³ywania fal dŸwiêkowych z zaburzeniem warstwy przyœciennej – od których z kolei zale¿y stan oderwania cieczy od cia³a, wiêc wzrost oporu cia³a wskutek ruchu w oœrod- ku ci¹g³ym. Doœæ przypadkowo rozpocz¹-

Prehistoria.

Okres mojej obecnoœci jako naukowca na Politechnice, lat 7+1, jest klasycznym przyk³adem w ¿yciu akademickim. Pierw- sze siedem lat – wypracowanie urlopu na- ukowego, po siedmiu latach – sam „sab- batical”. Zosta³em zaproszony przez w³a- dze uczelni w 1995. Odczuwa³em potrze- bê uczestniczenia w rozwoju dzia³alno-

œci naukowej na PG, w tym – aktywnej wspó³pracy. Pierwsz¹ prób¹ by³a wspól- na praca z Katedr¹ Hydroakustyki (Wy- dzia³ Elektroniki): prof. A. Stepnowskim, dr. K. Zachariaszem, M. Moszyñskim. Te- maty – efekty nieliniowe, wyznaczenie sta³ych oœrodków przez pomiary sk³ado- wych pól akustycznych. Wszystko na pod- stawie pewnych podejœæ analitycznych, pozwalaj¹cych uzyskiwaæ sta³e wchodz¹- ce do wzorów. W trakcie pracy nast¹pi³ rozwój kontaktów z uczelni¹ w Kalinin- gradzie/Królewcu (pracowa³em tam 30 lat), zorganizowano kilka wizyt, uczest- nictwo w konferencjach; wspólne publi- kacje, doktoraty, wnioski na granty. W sk³ad grupy wchodz¹ dr. A. Perielomowa oraz doktoranci: A. Sukhov (by³ tutaj trzy lata, po czym wróci³ do Kaliningradu), I.

Vereshchagina (obroni³a doktorat rok temu) i M. Kuœmirek-Ochrymiuk – moja obecna doktorantka. W pracach brali udzia³ stu- denci, m. in. M. Szymaniak, który po uzy- skaniu tytu³u magistra rozpocz¹³ pracê w Instytucie Maszyn Przep³ywowych. Zaj- muje siê on atrakcyjnym tematem: oddzia-

³ywania fal dŸwiêkowych z zaburzeniem warstwy przyœciennej – od których z kolei zale¿y stan oderwania cieczy od cia³a, wiêc wzrost oporu cia³a wskutek ruchu w oœrod- ku ci¹g³ym. Doœæ przypadkowo rozpocz¹-

³em d³ugotrwa³¹ i ju¿ owocuj¹c¹ wspó³pra- cê z eksperymentatorem prof. W. Lewan- dowskim z Wydzia³u Chemicznego. Bada- my równie¿ zjawiska zachodz¹ce w war- stwach przyœciennych – od których zale¿y wymiana ciep³a.

Nieliniowoœci podstawowych równañ Fouriera-Kirchhoffa i Naviera-Stokesa okreœlaj¹ kszta³t warstwy przyœciennej i charakter przekazu ciep³a. Mo¿na powie- dzieæ, ¿e powsta³a (nieformalna) grupa badawcza w dziedzinie fizyki cieczy ma charakter miêdzywydzia³owy – bior¹ w niej udzia³ studenci i doktoranci. Niedaw- no wzmocni³y siê kontakty z prof. K³u- skiem z Instytutu Oceanologii: badania fal

akustycznych, odbitych od pêcherzyków w wodzie – wa¿ne zjawisko nieliniowe – rozpraszanie kombinowane.

Ale równowa¿nym, a mo¿e nawet - powa¿niejszym dzie³em okaza³o siê stwo- rzenie drugiej grupy, która ju¿ ma okre-

œlone wspólne osi¹gniêcia/publikacje w tzw. teorii solitonów. Kilka s³ów o solito- nach, które s¹ rozwi¹zaniami wa¿nej kla- sy równañ – ca³kowalnych.

Historia.

Aspekt matematyczny.

Formalizm Hamiltona-Jacobiego by³ wa¿nym krokiem w kierunku œcis³ej defi- nicji ca³kowalnoœci Liouville’a. Sam Ja- cobi jest znany jako odkrywca (1839) fak- tu, i¿ ruch po geodetykach na elipsoidzie jest zagadnieniem ca³kowalnym, rozwi¹- zywalnym przez funkcje hipereliptyczne.

[C.G. Jacobi Vorlesungen über Dynamik, Königsberg University 1842—1843 (edi- ted by Clebsch and published from Reimer, Berlin, 1884)]

Prace Jacobiego w zakresie dynamiki, trwaj¹ce od roku 1837, by³y silnie inspi- rowane formalizmem hamiltonowskim, w optyce opartym na zasadzie najmniejsze- go dzia³ania. Mo¿na powiedzieæ, ¿e pra- ce Hamiltona by³y dla Jacobiego tak¹ sam¹ inspiracj¹, jak prace Abela w bada- niach Jacobiego dotycz¹cych funkcji elip- tycznych.

[J. Liouville Note sur les \’equations de la dynamique, J. Math. Pures Appl. 20 (1855), 137—138.]

Ca³kowalnoœæ w sensie Liouville’a opiera siê na pojêciu ca³ek pierwszych.

Dalej, patrz w: www.math.h.kyoto- u.ac.jp+.

Aspekt fizyczny.

W roku 1834 narodzi³a siê nowa dzie- dzina fizyki – fizyka solitonów. Jednym z ojców tego dziecka by³ in¿ynier ze Szko- cji John Scott Russel. Poetyczny cytat z jego artyku³u opublikowanego w [Trans.

Royal Soc. Edinburgh XIV (1840)] (w moim t³umaczeniu, red. M. Czachor) brzmi nastêpuj¹co:

„Obserwowa³em ruch ³ódki, która by³a szybko ci¹gniêta za pomoc¹ pary koni,

³ódka nagle zatrzyma³a siê – jednak to nie dotyczy³o masy wodnej w kanale, ruch której ona spowodowa³a; woda zebra³a siê

wokó³ dziobu statku w stanie silnego wzbudzenia, potem szybko ten dziób opu-

œci³a, tocz¹c siê do przodu z du¿¹ prêdko-

œci¹, przyjmuj¹c kszta³t samotnego wzgó- rza, okr¹g³ego, g³adkiego i wyraŸnie okre-

œlonego zwa³u wody, który przed³u¿a³ swój bieg wzd³u¿ kana³u bez ewidentnych zmian formy albo zmniejszenia prêdko-

œci. Pod¹¿y³em za nim na koniu, wyprze- dzi³em go; toczy³ siê z prêdkoœci¹ oko³o 8-9 mil na godzinê; zachowuj¹c swoj¹ postaæ d³ugoœci rzêdu 30 stop (stopa = 0,3 m) i wysokoœci od stopy do pó³torej sto- py. Jego wysokoœæ z czasem zmniejsza³a siê i po dwóch milach polowania zgubi³ go w zakrêtach kana³u. Tak w sierpniu 1834 odby³o siê moje pierwsze spotkanie z tym niezwyk³ym i piêknym zjawiskiem, które nazwa³em fal¹ postêpow¹ (transla- cyjn¹).

To by³ w³aœnie ten sam SOLITON, o którym mowa. W pracy 1844 Russel po- daje ju¿ klasyfikacjê fal powierzchniowych oraz mówi o „a large progressive solitary wave” – o samotnej fali przesuniêcia.

Odnoœnik: http://www.igf.fuw.edu.pl/

zp/pr.html

Tylko w latach 60. odkryto, ¿e równa- nia opisuj¹ce takie solitony nale¿¹ do ca³- kowalnych.

Nowa historia.

Solitony optyczne.

Rozchodzenie siê nieliniowych impul- sów w œwiat³owodach optycznych by³o badane przez ponad 30 lat. Pomys³ u¿y- cia solitonów optycznych jako bitów in- formacji w bardzo szybkich systemach telekomunikacyjnych po raz pierwszy zosta³ zaproponowany w 1973 roku, a zaprezentowany eksperymentalnie w 1980. Z teoretycznego punktu widzenia fala propaguj¹ca w jednomodowych œwia- t³owodach optycznych reprezentowana jest przez rodzinê skalarnych, nielinio- wych równañ Schrödingera (NLS, te¿ – ca³kowalne!). Powstanie optycznych so- litonów jest skutkiem wzajemnego od- dzia³ywania pomiêdzy rozprzestrzeniaj¹- cym siê impulsem a nieliniow¹ reakcj¹ oœrodka (efekt Kerra), które prowadz¹ do intensywnej zale¿noœci zmiany fazy im- pulsu (znane jako modulacja fazy). W przypadku œwiat³owodów dwój³omnych i wielofunkcyjnych z modulacj¹ fazy (SPM) nale¿y rozwa¿yæ poprzeczn¹ mo- dulacjê fazy (XPM); impuls ewoluuje zgodnie z równaniami uk³adu równañ Schrödingera (CNLS), prowadzi to do

Solitony na Politechnice

zale¿noœci fazy ka¿dego modu œwiat³owo- du od intensywnoœci modów.

Równania CNLS s¹ wszechobecne w tym sensie, ¿e maj¹ ró¿norodne zastoso- wania, opisuj¹c paczkê falow¹ z uwzglêd- nieniem polaryzacji. Pojêcie przestrzen- nych solitonów optycznych wzbudza sze- rokie zainteresowanie. Niedawno odkry- to propagacjê wi¹zki w refraktywnym oœrodku oraz wystêpowanie nieliniowych efektów z ekstremalnie niskimi mocami optycznymi, opisuj¹cych zespó³ równañ N-CNLS. W ostatnich latach po obserwa- cjach tak zwanych czêœciowo niespójnych solitonów wzbudzanych przez spójn¹ wi¹zkê œwiat³a odnotowuje siê rosn¹ce za- interesowanie propagacj¹ solitonow¹ w fotorefrakcyjnych oœrodkach. Zosta³o równie¿ zaobserwowane doœwiadczalnie oraz teoretycznie, ¿e równania N-CNLS odpowiadaj¹ klasie czêœciowo spójnych, sta³ych solitonów (PCS). Solitony te zo- sta³y zinterpretowane jako wielosolitono- we z³o¿enia bêd¹ce nieliniowymi super- pozycjami kilku solitonów podstawo- wych. Dalej zak³adano, ¿e solitony PCS maj¹ zmienny kszta³t. Chocia¿ du¿a licz- ba prac publikowanych w literaturze opie- ra siê na badaniu propagacji solitonowej w równaniach CNLS, to œcis³e wyniki s¹ rzadkie z wyj¹tkiem dwóch nieliniowych równañ Schrödingera ³¹czonych parame- trycznie. Równania te nazywane s¹ syste- mem równañ Manakova. Po raz pierwszy solitony Manakova uda³o siê zaobserwo- waæ w 1995 roku. W tym celu wykorzy- stany zosta³ laser NaCl:OH- pracuj¹cy na d³ugoœci fali 1.55 µm, natomiast œwiat³o- wód planarny AlGaAS, za pomoc¹ które- go przeprowadzony by³ eksperyment, mia³ d³ugoœæ 14 mm. Wa¿noœæ tego eks- perymentu polega na nowej mo¿liwoœci

– tworzenia bramek optycznych, co z ko- lei odkrywa drogê do nowej generacji komputerów – optycznych (wed³ug wstê- pu do pracy dyplomowej K. Fialkowskie- go – 2002 r.).

Dzieñ dzisiejszy.

Optyka nieliniowa i mechanika kwantowa.

Po uruchomieniu Katedry Fizyki Teo- retycznej i Metod Matematycznych razem z dr. hab. M. Czachorem zostaliœmy jej pracownikami. Rozmawiaj¹c o proble- mach ewolucji macierzy gêstoœci zwi¹za- nych z nieliniow¹ mechanik¹ kwantow¹, zauwa¿yliœmy, ¿e istnieje pewne podo- bieñstwo miedzy struktur¹ takich nielinio-

wych równañ i równaniami Eulera dyna- miki cia³a sta³ego. Takie podobieñstwa po- zwoli³y zastosowaæ metodê algebraiczn¹:

transformacjê Darboux-Backlunda (dres- sing), która pozwala³a wygenerowaæ ite- racyjne rozwi¹zania w postaci jawnej ob- szernej klasy podobnych równañ, z kolei

– wprowadziæ modele; na podstawie wy- krytych w³asnoœci modeli – zrozumieæ nowe mo¿liwoœci teorii. W ci¹gu ostatnich lat w katedrze FTiMS stworzy³a siê gru- pa, pracuj¹ca w dziedzinie teorii zjawisk nieliniowych-kwantowych. W tym s¹ ba- dania uk³adów ca³kowalnych – teorii so- litonów. Kierunkiem badañ jest teoria roz- wi¹zania równania von Neumanna-He- isenberga. G³ównym osi¹gniêciem by³o uzyskanie pewnej klasy ca³kowalnych równañ tego typu. Wa¿nym przedmiotom badañ s³u¿¹ fale elektromagnetyczne w

œwiat³owodach. Kilku studentów wykona-

³o prace magisterskie na bliskie tematy.

Do zespo³u do³¹czy³ siê dr. M. Kuna – pra- cownik Katedry Równañ Ró¿niczkowych.

Grupa aktywnie wspó³pracowa³a z uni- wersytetami Belgii: FUB w Brukseli i Antwerpii, Uniwersytetem w Kaliningra- dzie; razem opublikowaliœmy jak dot¹d 19 prac w dziedzinie fizyki matematycz- nej, dotycz¹cej klasyfikacji równañ nieli- niowych operatorowych i ich zastosowañ.

Tymczasem rozwinê³y siê kontakty w Polsce (prof. B³aszak – Uniwerystet Ada- ma Mickiewicza w Poznaniu, prof. Cie-

œliñski – Bia³ystok, prof. Popowicz – Wro- c³aw). Niedawno odby³o siê spotkanie w Gdañsku na temat problemów dynamiki kwantowej nieliniowej.

„Efektom ubocznym” sta³o siê zastoso- wanie techniki „dressing” do zagadnieñ rozpraszania elektronów na cz¹steczkach

– wspó³praca z kierownikiem Katedry prof.

M. Sienkiewiczem, z prof. J. Zubkiem , dr.

hab. I. Yurow¹ (Petersburg) i moim dokto- rantem S. Yaluninym (Kaliningrad).

Przysz³oœæ.

To wszystko stworzy³o podstawy dla dalszego rozwoju organizacyjnego.

1. Granty. Ju¿ trzeci rok funkcjonuje grant KBN (kieruje nimi M. Czachor).

Grupa (przez Katedrê) ma zamiar jesz- cze do³¹czyæ siê do stworzenia pod- staw fizycznych monitoringu satelitar- nego Ba³tyku.

2. Sieci. Zaistnia³o w sieci „ Laboratorium Fizycznych Podstaw Przetwarzania Informacji: INFORMATYKA I IN¯Y- NIERIA KWANTOWA” (patrz: strona

www Katedry). Zosta³ z³o¿ony wnio- sek o do³¹czeniu grupy do sieci NE- EDS – nieliniowe równania ewolucyj- ne i uk³ady dynamiczne (6. Program Ramowy).

3. Konferencje w Gdañsku. W 2002 i 2003 odby³y siê workshop’y „Kwan- tyzacja i solitony” z udzia³em specjali- stów z teorii solitonów z Polski i Kali- ningradu. W 2003 by³ te¿ goœæ z Miñ- ska – prof. Doktorov.

4. Studenci i doktoranci. Ju¿ trzech mo- ich absolwentów. (M. Jasiñski, M Ba- giñski, K. Fia³kowski) – mia³o, a trzech studentów (Rochraf, Reichel, B³awat)

– maj¹ tematy pracy zwi¹zane z teori¹ solitonów. Na stronie domowej Kate- dry mo¿na obejrzeæ listê doktorantów, skontaktowaæ siê z nimi – to jest naj- lepszy sposób, by zapoznaæ siê z kie- runkami badañ i mo¿liwoœciami Ka- tedry FTiMS.

5. Miejsca pracy. Wa¿ne, ¿e wiêkszoœæ absolwentów pracuje jako fizycy (M.

Jasiñski, K. Fia³kowski – PAN, Bagiñ- ski – WSZ w Elbl¹gu). Jestem pewien,

¿e doœwiadczenie zdobyte w trakcie wspó³pracy z naszym zespo³em w cza- sie pracy magisterskiej albo doktorskiej pozwoli absolwentom pracowaæ w szerokim gronie badañ fizyko-tech- nicznych, zwi¹zanych z informatyk¹ – modelowaniem/monitoringiem zjawisk przyrody.

Sergiej Leble Wydzia³ Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

P³omieniowy analizator dŸwiêku (fot. Jerzy

Kulas)

T wierdzenie Bella jest jednym z bar- dziej frapuj¹cych odkryæ fizyki kwan- towej. Sformu³owane zosta³o w 1964 r. przez Johna S. Bella, fizyka z genewskiego CERN, jako wariant tzw. paradoksu Einsteina-Ro- sena-Podolskiego. Ujmuj¹c rzecz skrótowo, twierdzenie g³osi, i¿ nale¿y zachowaæ jak najdalej id¹c¹ ostro¿noœæ w wypowiadaniu siê na temat zdarzeñ, które mog³yby siê wy- darzyæ, niemniej nie wydarzy³y siê.

Matematyka dowodu jest bardzo prosta, dostêpna ka¿demu, kto zna podstawowe w³asnoœci zbiorów i rachunku prawdopodo- bieñstwa. Pomimo prostoty „technicznej”, twierdzenie ociera siê o subtelnoœci natury logicznej trudne do uchwycenia i precyzyj- nego sformu³owania. Efektem owych trud- noœci jest niegasn¹ca i pe³na emocji dysku- sja w pewnych krêgach fizyków, logików i filozofów. W czasach dzisiejszych dyskusja ta nabra³a równie¿ wymiaru zdumiewaj¹co przyziemnego. Okazuje siê bowiem, i¿ twier- dzenie Bella przek³ada siê bezpoœrednio na pewne problemy zwi¹zane z bezpieczeñ- stwem szyfrowania danych. Praca autorstwa polskiego fizyka z Cambridge, Artura Eker- ta, pokazuj¹ca istnienie takiego zwi¹zku, jest obecnie najczêœciej cytowan¹ prac¹ z dzie- dziny kryptografii.

Pierwszym krokiem konstrukcji prowa- dz¹cej do tezy twierdzenia jest pewna nie- równoœæ, zwana nierównoœci¹ Bella.

Zanim jednak do niej dojdziemy, musi- my zrozumieæ parê etapów poœrednich.

Nierównoœci

Spoœród ró¿nych relacji matematycz- nych charakteryzuj¹cych prawdopodobieñ- stwa, szczególn¹ rolê odgrywaj¹ nierówno-

œci. Przyk³adowo, dla dowolnego prawdo- podobieñstwa p zachodzi 0≤p≤1. Nierów- noœæ ta jest w sposób oczywisty spe³niana w ka¿dym eksperymencie, gdzie przyjmu- je postaæ p=N

/N; N

jest liczb¹ „trafieñ”

przy N próbach, a liczba trafieñ nie mo¿e byæ wiêksza od liczby prób.

Inny rodzaj nierównoœci pojawia siê dla wartoœci œrednich (oczekiwanych) zmien-

nych losowych. Dla przyk³adu, jako zmien- n¹ losow¹ weŸmy wynik rzutu kostk¹ do gry (lub ocenê w szkole). Wynikami mog¹ byæ: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Przy N rzutach (lub ocenach) zanotujemy N

jedynek, N

dwó- jek, N

trójek, itd. Wartoœci¹ œredni¹ liczby oczek (lub ocen) jest

<N>= N

/N+2 N

/N+3 N

/N+4 N

/N+5 N

/ N+6 N

/N.

Ka¿de dziecko wie, ¿e œrednia ze stopni na okres nie mo¿e byæ wiêksza ni¿ 6 i mniej- sza ni¿ 1. Jest to w³aœnie przyk³ad nierówno-

œci dla œredniej: zawsze zachodzi 1 ≤<N> ≤6.

Jeszcze inny typ nierównoœci pojawia siê, gdy myœlimy w kategoriach zbiorów.

Prawdopodobieñstwo, ¿e coœ nale¿y do zbioru A, nie mo¿e byæ mniejsze ni¿ praw- dopodobieñstwo, ¿e to coœ nie tylko nale¿y do A, ale dodatkowo równie¿ do jakiegoœ

innego zbioru B, czyli, w notacji matema- tycznej, p(A∩B)≤p(A). Przyk³adowo, praw- dopodobieñstwo, ¿e zabawka w pokoju mojego dziecka jest klockiem, nie mo¿e byæ mniejsze ni¿ prawdopodobieñstwo, i¿ za- bawka jest czerwonym klockiem, gdy¿ czer- wonych klocków nie mo¿e byæ wiêcej ni¿

wszystkich klocków.

Jako szczególne zastosowanie takiej w³a-

œnie nierównoœci, rozpatrzmy nierównoœæ dla trzech zbiorów zdarzeñ, mówi¹c¹, ¿e prawdopodobieñstwo posiadania trzech w³asnoœci A, B, C nie jest wiêksze ni¿ praw- dopodobieñstwo posiadania dwóch z nich, czyli p(A∩C∩B)≤p(A∩B). Niech zbiór A odpowiada przedmiotom przyci¹ganym przez magnes, B – przedmiotom p³ywaj¹- cym na powierzchni wody. Za pomoc¹ ma- gnesu i wody mo¿emy oddzieliæ œrut od kulek pingpongowych, umieszczaj¹c nad naczyniem magnes lub wlewaj¹c do naczy- nia wodê. Zdarzenie nale¿¹ce do A∩B po- lega na znalezieniu przedmiotu przyci¹ga- nego przez magnes i równoczeœnie p³ywa- j¹cego w wodzie. Prawdopodobieñstwo p(A∩B)=0, gdy¿ to, co jest przyci¹gane przez magnes, nie chce p³ywaæ. Za³ó¿my teraz, ¿e œrut i pi³ki mog¹ byæ zarówno czar- ne, jak i bia³e, a zbiór bia³ych przedmiotów oznaczmy jako C. Zbiorowi A∩C odpowia-

da wyci¹gniêcie bia³ej kulki œrutu, a B∩C

– bia³ej pi³ki, itd. Oczywiste jest, i¿

p(A∩C∩B)=0, gdy¿ to, co przyci¹ga ma- gnes, nie chce p³ywaæ, nawet jeœli ograni- czyæ siê jedynie do bia³ych przedmiotów.

Czytelnik dziwi siê mo¿e, czemu dzie- lê w³os na czworo w kwestii tak oczywi- stej? Zast¹pmy wiêc nasz A zbiorem foto- nów przepuszczonych przez polaryzator li- niowy, przepuszczaj¹cy œwiat³o spolaryzo- wane w p³aszczyŸnie pionowej, B – to samo dla polaryzatora ustawionego pozio- mo, a C – dla polaryzatora nachylonego pod k¹tem 45 stopni wzglêdem pozosta-

³ych dwóch. Fotony pe³ni¹ rolê kulek z poprzedniego przyk³adu. Prawdopodo- bieñstwo przejœcia przez idealny polary- zator wynosi 1. Prawdopodobieñstwo przejœcia przez drugi polaryzator, ustawio- ny za nim, wynosi cos

α, gdzie α to k¹t miedzy polaryzatorami. Jest to tzw. pra- wo Malusa. Je¿eli polaryzatory ustawione s¹ prostopadle, to p(A∩B)=0. Jednak¿e, je-

¿eli wstawiæ pomiêdzy dwa prostopad³e polaryzatory polaryzator nachylony pod k¹tem 45 stopni, to p(A∩C∩B)= 1 1 1 =1/

8. Je¿eli wiêc zawsze musi zachodziæ p(A∩C∩B)≤p(A∩B), to 1/8 L 0 co, jako

¿ywo, prawd¹ nie jest. Analogiczny pro- blem pojawia siê, gdy zamiast fotonów weŸmiemy elektrony, zamiast polaryzato- rów – odpowiednio skonstruowane magne- sy, a polaryzacjê liniow¹ zast¹pimy mo- mentem magnetycznym. Odpowiednik prawa Malusa zawiera teraz prawdopodo- bieñstwo warunkowe cos

(α/2), gdzie α to k¹t miedzy magnesami. K¹t po³ówkowy bierze siê z faktu, i¿ p(A∩B)=0, gdy od- wrócimy drugi magnes do góry nogami (czyli o 180 stopni), a nie o 90 stopni, jak to ma miejsce dla polaryzatorów.

Prawo Malusa potwierdzone jest w niezliczonych eksperymentach i nie bu- dzi w¹tpliwoœci. Coœ wiêc najwyraŸniej jest nie tak z naszym pojêciem prawdo- podobieñstwa opartego na intuicji z teo- rii zbiorów. Odk³adaj¹c na póŸniej anali- zê tego zjawiska, sformu³ujmy kilka uwag. Sprzecznoœæ, któr¹ uzyskaliœmy, jest prostym przyk³adem trudnoœci, na które trafia siê, próbuj¹c pogodziæ zwy- k³y „szkolny” rachunek prawdopodobieñ- stwa z mechanika kwantow¹. Nierównoœæ Bella jest trudnoœci¹ podobnej natury, lecz g³êbsz¹. Okazuje siê, ¿e problem jest ogólniejszy i nie tkwi wcale w mechani- ce kwantowej, przynajmniej jeœli chodzi o prawo Malusa.

O sposobach nieistnienia

„.Jak wiadomo, smoków nie ma. Prymitywna ta konstatacja wystarczy mo¿e umys³owi prostackiemu, ale nie nauce, poniewa¿ Wy¿sza Szko³a Neantyczna tym, co istnieje, wcale siê nie zajmuje; banalnoœæ istnienia zosta³a ju¿ udowodniona zbyt dawno, by warto jej poœwiêcaæ choæby jedno jeszcze s³owo...”

Stanis³aw Lem, Siedem wypraw Trurla i Klapaucjusza

Prawo Malusa dla budzika

Poni¿szy przyk³ad poda³ Dirk Aerts z Brukseli w 1986 r. Uwa¿am go za obowi¹z- kowe æwiczenie dla ka¿dego, kto chce zro- zumieæ trudnoœci z klasycznymi nierówno-

œciami, pojawiaj¹ce siê w mechanice kwan- towej.

Rozpatrzmy tarczê budzika. Umawiamy siê, ¿e zegar ma trzy wskazówki tej samej d³ugoœci: czarn¹ godzinow¹, czerwon¹ mi- nutow¹ i ¿ó³t¹ do ustawiania budzenia.

Masê m umieszczamy na koñcu ¿ó³tej wska- zówki i na oœlep ustawiamy godzinê budze- nia. Nastêpnie bierzemy dwie masy m

, m

, których sumê znamy, np. m

+ m

=1g, ale nie znaj¹c z osobna wartoœci m

i m

. Masê m

przyklejamy na koñcu wskazówki go- dzinowej (czarnej), a m

na koñcu minuto- wej (czerwonej). Nastêpnie ustawiamy go- dzinê na zegarze w taki sposób, ¿eby wska- zówki czarna i czerwona skierowane by³y przeciwnie, np. na 8:11, i mierzymy si³y przyci¹gania grawitacyjnego miêdzy masa- mi. Je¿eli przyci¹ganie jest silniejsze miê- dzy m i m

, ni¿ miêdzy m i m

, przesuwa- my wskazówkê budzenia na wskazówkê go- dzinow¹; w przeciwnym przypadku prze- suwamy j¹ na wskazówkê minutow¹. W pierwszym wypadku mówimy, ¿e wynikiem pomiaru jest +1, a w drugim, ¿e –1. Nastêp- nie usuwamy m

i m

, a m pozostawiamy na wskazówce budzenia w jej nowym ustawie- niu. Jako etap kolejny, ponownie zmienia- my godzinê na, przyk³adowo, 12:33 i po- wtarzamy procedurê, u¿ywaj¹c na nowo lo- sowo wybranych mas, m’

i m’

, spe³niaj¹- cych m’

+ m’

=1g.

Obliczmy teraz prawdopodobieñstwa wyniku +1 przy pierwszym pomiarze, oraz prawdopodobieñstwa wyników +1 i –1 w drugim eksperymencie, pod warunkiem, ¿e pierwszy pomiar da³ +1. W pierwszym eks- perymencie prawdopodobieñstwo zwi¹za- ne jest z brakiem informacji o dwóch zmien- nych: po³o¿eniu masy m oraz wartoœci masy m

. W drugim eksperymencie po³o¿enie m znamy, ale nie znamy wartoœci masy m’

. Zak³adaj¹c, ¿e podzia³ 1g masy na m

i m

oraz m’

i m’

odbywa siê losowo i ¿e wszystkie mo¿liwe rozk³ady s¹ równie prawdopodobne, oraz wykorzystuj¹c wzór Newtona na si³ê grawitacyjn¹, uzyskujemy nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa:

p(8:11,+1)=1/2 (pierwszy eksperyment z nieznanym po³o¿eniem masy m), p(8:11,+1∩12:33,+1)= 1/2 cos

(α/2), gdzie a to k¹t pomiêdzy wskazówkami godzino- wymi w obu eksperymentach. Uzyskaliœmy

wiêc prawo Malusa dla elektronów, które sprzeczne jest, jak ju¿ wczeœniej ustaliliœmy, z nierównoœci¹ p(A∩C∩B)≤p(A∩B)!

Sta³o siê coœ dziwnego. Matematyka i fi- zyka, których u¿yliœmy, nie wykraczaj¹ poza poziom szko³y œredniej, a sprzecznoœæ pojawia siê na poziomie innego, równie pro- stego rozumowania.

¯eby zrozumieæ, o co chodzi, zauwa¿- my wpierw, i¿ koniunkcje postaci 8:11,+1∩12:33,+1 maj¹ sens jedynie dla zdarzeñ wystêpuj¹cych jedno po drugim.

Koniunkcja taka znaczy: „przy ustawieniu wskazówek na 8:11 masa m spad³a na wska- zówkê godzinow¹; przy kolejnym pomiarze wykorzystuj¹cym ustawienie 12:33 ponow- nie spad³a na wskazówkê godzinow¹”.

Zwróæmy uwagê, ¿e nie mamy wcale gwa- rancji, i¿ przy odwróceniu kolejnoœci po- miarów, tj. wpierw 12:33, a potem 8:11, uzyskalibyœmy ponownie wyniki +1 i +1.

Dzieje siê tak dlatego, ¿e pierwszy pomiar zmienia po³o¿enie masy m na zegarze, i to w sposób ró¿ny dla ró¿nych ustawieñ wska- zówek.

Jak widaæ, w omawianym eksperymen- cie nie mo¿emy za³o¿yæ nawet, ¿e „A i B”

to logicznie to samo co „B i A”, gdy¿ po- rz¹dek zdarzeñ nie jest bez znaczenia. Zda- rzenie A zawiera w sobie stwierdzenie

„masa m osi¹gnê³a wskazówkê godzinow¹ lub minutow¹ ustawione na 8:11”, podczas gdy zdarzenie B, to „masa m osi¹gnê³a wskazówkê godzinow¹ lub minutow¹ usta- wione na 12:33”. Ma to sens dla zdarzeñ pojawiaj¹cych siê jedno po drugim, ale nie dla zdarzeñ zachodz¹cych równoczeœnie!

Oczywiœcie, poniewa¿ dla zbiorów zawsze zachodzi B∩A= A∩B, wnioskujemy, i¿

prawdopodobieñstw koniunkcji nie da siê tu modelowaæ za pomoc¹ algebry zbiorów.

Gdybanie probabilistyczne

Wyjaœnijmy sobie jeszcze jedn¹ kwestiê.

Wynik ka¿dego pomiaru jest jednoznacz- nie okreœlony przez po³o¿enie masy m oraz wielkoœæ masy m

, gdy¿ wystarczy obliczyæ si³y przyci¹gania grawitacyjnego pomiêdzy m i m

oraz m i m

przy konkretnym usta- wieniu wszystkich trzech wskazówek bu- dzika. Prawdopodobieñstwa pojawiaj¹ siê, gdy brakuje nam czêœci danych. Przypo- mnijmy, ¿e przed pierwszym pomiarem nie mamy ¿adnej informacji, a po pierwszym pomiarze znamy ju¿ po³o¿enie masy m.

Po³o¿enie to jest jednoznacznie okreœlone przez wynik pierwszego pomiaru. Zagad-

nienie jest zupe³nie klasyczne, dlaczego zatem modelowanie prawdopodobieñstw przez zbiory nie ma mimo wszystko zasto- sowania?

Zauwa¿my, i¿ prawdopodobieñstwo zna- lezienia masy m na koñcu czarnej wskazów- ki po pierwszym pomiarze wynosi 1. A ile wynosi³o prawdopodobieñstwo znalezienia masy m na koñcu tej¿e czarnej wskazów- ki... przed pierwszym pomiarem, czyli

„prawdopodobieñstwo warunku”? Zero!

Niemniej, prawdopodobieñstwo warunko- we jest tu dobrze zdefiniowane, gdy¿ dla drugiego pomiaru istotne jest, gdzie znaj- duje siê masa m po pierwszym pomiarze, a nie przed. Akt uwarunkowania nie polega tu jedynie na uzyskaniu informacji o uk³a- dzie, czyli okreœleniu, w jakim podzbiorze wszystkich mo¿liwych wartoœci znajduje siê badana cecha uk³adu, lecz dodatkowo zmienia on uk³ad poprzez przeniesienie masy m z nieznanego po³o¿enia na koniec jednej z dwóch wskazówek budzika. Sytu- acja taka jest niemo¿liwa do poprawnego opisu przez prawdopodobieñstwa modelo- wane na zbiorach i zwi¹zana jest z tzw. pa- radoksem Borela, znanym z klasycznego rachunku prawdopodobieñstwa.

Natomiast zupe³nie inne zagadnienie po- jawia siê, gdy zapytamy „jakie jest praw- dopodobieñstwo trafienia w tak¹ kombina- cjê mas i po³o¿eñ, ¿e gdybyœmy ustawili wskazówki na 8:11, to uzyskalibyœmy +1, przy czym +1 uzyskalibyœmy równie¿ wte- dy, gdybyœmy zamiast 8:11 wybrali 12:33”.

Problem jest podobny do poprzedniego, je¿eli pomin¹æ ruch masy m. Poniewa¿ po-

³o¿enie masy m okreœliæ mo¿na przez po-

danie k¹ta 0≤θ<360 stopni, a masa m

spe³-

nia warunek 0≤ m

≤1g, jako przestrzeñ pa-

rametrów mo¿emy przyj¹æ prostok¹t

[0,360]x[0,1]. Trzeba teraz okreœliæ jak, dla

konkretnego ustawienia wskazówek godzi-

nowej i minutowej, wygl¹da zbiór parame-

trów postaci (θ,m

), dla których si³a przy-

ci¹gania pomiêdzy masami m oraz m

jest

wiêksza ni¿ dla mas m i m

, obliczyæ to dla

dwóch ró¿nych ustawieñ wskazówek, wzi¹æ

czêœæ wspóln¹, wreszcie policzyæ jej pole i

podzieliæ przez 360, czyli pole ca³ego pro-

stok¹ta. Prawdopodobieñstwo tak wyliczo-

ne nie z³amie ¿adnej nierównoœci, któr¹

mo¿na wyprowadziæ w ramach modelu

opartego na algebrze zbiorów, ale w szcze-

gólnoœci na pewno nie uzyskamy prawa

Malusa. Nie jest to jednak prawdopodobieñ-

stwo odpowiadaj¹ce sytuacji eksperymen-

talnej, gdy¿ pomiar zmienia po³o¿enie

masy. Na rys. 1 krzywa oscyluj¹ca opisuje prawdopodobieñstwo warunkowe cos

(α/

2), a krzywa niedotykaj¹ca osi poziomej – odpowiednie prawdopodobieñstwo dla pro- blemu z gdybaniem, jako funkcje k¹ta po- miêdzy wskazówkami godzinowymi.

KomplementarnoϾ

Wed³ug Nielsa Bohra dwie wielkoœci fi- zyczne nazywamy komplementarnymi, je-

¿eli wiedza na temat jednej z nich wyklu- cza lub zaburza znajomoœæ drugiej. Bohr przyzwyczai³ nas do istnienia wielkoœci komplementarnych w mechanice kwanto- wej, lecz ka¿dy z Czytelników po chwili zastanowienia poda jakiœ przyk³ad z ¿ycia wziêty. W kontekœcie prawa Malusa dla budzika komplementarne s¹ wyniki pomia- rów dla 8:11 i 12:33. Rzeczywiœcie, w mo- mencie, gdy decydujemy siê na sprawdze- nie wyniku dla jednego konkretnego usta- wienia wskazówek, tak dalece i nieodwra- calnie niszczymy informacjê na temat wy- niku ewentualnego alternatywnego pomia- ru, ¿e traci sens pojêcie koniunkcji obu zmiennych losowych. Mówi¹c dok³adniej, istotnym elementem definicji wyniku po- miaru by³o dotarcie masy m do jednej z dwóch wskazówek, a przecie¿ masa ta nie mo¿e równoczeœnie dotrzeæ do dwóch ró¿- nych miejsc. W tym przypadku, prawdo- podobieñstwa wyliczone na podstawie gdybania maj¹ siê nijak do czêstoœci wy- stêpowania wyników w konkretnych prak- tycznych eksperymentach. Nie ma nato- miast k³opotów z pomiarami wielkoœci komplementarnych wykonywanych jeden po drugim.

Dotarliœmy do niezwykle wa¿nego punk- tu naszego rozumowania, wiêc pójdŸmy jeszcze trochê g³êbiej.

Zmienne losowe, które rozwa¿aliœmy, mo¿na by³o wyraziæ za pomoc¹ funkcji przyporz¹dkowuj¹cych wartoœci +1 lub –1 parametrom (θ,m

) okreœlaj¹cym konfigu- racjê mas m, m

i m

. W pierwszym ekspe- rymencie funkcja taka przyjmuje wartoœæ A(θ,m

)=+1, je¿eli si³a Newtona pomiêdzy

masami m i m

jest wiêksza od si³y pomiê- dzy masami m i m

. Chc¹c okreœliæ wartoœæ oczekiwan¹ zmiennej losowej A, musimy znaæ rozk³ady prawdopodobieñstwa dla obu parametrów, czyli jaki procent pola po- wierzchni prostok¹ta [0,360]x[0,1] zajmu- j¹ punkty (θ,m

) spe³niaj¹ce A(θ,m

)=+1. W drugim eksperymencie mamy zmienn¹ lo- sow¹ B(ϕ,m’

), gdzie ϕ okreœla po³o¿enie wskazówki godzinowej, lecz œrednie i prawdopodobieñstwa obliczamy jedynie wzglêdem zmiennej m’

. Tak wiêc zmien- ne losowe A(θ,m

) i B(ϕ,m’

) s¹ funkcjami okreœlonymi, odpowiednio, na prostok¹cie [0,360]x[0,1] i odcinku [0,1]. Precyzyjniej- sze by³oby zapisanie drugiej zmiennej lo- sowej jako B

(m’

). Trzeba wykazaæ du¿¹ ostro¿noœæ przy rozpatrywaniu zmiennej lo- sowej odpowiadaj¹cej np. iloczynowi lub sumie wyników z pierwszego i drugiego po- miaru, gdy¿ prawdopodobieñstwo losowe- go trafienia w θ=ϕ jest zerowe, wiêc nie wolno bezkrytycznie dzieliæ przez prawdo- podobieñstwo „warunku” θ=ϕ (na tym w³a-

œnie oparty jest pozorny paradoks odkryty przez Borela). Rzecz jasna, nie ma proble- mu z policzeniem wartoœci oczekiwanej od- powiedniej zmiennej losowej, trzeba tylko pamiêtaæ, i¿ koniunkcje rozumiane s¹ w sensie wartoœci pomiarów dla eksperymen- tów robionych jeden po drugim.

Dlatego te¿ nie wolno po prostu pomno-

¿yæ A(θ,m

)B(θ,m

) lub dodaæ A(θ,m

)+B(θ,m

), gdy¿ odpowiada³oby to zagadnieniu opartemu na gdybaniu, a wiêc innemu problemowi.

Korelacje

Ostatnim brakuj¹cym elementem uk³a- danki jest zrozumienie pojêcia korelacji miêdzy zdarzeniami.

Rozpatrzmy jako przyk³ad urz¹dzenie produkuj¹ce pary kostek do gry. Urz¹dze- nie skonstruowane w taki sposób, ¿e kost- ki z ka¿dej pary ustawione s¹ do siebie

œciankami maj¹cymi tak¹ sam¹ liczbê kro- pek, p. rys. 2. Z kostk¹ (jak z ka¿dym sze-

œcianem) mo¿na zwi¹zaæ trzy osie wspó³- rzêdnych, w sposób pokazany na rysunku.

Ponadto, ka¿da œcianka naturalnie definiu- je zmienn¹ losow¹ równ¹ +1, je¿eli liczba jej kropek jest parzysta, i –1, jeœli jest nie- parzysta. Ow¹ zmienn¹ losow¹, odpowia- daj¹c¹ œciance prostopad³ej do osi x, y, lub z, oznaczymy, odpowiednio, jako A

, A

, A

. WprowadŸmy jeszcze zmienne losowe od- powiadaj¹ce kierunkom –x, –y, lub –z, czyli A

, A

, A

. Poniewa¿, jak wiadomo, suma kropek na przeciwleg³ych œciankach kostki

wynosi 7, wiêc je¿eli na jednej œciance licz- ba oczek jest parzysta, to na przeciwleg³ej musi byæ nieparzysta. Innymi s³owy, A

=–A

, itd., przy czym zawsze wynosi ona +1 lub –1. Poniewa¿ urz¹dzenie produkuje pary kostek, wiêc takie zmienne losowe mo¿emy zwi¹zaæ z ka¿d¹ z kostek. Ozna- czajmy je liter¹ A dla kostki lewej, a B dla kostki prawej. Dodatkowo mamy wiêc zmienne B

, B

, B

o analogicznych w³asno-

œciach jak poprzednio. Z rysunku widaæ, ¿e zawsze zachodzi równie¿ A

=–B

, A

=–B

, A

=–B

. Ten ostatni ci¹g równoœci nazy- wamy w³aœnie korelacj¹ pomiêdzy zmien- nymi losowymi A i B. Jest to nawet tzw.

idealna lub pe³na korelacja, gdy¿ dokonu- j¹c pomiaru zmiennej losowej na jednej kostce (czyli sprawdzaj¹c, czy liczba oczek na danej œciance jest parzysta, czy nie), au- tomatycznie dowiadujemy siê, i¿ odpowied- ni wynik dla drugiej kostki musi byæ prze- ciwny.

Nierównoœæ Bella

Niech teraz A i A’ bêd¹ dowolnymi zmiennymi losowymi równymi +1 lub –1, zwi¹zanymi z kostk¹ lew¹, a B i B’ – do- wolnymi analogicznymi zmiennymi loso- wymi zwi¹zanymi z kostk¹ praw¹. Przy- k³adowo, A =A

, A’ =A

, B =B

, B’ =B

, lub jakakolwiek inna kombinacja tych lub jeszcze innych zmiennych losowych, byle przyjmowa³y jedynie wartoœci +1, –1.

Utwórzmy nastêpnie now¹ zmienn¹ loso- w¹ C=AB+AB’+A’B–A’B’. W naszym przyk³adzie oblicza siê j¹ dla pojedynczej pary kostek poprzez policzenie oczek na

œciankach odpowiadaj¹cych zmiennym A

=A

, A’ =A

, B =B

, B’ =B

, nastêpnie wykonaniu odpowiednich dzia³añ po pod- stawieniu wartoœci zmiennych losowych, które znajdziemy dla tej konkretnej pary.

Twierdzê, ¿e jakiegokolwiek wyboru doko- namy i jakiekolwiek kombinacje plusów i minusów nam wyjd¹, wartoœci¹ C zawsze oka¿e siê +2 lub –2. Dowód jest natych- m i a s t o w y . C = A B + A B ’ + A ’ B – A’B’=A(B+B’)+A’(B–B’). Jeœli B–B=0, to B+B’≠ 0 i odwrotnie, ale wtedy cz³on, któ- ry jest ró¿ny od 0, wynosi +2 lub –2. Wyni- ka z tego wa¿na nierównoœæ dla wartoœci oczekiwanej, –2 ≤ <C> ≤2. Jest to w³aœnie os³awiona nierównoœæ Bella, zazwyczaj po- dawana w postaci jawnie rozpisanej, jako

|<AB>+<AB’>+<A’B>–<A’B’> |≤2.

Na pierwszy rzut oka jest to nierównoœæ

bardzo ogólna, stosuj¹ca siê do wszystkich

zmiennych losowych przyjmuj¹cych war-

toœci +1 i –1. SprawdŸmy, czy jest ona spe³-

niona w eksperymencie z budzikiem, je¿eli

Rys. 1

zmiennymi A bêd¹ wyniki pierwszych po- miarów, a B – drugich. £atwo pokazaæ, i¿

dla naszego budzika

<AB> = cos α

, gdzie α

jest k¹tem miêdzy wskazówkami godzinowymi dla pierwszego i drugiego pomiaru. Wybierz- my teraz nastêpuj¹ce ustawienia wskazó- wek godzinowych: A = 1:30, A’ = 10:30, B

= 12:00, B’ = 3:00. Uzyskujemy œrednie

<AB> =<AB’> =<A’B> = cos 45°=1/√2,

<A’B’> = cos 135°=–1/√2, a wiêc

<C>=2√2≈2,83, czyli sporo powy¿ej gór- nego ograniczenia narzuconego przez nie- równoœæ Bella.

Czytelnik zapewne nie jest szczególnie wstrz¹œniêty z³amaniem kolejnej nierówno-

œci – zd¹¿yliœmy ju¿ siê przyzwyczaiæ do paradoksalnych w³asnoœci naszego budzi- ka. Niemniej pouczaj¹ce jest zastanowie- nie siê nad formaln¹ przyczyn¹ k³opotu.

Tkwi ona w prawie Malusa, co widaæ ze wzoru cos α= cos

(α/2) –sin

(α/2), gdzie pierwszy wyraz to suma prawdopodo- bieñstw wyników A=+1, B=+1 oraz A= –

1, B= –1; drugi wyraz odpo- wiada zdarzeniom A=+1, B=–1 oraz A=–1, B=+1, a uœredniamy iloczyn wyników pierwszego i drugiego pomia- ru. Ponadto pope³niliœmy co najmniej jedno nadu¿ycie.

Za³o¿yliœmy bowiem, i¿ to samo B wystêpuje w iloczy- nach AB oraz A’B, a przecie¿

B odpowiada pomiarowi wy- konanemu po uprzednim zmierzeniu A lub A’, które to pomiary zmieniaj¹ stan bu- dzika w zupe³nie inny spo- sób. Bardziej prawid³owe by-

³oby pisanie B

oraz B

, gdzie dolny indeks zaznacza rodzaj uprzedniego pomiaru.

Ale wtedy mamy do czynie- nia ze zmienn¹ losow¹ C=AB

+AB’

+A’B

–A’B’

=A(B

+B’

)+A’(B

–B’

) i nie mo¿emy zak³adaæ, i¿ B

A

+B’

≠ 0 implikowane jest przez B

–B’

=0, gdy¿ s¹ to zupe³nie inne zmienne lo- sowe. Jedynym ogranicze- niem, jakie z pewnoœci¹ za- chodzi, to –4 ≤ <C> ≤4.

W przypadku, gdy B

≠ B

mówimy, ¿e jest nielokalny, okreœlenie, które stanie siê ja-

œniejsze w dalszej czêœci.

Bell, w swej s³ynnej pracy, zwróci³ uwagê na tê w³aœnie mo¿liwoœæ obejœcia nierów- noœci. Zobaczymy wkrótce, czemu jest to problem o wadze zupe³nie zasadniczej dla naszego rozumienia œwiata kwantowego.

Dwa po³¹czone budziki

Rozpatrzmy teraz dwa budziki, lewy i prawy, maj¹ce wspólny mechanizm usta- wiania budzenia. Chodzi o to, ¿eby jedna osoba by³a zawsze budzona 6 godzin póŸ- niej ni¿ druga i ¿eby mo¿na to by³o usta- wiaæ za jednym zamachem. Jeœli przekrê- ciæ wskazówkê budzenia na jednym zega- rze np. na 5:00, automatycznie drugi usta- wia siê na 11:00, itd. Poza tym budziki s¹ od siebie niezale¿ne. PrzeprowadŸmy teraz na naszej parze budzików pomiary przyj- muj¹c, i¿ pierwszy pomiar wykonujemy na lewym budziku, a drugi na prawym. Wy- nik A=+1 dla ustawienia 8:11 powoduje przestawienie siê ¿ó³tej wskazówki na le- wym budziku z miejsca, w którym by³a, na 8:11. Natomiast pomiar ten powoduje prze- stawienie siê wskazówki budzenia na pra- Rys. 2

wym budziku na 2:11. Nastêpnie dokonu- jemy pomiaru zmiennej B na prawym bu- dziku dla ustawienia 12:33 (nawiasem mó- wi¹c, nie da siê takich pomiarów wykonaæ równoczeœnie bez zepsucia mechanizmu ustawiania budzenia). Rozumowanie do- k³adnie takie jak poprzednio prowadzi do prawdopodobieñstw p(8:11,+1)=1/2, p(8:11,+1∩12:33,+1)= 1/2 sin

(α/2), gdzie a to k¹t pomiêdzy wskazówkami godzino- wymi w obu eksperymentach, a œrednia wy- korzystywana w nierównoœci Bella wynosi

<AB> = –cos α

, wiêc nierównoœæ znowu jest z³amana, z przyczyn identycznych jak dla jednego budzika.

Sedno sprawy: stany spl¹tane

Sedno sprawy tkwi w fakcie, i¿ dwa fo- tony wyemitowane w pewnych procesach atomowych prowadz¹ do analogicznych prawdopodobieñstw, dok³adniej do <AB>

= –cos (2α

). O parach fotonów posiada- j¹cych te w³asnoœæ mówimy, i¿ s¹ w stanie maksymalnie spl¹tanym. Podobnie jak w wypadku jednofotonowego prawa Malusa, rolê budzików przejmuj¹ polaryzatory. Za- uwa¿amy pozorne podobieñstwo dwóch ta- kich fotonów do pary kostek do gry. Praw- dopodobieñstwa wyników +1 dla pierwsze- go pomiaru, czyli zmiennej losowej A, wy- nosz¹ w obu przypadkach 1 (jest taka sama szansa trafienia w nieparzyst¹ liczbê oczek, jak w parzyst¹; taka sama jest szansa, ¿e foton przejdzie przez polaryzator, jak ¿e nie przejdzie). Je¿eli wybraæ polaryzatory rów- nolegle, to je¿eli lewy foton przez niego przejdzie, to drugi nie – i odwrotnie. Dla kostek jest tak samo: je¿eli mierzymy licz- bê oczek na lewej kostce, to wynik parzy- sty oznacza nieparzyst¹ liczb¹ na drugiej kostce. Obrotowi polaryzatora o 90 stopni odpowiada wybór przeciwleg³ej œcianki.

Tyle, ¿e kostki nie ³ami¹ nierównoœci Bel- la, a fotony – tak.

Pytanie postawione przez Einsteina, Ro- sena i Podolskiego w 1935 r., a przeformu-

³owane dla polaryzacji, znane jest dziœ jako problem zmiennych ukrytych i brzmi nastê- puj¹co: Czy jest mo¿liwe, ¿eby polaryza- cje fotonów nie istnia³y w jakimœ zdrowo- rozs¹dkowym sensie ju¿ przed pomiarem, je¿eli mierz¹c polaryzacjê fotonu lewego i uzyskuj¹c wynik +1, wiemy z ca³¹ pewno-

œci¹, jaki wynik da analogiczny pomiar

przeprowadzony na drugim fotonie? Inny-

mi s³owy, czy istniej¹ jakieœ ukryte zmien-

ne, o których milczy mechanika kwantowa,

a które odpowiedzialne s¹ za rezultaty po

miarów przeprowadzanych na uk³adach kwantowych? W wypadku budzika „zmien- nymi ukrytymi” s¹ k¹t θ i masa m

.

Bell udzieli³ odpowiedzi znanej obecnie jako twierdzenie Bella: Je¿eli polaryzacje istniej¹ w jakimkolwiek sensie przed po- miarem, to uzasadnione jest gdybanie, a wiêc powinna byæ spe³niona nierównoœæ Bella, chyba ¿e dwa takie fotony przez ca³y czas kontaktuj¹ siê ze sob¹ w jakiœ niepojê- ty sposób. Dowód z pracy Bella wykorzy- stuje znany nam ju¿ trik, który, przeformu-

³owany dla dwóch budzików, przyj¹³by postaæ

C(θ,m

)=A

(θ,m

)B

(θ,m

)+ A

(θ,m

)B’

(θ,m

)+ A’

(θ,m

)B

(θ ,m

)- A’

( θ,m

)B’

(θ,m

)=

A(θ,m

)[B(θ ,m

)+B’(θ,m

)]+ A’( θ,m

)[B(θ,m

)- B’(θ,m

)] = ± 2,

gdy A

(θ,m

)= A

(θ,m

)= A(θ,m

) itd.

(czyli zachodzi warunek lokalnoœci zmiennych ukrytych).

St¹d pytanie: Je¿eli A jest mierzone na Ziemi, a B gdzieœ w gwiazdozbiorze Cen- taura, to czy wci¹¿ zachodziæ bêdzie prawo Malusa <AB> = –cos(2a

) pozostaj¹ce w sprzecznoœci z nierównoœci¹ Bella? A je¿e- li tak, to czy œwiat jest nielokalny, czy mo¿e nie ma ¿adnych zmiennych ukrytych?

W warunkach laboratoryjnych prawo to dla spl¹tanych par fotonów sprawdzi³ Ala-

in Aspect z Orsay ponad 20 lat temu i wszystko siê zgadza z prawem Malusa, mimo i¿ prêdkoœæ propagacji tajemniczego sygna³u musia³aby co najmniej kilkakrot- nie przekraczaæ prêdkoœæ œwiat³a. Szczerze powiedziawszy, nie wierzê w takie nielo- kalne, „telepatyczne” kontakty, chocia¿ – kto wie?

Gdzie szukaæ rozwi¹zania?

Je¿eli wykluczymy szybsze od œwiat³a kontakty telepatyczne, to czy pozostaje ja- kaœ dziura w ca³ym? Okazuje siê, ¿e jest jesz- cze kilka dziur, o czym mo¿e innym razem, ale zwróæmy uwagê na jedn¹ zasadnicz¹.

Zmienn¹ losow¹ C da siê zmierzyæ dla jednej pary kostek, ale nie dla pary budzi- ków lub fotonów. Osobno trzeba przepro- wadzaæ pomiary dla ka¿dej z czterech zmiennych losowych AB, AB’, A’B, A’B’.

Wynik pomiaru zmiennej AB uzyskany dla pierwszej pary jest zupe³nie niezale¿ny od wyniku pomiaru AB’ dla pary kolejnej, a wiêc A w pierwszym cz³onie sumy AB+AB’

to nie to samo A, co w cz³onie drugim. Wy- ciagniêcie A przed nawias w równoœci AB+AB’= A(B+B’) wymaga dodatkowych uzasadnieñ – mo¿na siê spieraæ, czy s¹ one

„oczywiste”, czy nie. Nie ulega w¹tpliwo-

œci, i¿ je¿eli za³o¿ymy lokalnoœæ, to pomiar A nie zak³óca pomiaru B i oba pomiary mo¿- na wykonaæ równoczeœnie na dwóch ró¿-

nych fotonach z tej samej pary. Ale ¿eby zmierzyæ AB+AB’, potrzebujemy pomiarów trzech zmiennych losowych A, B i B’, a fo- tony s¹ dwa. Tak wiêc dwie zmienne loso- we, B i B’, odnosz¹ siê do jednego fotonu i natrafiamy na problem analogiczny do bu- dzika gdzie, jak ustaliliœmy, sytuacja odpo- wiadaj¹ca rzeczywistym pomiarom prowa- dzi³a do innych prawdopodobieñstw ni¿ ro- zumowanie oparte na gdybaniu.

W przypadku dwóch po³¹czonych budzi- ków stwierdziliœmy, i¿ zmienne B

–B’

oraz B

+B’

s¹ niezale¿ne od siebie, co unie- mo¿liwia³o wyprowadzenie nierównoœci Bella. Wydaje siê jednak, i¿ ograniczenie jest g³êbsze: mo¿liwe jest, i¿ same zmienne lo- sowe postaci B±B’ (a wiêc równie¿ zmienna C o wartoœciach ±2) dla polaryzatorów s¹ logicznie bezsensowne równie¿ w przypad- ku lokalnym, nawet je¿eli za polaryzacjami kryj¹ siê jakieœ elementy rzeczywistoœci, tak jak to mia³o miejsce dla budzika.

Powy¿sze stwierdzenie wielu moich ko- legów po fachu uzna zapewne za herezjê.

Uwa¿a siê doœæ powszechnie, i¿ tzw. lokal- ny realizm, czyli po³¹czenie lokalnoœci z ja- k¹kolwiek form¹ istnienia polaryzacji przed pomiarem, jest wykluczony przez rozumo- wanie oparte na nierównoœci Bella. Ja tego zwi¹zku nie widzê i wcale nie zdziwiê siê, gdy ktoœ wreszcie wymyœli przekonuj¹cy kontrprzyk³ad do twierdzenia Bella. Przy- znaæ wszak trzeba, i¿ wszystkie znane mi próby, w³¹cznie z mymi w³asnymi, nie da³y wyniku w pe³ni zadowalaj¹cego. Póki co, z³amanie nierównoœci Bella przez pary fo- tonowe pozostaje zagadk¹.

* * *

Je¿eli uda³o mi siê choæ trochê przybli-

¿yæ Czytelnikom problemy, z którymi bo- rykaj¹ siê „mechanicy kwantowi”, zawdziê- czam to w du¿ej mierze pierwszym s³ucha- czom mych wariacji na temat nierównoœci Bella – studentom naszego Wydzia³u.

Czytelników zainteresowanych pog³êbie- niem zagadnienia odsy³am do publikacji, któ- rych najbogatszym Ÿród³em jest archiwum elektroniczne w Los Alamos National La- boratory, http://arxiv.org/archive/quant-ph.

Marek Czachor

Wydzia³ Fizyki Technicznej

i Matematyki Stosowanej

Rezonatory Helmholtza (fot. Jerzy Kulas)

P rzytoczone sentencje, dotycz¹ce dwu uniwersalnych nauk, stanowi³y mot- to wystawy poœwiêconej stuleciu obecno-

œci i rozwoju fizyki i matematyki w poli- technice od chwili jej uroczystego otwar- cia jako Königlische Technische Hoch- schule w 1904 do 1945 roku, a nastêpnie ich historii w powojennej Politechnice Gdañskiej. Wystawa jubileuszowa: „100 lat matematyki i fizyki na politechnice w Gdañsku”, zorganizowana przez Wydzia³ Fizyki Technicznej i Matematyki Stoso- wanej oraz Bibliotekê G³ówn¹ Politech- niki Gdañskiej, towarzyszy³a Inauguracji Roku Akademickiego 2003/04 i zosta³a uroczyœcie otwarta przez JM Rektora PG prof. Janusza Rachonia 1 paŸdziernika 2003 roku.

Obydwie dziedziny od wieków zajmo- wa³y szczególne miejsce w tradycjach naukowych Gdañska. Od 1743 istnia³o w Gdañsku jedno z pierwszych towarzystw naukowych „Societas Physicae Experi- mentalis”, póŸniej dzia³aj¹ce jako „Na- turforschende Gessellschaft”. Jego celem by³o prowadzenie i popularyzacja badañ z zakresu fizyki eksperymentalnej, a g³ów- nym przedmiotem zainteresowañ badaw-

czych mia³y byæ nauki przyrodnicze i ma- tematyczne.

Dzisiaj mo¿emy podziwiaæ unikatowy zbiór starodruków – czêœæ bezcennego ksiêgozbioru Towarzystwa Przyrodnicze- go, przekazanego w 1923 politechnice i pieczo³owicie przechowywanego w Bi- bliotece G³ównej PG.

Prezentowana wystawa poœwiêcona stuletniej tradycji rozwoju matematyki i

fizyki w politechnice, w sposób chrono- logiczny zaprezentowa³a w kilku grupach tematycznych historiê i kolejne etapy roz- woju obu dziedzin w ró¿nych okresach istnienia uczelni, od pocz¹tków jej po- wstania do czasów wspó³czesnych.

100-letnia tradycja rozwoju tych nauk, to nie jedyny jubileusz. We wspó³czesn¹ historiê Wydzia³u w roku 2004 wpisa³y siê kolejne daty: XXX rocznica rozpoczê- cia kszta³cenia na kierunku Fizyka Tech- niczna, XX rocznica Wydzia³u Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej i wreszcie 5-lecie kszta³cenia na kierunku Matematyka. Wielokrotny jubileusz sta³ siê okazj¹ do zaprezentowania historii, rozwoju i dorobku Wydzia³u.

Na wystawie, obok materia³ów i doku- mentów najnowszych, zaprezentowano zabytkowe zbiory, dokumenty, fotografie, oryginalne materia³y i eksponaty. Dawne i rzadko ogl¹dane urz¹dzenia i przyrz¹dy, z których niejeden ma swoje w³asne, barwne dzieje, pieczo³owicie przechowy- wane na Wydziale Fizyki oraz w Pracow- ni Historii PG. Wystawa by³a równie¿

okazj¹ do zaprezentowania licznych wy- dawnictw ze zbiorów Biblioteki G³ównej PG.

Rok 1904...

W czêœci obejmuj¹cej najdawniejsze dzieje zaprezentowano historiê Instytutu Fizyki, który istnia³ od momentu powsta- nia politechniki w 1904 r. i organizacyj- nie wchodzi³ w sk³ad ówczesnego Wy- dzia³u Nauk Ogólnych. Pokazano sylwet- ki najwybitniejszych profesorów fizyki i matematyki zwi¹zanych z uczelni¹ do 1945 roku. Przedstawiono ich biogramy, kierunki zainteresowañ badawczych oraz dorobek naukowy.

Wystawa jubileuszowa „100 lat fizyki i matematyki na politechnice w Gdañsku”

„Matematyka jest najpiêkniejszym i najpotê¿niejszym tworem ducha ludzkiego.

Matematyka jest tak stara, jak stary jest cz³owiek”.

Stefan Banach

„Fizyka jest nauk¹ przyrodnicz¹ najbardziej podstawow¹ i wszechogarniaj¹c¹, wp³yw zaœ jej na rozwój innych nauk przyrodniczych by³ i jest ogromny”.

Richard P. Feynman

Prof. Adamczewski podczas wyk³adu (ze zbiorów Pracowni Historii PG) Pracownia w Instytucie Fizyki (Die Technische Hochschule Danzig, Berlin-Halensee 1930 r.)

(ze zbiorów Pracowni Historii PG)

Galeriê rozpocz¹³ pierwszy rektor Königlische Technische Hochschule Hans v. Mangoldt, profesor politechniki w l.1904-25, wybitny matematyk, specjali- sta w zakresie teorii liczb, który pozosta- wi³ „funkcjê Mangoldta”. Na wystawie za- prezentowano m.in. jego wydawnictwo dotycz¹ce politechniki z 1904 r., rêkopis ciesz¹cego siê du¿¹ s³aw¹ podrêcznika oraz jego wydanie z 1914 r.

Wœród wybitnych fizyków tamtego okresu czasu zostali zaprezentowani dzia-

³aj¹cy na pocz¹tku wieku, m.in.:

l

pierwszy profesor zwyczajny fizyki w l.1904-11 w Gdañsku, przyby³y z Aachen Max Wien, którego zaintere- sowania naukowe podczas pracy w Gdañsku obejmowa³y zagadnienia z zakresu elektrotechniki wysokich czê- stotliwoœci, w szczególnoœci zagadnie- nia zwi¹zane z emisj¹ i odbiorem fal elektromagnetycznych;

l

wspó³pracownik i nastêpca Wiena na stanowisku profesora zwyczajnego fi- zyki prof. Jonathan Zenneck, który po- zosta³ w Gdañsku do roku 1913. Do jego g³ównych osi¹gniêæ nale¿a³o: uru- chomienie pierwszego po³¹czenia ra- diowego dla celów nawigacyjnych (1899-1900);

l

profesor zwyczajny fizyki Friedrich Krüger, wczeœniej wyk³adowca chemii fizycznej. Prowadzone przez niego ba- dania naukowe koncentrowa³y siê na zagadnieniach z zakresu elektrochemii, hydrodynamiki i akustyki.

W okresie po pierwszej wojnie œwito- wej swoj¹ dzialnoœæ naukow¹ prowadzili w Gdañsku m.in. zaliczani do grona naj- wybitniejszych fizyków:

l

przyby³y w roku 1921 z Heidelbergu Carl Ramsauer, profesor zwyczajny fi- zyki na politechnice do 1928, odkryw- ca zjawiska, któremu nadano jego imiê

„efektu Ramsauera”. Z jego inicjaty- wy rozpoczêto rozbudowê Instytutu Fi- zyki, dziêki której w 1929 roku powsta-

³a najwiêksza i nowoczesna sala wy- k³adowa na (400 miejsc) – Auditorium Maximum oraz naukowe i studenckie laboratoria;

l

Walther Kossel, profesor zwyczajny fi- zyki doœwiadczalnej w l. 1932 – 1945, badacz rentgenowskich widm kryszta-

³ów i twórca teorii wi¹zañ, odkrywca efektu interferencji promieniowania rentgenowskiego wytwarzanego we- wn¹trz kryszta³ów, nazwanego „efek- tem Kossela-Möllenstedta” oraz nale-

¿¹cy do kadry za³o¿ycieli pierwszej

gdañskiej uczelni:

l

Eberhard Buchwald, przyby³y z Wro- c³awia profesor zwyczajny fizyki teo- retycznej na politechnice w Gdañsku w l. 1923-45. Rektor politechniki w roku akademickim 1929/30. Znany jako doskona³y wyk³adowca o szero- kich zainteresowaniach naukowych i humanistycznych, naukowo zajmowa³ siê g³ównie optyk¹. Za osi¹gniêcia na- ukowe zosta³ uhonorowany medalem Maksa Plancka.

W gronie matematyków, dzia³aj¹cych w tym okresie, znaleŸli siê m.in.:

l

Juliusz Sommer, profesor nadzwyczaj- ny matematyki w politechnice w Gdañ- sku od 1904 do 1937 roku. W roku akademickim 1924/25 rektor tej uczel- ni. W swoich badaniach naukowych specjalizowa³ siê w geometrii Hilber- ta. W 1907 roku wyda³ obszern¹ mo- nografiê zawieraj¹c¹ wyk³ady z teorii liczb oraz wprowadzenie do teorii cia³ algebraicznych;

l

Ernst Pohlhausen, profesor matema- tyki, specjalista w dziedzinie aerody- namiki. Rektor Technische Hochschu-

le w l. 1934-41, którego kadencja za- pisa³a siê w polskiej pamiêci wyst¹- pieniami antypolskimi w 1939 roku i wydaleniem polskich studentów z uczelni.

W tej czêœci wystawy w gablotach zo- sta³y zaprezentowane m.in. dawne progra- my i sk³ady osobowe z l. 1904-1945, któ- re przybli¿a³y ówczesn¹ strukturê Insty- tutu oraz tematykê wyk³adów, oraz liczne prace, artyku³y i publikacje, w tym wiele z pocz¹tku wieku. Przedstawione zdjêcia prezentowa³y ówczesne wnêtrza pracow- ni i laboratoriów oraz aparaturê badaw- cz¹. Wœród eksponatów znalaz³y siê licz- ne unikatowe urz¹dzenia i aparatura z przedwojennego wyposa¿enia ówczesne- go Instytutu Fizyki, w tym wyposa¿enie stanowisk badawczych. Szczególne zain- teresowanie budzi³y dawne urz¹dzenia, jak: busola stycznych do pomiaru sk³ado- wej natê¿enia pola magnetycznego Zie- mi, analizator dŸwiêku oparty na rezona- torach Helmholtza, induktor ziemski i inne, oraz dawne meble z pierwszego wy- posa¿enia Instytutu Fizyki. Ciekawostkê stanowi³ egzemplarz repetytorium z fizy-

Fotokopia „Delegacji s³u¿bowej” Stanis³awa Turskiego – 14 lutego 1945 r.

ki, pochodz¹cy z biblioteki polskiej kor- poracji „Helania” oraz indeks polskiego studenta z wpisami zaliczonych wyk³a- dów z fizyki i matematyki w roku akade- mickim 1929/30.

Druga wojna zamknê³a ten okres dzia-

³alnoœci uczelni, zakoñczony przekszta³- caniem politechniki w styczniu 1945 roku w szpital wojenny i opuszczeniem uczel- ni przez kadrê. W wyniku zarz¹dzonej ewakuacji politechniki, pracownicy i stu- denci Instytutu Fizyki, wraz ze sprzêtem doœwiadczalnym oraz czêœci¹ ksiêgozbio- ru biblioteki Instytutu, znaleŸli siê na te- renie Niemiec. 26 marca 1945 politechni- kê opuœci³ ostatni niemiecki rektor – prof.

E. Martyrer.

1945…

Kolejna czêœæ wystawy prezentuje hi- storiê powojennej uczelni, która prze- kszta³cona Dekretem Rady Ministrów z dnia 24 maja 1945 r. w polsk¹ pañstwow¹ szko³ê akademick¹ zaczê³a nowy etap ¿y- cia naukowego.

Poprzez oryginalne dokumenty, foto- grafie, biogramy, wydawnictwa ukazane zosta³y pionierskie czasy budowania uczelni od podstaw, powstanie i dzia³al- noœæ pierwszych katedr oraz sylwetki wybitnych profesorów.

Trudne pocz¹tki tworzenia od podstaw polskiej uczelni wi¹¿¹ siê z nazwiskami wybitnych matematyków i fizyków. Ju¿

w pierwszej 5-osobowej grupie operacyj- neja Ministerstwa Oœwiaty na miasto Gdañsk, która przyby³a do zniszczonego, wypalonego Gdañska, znajdowa³ siê ma- tematyk dr Stanis³aw Turski (póŸniejszy rektor PG), który kierowa³ grup¹, oraz in¿.

Franciszek Otto, specjalista w zakresie geometrii wykreœlnej. 5 kwietnia 1945 grupa jako pierwsza wesz³a na teren opuszczonej uczelni i przyst¹pi³a do od- budowy oraz uruchomienia politechniki.

Pierwszym fizykiem, który w sierpniu 1945 r. przyjecha³ do Gdañska, by³ Igna- cy Adamczewski, uznany œwiatowy au- torytet z zakresu przewodnictwa elek- trycznego ciek³ych dielektryków, wycho- wawca kilku pokoleñ fizyków. To w³aœnie pierwszy wyk³ad z fizyki, wyg³aoszony przez prof. I. Adamczewskiego 22 paŸ- dziernika 1945 r. w sali Auditorium Ma- ximum dla studentów trzech Wydzia³ów:

Chemicznego, Architektury oraz In¿ynie- rii L¹dowej i Wodnej, zosta³ formalnie uznany za datê powstania Politechniki Gdañskiej. Datê, godziny i temat wyk³a- du potwierdza³y odrêczne notatki profe- sora, prezentowane na wystawie obok wykazu tematów wyk³adów z tamtego okresu.

Na wystawie zaprezentowano pocz¹t- ki utworzonych w Politechnice Gdañskiej Katedr Matematyki i Fizyki, pierwsze lata dzia³alnoœci oraz ich rozwój. Zaprezento- wano najwybitniejsze sylwetki kierowni- ków katedr, ich biogramy, kierunki prac badawczych i dorobek naukowy.

Katedry Fizyki…

Ju¿ w po³owie sierpnia 1945 r. powsta³a pierwsza Katedra Fizyki, utworzona i kie- rowana przez prof. Ignacego Adamczew- skiego. 21 wrzeœnia otrzyma³ on oficjal- n¹ nominacjê na kierownika II Katedry Fi- zyki, któr¹ kierowa³ do roku 1969. Jed- noczeœnie obj¹³ te¿ kierownictwo Zak³a- du Fizyki Medycznej Akademii Medycz- nej w Gdañsku. Ten okres dzia³alnoœci or- ganizacyjnej i naukowej prezentuj¹ licz- ne publikacje, bogaty zbiór fotograficzny oraz dokumenty.

Z I Katedr¹ Fizyki, powo³an¹ w listo- padzie 1945 r. przy uruchamianym w³a-

œnie Wydziale Mechanicznym, zwi¹zane by³y tak wybitne nazwiska kolejnych kie- rowników Katedry, jak:

l

pierwszy kierownik prof. Mieczys³aw Wolfke, by³y profesor Politechniki Warszawskiej, jeden z najwybitniej- szych fizyków okresu przedwojenne- go, uczony œwiatowej s³awy, wspó³od- krywca dwu odmian helu i prekursor holografii;

l

prof. Arkadiusz Piekara, sprowadzony z Poznania wybitny fizyk i b³yskotli- wy dydaktyk, kierownik Katedry od 1946 do 1952 r. Tematyka badañ na-

ukowych prowadzonych pod kierun- kiem prof. A. Piekary obejmowa³a po- laryzacjê dielektryczn¹ w cieczach di- polowych, ferroelektryki oraz efekty elektrooptyczne w dielektrykach;

l

prof. W³odzimierz Moœcicki, przyby³y z Uniwersytetu Poznañskiego, od 1954 kierownik Katedry, który zainicjowa³ badania naukowe w dziedzinie geo- chronologii, a zw³aszcza w dziedzinie datowania znalezisk organicznych za pomoc¹ izotopu C-14. Z jego inicjaty- wy, uruchomiono przy ówczesnym Wydziale £¹cznoœci, na bazie obu Ka- tedr Fizyki, specjalnoœæ Fizyka Tech- niczna, która sta³a siê zacz¹tkiem utwo- rzonego w wiele lat póŸniej Wydzia³u Fizyki Technicznej i Matematyki Sto- sowanej.

Pierwsi matematycy…

Rok 1945, to równie¿ pocz¹tki mate- matyki w Politechnice Gdañskiej. Do gro- na ludzi, którzy w warunkach powojen- nej rzeczywistoœci podjêli organizacjê na- uczania matematyki, a nastêpnie rozbu- dowali i umocnili powsta³e katedry, nale-

¿¹ przede wszystkim prof. Stanis³aw Tur- ski oraz prof. Franciszek Otto, a nastêp- nie prof. Wac³aw Pawelski, prof. Eusta- chy Tarnawski, doc. Bronis³aw Czerwiñ- ski, prof. Piotr Besala.

Zaprezentowane unikatowe dokumen- ty i materia³y ukaza³y sylwetkê prof. Sta- nis³awa Turskiego jako organizatora ¿y- cia uczelni w pierwszych latach jej dzia-

³alnoœci, ale równie¿ jego udzia³ w two- rzeniu i dzia³alnoœci utworzonych w Po- litechnice Gdañskiej katedr matematyki.

W 1945 r. prof. Stanis³aw Turski, wybit- ny specjalista w dziedzinie równañ ró¿- niczkowych, matematycznej teorii sprê-

¿ystoœci i metod numerycznych, obj¹³ kie- rownictwo I Katedry Matematyki, która powsta³a we wrzeœniu tego roku na Wy- dziale In¿ynierii L¹dowej i Wodnej. Jej pracami kierowa³ do 1949 r. Od wrzeœnia 1949 roku kierownictwo Katedry obj¹³ dr Wac³aw Pawelski.

Pod kierownictwem prof. dr. Stanis³a- wa Turskiego dzia³a³a równie¿ II Katedra Matematyki, powo³ana przy Wydziale Mechanicznym w 1945 roku.

Z III Katedr¹ Matematyki, powo³an¹ w 1951 roku przy Wydziale Chemicznym, wi¹¿e siê nazwisko pierwszego jej kierow- nika, wybitnego matematyka prof. Eusta- chego Tarnawskiego. Przybywaj¹c ju¿ w maju 1945 do Gdañska, zaj¹³ siê organi- zacj¹ szkolnictwa zawodowego w Okrê- Prof. zw. mgr in¿. d.h.c. PG Franciszek Otto,

ur. 1904 – geometria wykreœlna (ze zbiorów

Pracowni Historii PG)

gu Gdañskim. Potem zwi¹za³ siê z Poli- technik¹ Gdañsk¹.

Postaci¹, która na trwa³e wpisa³a siê w historiê Politechniki Gdañskiej, by³ rów- nie¿ prof. Franciszek Otto, specjalista geo- metrii wykreœlnej i perspektywy malar- skiej, wychowawca licznej kadry in¿ynie- rów i specjalistów geometrii wykreœlnej.

Na wystawie prezentowane by³y, napisa- ne wspólnie z bratem Edwardem: podrêcz- nik Geometria wykreœlna oraz dwutomo- wy Zbiór zadañ z geometrii wykreœlnej – opracowania, które doczeka³y siê wielu wydañ.

W paŸdzierniku 1945 r. prof. Franci- szek Otto obj¹³ kierownictwo Katedry Geometrii Wykreœlnej przy Wydziale Ar- chitektury oraz In¿ynierii L¹dowej i Wod- nej. Wœród prezentowanych w tej czêœci wystawy eksponatów i materia³ów szczególna uwagê zwracaj¹ fragmenty rêkopisów, odrêczne notatki, stare przy- bory, pierwsze skrypty od 1946 roku wy- dawane przez Komisjê Wydawnicz¹ Bratniej Pomocy Politechniki Gdañskiej, wówczas jedyne podrêczniki i bezcenna pomoc dydaktyczna, a tak¿e liczne na- ukowe.

Miêdzywydzia³owe Instytuty:

Fizyki i Matematyki

Kolejny rozdzia³ wystawy to prezen- tacja historii Miêdzywydzia³owych Insty- tutów Fizyki i Matematyki. Ustawa z 13

marca 1969 roku wprowadzi³a zasadnicze zmiany w strukturze uczelni. W wy¿szych uczelniach zlikwidowano katedry i wpro- wadzono na ich miejsce instytuty, które rozpoczê³y dzia³alnoœæ od 1 paŸdziernika tego roku. Na Politechnice Gdañskiej po- wsta³ Miêdzywydzia³owy Instytut Fizyki, którego pierwszym dyrektorem zosta³ prof. Ignacy Adamczewski. W tym cza- sie zaczê³y siê rozwijaæ badania naukowe w dziedzinie fizyki cia³a sta³ego oraz fi- zyki molekularnej.

Powsta³ równie¿ Miêdzywydzia³owy Instytut Matematyki. Pierwszym dyrekto- rem Instytutu zosta³ prof. Piotr Besala.

W dziedzinie dydaktyki najwa¿niej- szym wydarzeniem by³o wznowienie w roku 1973 studiów na specjalnoœci Fizy- ka Techniczna, jako reakcja na wzrastaj¹- ce zapotrzebowanie na fizyków ze strony przemys³u oraz instytutów przemys³owo- badawczych, co z czasem umo¿liwi³o po- wo³anie w Politechnice Gdañskiej nowe- go wydzia³u.

Wydzia³ Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Kolejna czêœæ ekspozycji poœwiêcona zosta³a wspó³czesnej historii Wydzia³u, ukazuj¹c jego powstanie oraz dynamicz- ny rozwój w okresie dwudziestolecia ist- nienia. Utworzony w roku 1984 Wydzia³ Fizyki Technicznej i Matematyki Stoso- wanej w chwili powstania dzieli³ siê na 9 katedr. Na wystawie zaprezentowana zo-

sta³a tematyka badañ naukowych, która obejmowa³a: fizykê cia³a sta³ego, fizykê molekularn¹, mechanikê p³ynów, analizê matematyczn¹, równania ró¿niczkowe, metody numeryczne i rachunek prawdo- podobieñstwa, a tak¿e rozwój oraz doro- bek kadry naukowej.

Tê czêœæ wystawy zamknê³a Galeria Dziekanów Wydzia³u, któr¹ otwiera³ pierwszy dziekan Wydzia³u – doc. An- drzej Januszajtis, nastêpnie prezentowani byli kolejno: prof. Jan Kalinowski (od 1986 r.), prof. Mieczys³aw Chybicki (od 1990 r.), prof. Czes³aw Szmytkowski (od 1993 r.), prof. Henryk Sodolski (od 1996 r.) oraz obecnie pe³ni¹cy tê funkcjê od 2002 r – prof. Jan Godlewski.

Dzisiaj…

Nie zabrak³o rzeczy najnowszych. Na wystawie zaprezentowana zosta³a wspó³czesnoœæ WFTiMS. Przedstawio- no aktualn¹ strukturê Wydzia³u, dziel¹- cego siê obecnie na 8 katedr, których nazwy pochodz¹ od specjalnoœci nauko- wo-badawczych. Przedstawione zosta-

³y kierunki i tematyka badañ prowadzo- nych we wszystkich katedrach oraz wspó³czesny dorobek pracowników Wydzia³u i udzia³ w ¿yciu naukowym.

Obok kierunków badañ i kszta³cenia na Wydziale, pokazana zosta³a, poszerzo- na ostatnio, oferta dydaktyczna.

Uroczyste otwarcie wystawy jubileuszowej

„100 lat fizyki i matematyki na politechnice w Gdañsku”

Wystawa jubileuszowa „100 lat fizyki i matematyki na politechnice w Gdañsku”. Fot. Piotr Ma-

nasterski

Z ¿ycia Wydzia³u

Odrêbn¹ i wyj¹tkow¹ czêœæ wystawy stanowi³ fragment obejmuj¹cy szerok¹ pa- noramê ¿ycia i dzia³alnoœci Wydzia³u na przestrzeni ostatnich lat. Dziêki bardzo bo- gatemu zbiorowi zgromadzonych fotogra- fii, mo¿na by³o przeœledziæ galeriê posta- ci zwi¹zanych z Wydzia³em, historiê wy- dzia³owych wydarzeñ, ale równie¿ imprez i aktywnoœci studenckich. Ekspozycja po- dzielona na czêœci tematyczne, kolejno zatytu³owane: Nasi prorektorzy, Nasi pro- fesorowie, Nasi pracownicy, Dni Fizyki,

¯ycie studenckie, Otrzêsiny, Przy pracy i zabawie, Na turystycznych szlakach, sta-

³a siê szczególnym zapisem czasu, histo- rii i dziejów Wydzia³u, który budzi³ zain- teresowanie, a czasem wzruszenie, nie tyl- ko jego pracowników, ale równie¿ wszyst- kich zwiedzaj¹cych wystawê.

Barbara Z¹bczyk-Chmielewska Biblioteka G³ówna Komisarz wystawy:

Bogumi³a Strzelecka

Scenariusz i opracowanie:

Barbara Z¹bczyk-Chmielewska, Waldemar Stampor

Projekt i opracowanie plastyczne:

El¿bieta Garwacka

Wspó³praca merytoryczna: Krystyn Koz³ow- ski, Henryk Samp³awski, Rados³aw Szmyt- kowski

Na wystawie wykorzystano fotografie i ma- teria³y ze zbiorów: Pracowni Historii Politech- niki Gdañskiej, Wydzia³u Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej oraz ze zbiorów pry- watnych.

N a postawione pytanie udzielmy od powiedzi od razu: matematyka na politechnice powinna s³u¿yæ temu, czemu s³u¿y ka¿da politechnika – kszta³ceniu i przygotowaniu do ¿ycia dobrego specja- listy o szerokim zasiêgu mo¿liwoœci, oraz osi¹gniêciu nowych rezultatów w naukach stosowanych. Nie powinno to jednak na politechnice szczelnie zamykaæ drzwi do rozwoju samej matematyki. Wyjaœnijmy to szerzej.

Nauka, jak wiadomo, jest jednoczeœnie

œrodkiem i rezultatem poznania rzeczywi- stoœci. Oznacza to, i¿ rola nauki w ¿yciu spo³eczeñstwa stopniowo siê zmienia i jest obecnie inna, ni¿ np. sto lat temu. Pierw- sza podstawowa ró¿nica polega na tym,

¿e nauka sta³a siê mocn¹ ga³êzi¹ produk- cji globalnej. Drug¹ wyraŸn¹ cech¹ zmian zachodz¹cych w nauce jest zwiêkszanie roli matematyki w analizie naukowej.

Badaj¹c obiekty otaczaj¹cego nas œwia- ta, szukamy odpowiedzi na pytania, jak s¹ one zbudowane i jak dzia³aj¹. Obser- wuj¹c ró¿norodne zjawiska, zastanawia- my siê nad przyczynami ich powstania i kierunkami rozwoju. Przystêpuj¹c do pro- jektowania urz¹dzeñ technicznych, chce- my uczyniæ to jak najlepiej. Udzieleniu odpowiedzi na podobne pytania i okreœle- niu najlepszych kierunków dzia³añ s³u¿y w wielu wypadkach matematyka. Dziêki jej uniwersalnoœci, badanie matematycz- ne sta³o siê nieodzowne w dziedzinach, które od matematyki by³y wczeœniej bar- dzo odleg³e. Przydatnoœæ matematyki t³u- maczy siê równie¿ tym, ¿e ka¿de prawo zapisane w jej jêzyku staje siê narzêdziem

prognozowania, co otwiera drogê do prze- widywania. To zaœ jest wa¿nym elemen- tem ka¿dego badania naukowego.

Zwyk³y in¿ynier kojarzy jednak czêsto matematykê z formaln¹ analiz¹, w której nie ma miejsca na wnioskowanie przez analo- giê, oraz intuicj¹ – do których jest przyzwy- czajony, i którym ufa. Rozumowanie to jest s³uszne, lecz jednak nie do koñca.

Tradycyjna matematyka rzeczywiœcie oparta jest na analizie formalnej, której podstaw¹ jest uk³ad aksjomatów. Powi- nien on byæ u³o¿ony poprawnie i spe³niaæ wymogi zwi¹zane ze skutecznoœci¹ postê- powania dedukcyjnego. Wspó³miernoœæ postulatów realnej rzeczywistoœci zwykle pozostaje na marginesie. Na podstawie aksjomatów metod¹ dedukcji tworzy siê dalej ca³a ga³¹Ÿ matematyki. Wnioski z postulatów powinny byæ jednoznaczne.

Bezwarunkowo przekonuj¹ce s¹ wów- czas, gdy s¹ przedstawione w postaci twierdzeñ.

Oczywiste jest, ¿e logika ta sprzyja wewnêtrznemu rozwojowi matematyki, jednak zupe³nie nie s³u¿y wykorzystaniu rezultatów w innych dziedzinach (wa¿ne s¹ one, a nie ich interpretacja). Obojêtnoœæ ta prowadzi niekiedy do opinii, ¿e mate- matyk powinien zachowywaæ „czyste rêce”. Jest to du¿a przeszkoda przy wspó³- pracy in¿yniera z matematykiem.

D³ugotrwa³e wysi³ki w kierunku zasto- sowañ matematyki w fizyce, technice, ekonomii, biologii itp. doprowadzi³y do wyodrêbnienia i rozwoju najbardziej sku- tecznych metod, stanowi¹cych w naszych czasach treœæ matematyki stosowanej.

Ró¿ni j¹ od tradycyjnej inny cel i swoisty charakter postêpowania. Rozumowania w matematyce stosowanej nie tyle s¹ deduk- cyjne, ile racjonalne. Precyzyjnoœæ mate- matyki tradycyjnej jest tu nieosi¹galna, a przekonanie intuicyjne i zdrowy rozs¹dek s³u¿¹ czêsto jako kryterium prawdziwo-

œci rezultatów. Warto zauwa¿yæ, ¿e nie jest to wada, lecz Ÿród³o szczególnej si³y ma- tematyki stosowanej.

Zastosowania narzucaj¹ równie¿ wy- mogi, które w tradycyjnych badaniach matematycznych uwa¿ane s¹ za drugo- rzêdne. Zadanie powinno byæ rozwi¹za- ne nie tylko poprawnie, lecz w okreœlo- nym czasie i oszczêdnie, ponadto zrozu- mia³e dla odbiorcy i zdatne do wykorzy- stania. Nieprecyzyjnoœæ rozwi¹zania musi odpowiadaæ charakterowi problemu itp.

Realizacja tych wymagañ sk³ada siê na tak zwan¹ optymalnoœæ rozwi¹zania.

Podstawowym pojêciem matematyki stosowanej jest model, odzwierciedlaj¹cy g³ówne charakterystyki badanego obiektu.

W zale¿noœci od celu badañ, ten umowny obraz obiektu mo¿e byæ przedstawiony w postaci funkcji, macierzy, uk³adu równañ i nierównoœci itp. Jest on o tyle znacz¹cy, i¿

mo¿na nawet powiedzieæ, ¿e matematyka stosowana jest to nauka o tworzeniu, ana- lizie, interpretacji i udoskonalaniu modeli matematycznych. Zwykle wyodrêbniamy nastêpuj¹ce etapy modelowania: 1) wy³o- nienie wyjœciowych za³o¿eñ i roboczej hi- potezy; 2) sformu³owanie zadania w po- staci matematycznej (utworzenie modelu);

3) dobór metody analizy modelu; 4) ana- liza i interpretacja modelu; 5) oszacowa- nie zgodnoœci rezultatów z rzeczywi- stym stanem obiektu i wnioskowanie;

6) korygowanie albo przebudowa modelu.

Model matematyczny jest produktem myœlenia formalnego i nieformalnego.

Czemu powinna s³u¿yæ matematyka

na politechnice?