Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 7

Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 7

Ci¡gi i rachunek prawdopodobie«stwa

1. Obliczy¢ pi¦¢ pocz¡tkowych wyrazów ci¡gów okre±lonych w nast¦puj¡cy sposób:

(a) an= n²− n,

(b) a1 = 1; a_n= n · a_n−1.

2. Poda¢ wzór na wyraz ogólny ci¡gu (an)okre±lonego w nast¦puj¡cy sposób:

(a) ci¡g kolejnych dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 3;

(b) (−1, 1, −1, 1, −1, ...), 3. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów:

a_n = n²+ 3 n, b_n= n²− 10 n, c_n = 3ⁿ, d_n= _{2 n+3}² .

4. Sprawdzi¢, czy ci¡g (an) jest ci¡giem arytmetycznym lub geometrycznym.

(a) an = 5 (d) an= 2 · 3ⁿ (b) an = 3n − 2 (e) an= 2 · 3ⁿ+ 1 (c) an = 3n² (f) an= 2ⁿ⁺³

5. Wyznaczy¢ ci¡g arytmetyczny (tzn. obliczy¢ a1 i r, zapisa¢ wzór) je±li a5 = 13, a₈ = 25. 6. Suma n pocz¡tkowych wyrazów ci¡gu (an)dla ka»dego n ≥ 1 okre±lona jest wzorem:

S_n= 2 n²− 4 n;

Wyznaczy¢ wzór na n-ty wyraz ci¡gu oraz zbada¢, czy jest to ci¡g arytmetyczny.

7. Wyznaczy¢ ci¡g geometryczny (tzn. obliczy¢ a1 i q, zapisa¢ wzór na an) wiedz¡c, »e a5 = 16, a11 = 1024.

8. Obliczy¢ granice ci¡gów:

(a) an = ⁶ⁿ_3n²2⁻²ⁿ⁺²+5n−2 (b) an= 1+3+5+...+(2n−1)

n+2 (c) an = (−2)ⁿ⁺¹ (d) an = ²₃ⁿn⁺³+2 (e) an= ^sin(n!)_n+2

9. Rzucamy kostk¡ do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyrzucimy liczb¦ oczek mniej- sz¡ od 5 ?

10. Rzucamy trzy razy uczciw¡ monet¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wypadnie nam co najmniej jeden raz orzeª?

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

11. Prawdopodobie«stwo jednokrotnego traenia w cel przy salwie z dwóch dziaª wynosi 0,38.

Prawdopodobie«stwo traenia z dziaªa nr 2 przy jednym wystrzale wynosi 0,8. Znale¹¢

prawdopodobie«stwo traenia z dziaªa nr 1 przy jednym wystrzale.

12. Rzucamy sto razy uczciw¡ monet¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wypadnie nam orzeª mniej ni» trzy razy?

Zadania domowe

1. Trzy liczby tworz¡ ci¡g geometryczny. Je»eli drug¡ z nich zwi¦kszymy o 8, to otrzymamy ci¡g arytmetyczny. Je»eli trzeci wyraz otrzymanego ci¡gu arytmetycznego zwi¦kszymy o 64 to znów otrzymamy ci¡g geometryczny. Wyznacz te liczby.

2. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym:

a_n = n²− 2n − 5; b_n= ⁿ⁺³_n+2; c_n = n²− 9n − 5

3. Sprawdzi¢, czy ci¡g jest ci¡giem arytmetycznym lub geometrycznym.

a_n =√ 3 −√

5 · n; b_n= (−1)ⁿ; c_n= n²+ 1

4. Wyznaczy¢ te warto±ci x, dla których poni»sze liczby (w podanej kolejno±ci):

(a) 3x − 4, x² + 1, x²+ 2x - tworz¡ ci¡g arytmetyczny, (b) x⁻¹, x², 5x³− 4x - tworz¡ ci¡g geometryczny.

5. Obliczy¢ granice ci¡gów:

(a) an = n²− 2n + 1 (b) an= _3nⁿ²2⁺ⁿ⁺³−5n−2 (c) an= 1+2+3+...+n n²

6. Obliczy¢ ¹₂ +¹₄ + ¹₈ + ....

7. Trójka studentów zdaje równocze±nie egzamin. Sposób przygotowania studentów i pytania egzaminatora powoduje, »e studenci moga uzyska¢ z równym prawdopodobie«stwem jedna z sze±ciu ocen: 2, 3, 3,5, 4, 4,5, 5. Znale¹¢ prawdopodobie«stwo nastepujacych zdarze«:

a) wszyscy dostan¡ dwójki

b) wszyscy dostana ten sam stopie«

c) ka»dy dostanie inny stopie«.

8. Wyciagamy 3 karty z tali 52 kart. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e »adna z nich nie bedzie treem ?

9. W pewnej rodzinie jest troje dzieci. Prawdopodobie«stwo urodzenia chªopca jest takie samo jak prawdopodobie«stwo urodzenia dziewczynki.

(a) Znajd¹ prawdopodobie«stwo, »e co najmniej jedno z nich to dziewczynka.

(b) Znajd¹ prawdopodobie«stwo, »e co najmniej dwoje z nich to dziewczynki.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni