Rozwijanie funkcji w szereg w bazie ortogonalnej

Rozwijanie funkcji w szereg w bazie ortogonalnej

zadania na kolokwium

Zad. 1. Funkcję f (x) = x² rozwiń jako funkcję 2π-okresową 1. w szereg sinusów,

2. w szereg cosinusów, 3. na przedziale [0, 2π].

4. Posługując się tymi rozwinięciami wyznacz sumy szeregów

∞

X

n=1

1 n²,

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n² ,

∞

X

n=1

1 (2n − 1)².

5. Sprawdź tempo zbieżności do zera współczynników c_n we wszystkich trzech przypad- kach.

6. We wszystkich trzech przypadkach sprawdź zbieżność punktową w punkcie x = π i x = 0.

Zad. 2. Funkcję f (x) = x^π₂ − x^ zdefiniowaną na przedziale^0,^π₂^ rozwiń 1. w szereg sinusów,

2. w szereg cosinusów.

3. Czy oba te szeregi można różniczkować wyraz po wyrazie? Rozwiń f⁰(x) w szereg sinusów i w szereg cosinusów.

Zad. 3. Rozwinąć w szereg cosinusów funkcję f (x) = sin ax dla 0 ¬ x ¬ π, gdzie a nie jest liczbą całkowitą. Co otrzymamy, gdy a będzie całkowite?

Zad. 4. Rozwinąć w szereg cosinusów funkcję zadaną wzorem

f (x) =







1, dla 0 ¬ x ¬ h, 0, dla h < x ¬ π.

Zad. 5. Rozwinąć w szereg cosinusów funkcję

f (x) =







1 −_2h^x , dla 0 ¬ x ¬ 2h, 0, dla 2h < x ¬ π.

Zad. 6. Rozwinąć w szereg sinusów funkcję

f (x) =







sin^πx_l , dla 0 ¬ x ¬ ₂^l, 0, dla ₂^l < x ¬ l.

Zad. 7. Rozwinąć w szereg sinusów funkcję

f (x) =







sin^πx_l , dla 0 ¬ x ¬ ₂^l,

− sin^πx_l , dla ₂^l < x ¬ l.