Rekurencja – ściąga
Mateusz Rapicki 12 września 2017
Ciągi możemy definiować na różne sposoby:
1. Za pomocą wzoru jawnego, tzn. mamy wprost napisane, dla każdej liczby naturalnej n, ile wynosi n-ty wyraz ciągu. Przykłady:
(a) an= n2− 6n + 5 (b) bn= (−2)n/16 (c) Fn=
1+√ 5 2
n
−
1−√ 5 2
n
· √1
5
2. Za pomocą wzoru rekurencyjnego, tzn. mamy wypisane kilka początkowych wyrazów ciągu oraz mamy podaną zależność, jak obliczyć kolejne wyrazy ciągu na podstawie wyrazów po- przednich. Przykłady:
(a) a0= 5, a1= 0, an+1= 2an− an−1+ 2 dla n 1 (b) b0= 1/16, bn+1= −2bn dla n 0
(c) F0= 0, F1= 1, Fn+1= Fn+ Fn−1 dla n 1
Rozwiążemy teraz proste przykładowe zadanie na dwa sposoby – najpierw bezpośrednio, a potem używając rekurencji.
Przykład 1. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, żePn
k=1k = n(n+1)2 . Rozumowanie bezpośrednie. Oczywiście zachodzi równośćPn
k=1k = 1 + 2 + ... + n = n + (n − 1) + ... + 2 + 1 = Pn
k=1(n + 1 − k), ponieważ w obu przypadkach dodajemy te same liczby, tylko w odwrotnej kolejności. Wobec tego 2Pn
k=1k =Pn
k=1k +Pn
k=1(n + 1 − k) =Pn
k=1(k + n + 1 − k) = Pn
k=1(n + 1) = n(n + 1), co dowodzi tezy zadania.
Rozumowanie rekurencyjne. Przyjmijmy dla przejrzystości oznaczenia an = Pn
k=1k oraz bn =
n(n+1)
2 . Mamy udowodnić, że an = bn. Przeanalizujmy najpierw ten pierwszy ciąg. Widzimy, że a0 = 0 oraz a1 = 1. Ponadto oczywiście an+1 =Pn+1
k=1k = (Pn
k=1k) + (n + 1) = an+ n + 1 dla wszystkich n 0. Podobnie ten drugi ciąg: mamy b0 = 0 oraz b1 = 1. Ponadto bn+ n + 1 =
n(n+1)
2 + n + 1 = n(n+1)+2(n+1)
2 = (n+2)(n+1)2 = bn+1. Widzimy, że obydwa ciągi mają taki sam pierwszy wyraz i są określone za pomocą tej samej zależności rekurencyjnej, są więc równe.
1
