Obliczyć granicę ciągu limn→∞an (a) an = n(ln(n + 3

SIMR Analiza 1, zadania: Liczba e, Elementy topologii, Granice funkcji 1. Obliczyć granicę ciągu lim_n→∞an

(a) an = n(ln(n + 3) − ln n) (b) a_n =





n² + 3n n² + 4



 n−1

(c) an =





n³ + n − 1 n³ + 4



 2n²−4

(d) a_n =





n² +√ n n² +√³

n



 2n+1

(e) an =





n + 2n² n + n² − 1



 n−3

(f) an =





n³ + 2n − 1 n³ + 3n² − n



 n²−3

2. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, A_n ⊂ R : (a) int^A ∩ B^ = intA ∩ intB

(b) intA ∪ intB ⊂ int^A ∪ B^ , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość

(c) A ∪ B = A ∪ B

(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość (e) Jeżeli A_n są otwarte to ^∞S

n=1A_n też jest otwarty (f) Jeżeli A_n są domknięte to ^∞T

n=1A_n też jest domknięty (g) Podać przykład zbiorów otwartych An , takich, że ^∞T

n=1An nie jest otwarty 3. Obliczyć granicę funkcji:

(a) lim

x→2

x³ − x − 6 x⁴ − 3x² − 2x (b) lim

x→1

x⁴ + x − 2 x² + 3x − 4 (c) lim

x→3

x² + x x² − 9 (d) lim

x→0

√1 + x + x² − 1 x³ + x

(e) lim

x→∞

r

x +^qx +√

√ x x + 1 (f) lim_x→∞x³ +√

x⁵ + 6x² + 3 x² +√

x⁶ + x + 7 (g) lim

x→∞(√

x² + 4 + x) (h) lim

x→−∞(√

x² + 4 + x)