Zakres materiału

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Analiza matematyczna – pochodna funkcji wR – zastosowania Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

wzór Taylora, obliczanie przybli ˙zonych warto´sci wyra ˙ze ´n; zastosowanie pochodnych;

badanie funkcji, poszukiwanie warto´sci najmniejszej i najwi ˛ekszej, przedziały wypukło´sci, punkty przegi ˛ecia

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Poj ˛ecia:

(a) maksimum lokalne, (b) minimum lokalne,

(c) maksimum wła´sciwe, (d) minimum wła´sciwe,

(e) ekstremum,

(f) najmniejsza/najwi ˛eksza warto´s´c funkcji w przedziale domkni ˛etym,

(g) punkt przegi ˛ecia krzywej, (h) kombinacja wypukła,

(i) funkcja wypukła w przedziale, (j) funkcja wkl ˛esła w przedziale, (k) asymptota.

2. Twierdzenia

(a) twierdzenie Lagrange’a (twierdzenie o warto´sci ´sredniej),

(b) twierdzenie Rolle’a,

(c) warunek konieczny dla ekstremum,

(d) warunki konieczne monotoniczno´sci, (e) warunki dostateczne dla ekstremum,

(f) wzór Taylora, (g) wzór Maclaurina.

Oznaczenia, terminologia, twierdzenia

1. Twierdzenie Lagrange’a i jego zastosowania (a) Maksimum i minimum lokalne

i. Funkcja y= f(x)ci ˛agła w przedziale domkni ˛etym [a; b]ma w nim warto´s´c najwi ˛eksz ˛a i najmniejsz ˛a.

ii. Maksimum lokalne Mówimy, ˙ze funkcja y= f(x)posiada maksimum lokalne w punkcie x₀, je ˙zeli f(x₀)jest dla wszystkich punktów x pewnego otoczenia punktu x₀ warto´sci ˛a najwi ˛eksz ˛a, tzn. gdy istnieje takie δ>0, ˙ze

f(x) ≤ f(x₀)

dla dowolnego x nale ˙z ˛acego do otoczenia(x₀−δ, x₀+δ), tzn. dla

|x−x0| <δ.

iii. Maksimum wła´sciwe Maksimum nazywamy wła´sciwym, je ˙zeli f(x) < f(x₀) _{dla 0}< |x−x₀| <_δ.

iv. Minimum lokalne Mówimy, ˙ze funkcja y = f(x) posiada minimum lokalne w punkcie x₀, je ˙zeli f(x₀)jest dla wszystkich punktów x pewnego otoczenia punktu x₀ warto´sci ˛a najmniejsz ˛a, tzn. gdy istnieje takie δ>0, ˙ze

f(x) ≥ f(x₀)

dla dowolnego x nale ˙z ˛acego do otoczenia(x₀−_{δ, x0}+δ)_{, tzn. dla}

|x−x₀| <δ.

v. Minimum wła´sciwe Minimum nazywamy wła´sciwym, je ˙zeli f(x) > f(x0) dla 0< |x−x0| <δ.

vi. Maksimum, minimum, ekstremum Maksimum lokalne i minimum lokalne b ˛edziemy nazywali krótko maksimum i minimum lub ogólnie ekstremum.

vii. Warto´s´c najmniejsza (najwi˛eksza) w przedziale domkni˛etym Funkcja ci ˛agła w prze- dziale domkni ˛etym mo ˙ze posiada´c w nim kilka maksimów i kilka minimów lokalnych.

Warto´s´c najmniejsz ˛a funkcji w przedziale [a; b] znajdziemy obliczaj ˛ac warto´sci wszyst- kich minimów i warto´sci na ko ´ncach przedziału f(a) i f(b) oraz bior ˛ac najmniejsz ˛a z tych liczb. Podobnie odnajdujemy warto´s´c najwi ˛eksz ˛a bior ˛ac najwi ˛eksz ˛a z warto´sci maksimów oraz liczb f(a)i f(b).

viii. Je ˙zeli funkcja ci ˛agła w otoczeniu punktu x₀jest rosn ˛aca z lewej strony punktu x₀, a ma- lej ˛aca z prawej strony punktu x0, to w punkcie x0 przybiera ona maksimum lokalne.

ix. Je ˙zeli funkcja ci ˛agła w otoczeniu punktu x₀jest malej ˛aca z lewej strony punktu x₀, a ro- sn ˛aca z prawej strony punktu x₀, to w punkcie x₀przybiera ona minimum lokalne.

(b) Warunek konieczny dla ekstremum

i. Warunek konieczny dla ekstremum Je ˙zeli funkcja ró ˙zniczkowalna y = f(x) posiada w punkcie x=x₀ekstremum, to pochodna w tym punkcie jest równa zeru:

f⁰(x0) =0.

ii. Punkt przegi˛ecia krzywej Zerowanie si ˛e pierwszej pochodnej nie wystarcza do istnienia ekstremum. Np. funkcja f(x) = x³ posiada w punkcie 0 pochodn ˛a równ ˛a zeru, jednak nie posiada w punkcie x = 0 ekstremum – punkt x = 0 jest punktem przegi˛ecia krzywej y=x³.

iii. Funkcja mo ˙ze posiada´c ekstremum tak ˙ze w punkcie, w którym pochodna nie istnieje.

iv. Ekstremów funkcji nale ˙zy szuka´c w punktach, w których albo pochodna przybiera war- to´s´c zero, albo nie istnieje.

(c) Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a

i. Twierdzenie Lagrange’a (twierdzenie o warto´sci ´sredniej) Je ˙zeli funkcja y= f(x), ci ˛a- gła w przedziale domkni ˛etym [a; b], posiada pochodn ˛a w ka ˙zdym punkcie wewn ˛etrz- nym tego przedziału, to istnieje wewn ˛atrz przedziału taki punkt ξ (a< ξ <b), ˙ze

f(b) − f(a)

b−a = f⁰(ξ).

ii. Twierdzenie Rolle’a Je ˙zeli funkcja ci ˛agła w przedziale domkni ˛etym [a; b]i posiadaj ˛aca w ka ˙zdym punkcie wewn ˛etrznym tego przedziału pochodn ˛a, przyjmuje na ko ´ncach rów- ne warto´sci, to co najmniej w jednym punkcie wewn ˛etrznym przedziału[a; b]pochodna zeruje si ˛e.

iii. Je ˙zeli nie jest spełnione twierdzenie o ró ˙zniczkowalno´sci, to teza twierdzenia Rolle’a nie musi zachodzi´c.

(d) Wnioski z twierdzenia o warto´sci ´sredniej

i. Funkcja o pochodnej równej zeru w całym przedziale[a; b]jest stała w tym przedziale.

ii. Dwie funkcje f₁(x)i f₂(x)posiadaj ˛ace t ˛e sam ˛a pochodn ˛a w pewnym przedziale ró ˙zni ˛a si ˛e o stał ˛a.

iii. Funkcja ci ˛agła w przedziale[a; b]o pochodnej stale dodatniej wewn ˛atrz tego przedziału jest rosn ˛aca w tym przedziale.

iv. Funkcja ci ˛agła w przedziale [a; b] o pochodnej stale ujemnej wewn ˛atrz tego przedziału jest malej ˛aca w tym przedziale.

(e) Warunki konieczne monotoniczno´sci Funkcja ró ˙zniczkowalna i rosn ˛aca (malej ˛aca) ma po- chodn ˛a nieujemn ˛a (niedodatni ˛a).

(f) Warunek dostateczny dla ekstremum

i. Funkcja ci ˛agła w punkcie x₀ i posiadaj ˛aca na lewo od punktu x₀ pochodn ˛a dodatni ˛a, a na prawo ujemn ˛a przyjmuje w tym punkcie maksimum lokalne.

ii. Funkcja ci ˛agła w punkcie x₀i posiadaj ˛aca na lewo od punktu x₀pochodn ˛a ujemn ˛a, a na prawo dodatni ˛a przyjmuje w tym punkcie minimum lokalne.

iii. Wystarczaj ˛acym wi ˛ec warunkiem na to, aby funkcja posiadała w punkcie x0 ekstremum lokalne jest, aby pochodna zmieniła znak w punkcie x₀. W punkcie x₀ pochodna albo jest równa zeru, albo nie istnieje.

(g) Drugi warunek dostateczny dla ekstremum Je ˙zeli funkcja y = g(x) posiada w otoczeniu punktu x0drug ˛a pochodn ˛a ci ˛agł ˛a i je ˙zeli

f⁰(x0) =0,

to w punkcie x0 funkcja przyjmuje maksimum, gdy f⁰⁰(x0) <0, a minimum, gdy f⁰⁰(x0) >0.

W przypadku gdy f⁰⁰(x₀) =0, nic nie mo ˙zemy powiedzie´c bez dalszych bada ´n.

2. Wzór Taylora i jego zastosowania

(a) Wzór Taylora Je ˙zeli funkcja y= f(x)posiada w przedziale domkni ˛etym [a; b] pochodne a ˙z do rz ˛edu n wł ˛acznie i je ˙zeli punkty x i x+h nale ˙z ˛a do przedziału[a; b], to zachodzi wzór

f(x+h) = f(x) + ^h

1!f⁰(x) + ^h

2

2!f⁰⁰(x) + ^h

3

3! f⁰⁰⁰(x) +. . .+ ^h

n−1

n−1f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +Rn,

gdzie Rn nosi nazw˛e reszty wzoru Taylora i jest okre´slane wzorem R_n= ^h

n

n!f⁽ⁿ⁾(x+θh) przy czym o θ wiemy tylko, ˙ze 0 <θ<1.

(b) Wzór Maclaurina Je ˙zeli we wzorze Taylora przyjmiemy h= x oraz x = 0, to otrzymujemy wzór

f(x) = f(0) + ^x

1!f⁰(0) + ^x

2

2!f⁰⁰(0) + ^x

3

3!f⁰⁰⁰(0) +. . .+ ^x

n−1

n−₁^f

(n−1)(0) +R_n, gdzie

Rn= ^x

n

n! f⁽ⁿ⁾(θ·x) (0<θ <1). 3. Punkt przegi˛ecia

(a) Punktem przegi˛ecia wykresu funkcji y = f(x), gdy funkcja f(x) _{ma drug ˛}a pochodn ˛a ci ˛agł ˛a, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drug ˛a.

(b) Je ˙zeli funkcja y= f(x)_{ma drug ˛}a pochodn ˛a ci ˛agł ˛a, to w punktach przegi ˛ecia wykresu funkcji druga pochodna f⁰⁰(x)jest równa zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe (np. druga pochodna funkcji x⁴ jest równa zeru dla x = 0, a wykres funkcji nie ma punktu przegi ˛ecia w tym punkcie, tylko minimum).

(c) Je ˙zeli druga pochodna f⁰⁰(x) dla x < x₀ jest ujemna (dodatnia), dla x = x₀ jest równa zeru, a dla x > x₀ jest dodatnia (ujemna), co wyra ˙zamy krócej, mówi ˛ac: druga pochodna przy przej´sciu przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny), to wykres funkcji y= f(x)ma punkt przegi ˛ecia w punkcie x₀.

4. Wypukło´s´c i wkl˛esło´s´c funkcji

(a) Wypukła kombinacja Niech b ˛ed ˛a dane dwie liczby x1 < x₂. Wypukł ˛a kombinacj ˛a tych liczb nazywamy ka ˙zd ˛a liczb ˛e postaci

xa =_ax1+ (₁−a)_{x2 gdzie 0}≤ a≤1.

Ka ˙zda wypukła kombinacja dwóch liczb le ˙zy na odcinku, którego ko ´ncami s ˛a te liczby.

(b) Funkcja wypukła w przedziale Mówimy, ˙ze funkcja f(x)okre´slona w przedziale [b; c]jest wypukła w tym przedziale, je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby x_a postaci x_a = ax₁+ (1−a)x₂ przy dowolnych x₁i x₂z przedziału[b; c]zachodzi nierówno´s´c

f(x_a) ≤y_a, gdzie y_a =a f(x₁) + (1−a)f(x₂).

(c) Warunek wypukło´sci funkcji f(x)oznacza geometrycznie, ˙ze łuk wykresu funkcji y = f(x) o ko ´ncach M₁ i M₂ znajduje si ˛e całkowicie poni ˙zej ci ˛eciwy M₁M₂, jakiekolwiek obierzemy punkty M1 i M2wykresu funkcji wypukłej.

(d) Je ˙zeli funkcja f(x) jest w przedziale [b; c] ró ˙zniczkowalna, a jej pochodna jest w tym prze- dziale funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a, to funkcja f(x)jest w przedziale[b; c]funkcj ˛a wypukł ˛a.

(e) Je ˙zeli funkcja f(x)jest w przedziale[b; c]dwukrotnie ró ˙zniczkowalna, a jej druga pochodna przyjmuje w tym przedziale stale warto´sci dodatnie, to funkcja f(x) jest w przedziale[b; c] funkcj ˛a wypukł ˛a.

(f) Funkcja wkl˛esła w przedziale Mówimy, ˙ze funkcja f(x) okre´slona w przedziale [b; c] jest wkl˛esła w tym przedziale, je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby x_apostaci x_a= ax₁+ (1−a)x₂przy dowol- nych x₁i x₂ z przedziału[b; c]zachodzi nierówno´s´c

f(x_a) ≥y_a, gdzie y_a =a f(x₁) + (1−a)f(x₂).

(g) Je ˙zeli funkcja jest wkl ˛esła, to łuk wykresu funkcji znajduje si ˛e zawsze ponad ci ˛eciw ˛a, ł ˛acz ˛ac ˛a ko ´nce łuku.

(h) Je ˙zeli funkcja f(x) posiada w przedziale [c; d] _{pierwsz ˛}a pochodn ˛a malej ˛ac ˛a lub drug ˛a po- chodn ˛a ujemn ˛a, to jest w tym przedziale funkcj ˛a wkl ˛esł ˛a.

(i) Je ˙zeli funkcja f(x)jest w przedziale[b; c]wypukła (wkl ˛esła) i dwukrotnie ró ˙zniczkowalna, to w ka ˙zdym punkcie wykresu funkcji styczna do wykresu znajduje si ˛e pod (nad) wykresem.

5. Asymptota Prost ˛a p nazywamy asymptot ˛a danej krzywej, je ˙zeli odległo´s´c punktu tej krzywej od prostej p d ˛a ˙zy do zera, gdy punkt na krzywej oddala si ˛e niesko ´nczenie od pocz ˛atku układu współrz ˛ednych.

(a) Asymptota pionowa Zauwa ˙zmy, ˙ze odległo´s´c punktu P x, f(x)
krzywej y= f(x)_{od prostej} x =x₀wynosi

d = |x−x₀|,

a zatem d → 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x → x0. Punkt P x, f(x)
krzywej oddala si ˛e do niesko ´nczono´sci przy x → x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy |f(x)| d ˛a ˙zy do niesko ´nczono´sci.

W zwi ˛azku z tym prost ˛a x=x₀ nazywamy asymptot ˛a pionow ˛a krzywej y= f(x), je ˙zeli

xlim→x0

|f(x)| =_∞.

(b) Asymptota pochyła We´zmy pod uwag ˛e funkcj ˛e y= f(x) okre´slon ˛a w przedziale niesko ´nczonym i prost ˛a

y=mx+b.

Odległo´s´c d punktu M x, f(x)
krzywej od prostej jest wyra ˙zona przez wzór d= ^f(x) −mx−b

√

1+m² .

Mianownik nie zale ˙zy od x, a zatem dla x→ +∞ odległo´s´c d→0 wtedy, gdy f(x) −mx− b

→0. Prost ˛a y=mx+b nazywamy asymptot ˛a pochył ˛a krzywej y= f(x), je ˙zeli

x→±lim_∞ f(x) −mx−b

=0.

(c) Je ˙zeli zachodzi powy ˙zszy wzór, to tym bardziej zachodzi zwi ˛azek

x→±lim_∞

f(x) −mx−b

x =0,

tzn.

x→±lim_∞ f(x)

x −m− ^b x =0.

Poniewa ˙z limx→±_{∞ x}^b =0, wi ˛ec otrzymujemy

x→±lim_∞

f(x) x −m

!

=0,

czyli

x→±lim_∞ f(x)

x = m.

(d) Mamy oczywi´scie

x→±lim_∞ f(x) −mx

=b.

(e) Kierunek asymptotyczny O prostych posiadaj ˛acych współczynnik kierunkowy m mówimy,

˙ze posiadaj ˛a kierunek asymptotyczny.

6. Ogólny schemat badania kształtu krzywej y= f(x)Badamy:

(a) obszar okre´slono´sci funkcji,

(b) czy funkcja jest parzysta, nieparzysta i periodyczna, (c) miejsca zerowe i znak funkcji,

(d) ekstrema i przedziały monotoniczno´sci, (e) punkty przegi ˛ecia i kierunek wypukło´sci,

(f) asymptoty,

(g) ujmujemy wyniki w tabelk ˛e, w której uwzgl ˛edniamy wszystkie otrzymane warto´sci charak- terystyczne argumentu,

(h) wykonujemy wykres.

7. Dla bardziej dokładnego wykonania wykresu mo ˙zna wyznaczy´c dodatkowo (a) kilka punktów na krzywej (np. punkt jej przeci ˛ecia z osi ˛a y i inne),

(b) współczynnik kierunkowy stycznej w pewnych punktach (np. w punktach przegi ˛ecia i in- nych).

Przydatne wzory i fakty

1. 5!=120, 2. 6!=720, 3. 7!=5 040, 4. 8! =40 320, 5. 9!=362 880.

Zadania

1. Wyja´sni´c, dlaczego do funkcji y = ₁− |x| nie mo ˙zna stosowa´c twierdzenia Rolle’a, mimo ˙ze funkcja na ko ´ncach przedziału[−2; 2]przybiera te same warto´sci?

2. Czy funkcja monotoniczna w przedziale[a; b]mo ˙zne mie´c wewn ˛atrz tego przedziału ekstremum lokalne?

3. W których punktach funkcja y= f(x)mo ˙ze posiada´c ekstrema lokalne?

4. W których punktach mo ˙ze posiada´c ekstrema lokalne funkcja

(a) y=cos x,

(b) y= x⁴−2x²+7,

(c) y=^p3 (x+2)²+^p3 (x−2)².

5. Sprawdzi´c, ˙ze twierdzenie Rolle’a zachodzi dla funkcji y= x³+3x²−x−3 w przedziale[−3;−1]. 6. Napisa´c równanie stycznej do krzywej y = x²−4x+5 równoległej do ci ˛eciwy ł ˛acz ˛acej punkty

o odci ˛etych 2 i 4.

7. W jaki sposób badamy monotoniczno´s´c funkcji?

8. Co mo ˙zna powiedzie´c o monotoniczno´sci funkcji, której pochodna równa si ˛e stałej c, ró ˙znej od zera w całym przedziale okre´slono´sci?

9. Pochodne dwóch funkcji s ˛a identyczne. Co mo ˙zna powiedzie´c o warto´sciach i wykresach tych funkcji?

10. Udowodni´c, ˙ze wyra ˙zenie

f(x) =arc sin x+arc cos x

przyjmuje dla wszystkich warto´sci x z przedziału −₁≤x ≤1 t ˛e sam ˛a stał ˛a warto´s´c i udowodni´c,

˙ze ta stała wynosi ¹₂π.

11. Zbada´c monotoniczno´s´c funkcji:

(a) y=3x+5, (b) y=3x²+5x−6,

(c) y= x²−4,

(d) y=sin x, (e) y=x³−3x+2,

(f) y=3x³+4, 5x²−4x+1,

(g) xe^−x.

12. Znale´z´c ekstrema funkcji (a) y= x²−3x+2, (b) y= −x²+x+6,

(c) y= ¹₃x³−2x²+3x−1,

(d) y=8x³−12x²+6x+1, (e) y=1−sin x,

(f) y= ₁₊^2x_x2,

(g) y=xe^−2x,

(h) y=e^−xsin x.

13. Zastosowa´c wzór Maclaurina do funkcji f(x) =x⁴+3x³+2x²+x. Obliczy´c przybli ˙zon ˛a warto´s´c f(2)przyjmuj ˛ac ró ˙zne n. Zaobserwowa´c, jak zmieniaj ˛a si ˛e reszty.

14. Zastosowa´c wzór Maclaurina do funkcji f(x) = e^x. Obliczy´c przybli ˙zon ˛a warto´s´c liczby e przyj- muj ˛ac n = 7. W jakim przedziale mie´sci si ˛e bł ˛ad tego oszacowania? Ile cyfr po przecinku jest obliczonych w sposób pewny?

15. Jakie znaczenie ma ostatni wyraz wzoru Maclaurina (Taylora) przy obliczaniu przybli ˙zonych warto´sci funkcji?

16. Zastosowa´c wzór Maclaurina do funkcji:

(a) f(x) = a^x, (b) f(x) =cos x, (c) f(x) =ln(1+x), (d) f(x) =√ 1+x.

17. Obliczy´c sin¹₅ z dokładno´sci ˛a do 0, 0001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji sin w szereg pot ˛e- gowy.

18. Obliczy´c ¹_e z dokładno´sci ˛a do 0, 001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji e^x w szereg Maclaurina.

19. Obliczy´c √³

30 z dokładno´sci ˛a do 0, 001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji f(x) = (₁+x)^s w szereg pot ˛egowy.

20. Obliczy´c√

e z dokładno´sci ˛a do 0, 001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji e^x w szereg pot ˛egowy.

21. Obliczy´c ^√₄¹

e z dokładno´sci ˛a do 0, 001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji e^x w szereg pot ˛egowy.

22. Obliczy´c √⁵

250 z dokładno´sci ˛a do 0, 001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji √ⁿ

1+x w szereg pot ˛egowy.

23. Obliczy´c cos(0, 3), gdzie k ˛at jest podany w radianach, z dokładno´sci ˛a do 0, 001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji cos x w szereg pot ˛egowy.

24. Obliczy´c sin 10^◦ z dokładno´sci ˛a do 0, 00001, posługuj ˛ac si ˛e rozwini ˛eciem funkcji sin x w szereg pot ˛egowy.

25. Je ˙zeli a jest liczb ˛a całkowit ˛a, dodatni ˛a, spełniaj ˛ac ˛a nierówno´s´c aⁿ ≤ A < aⁿ⁺¹, gdzie n jest liczb ˛a naturaln ˛a, to do wyznaczenia przybli ˙zonej warto´sci √ⁿ

A słu ˙zy´c mo ˙ze wzór

√n

A≈ a+ ^x n · ¹

aⁿ⁻¹, gdzie x = A−aⁿ. Udowodni´c wzór, a nast ˛epnie, korzystaj ˛ac z niego, obliczy´c

(a) √⁵

245, (b) √⁷

129, (c) √⁹

515, (d) ¹⁰√

1027.

26. Ile musimy wzi ˛a´c wyrazów szeregu ln(₁+x) = x− ¹₂x²+ ¹₃x³+. . ., aby obliczy´c ln 2 z dokład- no´sci ˛a do 0, 01?

27. Jakie własno´sci posiada funkcja y= _f(_x)_{maj ˛aca ci ˛agł ˛}a pochodn ˛a f⁽²ⁿ⁾(_x)w punkcie x0, je ˙zeli f⁰(x₀) = f⁰⁰(x₀) =. . .= f⁽²ⁿ⁻¹⁾(x₀) =0, f⁽²ⁿ⁾(x₀) 6=0?

28. Poprzestaj ˛√ ac na pierwszych dwóch wyrazach wzoru Maclaurina obliczy´c przybli ˙zon ˛a warto´s´c 1, 005=√

1+0, 005 oraz oceni´c bł ˛ad.

29. Znale´z´c ekstrema funkcji korzystaj ˛ac z drugiego warunku dostatecznego dla ekstremum.

(a) y= 3x−¹₂x²
2

, (b) y= ²_x^x, (c) y=x^x,

(d) y =√

2−x−x².

30. Zbada´c kierunek wypukło´sci krzywej

(a) y= −2x², (b) y=x²−x+6, (c) y=e^x, (d) y =ln x.

31. Znale´z´c punkty przegi ˛ecia krzywej

(a) y= x³−6x²−5x+4, (b) y= x⁵+5x.

32. Zbada´c wypukło´s´c i punkty przegi ˛ecia krzywej

(a) y=sin x,

(b) y= x³−3x²+1,

(c) y=e^−x2,

(d) y=x⁴−12x³+48x²−50,

(e) y = ¹_x+ _x−¹₁, (f) y=xe^x.

33. Znale´z´c asymptoty krzywej:

(a) y= ^3x3−_x^5x₂²⁺¹, (b) y= ^x2_x⁺¹,

(c) y= x·e^−1/x, (d) x²(y−1) =x−2.

34. Zbada´c i wykre´sli´c krzyw ˛a:

(a) y=_2x²−_5x+_3, (b) y=6−x−x²,

(c) y=2x³+3x²−6x−4, (d) y= x³−2x,

(e) y= (x−1)²(x+2)³, (f) y=e^−x2,

(g) y=e^−xsin x,

(h) y= ^4x+4

x² , (i) y= ^x

1+x², (j) y= ^2x

1−x², (k) y= ¹

1−x², (l) y= ₁^x₊²_x, (m) y= ⁽₄^x_(x⁻₋³₁⁾²₎,

(n) y=x+√ 1−x,

(o) y =x q1+x

1−x, (p) y =

qx+2 x−2, (q) y= ¹₂

qx(x²−a²)

a , a>0, (r) y=x− ^a2

x², (s) y =

q x³ x−a, (t) y=ln cos x.

Bibliografia

1. Matematyka cz˛e´s´c I W. Wrona

2. Analiza matematyczna w zadaniach cz. I W. Krysicki, L. Włodarski