Metody numeryczne w fizyce Laboratorium 3
Ruch ciała o masie m w jednorodnym polu grawitacyjnym opisywany jest równaniem:
𝑑2𝐫 𝑑𝑡2= 𝐐
𝑚= 𝐠,
gdzie r – wektor położenia [m], t – czas [s], Q – wektor siły działającej na ciało [N], m – masa ciała [kg], g – wektor natężenia pola grawitacyjnego [m/s2]. Przy czym, należy podać warunek początkowy ruchu, czyli określić wektor położenia i prędkości dla t = 0.
Równanie to można zapisać, jako układ dwóch równań rzędu pierwszego:
𝑑𝐫 𝑑𝑡 = 𝐯, 𝑑𝐯 𝑑𝑡 = 𝐠, gdzie wprowadzono wektor prędkości v [m/s].
Układ dwóch równań wektorowych, można zapisać jako układ sześciu równań skalarnych:
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣𝑥, 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣𝑦, 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑣𝑧, 𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡 = −𝑔,
gdzie x, y, z są współrzędnymi wektora r, a vx, vy, vz współrzędnymi wektora v.
1. (6 pkt.) Wykorzystując solwer ode23, wyznacz numerycznie trajektorię i zależności położenia i prędkości od czasu ciała w rzucie ukośnym w jednorodnym polu grawitacyjnym. Rozwiązanie wykreśl i porównaj z rozwiązaniem analitycznym.
Aby uwzględnić oporu powietrza, należy rozważyć siłę wypadkową Q − Fo: 𝑑2𝐫
𝑑𝑡2 =𝐐 + 𝐅o 𝑚 .
2. (4 pkt.) Zmodyfikuj rozwiązanie poprzedniego zadania, tak aby uwzględniona była siła oporu postaci 𝐅o= −𝑘𝑣𝐯, gdzie k jest stałym współczynnikiem oporu.
Wyrażenie na siłę oporu powietrza jest poprawne, jeśli prędkość ciała względem ziemi jest równa prędkości ciała w powietrzu. Jeżeli powietrze się porusza (wieje wiatr), to wyrażenie na siłę oporu przyjmuje postać:
𝐅o = −𝑘𝑣′𝒗′, gdzie v’ jest prędkością względem powietrza.
3. (2 pkt.) Zmodyfikuj rozwiązanie poprzedniego zadania, tak aby uwzględniony był stały wiatr.
Karol Tarnowski Wrocław, 2020
