reakcja normalna podłoża, ி – siła tarcia.
Stąd otrzymuje się skalarowe równania ruchu wzdłuż osi 0x i 0z w postaci:
∙ = ௗ−ி (2)
∙ = ே−௭− (3) Siłę napędu można opisać zależnością:
ௗ= ௗ∙ ௗ∙ − (4) gdzie: kd – sztywność napędu, vd – prędkość napędu.
Siłę ே, reakcji podłoża w kierunku normalnym, można rozłożyć na dwie składowe: sprężystą ே i dyssypacyjną ே :
ே=ே+ே (5) Składowa ே związana jest z odkształceniem sprę- żystym zs styku, w kierunku normalnym do płaszczyzny poślizgu, nieliniową zależnością o postaci:
ே= ∙ ∙௦
ೖ
(6)
gdzie: A – pole powierzchni styku przesuwanego ciała i podłoża, ck i mk – stałe wyznaczane na podstawie cha- rakterystyk podatnościowych styku w kierunku normal- nym. Ich związek ze stałymi c i m, występującymi w najczęściej stosowanym [11, 12] do opisu podatności normalnej styku i podanym na rys. 2 równaniu
௦= ∙ , jest następujący:
=ିଵ/ i = ଵ
(7)
Składowa dyssypacyjna związana jest zarówno z od- kształceniem sprężystym zs styku, jak i z szybkością jego następowania ௦=௦/ . Jej wartość wyznaczyć można z zależności [13]:
ே = ∙ ℎ∙௦∙௦ (8) gdzie: hn – współczynnik tłumienia styku w kierunku normalnym, l – stała wyznaczana w sposób doświadczal- ny [13].
Postać równania opisującego siłę tarcia zależy od przyjętego modelu tarcia. W opracowanym modelu obliczeniowym przyjęto dynamiczny model tarcia Dahla [9]. Stąd też przyjęto, że siła tarcia jest funkcją od- kształcenia sprężystego s styku w kierunku stycznym i opisuje ją równanie:
ி= ఛ∙ (9)
gdzie: kτ – współczynnik sztywności styku w kierunku stycznym; przy czym kτ = f(pn).
Szybkość zmian odkształcenia sprężystego styku ds/dt, w kierunku stycznym, w modelu Dahla, jest funkcją sztywności styku w tym kierunku (kτ), prędkości względnej (vr) przesuwanego ciała i podłoża oraz obcią- żenia (FN) styku w kierunku normalnym. Odpowiednia, analityczna, zależność ma postać:
ௗ௦ௗ௧= ∙1 −ఓ∙ிഓ∙௦
ಿ
∙ sgn ఈ (10) gdzie: µ – współczynnik tarcia statycznego, α – para- metr.
Zależności (1) – (10) stanowiły podstawę opracowa- nego w środowisku Matlab/Simulink modelu obliczenio- wego, który wykorzystano do analizy wpływu drgań normalnych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym.
3. ANALIZY SYMULACYJNE
Celem badań symulacyjnych było zbadanie możliwo- ści wykorzystania drgań normalnych do płaszczyzny poślizgu do sterowania siłą tarcia w ruchu ślizgowym. W badaniach wykorzystano opisany wyżej model oblicze- niowy. Analizy przeprowadzono w dwóch wariantach obliczeniowych, w ograniczonym, wybranym powyżej częstotliwości rezonansowej przesuwanego układu, zakresie częstotliwości f = 2000 ÷ 4000 Hz. W wariancie pierwszym, przy ustalonej częstotliwości drgań i zadanej stałej prędkości napędu, prowadzano analizy wpływu amplitudy siły wymuszającej drgania na wielkość siły napędu niezbędnej do utrzymania ruchu ślizgowego. W wariancie drugim natomiast, przy ustalonej częstotliwo- ści i amplitudzie drgań, prowadzono analizy wpływu prędkości napędu na wielkość redukcji siły napędu. W prowadzonych analizach przyjęto, że siła wymuszająca drgania zmienia się według zależności:
௭ =௭ ∙ sin ∙ (11) gdzie: ω = 2πf, F0z – amplituda siły wymuszającej.
Na rys. 3 przedstawiono, w formie wykresów zbior- czych, wyniki analiz dla wariantu pierwszego, przy częstotliwości drgań f = 2000 Hz, przy pięciu prędko- ściach napędu vd równych: 0.1, 0.3, 0.5, 1.0 i 2.0 mm/s, zaś na rys. 4 zbiorcze wyniki dla wariantu drugiego, przy tej samej częstotliwości drgań, przy pięciu amplitudach F0z siły wymuszającej równych: 4, 6, 8, 10 i 12 N. W obliczeniach przyjęto następujące dane: masa przesuwa- nego ciała m0 = 0.67 kg, średnie naciski powierzchniowe w obszarze styku ślizgających się powierzchni pn = 0.0164 N/mm2. Wartości stałych c i m – z równań (7) – przyjęto na podstawie danych zawartych w pracy [10] dla styku stal/stal o parametrach chropowatości powierzchni Ra/Ra takich samych, jak w badanej parze ciernej (1.10/0.92 µm/µm). Przyjęto następujące warto-
ści tych współczynników: c = 0.32, m = 0.65. Przyjęto współczynnik tarcia µ = 0.17 i sztywność napędu kd = 0.92 N/µm. Wartości współczynnika sztywności kontaktowej stycznej kτ obszaru styku przesuwanego ciała i podłoża były korygowane na bieżąco w trakcie obliczeń, na podstawie krzywych kτ= f(pn) wyznaczo- nych doświadczalnie i opisanych w pracy [14]. Tłumienie styku i tłumienie napędu pominięto (przyjęto, że hn = 0 i hd = 0).
Rys. 3. Wpływ amplitudy siły wymuszającej drgania na siłę napędu w ruchu ślizgowym przy różnych prędkościach napędu
Rys. 4. Wpływ prędkości napędu na poziom redukcji siły napędu przy różnych amplitudach siły wymuszającej Z przedstawionych wyników analiz modelowych wy- nika, że wprowadzenie przesuwanego ciała w drgania, w kierunku prostopadłym do płaszczyzny poślizgu, zmniej- sza wartość siły napędu niezbędnej do utrzymania ruchu. Redukcja siły napędu jest proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej drgania i odwrotnie pro- porcjonalna do prędkości poślizgu.
Należy jednak podkreślić, że siła ே oddziaływania przesuwanego ciała na podłoże w kierunku normalnym do płaszczyzny poślizgu jest nieliniową funkcją odkształ- cenia styku w tym kierunku i zależy od parametrów c i m styku, które są funkcją chropowatości powierzchni tworzących styk. Stąd też precyzyjne wyznaczenie wartości tej siły, a co się z tym wiąże, wartości siły tarcia ி, która zgodnie z zależnością (10) jest funkcją
siły ே, wymaga znajomości chropowatości ślizgających się po sobie powierzchni. Przyjęcie błędnych wartości stałych c i m wpływa, w opracowanym modelu, w istotny sposób na dokładność oszacowania poziomu redukcji siły tarcia pod wpływem drgań normalnych.
Problem ten zilustrowano na rys. 5. Przedstawiono na nim przebiegi siły napędu (średniej siły tarcia) w ruchu ślizgowym, przyjmując dwa warianty chropowato- ści stykających się powierzchni. W wariancie pierwszym (linia ciągła) przyjęto, że parametry Ra stykających się powierzchni wynoszą Ra/Ra = 0.37/0.33 µm/µm, czemu odpowiadały doświadczalnie wyznaczone wartości współ- czynników c i m równe odpowiednio 0.24 i 0.63 [10]. W wariancie drugim (linia przerywana) przyjęto natomiast, że chropowatość stykających się powierzchni jest gorsza – wyższa, i że stosunek Ra/Ra wynosi 1.10/0.92 µm/µm, czemu odpowiadały wartości: c = 0.32 i m = 0.65. Na rys. 5 przedstawiono wyniki obliczeń przy dwóch róż- nych prędkościach napędu równych odpowiednio:
vd1 = 0.1 mm/s i vd2 = 2.0 mm/s.
Rys. 5. Wpływ chropowatości powierzchni na siłę napędu w ruchu ślizgowym przy różnych amplitudach siły wymuszającej
dla prędkości napędu vd1 = 0.1 mm/s i vd2 = 2.0 mm/s Z rys. 5 widać, że przy gładszych powierzchniach styku wpływ drgań na poziom siły tarcia jest wyraźnie większy niż przy powierzchniach o dużej chropowatości.
4. DOŚWIADCZALNA
WERYFIKACJA WYNIKÓW ANALIZ SYMULACYJNYCH
Wyniki analiz symulacyjnych zweryfikowano, prze- prowadzając odpowiednie badania doświadczalne. Bada- nia te wykonano na oryginalnym stanowisku badawczym (rys. 6) szczegółowo opisanym w pracy [8].
Na rys. 7 przedstawiono przykładowe porównanie wyników badań doświadczalnych i analiz symulacyjnych zmiany siły napędu w funkcji amplitudy F0z siły prosto- padłej do płaszczyzny poślizgu, przy drganiach o często- tliwości f = 2000 Hz, przy trzech prędkościach napędu vd
równych odpowiednio: 0.2, 0.5 i 0.8 mm/s.
Rys. 6. Stanowisko badawcze: 1 - przesuwane ciało, 2 - podłoże, 3 - dodatkowa masa, 4 - wzbudnik drgań, 5 - czujnik siły wymuszającej, 6 - czujnik siły napędu,
7, 8 - czujniki przyspieszeń
Z przedstawionego porównania widać dobrą zgodność wyników analiz symulacyjnych i badań doświadczalnych.
Jako miarę dobroci dopasowania modelu do wyników badań doświadczalnych przyjęto wartość odchylenia średniokwadratowego współrzędnych punktów wyzna- czonych doświadczalnie (yd) względem punktów wygene- rowanych na podstawie opracowanego modelu (ym).
Wartość tę wyznaczano z zależności:
= ଵ∙ ௗ− ଶ
ୀଵ
(12)
gdzie: n – liczba punktów pomiarowych.
Najmniejszą wartość odchylenia średniokwadratowe- go, świadczącą o najlepszym dopasowaniu modelu do obiektu, uzyskano przy prędkości vd2 = 0.5 mm/s. Wy- nosiła ona σ = 0.060. Przy prędkości vd1 = 0.2 mm/s uzyskano σ = 0.106, zaś przy vd3 = 0.8 mm/s odchylenie średniokwadratowe wyniosło σ = 0.067.
Rys. 7. Porównanie wyników analiz symulacyjnych i badań doświadczalnych wpływu drgań normalnych na siłę napędu przy różnych prędkościach napędu; a) vd1 = 0.2 mm/s,
b) vd2 = 0.5 mm/s, c) vd3 = 0.8 mm/s
Mimo uzyskanej dobrej zgodności modelu z obiektem należy w dalszych badaniach wyjaśnić problem wyraźnie gorszego dopasowania wyników badań modelowych do doświadczalnych przy dużych amplitudach siły wymu- szającej drgania (powyżej 10 N) i małych prędkościach ruchu ślizgowego (vd1 = 0.2 mm/s) – rys. 7a.
5. PODSUMOWANIE
Przeprowadzone analizy symulacyjne i badania do- świadczalne wykazały, że w przypadku ruchu ślizgowego siła napędu niezbędna do utrzymania tego ruchu może być w istotny sposób obniżona poprzez wprawienie przesuwanego ciała w drgania prostopadłe do płaszczy-
zny przesuwu. Poziom redukcji tej siły zależy od ampli- tudy drgań i wzrasta przy zmniejszaniu prędkości prze- suwu.
Dobra zgodność wyników analiz symulacyjnych z wynikami badań doświadczalnych świadczy o popraw- ności opracowanego modelu i możliwości jego wykorzy- stania do sterowania siłą tarcia w ruchu ślizgowym.
Praca została w dużej części zrealizowana w ramach projektu badawczego własnego nr N N501 212340, finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki w Krakowie.
Literatura
1. Hess D.P., Soom A.: Normal vibration and friction under harmonic loads. Part I: Hertzian contacts. “Journal of Tribology” 1991, Vol. 113, p. 80 - 86.
2. Tolstoi D.M., Borisova G.A., Grigorova S.R.: Friction regulation by perpendicular oscillation.”Soviet Physics – Doklady” 1973, 17(9), s. 907 - 909.
3. Pohlman R., Lehfeld E.: Influence of ultrasonic vibration on metallic friction.”Ultrasonics” 1966, Vol. 4, p. 178 - 185.
4. Godfrey D.: Vibration reduces metal to metal contact and causes an apparent reduction in friction. “ASLE Transactions” 1967, Vol. 10, p. 183 - 192.
5. Budanov B.V., Kudinov V.A., Tolstoi D.M.: Interaction of friction and vibration. “Soviet Journal of Friction and Wear” 1980, Vol. 1, p. 79 – 89.
6. Popov V.L., Stracevic J., Filippov A.E.: Influence of ultrasonic in plane oscillations on static and sliding friction and intrinsic length scale on dry friction processes. “Tribology Letters” 2010, Vol. 39, p. 25 - 30.
7. Chovdhury M.A., Helali M.M.: The effect of frequency of vibration and humidity on the coefficient of friction.
“Tribology International” 2006, Vol. 39, p. 958 - 962.
8. Leus M., Gutowski P.: Teoretyczna i doświadczalna analiza wpływu drgań normalnych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym. „Tribologia” 2014, nr 1, (253), s. 53 - 62.
9. Dahl P.R.: Solid friction model. Technical Report TOR-0158H3107- 181-1. The Aerospace Corporation. El Segundo, CA, 1968.
10. Grudziński K., Konowalski K., Gutowski P.: Doświadczalne badania podatności normalnej i stycznej styków i matematyczne opracowanie wyników pomiarów. Sprawozdanie z pracy n-b. pt.: Badanie zjawisk kontaktowych w połączeniach prowadnicowych zespołów obrabiarkowych. Etap V, 1980, Zleceniodawca IPPT PAN Warszawa, s. 2–82. Politechnika Szczecińska, Instytut Budowy Maszyn, nr 24-055/2-1-2-23. Praca niepublikowana.
11. Burdekin M., Back N., Cowley A.: Experimental study of normal and shear characteristics of machined surfaces in contact. “J. Mech. Eng. Sci.” 1978, Vol. 20(3), p. 129 - 132.
12. Back N., Burdekin M., Cowley A.: Analysis of machine tool joints by the Finite Element Method. In: Proc. of Int. Mach. Tool Des. Res. Manchester–London-Basingstoke, 1973, p. 529 - 536.
13. Martins A.C., Oden J.T., Simeos M.S.: Recent advances in engineering science. A study of static and kinetic friction. “Int. J. Eng. Sci.” 1990, p. 29 - 92.
14. Leus M., Gutowski P.: Analiza doświadczalna sztywności kontaktowej stycznej płaskich połączeń stykowych.
„Modelowanie Inżynierskie” 2009, nr 37, t. 6, s. 185 - 192.
