SIMR Analiza 1, zadania: Liczba e, Elementy topologii, Granice funkcji 1. Obliczyć granicę ciągu limn→∞an
(a) an = n(ln(n + 3) − ln n) (b) an =
n2 + 3n n2 + 4
n−1
(c) an =
n3 + n − 1 n3 + 4
2n2−4
(d) an =
n2 +√ n n2 +√3
n
2n+1
(e) an =
n + 2n2 n + n2 − 1
n−3
(f) an =
n3 + 2n − 1 n3 + 3n2 − n
n2−3
2. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, An ⊂ R : (a) intA ∩ B = intA ∩ intB
(b) intA ∪ intB ⊂ intA ∪ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość
(c) A ∪ B = A ∪ B
(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość (e) Jeżeli An są otwarte to ∞S
n=1An też jest otwarty (f) Jeżeli An są domknięte to ∞T
n=1An też jest domknięty (g) Podać przykład zbiorów otwartych An , takich, że ∞T
n=1An nie jest otwarty 3. Obliczyć granicę funkcji:
(a) lim
x→2
x3 − x − 6 x4 − 3x2 − 2x (b) lim
x→1
x4 + x − 2 x2 + 3x − 4 (c) lim
x→3
x2 + x x2 − 9 (d) lim
x→0
√1 + x + x2 − 1 x3 + x
(e) lim
x→∞
r
x +qx +√
√ x x + 1 (f) limx→∞x3 +√
x5 + 6x2 + 3 x2 +√
x6 + x + 7 (g) lim
x→∞(√
x2 + 4 + x) (h) lim
x→−∞(√
x2 + 4 + x)
