Metody Numeryczne Laboratorium 6
Iteracje dla równań nieliniowych
Metoda Newtona (stycznych)dla układu równań
Teraz podamy podstawy teoretyczne metody Newtona dla układu n równań nielinio- wych.
Rozpatrujemy układ n równań z n niewiadomymi:
f1(x1, . . . , xn) = 0 ...
fn(x1, . . . , xn) = 0.
Jeśli zdefiniujemy:
x =
x1
... xn
, f =
f1
... fn
, 0 =
0
... 0
.
i wprowadzimy funkcj¸e f : Rn → Rn, to możemy zapisać nasz układ w formie zwar- tej
f (x) = 0 .
Zamiast rozwi¸azywać układ nieliniowy, zwykle rozwi¸azujemy równanie zlinearyzowane w punkcie x.
f (x + h) = f (x) + f¯ 0(x)h = 0
st¸ad
f0(x)h = −f (x).
f - jest macierz¸a Jakobi wymiaru n × n, h - wektorem przyrostu wymiaru n × 1 Algorytm wielowymiarowej metody Newtona można przedstawić w postaci:
while |h| < tol
1
% oblicz residuum b = −f (x)
% oblicz Jakobian A = f0(x)
% rozwi¸aż układ równań Ah = b
% zwi¸eksz x = x + h end
Programem Newton.m lub instrukcj¸a wewn¸etrzn¸a OCTAVE fsolve możemy rozwi¸azywać układy równań nieliniowych zapisuj¸ac je w oddzielnym pliku patrz Instrukcja OCTAVE fsolve.
2
