De bepaling van de coëfficiënten van een mathematisch model voor Kempf zig-zag proeven

Rapport No. 182.

LABORATORIUM VOOR

SCHEEPSBOUWKUNDE

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT

r " i

DE BEPALING VAN DE COËFFICIËNTEN VAN EEN MATHEMATISCH MODEL VOOR KEMPF ZIG-ZAGPROEVEN.

LTZ SD 3 KMR I r . J.T.H. K o e l i n k .

L J

De b e p a l i n g van de coëfficiënten van een m a t h e m a t i s c h model v o o r Kempf z i g - z a g p r o e v e n .

I r J.T.H. K o e l i n k .

I n l e i d i n g .

Het i s t e g e n w o o r d i g algemeen g e b r u i k e l i j k de r e l a t i e t u s s e n r o e r h o e k en k o e r s h o e k s n e l h e i d van een s c h i p t i j d e n s een Kempf z i g - z a g p r o e f t e be-s c h r i j v e n door een l i n e a i r e e e r be-s t e o r d e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g . Voor de b e r e k e n i n g van de coëfficiënten K en T z i j n v e r s c h i l l e n d e v o o r -s t e l l e n gedaan. De mee-st g e b r u i k e l i j k e methode i -s d i e van Nomoto ( 1 ) . Het v e r l o o p van de k o e r s w o r d t gegeven door de v o l g e n d e d i f f e r e n t i a a l -v e r g e l i j k i n g :

Nomoto b e p a a l t u i t de r e g i s t r a t i e 4 r a n d c o n d i t i e s v o o r h e t t i j d s i n t e r v a l t j — t ^ . N a m e l i j k i | j ( t j ) V (t ^)

H i e r d o o r i s de waarde van K en T volkomen b e p a a l d . De waarden van K en T d i e de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g aan deze 4 r a n d v o o r w a a r d e n l a t e n v o l d o e n z i j n n i e t eenvoudig a n a l y t i s c h op t e l o s s e n . Een b e n a d e r i n g s o p l o s s i n g van K en T kan gevonden worden door de v e r g e l i j k i n g t e i n t e g r e r e n en daarna v o o r 2 v e r s c h i l l e n d e t i j d s i n t e r v a l l e n de r a n d v o o r w a a r d e n t e s u b s t i t u e r e n . U i t de 2 v e r g e l i j k i n g e n kunnen K en T o p g e l o s t worden. Deze b e r e k e n i n g kan meer k e r e n u i t g e v o e r d worden. Met de methode van de k l e i n s t e k w a d r a t e n kan een gemiddelde K en T u i t g e r e k e n d worden.

N o r r b i n ( 2 ) beschouwt a l l e e n de grondharmonische van i n g a n g s i g n a a l ( r o e r ) en r e s p o n s i e ( k o e r s ) . D i t w o r d t g e m o t i v e e r d met de f i l t e r w e r k i n g van h e t s c h i p . U i t de f a s e d r a a i i n g en v e r s t e r k i n g worden T en K b e p a a l d . V e r g e l i j k i n g van z i j n r e s u l t a t e n met b e r e k e n i n g e n v o l g e n s de methode van Nomoto g e e f t een goede overeenkomst t e z i e n .

I n de b e t r e f f e n d e p u b l i c a t i e i s n a g e l a t e n de vjaarde van oo aan t e v e n , zodat n i e t nagegaan kan worden o f de v e r g e l e k e n v o o r b e e l d e n ook gekozen z i j n i n h e t f r e q u e n t i e g e b i e d beneden de a f s n i j f r e q u e n t i e . Ter i n -l e i d i n g v a n de v e r d e r i n h e t v e r s -l a g o n t w i k k e -l d e gedachtengang w o r d t de-ze methode i n h o o f d s t u k 2 k o r t b e h a n d e l d .

-2-Van Leeuwen - Journée c a t a l o g i s e r e n de markante gegevens van op een d i g i t a l e rekenmachine g e s i m u l e e r d e z i g - z a g p r o e v e n v o o r a l l e m o g e l i j k e waarden van r o e r h o e k , K en T.

U i t deze v e r z a m e l i n g gegevens kan v o o r e l k e Kempf-proef de K en T waarde d i e h e t b e s t e b i j de gemeten markante p u n t e n p a s t , opgezocht wor-den .

I n d i t v e r s l a g worden, met b e h u l p van e n k e l e v e r w a a r l o z i n g e n , een-v o u d i g e b e t r e k k i n g e n a f g e l e i d t u s s e n de markante p u n t e n en de K en T waarde van h e t m a t h e m a t i s c h model.

Door v e r g e l i j k e n met de c o m p u t e r s i m u l a t i e i s nagegaan wat de nauw-k e u r i g h e i d van de a l d u s bepaalde K en T i s .

-3-3

B e p a l i n g K en T waarden u i t de z i g - z a g p r o e f .

2. Beschouw systeem met l i n e a i r e o v e r d r a c h t s f u n c t i e .

K H(s) = (l-i-Ts)s K i (l-i-Ts)s met s - L a p l a c e o p e r a t o r K - s t a t i s c h e v e r s t e r k i n g T - t i j d c o n s t a n t e f ^ - i n g a n g s s i n g n a a l f ^ - u i t g a n g s s i g n a a l .

2 . I . Neem v o o r l o p i g aan dat het i n g a n g s s i g n a a l f ^ een s y m m e t r i s c h t r a p e z i u m -v o r m i g s i g n a a l i s .

6 - u i t s l a g r o e r 0) - r a d i a a l f r e q u e n t i e t - t i j d

t ^ - t i j d n o d i g v o o r bewegen r o e r midscheeps - max. u i t s l a g .

F i g , F o u r i e r r e e k s o n t w i k k e l i n g g e e f t : 46 1 TTt ^'JJ s i n t 0) s i n S t ÜJ r . r . t: . s m u t + SLn3üjt I s i n 5 t ÜJ + — • — - — s i n 5 w t +

-4-2. 1 . 1 . I n d i e n t^w k l e i n , dan s i n ( t _ ^ w ) % t ^ o i . B i j b e n a d e r i n g g e l d t dan: A m p l i t u d e 3 harmonische 1 / 3 ampl. 1° harmonische

5° " ^ 1/ 5 2. 1. 2 . Voor de o v e r d r a c h t v a n h e t l i n e a i r e systeem g e l d t : I f H( j L o ) u f . [ / . 2J1' (jü/l+üj T

A l s de a m p l i t u d e v e r h o u d i n g van de g r o n d h a r m o n i s c h e genoemd w o r d t , dan

g e l d t : 3° h a r m o n i s c h e : ( s u b s t i t u t i e oj=3uj ) . üjT<<l ^ | H | = l /3 [üT>>l ^ | H | = l /9 Hj 5° h a r m o n i s c h e : ( s u b s t i t u t i e w=5Wj) Ü J T < < 1 ^ | H | = 1 /5 Hj wT>>I ^ | H | = 1/25H^ e t c . 2. 1. 3 . I n v e r b a n d met h e t i n g a n g s s i g n a a l en de o v e r d r a c h t s f u n c t i e z a l i n het u i t g a n g s s i g n a a l aanwezig z i j n : de g r o n d h a r m o n i s c h e f ^ ^ -.O h a r m o n i s c h e f u 3 \'u3 1 f u l l K3 f u l i h a r m o n i s c h e K5 1 1 f u l l 1 1 "^25 ' f u l l e t c .

5

2. 1. 4 . Omdat de a m p l i t u d e n v a n de hogere harmonischen k l e i n zijn t e n op-z i c h t e van de a m p l i t u d e van de 1 ° h a r m o n i s c h e , w o r d t h e t u i t g a n g s s i g n a a l benaderd d o o r de g r o n d h a r m o n i s c h e a l l e e n . D i t s i g n a a l o n t s t a a t u i t de g r o n d h a r m o n i s c h e v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l , We beschouwen daarom v e r d e r a l s i n g a n g s s i g n a a l : ^ i " ^ sin(atü)sin(üjt) ( 1 ) f 46 . , , t . = s i n ( a w ) {o\ F a s e r e l a t i e o u t p u t - i n p u t l i n e a i r e systeem: (|) =- y - arctgüjT ( 3 ) A m p l i t u d e v e r h o u d i n g o u t p u t - i n p u t l i n e a i r e systeem: -UI- • \ K i H ( j ^ o ) | = l - l = - 7 = ^ ( 4 ) 1 L ü / l + ( j J T 2. 1. 5 . Recept v o o r h e t b e p a l e n van K en T u i t r e g i s t r a t i e s . a. Bepaal g r o n d f r e q u e n t i e w en f a s e v e r s c h u i v i n g tj) u i t r e g i s t r a t i e . S u b s t i t u t i e i n v e r g e l i j k i n g ( 3 ) l e v e r t t i j d c o n s t a n t e T. b. Bepaal a m p l i t u d e g r o n d h a r m o n i s c h e u i t ( l a ) . Meet a m p l i t u d e | f ^ | u i t r e g i s t r a t i e . U i t v e r g e l i j k i n g ( 4 ) v o l g t de waarde van K. 6

-3, Z i g - z a g p r o e f beschouwd a l s de o s c i l l a t i e van een r e g e l k r i n g .

3, 1 . O n e i n d i g s n e l l e s t u u r m a c h i n e .

Het door de r o e r g a n g e r gegeven r o e r s i g n a a l i s a f h a n k e l i j k v a n de

k o e r s d e v i a t i e . B i j o n e i n d i g s n e l l e s t u u r m a c h i n e kan de f u n c t i e v a n de

r o e r g a n g e r beschreven worden door een t e r u g k o p p e l i n g v i a een r e l a i s met

h y s t e r e s e .

: ? ( 1+ T s ) s \

Deze b e w e r i n g w o r d t p l a u s i b e l gemaakt door de c o n s t r u c t i e ( f i g . 3 ) van de

o u t p u t b ( t ) v a n h e t r e l a i s a l s r e s p o n s i e op h e t s i n u s v o r m i g e i n g a n g s s i g

7

De o u t p u t van d i t r e l a i s b i j een s i n u s v o r m i g e i n p u t a ( t ) met r a d i a a l f r e q u e n t i e w , a(t)=acos(üt, kan g e s c h r e v e n worden a l s

b ( t ) = —(cosLüt - JrCos3üJt +

^cosSwt-TT J 5

.)

(5)

De a l d u s door h e t r e l a i s geïntroduceerde hogere harmonische componenten mogen v e r w a a r l o o s d worden a l s h e t l i n e a i r e systeem a l s een l a a g d o o r l a a t -f i l t e r w e r k t .

I n d a t g e v a l kan er een " o v e r d r a c h t s f u n c t i e " v o o r h e t n i e t - 1 i n e a i r e element g e d e f i n i e e r d worden d i e de r e l a t i e t u s s e n de g r o n d h a r m o n i s c h e van de o u t p u t en de s i n u s v o r m i g e i n p u t w e e r g e e f t ( b e s c h r i j v e n d e f u n c t i e ) . b(üo) = 46 •ïïa 46' ïïa ,a(üj) Anders g e s c h r e v e n : 4 6 H NL NL ( m o d u l u s r e l a t i e ) - a r c s i n ( — ) ( f a s e r e l a t i e ) a ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) I n de r e g e l k r i n g van f i g . 3 o n t s t a a t een s t a b i e l e a u t o - o s c i l l a t i e . H i e r v o o r g e l d t : ' ^ » L - V = 0 H, = K L ( 1 + T s ) s NL o v e r d r a c h t s f u n c t i e l i n e a i r e systeem o v e r d r a c h t s f u n c t i e n i e t - l i n e a i r e systeem. 3.1 A u t o - o s c i l l a t i e v o o r ÜJT>>1

Het b l i j k t d a t de i n deze p a r a g r a a f a f t e l e i d e n f o r m u l e s s t e r k beïn-v l o e d worden door de mate waarmee de hogere harmonische componenten d o o r h e t l i n e a i r e systeem u i t g e f i l t e r d worden.

Voor a)T>I i s de f i l t e r w e r k i n g v a n h e t l i n e a i r e systeem goed. ( H e l 1 ings-coëfficiënt-asymptoot a m p l i t u d e k a r a k t e r i s t i e k -2 (d.w.z. 12 d B / o c t a a f ) )

F i g . 4.

3,1.1.1. U i t ( 9 ) v o l g t dus : K 46 _ (10) (11) (12) ir , 6 - TT - arctgtoT - a r c s i n — = - TT l a (13) arctgüjT = a r c c o s ₍₁₄₎ U i t ( 1 4 ) v o l g t : a^=6^ + ( 6L Ü T ) ^ -> ^ 6 U i t ( 1 5 ) v o l g t : T l - 6 + (a)T)' (15) (16) U i t ( 1 5 ) en ( 1 2 ) v o l g t : 2 K = ( | ) 4" (17) M e t i n g van — en u u i t de g r a f i e k l e v e r t K en T op. B i j k l e i n e -| i s (16) e r g g e v o e l i g v o o r f o u t e n i n

4Een andere g r o o t h e i d d i e i n de r e g i s t r a t i e opgemeten kan worden i s de s t u t -t i j d T . Er g e l d -t : (18) tgwT (19) F i g . 5,

-9-u i t (18) en (14) v o l g t — = coswT a s S u b s t i t u t i e i n ( 1 7 ) : (20) K = ^ , ^2 (cos LüT ) s (21) M e t i n g van w en T u i t de r e g i s t r a t i e l e v e r t K en T op, s 3.1.2. Responsie v o o r ÜJT< 1 .

Beschouw r o e r s i g n a a l a l s o p e e n v o l g i n g van s t a p f u n c t i e s . Voor T g e l d t :

T <

2Tr (22)

met T^ = p e r i o d e - d u u r ,

We berekenen de r e s p o n s i e van een e e r s t e orde systeem op een eenheids-s t a p f u n c t i e na TTT sec, l p f ( t ) = l -5Tn/T (23) Voor T<2^ g e l d t : T f ^ ( t ) > l - e 2^p'7 f ( t ) > l - e " ^ . (24) f ( t ) > 9 5 % max. waarde. (25)

Voor t j g e l d t b i j b e n a d e r i n g d a t de s t a p r e s p o n s i e op 50% van de maximale waarde i s .

1-e ^'^^ = 0,5 -> t j = 0 , 6 9 3 T (26)

F i g . 7,

-10-Voor de b e p a l i n g v a n K w o r d t r e k e n i n g

sche en de derde h a r m o n i s c h e :

gehouden met de

grondharmoni-Voor de i n p u t g e l d t

f , ]

Dan i s de o u t p u t van h e t l i n e a i r e systeem 4 A 1 — {costüt - —cosBüjt] 1 TT 3 (27) 46 , K ^u ïï" ^ / 2 2 üj/l+u T \ sin(wt-(j) )• K sin(3üJt-<f)^) } (28) met (j)j= a r c t g w T >^= arctgStoT Voor h e t schakelmoment g e l d t f^=(5, Lüt=^ F i g . 8. 6 = M I {. TT tü w a a r u i t v o l g t : c o s c _cosd / l + t ü ^ T ^ ' 9 / 1 +9ü)^T^" 4 cosd c o s c A+i/t^' 9/l+9tü\^' U i t (28) v o l g t : c o s t 1 / — / l +ü) T c o s c 1 3 / /l+9tü T " ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) K = y Cü 4

i — + 1

2 2 9 + 0 ) T l+9tü2 2 T (32) 1 1

-11 3.2. I n v l o e d v a n de e i n d i e e s n e l h e i d v a n de s t u u r m a c h i n e 3.2.1. Responsie v o o r (.oT> 1 Noem de t i j d n o d i g v o o r 6=0 naar 6=6 t max. r F i e . 9, De F o u r r i e r r e e k s v o o r h e t i n g a n g s s i g n a a l i s : 'sinojt , sin3a)t , sinSwt

t ÜJ r , sin3a)t r r -cosüjt-— cos3üjt-3 cos3üjt-3wt 5 5ü)t -cosSüjt- (33)

Voor ÜJ t ^ n i e t t e g r o o t , z i j n de a m p l i t u d e van de 1 ° en 3° harmonische ongeveer g e l i j k aan d i e v o o r een b l o k v o r m i g s i g n a a l ( z i e ( 5 ) ) .

I k

1 / F i g - 10,

U i t f i g . 10 b l i j k t d a t men de t r a p e z i u m v o r m u i t de b l o k v o r m o n t s t a a n kan denken v i a een element met een l o o p t i j d t ^ .

K

t

( 1 + T s ) s l o o p t i j d F i g . 11 F i g . 11 g e e f t de b i j b e h o r e n d e r e g e l k r i n g weer ( z i e ook f i g . 2 ) . V e r g e l i j k i n g ( 1 4 ) w o r d t u i t g e b r e i d t o t : ojt +arctga)T = a r c c o s — ( 3 4 ) r a

V e r g e l i j k i n g ( 1 8 ) w o r d t a l s v o l g t g e w i j z i g d lüt +arctgojT = wT r ^ s S u b s t i t u t i e v a n (34) i n 12 g e e f t : (35) 4 ( 6 2 l + ( t g ( a r c c o s cüt ) ) a. X TT a ^ = 4^-6 C Os { a r c c o s ( — ) -wt } a r (36) ( v e r g e l i j k met (17) ) . U i t ( 3 4 ) en (35) v o l g t : - = C O S(Ü J T ) a s S u b s t i t u t i e i n ( 3 6 ) g e e f t : 1 F -K TU 4 cos(a)T ) .C O S ( ( J J T -wt ) s s r ( v e r g e l i j k met ( 2 1 ) ) . De T-waarde w o r d t met v e r g e l i j k i n g ( 3 4 ) o f ( 3 5 ) b e p a a l d . (37) (38) 3.2.2. Responsie v o o r a)T< 1 .

We nemen weer aan d a t "op h e t moment

van s c h a k e l e n " de r e s p o n s i e v a n h e t

e e r s t e orde systeem de maximale

waar-de b e r e i k t h e e f t .

Voor 0 < t ^ t | i s de i n p u t v a n h e t e e r s t e o r d e systeem een e e n p a r i g s t i j

gend i n g a n g s s i g n a a l . Voor t | g e l d t : Ó-C = ^ { t - T ( l - e ' ) } ^1 (39) De o u t p u t v a n h e t e e r s t e o r d e systeem v o o r t > t | i s de r e s p o n s i e op een s t a p f u n c t i e . Voor t i j d s t i p ( t ^ + t ^ ) g e l d t : - t /T C = (C+6) { 1 - e } ₍₄₀₎

-13-13

U i t ( 3 7 ) v o l g t - t /T

(1-e ) ₍₄₁₎

Het l i n k e r l i d van deze v e r g e l i j k i n g u i t g e z e t t e g e n t ^ / T i s de t i j d s r e s -p o n s i e van een e e r s t e orde systeem o-p een s t a -p f u n c t i e ( f i g . 1 3 ) .

Het r e c h t e r l i d u i t g e z e t t e g e n t ^ / T g e e f t een v e r z a m e l i n g r e c h t e n door de o o r s p r o n g met C/6 a l s p a r a m e t e r . U i t de s n i j p u n t e n van deze twee f u n c t i e s i s i n f i g . 14 g e c o n s t r u e e r d : c/6 a l s f u n c t i e van t ^ / T . V e r g e l i j k i n g ( 4 0 ) kan h e r s c h r e v e n worden t o t :

C 1

(42)

Met behulp van f i g . 13 kan weer g e c o n s t r u e e r d worden: C/6 a l s f u n c t i e van t ^ / T ( f i g . 14)

U i t f i g . 14 w o r d t f i g . 15 g e c o n s t r u e e r d C/&{t^lt ^). Door c o m b i n a t i e van

f i g . 14 en 15 o n t s t a a t f i g . 16: t ^ / T a l s f u n c t i e van t ^ / t ^ .

Voor de b e p a l i n g van T u i t een K e m p f p r o e f r e g i s t r a t i e moet dus u i t de r e -g i s t r a t i e t j en t ^ (maximale k o e r s a f w i j k i n -g ) op-gemeten worden. Met behulp van f i g . 16 kan dan s n e l de t i j d c o n s t a n t e T bepaald worden. De waarde van K v o l g t u i t de v e r g e l i j k i n g : 1 - T - T 2 P s ƒ O K.Ö.(I-e ' ^ ^ ^ ) d t = 6-fa (43) H i e r u i t v o l g t ; K ₍₄₄ F i g . 17. •I4'

4. Nauvvfkeurigheid van de b e n a d e r i n g e n .

Voor een a a n t a l waarden van K en T z i j n de z i g - z a g p r o e v e n op de d i g i t a l e rekenmachine g e s i m u l e e r d . U i t deze g e s i m u l e e r d e p r o e v e n z i j n de K en T v o l g e n s de h i e r v o o r a f g e l e i d e b e n a d e r i n g e n t e r u g g e r e k e n d .

I n de voorgaande h o o f d s t u k k e n i s op t h e o r e t i s c h e gronden een onder-s c h e i d gemaakt t u onder-s onder-s e n p r o e v e n met ÜJT> 1 en p r o e v e n met wT< 1 . Voor deze grenswaarde b l i j k e n b e i d e methoden ongeveer even n a u w k e u r i g t e z i j n , zo-dat deze waarde ook i n de p r a k t i j k bepalend i s v o o r de keuze van de be-n a d e r i be-n g s m e t h o d e .

Voor LüT>1 i s g e b r u i k gemaakt van de f i l t e r h y p o t h e s e . De benade-r i n g s f o benade-r m u l e s , d i e g e b benade-r u i k maken van h e t t i j d s t i p d a t de k o e benade-r s d e v i a t i e maximaal i s , b l i j k e n onnauwkeurig t e z i j n . De g r o o t t e van h e t maximum b l i j k t n i e t s t e r k a f h a n k e l i j k t e z i j n van de hogere h a r m o n i s c h e n . De b e s t e b e n a d e r i n g v o o r T en K v o o r h e t meest algemene g e v a l ( e i n d i g e s n e l h e i d s t u u r m a c h i n e ) i s dan: ÜJT>M

T = -1- t g {arccos

(4

)-w.t } ( 3 4 b )

LU 3. L / = I ; — • » 6 ) 6 . c o s i a r c c o s ( — )- Ü J. t j a r De r e l a t i e v e n a u w k e u r i g h e i d van de a l d u s berekende T i s u i t g e z e t i n f i g . 18. Voor ÜJT> 1 i s de r e l a t i e v e f o u t k l e i n e r dan 10%. Voor üjT< 1 i s een g r a f i e k a f g e l e i d d i e h e t v e r b a n d w e e r g e e f t t u s s e n de t i j d d a t h e t r o e r beweegt, h e t t i j d s t i p d a t de k o e r s d e v i a t i e maximaal i s en de g e z o c h t e t i j d c o n s t a n t e T. ( f i g . 1 6 ) . Voor K g e l d t : l 4 ( 4 4 ) 2 T P - T 3- T De r e l a t i e v e n a u w k e u r i g h e i d v a n T i s v o l g e n s deze b e n a d e r i n g b e t e r dan 10% v o o r Ü J T < I ( z i e f i g . 1 9 ) . Voor 0,9<ajT<l,l v e r d i e n t h e t a a n b e v e l i n g de t i j d c o n s t a n t e v o l g e n s b e i d e methoden t e berekenen en h e t r e s u l t a a t t e m i d d e l e n .

Na de b e r e k e n i n g v a n T en de c o n t r o l e v a n üiT kan de waarde van K v o l g e n s ( 3 6 ) o f (4 4) berekend worden. De r e l a t i e v e n a u w k e u r i g h e i d h i e r -van i s b e t e r dan 5,5%.

-19-19

Om een i n d r u k t e geven van de i n v l o e d d i e een onnauwkeurige K en T hebben op de z i g - z a g p r o e f , z i j n i n onderstaande t a b e l l e n 2 onnauw-k e u r i g e benaderingen v e r g e l e onnauw-k e n met de o r i j ^ i n e l e p r o e v e n . wT = 1,09 o r i g i n e e l b e n a d e r i n g r e l a t i e v e f o u t T 15 sec 16.30 sec + 9 % K 0,1900sec~ 0,2003sec~' +5,4 % p e r i o d e 86,40 sec 88,59 sec +2.55% T s 13,03 sec 13,70 sec +5,1 % t o p 45,25° 47,18° +4,2 % wT = 0 . 9 0 o r i g i n e e l b e n a d e r i n g r e l a t i e v e f o u t T 45 sec 41,8 sec -7 % K 0,0300sec"' 0,0299sec~' -0,05 % p e r i o d e 315,37 sec 305,15 sec -0,325% T s 33,23 sec 31,28 sec -6 % top 29,37° 28,91° -1,57 %

Voor proeven met wT minder d i c h t b i j de waarde OJT=1 i s de r e l a t i e v e f o u t u i t e r a a r d k l e i n e r .

-20-2 I

5. C o n c l u s i e .

De i n g e b u r g e r d e berekeningsmethoden van de coëfficiënten K en T van h e t e e r s t e orde model v o o r Kempfproeven z i j n b e w e r k e l i j k .

D a a r b i j b l i j v e n deze methoden, hoe v e r f i j n d ze ook z i j n , benade-r i n g s m e t h o d e n . Het i s immebenade-rs o n m o g e l i j k , doobenade-r de keuze van 2 pabenade-rame- parame-t e r s , aan 3 e i s e n ( f r e q u e n parame-t i e , a m p l i parame-t u d e en f a s e ) v o o r de p e r i o d i e k e t r i l l i n g van de r e g e l k r i n g ( f i g . 3) t e v o l d o e n .

De i n d i t r a p p o r t behandelde benaderingsmethoden v o o r K en T z i j n s n e l en eenvoudig u i t t e v o e r e n .

De n a u w k e u r i g h e i d van K en T z a l i n de meeste g e v a l l e n v o l d o e n d e z i j n , v o o r a l daar h e t n u t van h e t e e r s t e orde model e e r d e r gezocht moet worden i n h e t r e p r o d u c e r e n v a n de b e t r e f f e n d e Kempfproef dan i n het v o o r s p e l l e n van andere manoeuvres.

-22-G e b r u i k t e symbolen. H - O v e r d r a c h t s f u n c t i e . - O v e r d r a c h t s f u n c t i e l i n e a i r systeem. Hj^^ - O v e r d r a c h t s f u n c t i e n i e t - l i n e a i r systeem, cj)^ - F a s e d r a a i i n g l i n e a i r systeem. - F a s e d r a a i i n g n i e t - l i n e a i r systeem, cf) j - F a s e d r a a i i n g e e r s t e h a r m o n i s c h e , cf)^ - F a s e d r a a i i n g derde harmonische. t - T i j d . s - L a p l a c e o p e r a t o r . u - R a d i a a l f r e q u e n t i e . K - S t a t i s c h e v e r s t e r k i n g . T - T i j d c o n s t a n t e , ö(t) - Roerhoek. r ( t ) - G i e r h o e k s n e l h e i d . ( t ) - Koershoek. a ( t ) - S i n u s v o r m i g e i n p u t n i e t - l i n e a i r systeem. b ( t ) - Output n i e t - l i n e a i r systeem.

23

LITERATUUR.

1. Nomoto, K.

" A n a l y s i s o f Kempf's Standard Manoeuver Test and Proposed S t e e r i n g Q u a l i t y I n d i c e s " .

F i r s t Symposium on Ship M a n o e u v r a b i l i t y . DTMB Report 1461, Washington 1960.

2. N o r r b i n , N.

"On t h e D e s i g n and A n a l y s i s o f t h e ZigZag Test on Base o f Q u a s i -L i n e a r Frequency Response".

Tenth I n t e r n a t i o n a l Towing Tank C o n f e r e n c e , London 1963. 3. T h a l e r and P a s t e l .

" A n a l y s i s and D e s i g n o f Non-Linear C o n t r o l Systems". 1962.