Rozwijanie funkcji w szereg w bazie ortogonalnej
zadania na ćwiczenia
Zad. 1. Rozwiń w szereg Fouriera funkcję zdefiniowaną na odcinku [0, a) wzorem f (x) = xa przedłużając ją w sposób okresowy z okresem długości a, a następnie z okresem 2a tak, aby raz była parzysta, a raz nieparzysta.
1. Sprawdź tempo zbieżności do zera współczynników cn. 2. Zapisz tożsamość Parsevala dla tych trzech przypadków.
3. Zbadaj zbieżność punktową we wszystkich trzech przypadkach dla t = a2 oraz t = a.
Zad. 2. Niech f będzie funkcją zdefiniowaną na [0, 1] wzorem f (x) = x(1 − x).
1. Rozważmy rozwinięcie tej funkcji w szereg sinusów. Narysuj wykres funkcji okre- sowej g, która jest rozszerzeniem f na R. Czy rozwinięcie w szereg sinusów jest jednostajnie zbieżne? Czy można ten szereg różniczkować wyraz po wyrazie?
2. Wyznacz współczynniki tego rozwinięcia.
3. Wyprowadź równość
∞
X
n=0
(−1)n
(2n + 1)3 = π3 32. 4. Oblicz R01f (x) i udowodnij, że
∞
X
n=0
1
(2n + 1)4 = π4 96. 5. Rozwiń w szereg cosinusów
f0(x) = 1 − 2x (x ∈ [0, 1]) oraz
f00(x) = −2 (x ∈ (0, 1)).
6. Udowodnij, że
∞
X
n=0
1
(2n + 1)2 = π2 8 i
∞
X
n=0
(−1)n 2n + 1 = π
4.
7. Wykonaj wszystkie poprzednie polecenia dla rozwinięcia f w szereg cosinusów.
