Tytu l rozprawy doktorskiej: Right Gaussian rings and related topics.

1. Imi¸ e i nazwisko: Micha l Ziembowski

2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytu lem rozprawy doktorskiej.

- Doctor of Philosophy, School of Mathematics, University of Edinburgh. 2010.

Tytu l rozprawy doktorskiej: Right Gaussian rings and related topics.

- Dyplom magistra matematyki, Uniwersytet w Bia lymstoku, Wydzia l Matematyki i Informatyki.

2002.

Tytu l: Konstrukcje rozszerze´ n Galois z zadan¸ a grup¸ a Galois.

3. Informacja o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych.

- Od lutego 2011 - adiunkt, Politechnika Warszawska, Wydzia l Matematyki i Nauk Informacyjnych.

4. Wskazanie osi¸ agni¸ecia wynikaj¸ acego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. Nr 65, poz. 595 ze zm.):

a) tytu l osi¸ agni¸ ecia naukowego,

Algebraiczne w lasno´ sci rozszerze´ n nieprzemiennych pier´ scieni l¸ acznych b) spis publikacji (autorzy, tytu ly, nazwa wydawnictwa, rok wydania),

[H1] Y. Zhou, M. Ziembowski, On clean Laurent series rings, J. Aust. Math. Soc. 95 (2013), 421–427 (w spisie literatury pozycja [72]).

[H2] M. Ziembowski, Laurent series ring over semiperfect ring can not be semiperfect, Comm.

Algebra 42 (2014), 664–666 (w spisie literatury pozycja [76]).

[H3] M. Ziembowski, On classical rings of quotients of duo rings, J. Pure Appl. Algebra 218 (2014), 919–924 (w spisie literatury pozycja [77]).

[H4] R. Mazurek, M. Ziembowski, On a characterization of distributive rings via saturations and its applications to Armendariz rings and Gaussian rings, Rev. Mat. Iberoam. 30 (2014), 1073–1088 (w spisie literatury pozycja [43]).

1

[H5] Y. Zhou, M. Ziembowski, Distributive modules and Armendariz modules, J. Math. Soc. Japan 67 (2015), 789–796 (w spisie literatury pozycja [73]).

[H6] Be’eri Greenfeld, Andr´ e Leroy, Agata Smoktunowicz, Micha l Ziembowski, Chains of prime ideals and primitivity of Z-graded algebras, Algebras Repres. Theory 18 (2015), 777-800 (w spisie literatury pozycja [22]).

[H7] A. Smoktunowicz, M. Ziembowski, Differential polynomial rings over locally nilpotent rings need not be Jacobson radical, J. Algebra 412 (2014), 207 – 217 (w spisie literatury pozycja [62]).

c) om´ owienie celu naukowego ww. prac i osi¸ agni¸ etych wynik´ ow wraz z om´ owieniem ich ewentual- nego wykorzystania.

Algebraiczne w lasno´ sci rozszerze´ n nieprzemiennych pier´ scieni l¸ acznych Micha l Ziembowski

Wprowadzenie

Na pocz¸ atku pragniemy zaznaczy´ c, ˙ze ilekro´ c b¸ edzie tu mowa o pier´ scieniach, zawsze na my´ sli mamy pier´ scienie l¸ aczne, kt´ ore z za lo˙zenia nie musz¸ a by´ c przemienne. Ponadto odwo luj¸ ac si¸ e do poj¸ecia pier´ scienia zak ladamy, ˙ze posiada on jedynk¸ e. Je´ sli natomiast mowa b¸ edzie o pier´ scieniach bez jedynki, fakt ten b¸ edzie odpowiednio podkre´ slony.

Teoria pier´ scieni nieprzemiennych ma swoj¸ a wypracowan¸ a i ugruntowan¸ a pozycj¸ e we wsp´ o lczesnej matematyce. Wiedza na temat tych struktur algebraicznych jest obszerna, a co za tym idzie, zaobserwowa´ c mo˙zna pewne schematy, wed lug kt´ orych prowadzone s¸ a nad nimi badania. Trzeba przy tym powiedzie´ c, ˙ze schematy, o kt´ orych mowa powy˙zej, wi¸ a˙z¸ a si¸ e z naturalnymi pytaniami, jakie pojawiaj¸ a si¸e podczas prowadzenia rozwa˙za´ n w interesuj¸ acym nas obszarze. Om´ owimy tutaj nast¸epuj¸ acy schemat: Niech α i β b¸ed¸ a pewnymi interesuj¸ acymi nas w lasno´ sciami, jakie mog¸ a posiada´ c pier´ scienie. Przypu´ s´ cmy, ˙ze dane s¸ a pier´ scie´ n R i pier´ scie´ n P powsta ly w wyniku pewnej konstrukcji algebraicznej (np. konstrukcja pier´ scienia wielomian´ ow), w przeprowadzeniu kt´ orej wykorzystywany jest R. W opisywanym schemacie pojawiaj¸ a si¸ e nast¸ epuj¸ ace pytania:

- Czy je´ sli R ma w lasno´ s´ c α, to P spe lnia warunek definiuj¸ acy w lasno´ s´ c β?

- Czy je´ sli P ma w lasno´ s´ c β, to w´ owczas R ma w lasno´ s´ c α?

- Jakie warunki s¸ a konieczne, a jakie wystarczaj¸ ace na to, aby P mia l w lasno´ s´ c β?

Inne uj¸ ecie bada´ n prowadzonych w teorii pier´ scieni zwi¸ azane jest z w lasno´ sciami pier´ scieni, kt´ ore

z za lo˙zenia maj¸ a dodatkow¸ a struktur¸ e algebraiczn¸ a. Dok ladniej, za l´ o˙zmy, ˙ze interesuje nas pewna

klasa pier´ scieni ∆ i za l´ o˙zmy, ˙ze pier´ scie´ n R ma dodatkow¸ a struktur¸ e algebraiczn¸ a (np. jest zdgrad- owany). Pytamy w´ owczas o warunki, kt´ ore s¸ a konieczne lub wystarczaj¸ ace na to, aby R nale˙za l do klasy ∆. Takie podej´ scie, czyli za lo˙zenie o dodatkowej strukturze, wynika cz¸ esto z trudno´ sci, jakie napotykamy w przypadku, kiedy chcemy klas¸ e ∆ rozwa˙za´ c w og´ olno´ sci.

Wszystkie prace wchodz¸ ace w sk lad cyklu zatytu lowanego “Algebraiczne w lasno´ sci rozszerze´ n nieprzemiennych pier´ scieni l¸ acznych” zwi¸ azane s¸ a z pewnymi konstrukcjami algebraicznymi wyko- rzystuj¸ acymi dany pier´ scie´ n R, ale mog¸ a by´ c r´ ownie˙z rozpatrywane jako badania nad pier´ scieniami z dodatkow¸ a struktur¸ a algebraiczn¸ a. Wpisuj¸ a si¸ e one r´ ownie˙z w schematy, o kt´ orych by la mowa powy˙zej. Prezentowane wyniki zwi¸ azane s¸ a w wi¸ ekszo´ sci z naturalnymi pytaniami o mo˙zliwo´ s´ c transferu pewnych w lasno´ sci pier´ scieni do niekt´ orych typ´ ow rozszerze´ n. Ten kierunek bada´ n jest w swej istocie bardzo naturalny i w przypadku przedstawianych prac, b¸ ed¸ acych g l´ ownym osi¸ agnieciem habilitanta, jest ich wsp´ olnym mianownikiem.

Praca [H1] jest wynikiem bada´ n, kt´ orych motywacje pochodz¸ a z pracy [57] i z potrzeby przyjrzenia si¸e b l¸edom w niej si¸ e znajduj¸ acym. W omawianej pracy podano warunki konieczne i dostate- czne na to, aby dla pier´ scienia R, pier´ scie´ n szereg´ ow Laurenta R((x)) by l czysty (ang. clean ring). Przypomnijmy w tym miejscu, ˙ze pier´ scie´ n jest czysty je´ sli dowolny jego lement f mo˙ze by´ c zapisany jako suma elementu odwracalnego u i idempotenta e. W pracy [H2] pokazano, ˙ze je˙zeli pier´ scie´ n szereg´ ow Laurent’a R((x)) jest p´ o llokalny, to pier´ scie´ n R jest p´ o ldoskona ly oraz radyka l Jacobsona pier´ scienia R jest nil idea lem. Fakt powy˙zszy pokazuje, ˙ze [57, Theorem 3]

jest nieprawdziwe. W pracy [H3] skonstruowany zosta l pier´ scie´ n R, kt´ orego wszystkie idea ly

jednostronne s¸ a idea lami dwustronnymi, a kt´ orego klasyczny pier´ scie´ n prawostronnych u lamk´ ow

nie ma wspomnianej w lasno´ sci. Konstrukcja ta daje negatywn¸ a odpowied´ z na pytanie zadane

w pracy [16] dotycz¸ ace tego, czy w lasno´ s´ c nieposiadania przez pier´ scie´ n R idea l´ ow jednostron-

nych, kt´ ore nie s¸ a dwustronnymi, przenosi si¸ e na pier´ scie´ n klasycznych prawostronnych u lamk´ ow

pier´ scienia R. W pracy [H4] wykazano, ˙ze ka˙zdy pier´ scie´ n, kt´ orego krata prawostronnych idea l´ ow

jest rozdzielna, spe lnia tak zwany warunek Armendariza (definicja tej klasy pier´ scieni znajduje

si¸e w dalszej cz¸ e´ sci autoreferatu). W tej samej pracy skonstruowano r´ ownie˙z przyk lad ukazuj¸ acy

r´ o˙znice mi¸ edzy klasami pier´ scieni spe lniaj¸ acych warunek Armendariza w kontek´ scie wielomian´ ow i

w kontek´ scie pier´ scieni p´ o lgrupowych. W pracy [H5] zbadano warunek Armendariza dla modu l´ ow,

przy tym ilustruj¸ ac wyniki odpowiednimi przyk ladami. W pracy [H6] rozwa˙zane s¸ a pier´ scienie

zgradowane przez liczby ca lkowite. Mi¸edzy innymi otrzymano wyniki dotycz¸ ace p´ o lprymitywno´ sci

oraz prymitywno´ sci sko´ nczenie generowanych zgradowanych algebr pierwszych. Ponadto, wyko- rzystuj¸ ac opis struktury idea l´ ow homogenicznych w sko´ nczenie generowanych, zgradowanych al- gebrach pierwszysch ze wzrostem kwadratowym, otrzymano nowy wynik dotycz¸ acy sko´ nczono´ sci klasycznego wymiaru Krull’a tych algebr. Ostatecznie, w pracy znajduj¸ a si¸ e wyniki m´ owi¸ ace o radykale Browna-McCoy’a iloczynu tensorowego algebr. Praca [H7] zawiera konstrukcje pier´ scienia lokalnie nilpotentnego R i r´ o˙zniczkowania δ tego pier´ scienia, dla kt´ orych pier´ scie´ n wielomian´ ow z r´ o˙zniczkowaniem R[x; δ] nie jest radykalny Jacobsona. Konstrukcja ta daje negatywn¸ a odpowied´ z na pytanie postawione przez Shestakov’a.

Opis wynik´ ow rozprawy

Tak jak wspomnieli´ smy we wst¸ epie, wszystkie rozwa˙zane pier´ scienie s¸ a l¸ aczne, posiadaj¸ a jedynk¸ e (je´ sli b¸ edzie mowa o pier´ scieniach bez jedynki, w´ owczas zostanie to wyra´ znie zaznaczone) oraz nie zak ladamy, ˙ze s¸ a przemienne. Dla pier´ scienia R przez J (R) oznaczamy radyka l Jacobsona (cz¸ e´ s´ c wsp´ olna wszystkich prawostronnych idea l´ ow maksymalnych), przez β(R) radyka l pierwszy (cz¸ e´ s´ c wsp´ olna wszyskich idea l´ ow pierwszych), a przez N (R) oznaczamy nil radyka l (suma algebraiczna wszystkich nil idea l´ ow pier´ scienia R).

O pracy [H1].

Pier´ scie´ n R nazywamy p´ o lpierwotnym (ang. semiprimary ring), je´ sli radyka l Jacobsona J (R) jest nilpotenty oraz R/J (R) jest p´ o lprosty. Jeden z bardzo interesuj¸ acych i klasycznych wynik´ ow znany pod nazw¸ a Twierdzenia Hopkins’a-Levitzki’ego brzmi nast¸ epuj¸ aco:

Twierdzenie 1. Niech R b¸ edzie pier´ scieniem p´ o lpierwotnym. W´ owczas dla dowolnego prawostron- nego R-modu lu M nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) M jest noetherowaski, (2) M jest artinowski,

(3) M ma ci¸ ag kompozycyjny.

W wyniku pr´ ob os labienia, w powy˙zszym twierdzeniu, za lo˙zenia o nilpotento´ sci radyka lu Jacob- sona, wyodr¸ ebniona zosta la, a nast¸ epnie bardzo intensywnie badana, klasa pier´ scieni zwanych p´ o ldoskona lymi. To w la´ snie one z definicji s¸ a tymi pier´ scieniami, dla kt´ orych R/J (R) jest p´ o lprosty oraz idempotenty pier´ scienia R/J (R) podnosz¸ a si¸ e do idempotent´ ow pier´ scienia R, tzn. je´ sli a

− a ∈ J (R) dla pewnego a ∈ R, to istnieje idempotent e

= e ∈ R taki, ˙ze a − e ∈ J (R).

Znany jest fakt (np. [31, Theorem 21.28]), kt´ ory m´ owi, ˙ze w przypadku, gdy idea l I pier´ scienia R

jest nil, w´ owczas wszystkie idempotenty pier´ scienia R/I podnosz¸ a si¸e do R.

Przypomnijmy, ˙ze element a pier´ scienia R nazywamy czystym, je´ sli jest on sum¸ a element´ ow u, e ∈ R takich, ˙ze u jest odwracalny w R, a e jest elementem idempotentym. Je´ sli ka˙zdy element pier´ scienia R jest czysty, to m´ owimy, ˙ze R jest pier´ scieniem czystym. W pracy [10] udowodniono, ˙ze pier´ scie´ n R jest p´ o ldoskona ly wtedy i tylko wtedy, gdy R jest czysty i ka˙zdy podzbi´ or P ⊆ R sk ladaj¸ acy si¸ e ze wzajemnie ortogonalnych idempotent´ ow jest sko´ nczony.

Historycznie klasa pier´ scieni czystych zosta la zdefiniowana w pracy [50] w zwi¸ azku z badaniami nad pier´ scieniami wymiennymi (ang. exchange rings). Z pracy [21] wiadomo, ˙ze pier´ scie´ n R jest pier´ scieniem wymiennym, je´ sli dla ka˙zdego a ∈ R istnieje idempotent e ∈ R taki, ˙ze e ∈ aR i 1 − e ∈ (1 − a)R. Okazuje si¸ e [10], ˙ze R jest p´ o ldoskona ly wtedy i tylko wtedy, gdy R jest wymienny i ka˙zdy podzbi´ or P ⊆ R sk ladaj¸ acy si¸ e z wzajemnie ortogonalnych idempotent´ ow jest sko´ nczony. W [50] pokazano, ˙ze ka˙zdy pier´ scie´ n czysty jest wymienny. Jednocze´ snie znany jest przyk lad Bergmana pier´ scienia wymiennego, kt´ ory nie jest czysty.

Kolejn¸ a klas¸ a, w kontek´ scie kt´ orej pojawiaj¸ a si¸ e pier´ scienie czyste, s¸ a pier´ scienie regularne (w sensie von Neumanna). M´ owimy, ˙ze pier´ scie´ n R jest regularny, je´ sli dla dowolnego a ∈ R istnieje x ∈ R taki, ˙ze a = axa. Je´ sli zawsze x mo˙ze by´ c tak dobrany, aby by l elementem odwracalnym w R, to R nazywany jest pier´ scieniem unit-regularnym (ang. unit-regular ring) (u˙zywamy tu pierwszego cz lonu angielskiego z powodu braku dobrego polskiego t lumaczenia nazwy klasy rozwa˙zanych pier´ scieni).

Pier´ scienie regularne pierwszy raz by ly rozwa˙zane w okolicach 1935 roku przez Johna von Neu- manna, a jeden z fakt´ ow ich dotycz¸ acych m´ owi, ˙ze je´ sli prawostronny modu l M nad pier´ scieniem R jest p´ o lprosty, to pier´ scie´ n endomorfizm´ ow End(M

) jest regularny. Fakt, kt´ ory jest dla nas wa˙zny i nale˙zy go wspomnie´ c, pochodzi z pracy [11] i m´ owi, ˙ze pier´ scie´ n R jest unit-regularny wtedy i tylko wtedy, gdy R jest czysty i je´ sli a = u + e, gdzie u, e ∈ R s¸ a odpowiednio elementem odwracalnym i idempotentem, to aR ∩ eR = 0.

Do przedstawionych powy˙zej informacji i jednocze´ snie motywacji chcemy dopowiedzie´ c, ˙ze klasa pier´ scieni czystych jest obecnie bardzo intensywnie badana w wielu o´ srodkach matematycznych.

Istnieje bardzo wiele prac na temat klas, kt´ ore s¸ a uog´ olnieniem omawianej, jak r´ ownie˙z wiele prac na temat jej podklas.

Przechodz¸ ac do om´ owienia wynik´ ow wchodz¸ acych w sk lad rozprawy, a dotycz¸ acych pier´ scieni czystych, rozwa˙zmy pier´ scie´ n R. Pier´ scie´ n szreg´ ow Laurent’a R((x)) definiuje si¸e jako pier´ scie´ n sk ladaj¸ acy si¸ e z formalnych szereg´ ow

∞

X

i=l

a

x

, l ∈ Z, a

∈ R,

gdzie x jest zmienn¸ a, dodawanie jest po wsp´ o lrz¸ ednych, a mno˙zenie definiujemy w nast¸ epuj¸ acy spos´ ob:

(

∞

X

i=p

a

x

)(

∞

X

j=q

b

x

) =

∞

X

k=p+q

( X

i+j=k

a

b

)x

.

Bezpo´ srednia motywacja do bada´ n przedstawionych w omawianej pracy [H1] jest zwi¸ azana z [57], gdzie znale´ z´ c mo˙zna nie´ scis lo´ sci w dowodzie twierdzenia, kt´ ore m´ owi, ˙ze pier´ scie´ n szereg´ ow Lau- rent’a jest czysty w przypadku, gdy wyj´ sciowy pier´ scie´ n R jest czysty. Powstaje zatem potrzeba przyjrzenia si¸e pier´ scieniom szereg´ ow Laurent’a w kontek´ scie pier´ scieni czystych. Aby przedstawi´ c g l´ owny wynik, jaki uda lo si¸ e w pracy uzyska´ c, musimy przypomnie´ c jeszcze kilka definicji.

Pie´ scie´ n R nazywamy 2-pierwotnym (ang. 2-primal), je´ sli radyka l pierwszy β(R) tego pier´ scienia jest r´ owny zbiorowi wszystkich jego element´ ow nilpotentnych. Klasa tych pier´ scieni rozwa˙zana by la mi¸ edzy innymi w [36] i [37]. M´ owimy, ˙ze pier´ scie´ n R jest silnie regularny, je´ sli jest regularny i nie posiada niezerowych element´ ow nilpotentnych. Ostatecznie, je´ sli R/J (R) jest regularny i idempotenty pier´ scienia R/J (R) podnosz¸ a si¸ e do idempotent´ ow pier´ scienia R, to R nazywamy p´ o lregularnym. Poni˙zej znajduj¸ a si¸ e g l´ owne wyniki udowodnione w pracy [H1].

Twierdzenie 2. Niech R b¸ edzie 2-pierwotnym pier´ scieniem. W´ owczas nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) R((x)) jest czysty,

(2) R((x))/J (R((x))) jest czysty, (3) R((x)) jest wymienny,

(4) R((x))/J (R((x))) jest wymienny, (5) R jest p´ o lregularny oraz J (R) jest nil,

(6) R/J (R) jest silnie regularny oraz J (R) jest nil.

Je´ sli rozwa˙zymy dowolne cia lo K, to oczywistym jest, ˙ze pier´ scie´ n szereg´ ow pot¸ egowych R = K[[x]]

jest czysty, x ∈ J (R) i x nie jest elementem nilpotentym. Zatem R((x)) nie jest czysty na podstawie powy˙zszego rezultatu. Ten prosty przyk lad pokazuje nieprawdziwo´ s´ c wyniku Sonin’a.

Wykorzystuj¸ ac powy˙zszy wynik, w omawianej pracy wykazano r´ ownie˙z nast¸epuj¸ ace twierdzenie.

Twierdzenie 3. Niech R b¸ edzie 2-pierwotnym pier´ scieniem. W´ owczas nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) R((x)) jest p´ o ldoskona ly, (2) R((x)) jest p´ o lregularny,

(3) R((x))/J (R((x))) jest regularny,

(4) R jest p´ o ldoskona ly i J (R) jest nil,

(6) R/J (R) jest sko´ nczonym iloczynem prostym pier´ scieni z dzieleniem i J (R) jest nil.

O pracy [H2].

Przypomnijmy, ˙ze je´ sli dla pier´ scienia R pier´ scie´ n ilorazowy R/J (R) jest p´ o lprosty (lub r´ ownowa˙znie lewostronnie artinowski), to R nazywamy pier´ scieniem p´ o llokalnym. Je´ sli dodatkowo idempotenty pier´ scienia R/J (R) podnosz¸ a si¸ e do idemoptent´ ow pier´ scienia R, to tak, jak to by lo wcze´ sniej powiedziane, R nazywamy p´ o ldoskona lym. W pracy [57] znajdujemy (nieprawdziwe) twierdze- nie, z kt´ orego wynika, ˙ze je´ sli R jest p´ o ldoskona ly, to pier´ scie´ n szereg´ ow Laurent’a R((x)) jest p´ o ldoskona ly. W obecnie omawianej, kr´ otkiej pracy udowodniono nast¸ epuj¸ ace.

Twierdzenie 4. Je´ sli dla pier´ scienia R, pier´ scie´ n szereg´ ow Laurent’a R((x)) jest p´ o llokalny, to R jest p´ o ldoskona ly i radyka l Jacobsona J (R) pier´ scienia R jest nil.

Wykorzystuj¸ ac powy˙zszy fakt, bardzo latwo mo˙zna uzasadni´ c nieprawdziwo´ s´ c twierdzenia Sonin’a.

Mianowicie, podobnie jak to by lo powy˙zej rozwa˙zmy dowolne cia lo K i pier´ scie´ n R = K[[x]] sz- ereg´ ow pot¸ egowych o wsp´ o lczynnikach z K. Dla R, J (R) = xK[[x]] i w oczywisty spos´ ob R/J (R) jest izomorficzny z K. Zatem R jest p´ o ldoskona ly i J (R) nie jest nil. Dlatego te˙z R((x)) nie jest p´ o llokalny, a zatem tak˙ze nie jest p´ o ldoskona ly.

Ponadto w pracy postawiono nast¸ epuj¸ ace pytanie:

Pytanie 5. Jakie warunki s¸ a koniecznymi a jakie wystarczaj¸ acymi na to, aby pier´ scie´ n sko´ snych szereg´ ow pot¸ egowych Laurent’a R((x, ϕ)) by l p´ o ldoskona ly?

O pracy [H3].

Przypomnijmy, ˙ze pier´ scie´ n R jest prawostronnie duo (ang. right duo), je´ sli ka˙zdy prawostronny

idea l tego pier´ scienia jest tak˙ze idea lem lewostronnym. Odpowiednio definiuje si¸ e pier´ scienie

lewostronnie duo. Je´ sli R jest lewostronnie i prawostronnie duo, to m´ owimy, ˙ze R jest duo. His-

toria pier´ scieni duo si¸ ega roku 1958. Klasa ta zosta la zdefiniowana i po raz pierwszy rozwa˙zana w

pracy [18], w kt´ orej pewne klasyczne wyniki z teorii pier´ scieni przemiennych pr´ obowano uog´ olni´ c

na przypadek nieprzemienny. Zwykle przeniesienie wynik´ ow z teorii pier´ scieni przemiennych na

grunt nieprzemienny jest bardzo trudne lub wr¸ ecz niewykonalne. Dlatego te˙z pr´ obuje si¸ e pracowa´ c

z klasami pier´ scieni nieprzemiennych, kt´ ore posiadaj¸ a pewne w lasno´ sci posiadane przez wszystkie

pier´ scienie przemienne. Oczywistym jest, ˙ze pod taki schemat podpadaj¸ a rozwa˙zania na temat

pier´ scieni posiadaj¸ acych w lasno´ s´ c duo.

Niech R b¸edzie pier´ scieniem oraz niech S b¸ edzie multiplikatywnie zamkni¸etym podzbiorem R (tzn.

S

⊆ S, 1 ∈ S i 0 / ∈ S). W´ owczas pier´ scie´ n RS

nazywany jest prawostronnym pier´ scieniem u lamk´ ow pier´ scienia R wzgl¸ edem S, je´ sli istnieje homomorfizm φ : R → RS

taki, ˙ze:

(a) Dla dowolnego s ∈ S, φ(s) jest odwracalny w RS

.

(b) Dowolny element q ∈ RS

ma posta´ c φ(a)φ(s)

dla pewnych a ∈ R, s ∈ S.

(c) Ker(φ) = {a ∈ R : as = 0 dla pewnego s ∈ S}.

Znany jest fakt ([32, Theorem 10.6]) m´ owi¸ acy o tym, ˙ze pier´ scie´ n R ma prawostronny pier´ scie´ n u lamk´ ow wzgl¸ edem S wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnione s¸ a nast¸ epuj¸ ace:

(1) Dla dowolnych a ∈ R i s ∈ S, aS ∩ sR 6= ∅.

(2) Dla dowolnego a ∈ R, je´ sli ta = 0 dla pewnego t ∈ S wtedy as = 0 dla pewnego s ∈ S.

Je´ sli S jest zbiorem wszystkich element´ ow pier´ scienia R, kt´ ore nie s¸ a ani prawostronnymi, ani lewostronnymi dzielnikami zera, oraz S spe lnia powy˙zszy warunek (1) (tzw. warunek Ore’go), to RS

nazywany jest klasycznym prawostronnym pier´ scieniem u lamk´ ow i zwykle oznaczany przez Q

(R). Klasyczny lewostronny pier´ scie´ n u lamk´ ow Q

(R) definiuje si¸ e analogicznie.

W pracy [16] Diesl i inni rozwa˙zaj¸ a kilka w lasno´ sci pier´ scieni nieprzemiennych, kt´ ore w naturalny spos´ ob posiadaj¸ a pier´ scienie przemienne, i badaj¸ a jak te w lasno´ sci zachowuj¸ a si¸ e przy przej´ sciu od pier´ scienia R do pier´ scienia Q

(R), je´ sli oczywi´ scie ten ostatni istnieje. Jedn¸ a z badanych jest w lasno´ s´ c duo i w zwi¸ azku z ni¸ a w artykule [16] postawione jest nast¸ epuj¸ ace pytanie:

Pytanie 6. Niech R b¸ edzie duo pier´ scieniem ( latwo mo˙zna zauwa˙zy´ c, ˙ze Q

(R) i Q

(R) w´ owczas istniej¸ a i s¸ a izomorficzne). Czy wtedy pier´ scie´ n Q

(R) r´ ownie˙z jest duo?

Wykorzystuj¸ ac konstrukcj¸e pier´ scienia uog´ olnionych szereg´ ow pot¸ egowych, w pracy [H3] skon- struowano pier´ scie´ n duo, dla kt´ orego pier´ scie´ n Q

(R) nie jest ani prawostronnie duo, ani lewostron- nie duo, co daje negatywn¸ a odpowied´ z na Pytanie 6. Poni˙zej, najpierw przedstawimy konstrukcj¸ e pier´ scienia uog´ olnionych szereg´ ow pot¸ egowych (w literaturze konstrukcj¸e t¸ e mo˙zna znale´ z´ c w [59]), a nast¸epnie zbudujemy przyk lad wspomnianego pier´ scienia duo.

Niech R b¸edzie pier´ scieniem, a (S, ≤) ´ sci´ sle uporz¸ adkowanym monoidem (tzn. S jest cz¸ e´ sciowo

uporz¸ adkowany przez relacj¸ e ≤ oraz dla dowolnych s, t ∈ S, s < t implikuje su < tu, us < ut

dla dowolnego u ∈ S). Rozwa˙zmy zbi´ or A wszystkich funkcji f : S → R, takich, ˙ze ka˙zdy ´ sci´ sle

malej¸ acy ci¸ ag element´ ow ze zbiory supp(f ) = {s ∈ S : f (s) 6= 0} stabilizuje si¸ e oraz ka˙zdy

podzbi´ or zbioru supp(f ), sk ladaj¸ acy si¸ e ze wzajemnie niepor´ ownywalnych element´ ow ze wzgl¸edu

na ≤, jest sko´ nczony. Okazuje si¸e, ˙ze dla dowolnych f, g ∈ A oraz s ∈ S zbi´ or X

(f, g) = {(x, y) ∈

supp(f ) × supp(g) : s = xy} jest sko´ nczony. Dlatego te˙z mo˙zemy zdefiniowa´ c iloczyn f g : S → R

element´ ow f, g ∈ A w nast¸epuj¸ acy spos´ ob: dla dowolnego s ∈ S (f g)(s) = X

(x,y)∈Xs(f,g)

f (x)g(y).

Ze zdefiniowanym w naturalny spos´ ob dodawaniem i mno˙zeniem jak powy˙zej, A ma struktur¸e pier´ scienia i nazywany jest pier´ scieniem uog´ olnionych szereg´ ow pot¸ egowych.

Przechodzimy teraz do zapowiedzianej konstrukcji pier´ scienia duo. Niech G b¸ edzie woln¸ a grup¸ a abelow¸ a generowana przez zbi´ or {x

: i ∈ Z} i niech ψ b¸edzie endomorfizmem G takim, ˙ze ψ(x

) = x

dla dowolnego i ∈ Z. Oczywistym jest, ˙ze dowolny element g ∈ G mo˙zemy zapisa´c jako g = x

1

x

2

· · · x

n

, gdzie l

< l

· · · < l

, n ∈ N oraz k

∈ Z r {0}. Powiemy, ˙ze dla elementu g powy˙zsza posta´ c jest kanoniczn¸ a a liczb¸ e k

nazwiemy wyk ladnikiem g l´ ownym. Dla dowolnych g

, g

∈ G przyjmujemy g

≺ g

, je´ sli g

6= g

i g

g

ma dodatni wyk ladnik g l´ owny. Latwo mo˙zna sprawdzi´ c, ˙ze (G, ) jest grup¸ a liniowo uporz¸ adkowan¸ a.

Nast¸ epnie rozwa˙zamy zbi´ or T wszystkich par (m, g) ∈ Z × G takich, ˙ze albo m > 0 i g jest dowolne, albo m = 0 i 1  g.

Definiujemy w T mno˙zenie i porz¸ adek: dla dowolnych (m

, g

), (m

, g

) ∈ T (m

, g

)(m

, g

) = (m

+ m

, ψ

(g

)g

) oraz

(m

, g

) ≤ (m

, g

) ⇔ m

< m

lub m

= m

i g

 g

.

W pracy wykazano, ˙ze (T, ≤) jest liniowo uporz¸ adkowanym monoidem ze wszystkimi elementami wi¸ekszymi lub r´ ownymi elementowi neutralnemu (0, 1). Ponadto krata wszystkich prawostronnych idea l´ ow monoidu T jest uporz¸ adkowana liniowo ze wzgl¸ edu na inkluzj¸ e. Analogiczn¸ a w lasno´ s´ c posiada krata lewostronnych idea l´ ow monoidu T .

Niech D b¸edzie pier´ scieniem z dzieleniem. Wykorzystuj¸ ac [40] widzimy, ˙ze pier´ scie´ n uog´ olnionych szereg´ ow pot¸ egowych D[[T ]] jest duo oraz idea ly tego pier´ scienia s¸ a liniowo uporz¸ adkowane ze wzgl¸edu na inkluzj¸e. Dla elementu f pier´ scienia R = D[[T ]] przez π(f ) oznaczamy minimalny element zbioru supp(f ) (zawsze taki element istnieje, poniewa˙z T jest liniowo uporz¸ adkowany) i rozwa˙zamy idea l

I = 0 ∪ {f ∈ R r {0} : π(f ) > (1, x

x

x

) dla pewnych i, j ∈ Z}.

Nast¸epny krok to konstrukcja pier´ scienia ilorazowego R/I, kt´ ory w oczywisty spos´ ob jest duo. Dla

pier´ scienia R/I mamy nast¸ epuj¸ acy kluczowy fakt.

Lemat 7. Klasyczny prawostronny pier´ scie´ n u lamk´ ow Q

(R/I) pier´ scienia R/I nie jest pra- wostronnie duo i jest lewostronnie duo.

Wydaje si¸e, ˙ze powy˙zszy lemat sam w sobie zas luguje na uwag¸ e. Istnienie pier´ scienia o w lasno´ sciach, kt´ ore on posiada jest zaskakuj¸ ace.

Nast¸ epnie rozwa˙zamy pier´ scie´ n (R/I)

, kt´ ory jako zbi´ or jest r´ owny R/I, a jako struktura al- gebraiczne r´ o˙zni si¸ e od R/I tym, ˙ze dla a, b ∈ (R/I)

mno˙zenie ∗ w (R/I)

jest dane wzorem a∗b = b·a (gdzie · jest mno˙zeniem w R/I). Ostatecznie, przy oznaczeniach jak powy˙zej, dowodzimy nast¸ epuj¸ ace twierdzenie.

Twierdzenie 8. Pier´ scie´ n B = R/I × (R/I)

jest pier´ scieniem duo, natomiast jego klasyczny prawostronny pier´ scie´ n u lamk´ ow Q

(B) nie jest ani prawostronnie, ani lewostronnie duo.

O pracy [H4].

Przypomnijmy, ˙ze pier´ scie´ n R jest prawostronnie rozdzielny [64], je´ sli krata prawostronnych idea l´ ow tego pier´ scienia jest rozdzielna, tzn. (A + B) ∩ C = A ∩ C + B ∩ C dla dowolnych prawostron- nych idea l´ ow A, B, C pier´ scienia R. Analogicznie definiuje si¸ e pier´ scienie lewostronnie rozdzielne.

Pier´ scieniom z opisan¸ a w lasno´ sci¸ a po´ swi¸ econe s¸ a, opr´ ocz wielu innych prac, pozycje [67] i [68]. R jest nazywany pier´ scieniem Armendariza, je´ sli dla dowolnych f = P

i=0

a

x

, g = P

j=0

b

x

∈ R[x]

z faktu f (x)g(x) = 0 wynika, ˙ze a

b

= 0 dla dowolnych i, j. Omawiana klasa zosta la zdefiniowana przez Rege and Chhawchharia w [58], kt´ ora to praca motywowana by la wynikiem Armendariza.

Ten ostatni w swoich badaniach [4] pokaza l, ˙ze je´ sli pier´ scie´ n R jest zredukowany (nie posiada niezerowych element´ ow nilpotentnych), to f (x)g(x) = 0, implikuje a

b

= 0 dla dowolnych i, j. W oczywisty spos´ ob, rozwa˙zane mi¸edzy innymi w pracach [2], [3], [26] i [29], pier´ scienie Armendariza wpisuj¸ a si¸ e w tematyk¸ e bada´ n nad dzielnikami zera pier´ scieni wielomian´ ow.

W pracy [39] wykazano, ˙ze je´ sli w pier´ scieniu R wszystkie prawostronne idea ly s¸ a por´ ownywalne ze wzgl¸edu na inkluzj¸e (takie pier´ scienie w literaturze nazywane s¸ a prawostronnie la´ ncuchowymi), to R jest pier´ scieniem Armendariza. Nie jest trudno zobaczy´ c, ˙ze ka˙zdy pier´ scie´ n prawostronnie la´ ncuchowy jest prawostronnie rozdzielny. Dlatego te˙z powsta lo pytanie, czy zachodzi jaki´ s zwi¸ azek miedzy pier´ scieniami Armendariza i prawostronnie rozdzielnymi. Artyku l [H4] daje wyczerpuj¸ ac¸ a odpowied´ z w tej kwestii. Badaj¸ ac tak zwane saturacje, kt´ ore w kontek´ scie pier´ scieni rozdzielnych badane by ly w pracy [20], w pracy [H4] zosta l udowodniony nast¸ epuj¸ acy wynik.

Twierdzenie 9. Je´ sli R jest prawostronnym lub lewostronnym pier´ scieniem rozdzielnym, to R jest

pier´ scieniem Armendariza.

Dotychczas bardzo du˙zo by lo wiadomo o w lasno´ sciach pier´ scieni Armendariza, natomiast z pewn¸ a przesad¸ a, ale jednak mo˙zna powiedzie´ c, ˙ze jedynym punktem wyj´ scia do budowania przyk lad´ ow tych pier´ scieni, by ly pier´ scienie zredukowane. W tym kontek´ scie powy˙zej przedstawione twierdzenie jawi si¸ e jako nowe ´ zr´ od lo dostarczaj¸ ace przyk lad´ ow, co przyczyni si¸ e z pewno´ sci¸ a do jeszcze lepszego zrozumienia struktury omawianych pier´ scieni.

W rzeczywisto´ sci w omawianej pracy udowodniono silniejsze twierdzenie od tego przedstawionego powy˙zej. Do zaprezentowania tego wyniku potrzebujemy kilku definicji.

Niech S b¸ edzie monoidem. Zgodnie z [33] pier´ scie´ n R nazywa si¸ e S-Armendariza, je´ sli dla dowolnych α = P

s∈S

a

s i β = P

t∈S

b

t element´ ow pier´ scienia monoidowego R[S] (gdzie s, t ∈ S a a

, b

∈ R), αβ = 0 implikuje a

b

= 0 dla wszystkich s, t ∈ S. Dalej, monoid S jest nazywany u.p. monoidem (ang. unique product), je´ sli dla dowolnych niepustych podzbior´ ow X, Y ⊆ S istnieje x

∈ X i y

∈ Y takie, ˙ze x

y

6= xy dla dowolnych (x, y) ∈ X × Y r {(x

, y

)}. Klasa u.p. monoid´ ow zawiera liniowo uporz¸ adkowane monoidy, podmonoidy grup wolnych oraz beztorsyjne nilpotentne grupy, i rozwa˙zana by la mi¸ edzy innymi w [8], [38], [39] i [55]. W [H4] udowodniono nast¸ epuj¸ ace.

Twierdzenie 10. Je´ sli R jest prawostronnie lub lewostronnie rozdzielnym pier´ scieniem, a S jest u.p. monoidem, to R jest pier´ scieniem S-Armendariza.

Latwo mo˙zna uzasadni´ c, ˙ze je´ sli R jest pier´ scieniem S-Armendariza dla pewnego u.p. monoidu S, to jest on pier´ scieniem Armendariza. St¸ ad te˙z powsta lo pytanie o to, czy istnieje pier´ scie´ n Armen- dariza i u.p. monoid S takie, ˙ze R nie jest S-Armendariza. Jako drugi wynik praca [H4] zawiera konstrukcj¸e takiego w la´ snie przyk ladu. Dok ladniej, skonstruowano pier´ scie´ n Armendariza R taki,

˙ze R nie jest S-Armendariza dla pewnego u.p. monoidu S. Poni˙zej przedstawiamy wspomnian¸ a konstrukcj¸e.

Niech S b¸edzie monoidem generowanym przez s

, s

, s

, t

, t

, t

z definiuj¸ acymi relacjami:

s

t

= s

t

, s

t

= s

t

, s

t

= s

t

, s

t

= s

t

.

Jak zosta lo pokazane przez Kremp¸ e, S jest u.p. monoidem ([55, Przyk lad 13, Rozdzia l 10]).

Niech K = Z

b¸edzie cia lem dwuelementowym i niech R b¸edzie K algebr¸ a generowan¸ a przez y

, y

, y

z relacjami

y

= y

y

, y

y

= y

y

, y

y

= y

, y

y

= y

y

, y

= 0, y

y

y

= 0 for all i, j, k ∈ {1, 2, 3}.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla f = y

s

+ y

s

+ y

s

, g = y

t

+ y

t

+ y

t

∈ R[S] mamy f g = 0 i y

y

6= 0,

co pokazuje, ˙ze R nie jest S-Armendariza. Dalej, analizuj¸ ac r´ o˙zne mo˙zliwe przypadki (ta cz¸ e´ s´ c

jest dalece nietrywialna) dla skonstru lowanego pier´ scienia R, w pracy udowodniono, ˙ze jest on pier´ scieniem Armendariza.

O pracy [H5].

Praca [H5] jest pr´ ob¸ a (okaza lo si¸ e, ˙ze udan¸ a) przeniesienia wynik´ ow z pracy [H4] na grunt modu l´ ow i spojrzenia na warunek Armendariza w la´ snie z takiej perspektywy. W literaturze dotycz¸ acej rozdzielno´ sci kraty idea l´ ow jednostronnych pier´ scieni, bardzo cz¸ esto pojawia si¸ e podej´ scie z natury og´ olniejsze, a mianowicie - rozwa˙za si¸ e rozdzielne modu ly. Niech R b¸ edzie pier´ scieniem i niech M b¸ edzie prawostronnym modu lem nad R. M´ owimy, ˙ze M jest modu lem rozdzielnym, je´ sli krata podmodu l´ ow tego modu lu jest rozdzielna. Analogicznie, jak to by lo w przypadku pier´ scieni Ar- mendariza, powiemy, ˙ze prawostronny modu l M nad pier´ scieniem R jest modu lem Armendariza [71], je´ sli dla dowolnych m(x) = P

i=1

m

x

∈ M [x] i f (x) = P

j=1

f

x

∈ R[x], m(x)f (x) = 0 implikuje m

f

= 0 dla dowolnych i, j (w naturalny spos´ ob M [x] jest tutaj prawostronnym R[x]

modu lem). Analogicznie wprowadzamy odpowiednie terminy w przypadku, gdy M jest lewostron- nym R modu lem. Chocia˙z g l´ owny wynik pracy [H5] jest og´ olniejszy, my chcemy ograniczy´ c si¸ e tu do pier´ scieni i modu l´ ow, dlatego przyjmuje on nast¸ epuj¸ ac¸ a posta´ c.

Twierdzenie 11. Niech R i A b¸ ed¸ a pier´ scieniami i niech

V

b¸ edzie bimodu lem. Je´ sli

V jest rozdzielnym lewostronnym R-modu lem, to prawostronny A-modu l V

jest modu lem Armendariza.

Korzystaj¸ ac z powy˙zszego twierdzenia mo˙zemy udowodni´ c nast¸ epuj¸ acy wniosek.

Wniosek 12. Je´ sli R jest prawostronnie rozdzielnym pier´ scieniem, to ka˙zdy prawostronny R-modu l jest modu lem Armendariza.

Zatem w oczywisty spos´ ob Wniosek 12 implikuje Twierdzenie 9. W tym miejscu chcemy jednak zaz- naczy´ s, ˙ze dow´ od Twierdzenia 9, jaki znajduje si¸ e w pracy [H4], jest ca lkowicie inny ni˙z rozwa˙zania, kt´ ore doprowadzi ly do sformu lowania Wniosku 12.

W pracy [H5], opr´ ocz materia lu ju˙z zaprezentowanego, skonstruowano r´ ownie˙z przyk lady ukazuj¸ ace ograniczenia uzyskanych wynik´ ow.

Przyk lady 13. (1) Istnieje pier´ scie´ n R i rozdzielny prawostronny R-modu l V , kt´ ory nie jest modu lem Armendariza.

(2) Istnieje pier´ scie´ n R, kt´ ory nie jest prawostronnie rozdzielny i dla kt´ orego ka˙zdy prawostronny oraz ka˙zdy lewostronny R-modu l jest Armendariza.

(3) Istnieje prawostronnie rozdzielny pier´ scie´ n R (zatem ka˙zdy prawostronny R-modu l jest Armen-

dariza) taki, ˙ze pewien lewostronny R-modu l M nie jest Armendariza.

O pracy [H6].

Materia l, kt´ ory sk lada si¸ e na obecnie omawian¸ a prac¸ e, jest wynikiem rozwa˙za´ n inspirowanych przez kilka prac, o kt´ orych b¸ edzie mowa podczas prezentowania kolejnych rezultat´ ow.

Chcieliby´ smy w tym miejscu zaznaczy´ c, ˙ze obecnie nie zak ladamy, ˙ze rozwa˙zane pier´ scienie posi- adaj¸ a jedynk¸ e.

Przypomnijmy, ˙ze pier´ scie´ n R jest p´ o lprymitywny, je´ sli radyka l Jacobsona tego pier´ scienia r´ owny jest zero. Prawostronny idea l Q pier´ scienia R jest modularny, je´ sli istnieje a ∈ R takie, ˙ze r−ar ∈ Q dla dowolnego r ∈ R. Je´ sli idea l P pier´ scienia R jest maksymalnym dwustronnym idea lem zawartym w pewnym modularnym maksymalnym prawostronnym ideale Q pier´ scienia R, to powiemy, ˙ze P jest (prawostronnie) idea lem prymitywnym. Je´ sli 0 jest prawostronnie prymitywnym idea lem, to m´ owimy, ˙ze R jest pier´ scieniem (prawostronnie) prymitywnym. Przeci¸ ecie wszystkich (prawostron- nych) idea l´ ow prymitywnych pier´ scienia R jest r´ owne radyka lowi Jacobsona J (R).

W omawianej pracy rozwa˙zane s¸ a mi¸ edzy innymi zagadnienia dotycz¸ ace p´ o lprymitywno´ sci i prymi- tywno´ sci sko´ nczenie generowanych zgradowanych algebr pierwszych. Motywacje w tym przypadku zwi¸ azane s¸ a z prac¸ a [5], gdzie rozwa˙zane s¸ a algebry zgradowane przez liczby ca lkowite dodat- nie. Przyjrzenia si¸e tym wynikom pod k¸ atem mo˙zliwo´ sci uog´ olnienia ich na przypadek algebr zgradowanych przez liczby ca lkowite, doprowadzi lo do mo˙zliwo´ sci sformu lowania i udowodnienia nast¸epuj¸ acych twierdze´ n.

Twierdzenie 14. Niech R = L

i∈Z

R

b¸ edzie sko´ nczenie generowan¸ a Z-zgradowan¸a algebr¸a pier- wsz¸ a nad cia lem K. Przypu´ s´ cmy, ˙ze komponent R

jest sko´ nczenie wymiarow¸ a algebr¸ a i za l´ o˙zmy,

˙ze algebra R jest generowana przez elementy stopni −1, 1 i 0. Ponadto przypu´ s´ cmy, ˙ze R

6= 0 dla prawie wszystkich k. W´ owczas R nie ma niezerowych homogenicznych nil idea l´ ow. W szczeg´ olno´ sci algebry R

i R s¸ a p´ o lprymitywne.

Twierdzenie 15. Niech R = L

i∈Z

R

b¸ edzie sko´ nczenie generowan¸ a Z-zgradowan¸a algebr¸a pier- wsz¸ a nad cia lem K. Przypu´ s´ cmy, ˙ze komponent R

jest sko´ nczenie wymiarow¸ a algebr¸ a i za l´ o˙zmy, ˙ze algebra R jest generowana przez elementy stopni −1, 1 i 0. Je´ sli R ma wymiar Gelfanda-Kirillova mniejszy ni˙z 3, to albo R jest algebr¸ a prymitywn¸ a, albo R spe lnia to˙zsamo´ s´ c wielomianow¸ a.

Kolejny wynik, jaki pojawia si¸e w omawianej pracy, mo˙zna widzie´ c jako odpowiednik dla idea l´ ow,

dobrze znanego twierdzenie udowodnionego przez Bergmana, kt´ ore m´ owi, ˙ze nie istniej¸ a sko´ nczenie

generowane algebry maj¸ ace wymiar Gelfanda-Kirillova mniejszy od 2 i wi¸ ekszy od 1. Jednocze´ snie

nale˙zy wpomnie´ c, ˙ze by l on motywowany przez [5, Theorem 1.3].

Twierdzenie 16. Niech R = L

i∈Z

R

b¸ edzie sko´ nczenie generowan¸ a Z-zgradowan¸a algebr¸a pier- wsz¸ a nad cia lem K. Przypu´ s´ cmy, ˙ze R jest generowana przez elementy stopni −1, 1 i 0, oraz R

jest sko´ nczenie wymiarow¸ a algebr¸ a. W´ owczas dla dowolnego elementu homogenicznego u ∈ R oraz idea lu (u) generowanego przez u istnieje liczba naturalna m taka, ˙ze

dim

(u) ∩

n

M

i=−n

R

≥ (n − m)(n − m − 1) 2

dla wszystkich dostatecznie du˙zych n.

W kolejnej cz¸ e´ sci pracy rozwa˙zamy la´ ncuchy idea l´ ow pierwszych w zgradowanych dziedzinach i algebrach pierwszych z ma lym wymiarem Gelfanda-Kirillova. W tym kontek´ scie, wykorzystuj¸ ac Twierdzenie 16 udowodnione zosta ly nast¸ epuj¸ ace rezultaty.

Twierdzenie 17. Niech R b¸ edzie sko´ nczenie generowan¸ a Z-zgradowan¸a algebr¸a pierwsz¸a nad cia lem K. Za l´ o˙zmy ponadto, ˙ze R ma wzrost kwadratowy i jest generowana przez elementy stopni

−1, 1 i 0 oraz ˙ze R

jest algebr¸ a sko´ nczenie wymiarow¸ a. W´ owczas R ma sko´ nczony klasyczny wymiar Krulla.

Twierdzenie 18. Niech R b¸ edzie sko´ nczenie generowan¸ a dziedzin¸ a zgradowan¸ a przez nieujemne liczby ca lkowite. Za l´ o˙zmy ponadto, ˙ze R jest generowana przez elementy stopni 0 i 1, R

jest algebr¸ a sko´ nczenie wymiarow¸ a oraz R ma sze´ scienny wzrost. W´ owczas R ma sko´ nczony klasyczny wymiar Krulla.

Przypomnijmy, ˙ze pier´ scie´ n R (bez jedynki) jest radykalny Browna–McCoya, je´ sli nie mo˙ze on by´ c odwzorowany homomorficznie na prosty pier´ scie´ n z jedynk¸ a. Pier´ scie´ n R jest radykalny Jacobsona, je´ sli dla dowolnego a ∈ R istnieje a

∈ R taki, ˙ze a + a

+ aa

= a + a

+ a

a = 0. Wiadomo jest,

˙ze ka˙zdy pier´ scie´ n radykalny Jacobsona jest radykalny Browna-McCoya. W pracy [56] wykazano,

˙ze je´ sli R jest nil pier´ scieniem, to R[x] jest radykalny Browna-McCoya oraz postawiono pytanie:

czy jes´li R jest nil pier´ scieniem, to dla dowolnego n pier´ scie´ n wielomian´ ow R[x

, . . . , x

] o n przemiennych zmiennych jest radykalny Browna-McCoya? Problem ten pozostaje ci¸ agle otwarty.

Wa˙zno´ s´ c powy˙zszych zagadnie´ n wynika z ich zwi¸ azku z Problemem K¨ othe, o kt´ orym wi¸ ecej powiemy przy okazji omawiania nast¸ epnej pracy. W tym kontek´ scie w omawianym artykule udowodniono nast¸epuj¸ ace twierdzenie.

Twierdzenie 19. Niech K b¸ edzie cia lem i niech R b¸ edzie sko´ nczenie generowan¸ a algebr¸ a nad K

z wymiarem Gelfanda-Kirillova mniejszym od 3. W´ owczas, je´ sli R jest pier´ scieniem radykalnym

Browna-McCoya, to r´ ownie˙z R ⊗ A jest radykalny Browna-McCoya dla dowolnej algebry A nad K.

O pracy [H7].

Pragniemy na wst¸ epie zaznaczy´ c, ˙ze podobnie jak to by lo przy omawianiu pracy [H6], rozwa˙zane pier´ scienie nie musz¸ a posiada´ c jedynki. Wychodz¸ ac od pier´ scienia R, bardzo intensywnie badan¸ a jest konstrukcja pier´ scienia wielomian´ ow z r´ o˙zniczkowaniem.

Definicja 20. Niech R b¸ edzie pier´ scieniem. Dowolny homomorfizm addytywnej grupy R, δ : R → R, kt´ ory spe lnia dodatkowo

δ(ab) = δ(a)b + aδ(b), dla dowolnych a, b ∈ R, nazywamy r´ o˙zniczkowaniem na R.

Niech R b¸ edzie pier´ scieniem i niech δ b¸ edzie r´ o˙zniczkowaniem na R. Rozwa˙zmy zbi´ or R[x; δ]

sk ladaj¸ acy si¸e z wielomian´ ow postaci a

x

+ a

x

+ · · · + a

, gdzie a

∈ R, x jest zmienn¸ a, a n dowoln¸ a nieujemn¸ a liczb¸ a ca lkowit¸ a. Z dodawaniem zdefiniowanym w naturalny spos´ ob oraz mno˙zeniem zdefiniowanym zgodnie z regu l¸ a

xa = ax + δ(a),

gdzie a ∈ R, zbi´ or R[x; δ] ma struktur¸ e pier´ scienia i nazywany jest w literaturze pier´ scieniem wielomian´ ow z r´ o˙zniczkowaniem lub rozszerzeniem Orego.

Powiemy, ˙ze pier´ scie´ n R jest lokalnie nilpotentny, je´ sli dla dowolnego podzbioru P = {a

, . . . , a

}, k ∈ N, jego element´ow, istnieje n takie, ˙ze P

= 0 (zob. [31]). W pracy [1] Amitsur wykaza l,

˙ze je´ sli R[x] jest radykalny Jacobsona, to R jest nil pier´ scieniem (czyli wszystkie elementy w R s¸ a nilpotentne) oraz J (R[x]) = (J (R[x])∩R)[x]. Krempa w pracy [30] pokaza l, ˙ze pytanie o to, czy je´ sli R jest nil pier´ scieniem, to w´ owczas R[x] jest radykalny Jacobsona, jest r´ ownowa˙zne Problemowi K¨ othe. Problem ten formu luje si¸ e jako pytanie o to, czy je´ sli pier´ scie´ n R nie posiada dwustronnych nil idea l´ ow, to w´ owczas R nie posiada jednostronnych nil idea l´ ow. Latwo mo˙zna wykaza´ c, ˙ze jes´li R jest lokalnie nilpotentny, to wtedy R[x] jest radykalny Jacobsona. Podczas konferencji zatytu lowanej “Non-Associative Algebras and Related Topics”, kt´ ora odby la si¸e w Coimbrze w 2011 roku Shestakov zada l nast¸ epuj¸ ace pytanie.

Pytanie 21. Niech R b¸ edzie lokalnie nilpotentnym pier´ scieniem i niech δ b¸ edzie r´ o˙zniczkowaniem na R. Czy w´ owczas pier´ scie´ n R[x; δ] jest radykalny Jacobsona?

Poni˙zej przedstawiamy konstrukcj¸ e (bez dowod´ ow), kt´ ora pokazuje, ˙ze odpowied´ z na pytanie Shes- takova jest negatywna.

Niech K b¸edzie cia lem, a A niech b¸ edzie woln¸ a algebr¸ a nad K generowan¸ a przez przeliczalny

zbi´ or wolnych generator´ ow X = {x

, x

, x

, . . .}. Dla dowolnego n > 0, przez A(n) oznaczamy

podprzestrze´ n liniow¸ a przestrzeni A generowan¸ a przez wszystkie jednomiany d lugo´ sci n. Je´ sli rozwa˙zamy jednomian s = x

x

. . . x

, gdzie i

, . . . , i

∈ N ∪ {0}, to przez l(s) oznaczamy jego d lugo´ s´ c, natomiast dla q = 1, . . . , n, pisz¸ ac s[q] mamy na my´ sli element x

. Ostatecznie, przez M oznaczamy zbi´ or jednomian´ ow nale˙z¸ acych do A.

Rozwa˙zmy K-liniowe przekszta lcenie δ : A → A takie, ˙ze dla dowolnego i ≥ 0, δ(x

) = x

oraz dla a, b ∈ A,

δ(ab) = δ(a)b + aδ(b), δ(a + b) = δ(a) + δ(b).

Oczywistym jest, ˙ze δ jest r´ o˙zniczkowaniem na A.

Dla k > 0 niech X

= {x

, x

, . . . , x

} oraz niech

W (k, n) := {δ

(x

x

· . . . · x

) : x

∈ X

dla dowolnego j, l ≥ 0}.

Dla dowolnego k > 0 rozwa˙zmy idea l I

algebry A generowany przez W (k, 2 · 100

), a nast¸ epnie idea l I = P

k>0

I

. Kolejny krok to zdefiniowanie dla dowolnego k > 0 przestrzeni liniowej (tutaj, jak i wsz¸ edzie poni˙zej, przez A

oznaczamy pier´ scie´ n A z do l¸ aczon¸ a jedynk¸ a)

W

=

∞

X

m=0

A(m · 100

)W (k, 100

)A

.

Zachodzi nast¸epuj¸ acy fakt.

Lemat 22. Dla dowolnego k > 0 mamy I

⊆ W

.

Kluczowym w ca lej konstrukcji jest nast¸ epuj¸ acy fragment. Dla dowolnego k > 0 ustalmy liczby naturalne

c

= 100

, c

= 3 · 100

, . . . , c

= 3

· 100

i przez Z

oznaczmy zbi´ or tych element´ ow algebry A, kt´ ore spe lniaj¸ a jeden z poni˙zszych warunk´ ow:

(1) a = κs, gdzie κ ∈ K, a s ∈ M jest taki, ˙ze l(s) = 100

− 1, i istniej¸a liczby naturalne p < q ≤ k takie, ˙ze

s[3

· 100

] = s[3

· 100

].

(2) a = κ(s

+ s

), gdzie κ ∈ K, s

, s

∈ M(100

− 1), i istniej¸ a liczby naturalne p < q ≤ n i l

> l

> 0 takie, ˙ze

s

[3

· 100

] = x

, s

[3

· 100

] = x

,

s

[3

· 100

] = x

, s

[3

· 100

] = x

oraz s

[j] = s

[j] dla dowolnych j 6= 3

· 100

, 3

· 100

.

Lemat 23. Dla dowolnego k > 0 i a ∈ Z

, δ(a) jest sum¸ a element´ ow z Z

. Nast¸epnie dla dowolnego k > 0 definiujemy przestrze´ n liniow¸ a

B

=

∞

X

m=0

A(m · 100

)Z

A

.

Lemat 24. Dla dowolnego k ≥ 1 mamy I

⊆ B

.

Powy˙zszy lemat ko´ nczy cz¸ e´ s´ c pracy, w kt´ orej definiujemy odpowiednie przestrzenie liniowe nad K, idea ly homogeniczne algebry A oraz przedstawiamy ich w lasno´ sci, kt´ ore wykorzystujemy w dalszej cz¸ e´ sci.

Z Lematu 24 wynika, ˙ze homogeniczny idea l I = P

k>0

I

jest zawarty w przestrzeni B = P

k>0

B

. Rozwa˙zaj¸ ac powy˙zsze konstrukcje, mo˙zna zauwa˙zy´ s, ˙ze pier´ scie´ n R = A/I jest lokalnie nilpo- tentny oraz ˙ze mo˙zemy rozwa˙za´ c indukowane r´ o˙zniczkowanie na R, kt´ ore oznaczamy tak˙ze przez δ. Dodatkowo element x

, kt´ ory jest obrazem elementu x

∈ A w R, jest niezerowy. Zatem mo˙zemy rozwa˙zy´ c niezerowy wielomian x

x ∈ S = R[x; δ]. Poniewa˙z A jest w naturalny spos´ ob N-zgradowan¸ a algebr¸ a i I jest homogenicznym idea lem, to R jest r´ ownie˙z N-zgradowany. Je´sli przyjmiemy, ˙ze x w pier´ scieniu S ma stopie´ n 0, to widzimy, ˙ze S ma r´ ownie˙z N-gradacj¸e. Zatem, je´ sli S jest pier´ scieniem radykalnym Jacobsona, to homogeniczny element x

x ∈ S musi by´ c nilpo- tentny przez [60]. Kolejny raz, odwo luj¸ ac si¸ e do przedstawionego dotychczas materia lu, w kolejnej nietrywialnej cz¸e´ sci pracy pokazujemy, ˙ze dla dowolnego n nie wszyskie wsp´ o lczynniki elementu (x

x)

nale˙z¸ a do B, a co za tym idzie nie nale˙z¸ a tak˙ze do I. Zatem element x

x nie jest nilpo- tentny. Trzeba i nale˙zy tu doda´ c, ˙ze kluczow¸ a rol¸ e odgrywa w ca lej konstrukcji przestrze´ n liniowa B i to z ni¸ a pracujemy podczas wykazywania faktu, ˙ze x

x nie jest nilpotentny.

W omawianej pracy zadano nast¸ epuj¸ ace pytanie.

Pytanie 25. Niech R b¸ edzie lokalnie nilpotentnym PI pier´ scieniem i niech δ b¸ edzie r´ o˙zniczkowaniem na R. Czy pier´ scie´ n R[x; δ] jest w´ owczas radykalny Jacobsona?

Ostatnio w pracy [6] Bell i inni udowodnili, ˙ze je˙zeli R jest lokalnie nilpotentnym PI pier´ scieniem oraz δ jest r´ o˙zniczkowaniem na R, to R[x; δ] jest lokalnie nilpotentny. Wynik ten daje pozytywn¸ a odpowied´ z na przedstawione powy˙zej pytanie.

Obecnie chcieliby´ smy przedstawi´ c inny wynik otrzymany w omawianej pracy, kt´ ory podobnie jak

poprzedni bezpo´ srednio wi¸ a˙ze si¸ e ze wspomnianym wcze´ sniej wynikiem Amitsura. Zacznijmy od

tego, ˙ze w pracy [19] wykazano, ˙ze dla dowolnego pier´ scienia R i r´ o˙zniczkowania δ na R zachodzi J (R[x; δ]) = (J (R[x; δ]) ∩ R)[x; δ].

W momencie prowadzenia bada´ n, kt´ orych wyniki przedstawiono w prezentowanej pracy, otwartym pozostawa lo pytanie, czy J (R[x; δ]) ∩ R jest zawsze nil idea lem. W jednej z najnowszych swoich prac [63] Agata Smoktunowicz pokaza la, mi¸ edzy innymi, ˙ze odpowied´ z na wspomniane pytanie jest negatywna. Niemniej jednak w pewnych szczeg´ olnych przypadkach wykazano dotychczas,

˙ze odpowied´ z jest pozytywna. Tak jest dla pier´ scieni przemiennych (praca [19]), dla pier´ scieni spe lniaj¸ acych warunek la´ ncucha wst¸ epuj¸ acego na prawostronne anihilatory (praca [66]) oraz dla pier´ scieni spe lniaj¸ acych to˙zsamo´ s´ c wielomianow¸ a (praca [6]). Ponadto w pracy [H7] udowodniono nast¸ epuj¸ ace.

Twierdzenie 26. Je´ sli R jest algebr¸ a nad nieprzeliczalnym cia lem oraz δ jest lokalnie nilpotentnym r´ o˙zniczkowaniem na R, to J (R[x; δ]) ∩ R jest nil idea lem w R.

5. Om´ owienie pozosta lych osi¸ agni¸ e´ c naukowo - badawczych.

Poni˙zsze publikacje przedstawiaj¸ a wyniki, kt´ ore nie wesz ly do zasadniczej cz¸e´ sci prezentowanego powy˙zej dorobku habilitanta, a kt´ ore to wyniki zosta ly otrzymane po uzyskaniu przez niego stopnia naukowego doktora.

[D1] R. Mazurek, M. Ziembowski, On semilocal, Bezout and distributive generalized power series rings, Internat. J. Algebra Comput. 25 (2015), 725–744 (w spisie literatury pozycja [45]).

[D2] R. Mazurek, M. Ziembowski, On right McCoy rings and right McCoy rings relative to u.p.- monoids, Commun. Contemp. Math. 17 (2015), [10 pages] (w spisie literatury pozycja [44]).

[D3] M. Ziembowski, A note on zip rings, Acta Math. Hungar. 141 (1-2) (2013), 127-131 (w spisie literatury pozycja [74]).

[D4] M. Ziembowski, Regularity and strong regularity in the context of certain classes of rings, J.

Algebra Appl. 12 (5) (2013), 1250205 (9 pages) (w spisie literatury pozycja [75]).

[D5] R. Mazurek, P.P. Nielsen, M. Ziembowski, The upper nilradical and Jacobson radical of semigroup graded rings, J. Pure Appl. Algebra 219 (2015), 1082–1094 (w spisie literatury pozycja [46]).

[D6] P.P. Nielsen, M. Ziembowski, Derivations and bounded nilpotence index, Internat. J. Algebra

Comput. 25 (2015), 433–438 (w spisie literatury pozycja [54]).

Wszystkie prace omawiane w tej cz¸ e´ sci dotycz¸ a w dalszym ci¸ agu rozszerze´ n pier´ scieni nieprzemi- ennych i opisuj¸ a pewne ich w lasno´ sci.

O pracy [D1].

Powiemy, ˙ze pier´ scie´ n R jest prawostronnie B´ ezout, je´ sli dowolny sko´ nczenie generowany pra- wostronny idea l tego pier´ scienie jest g l´ owny. W omawianej obecnie pracy badano warunki konieczne i wystarczaj¸ ace na to, aby pier´ scie´ n uog´ olnionych szereg´ ow pot¸ egowych (definicja znajduje si¸ e w cz¸ e´ sci po´ swi¸ econej pracy [H3]) by l prawostronnie Bezout i p´ o llokalny (definicja tej klasy znajduje si¸ e w cz¸ e´ sci, gdzie omawiana jest praca [H2]). W wielu kontekstach w takich pracach jak [9], [48] czy [70] pojawiaj¸ a si¸ e w la´ snie pier´ scienie p´ o llokalny i B´ ezout. Naszym celem i motywacj¸ a by lo dostar- czenie narz¸ edzi do konstruowania przyk lad´ ow takich struktur. Uda lo si¸ e mi¸ edzy innymi udowodni´ c nast¸ epuj¸ ace dwa g l´ owne twierdzenia:

Twierdzenie 27. Niech R b¸ edzie pier´ scieniem a (S, ·, ≤) ´ sci´ sle liniowo uporz¸ adkowanym monoi- dem, kt´ ory nie jest grup¸ a. Wtedy nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) R[[S]] jest p´ o llokalny i prawostronnie (odpowiednio, lewostronnie ) B´ ezout.

(2) (a) R jest p´ o lprosty i artinowski,

(b) S jest prawostronnie (odpowiednio, lewostronnie) la´ ncuchowym monoidem, (c) Je´ sli s ∈ S i s ≤ 1, to s ∈ U (S).

Twierdzenie 28. Niech (S, ·, ≤) b¸ edzie liniowo uporz¸ adkowan¸ a grup¸ a. Je´ sli R = R

× · · · × R

jest sko´ nczonym produktem prostym pier´ scieni macierzy R

nad artinowskimi pier´ scieniami la´ ncuchowymi, to pier´ scie´ n uog´ olnionych szereg´ ow pot¸ egowych R[[S]] jest p´ o llokalny i B´ ezout.

O pracy [D2].

Powiemy, ˙ze pier´ scie´ n R jest prawostronnie McCoya [51], je´ sli dla dowolnych f (x), g(x) ∈ R[x],

f (x)g(x) = 0 implikuje f (x)a = 0 dla pewnego niezerowego a ∈ R. Analogicznie definiuje si¸ e

lewostronne pier´ scienie McCoya. Rozwa˙zana w lasno´ s´ c jest og´ olniejsz¸ a od w lasno´ sci Armendariza,

a motywacja do jej badania pochodzi z pracy [47], w kt´ orej McCoy wykaza l, ˙ze posiada j¸ a dowolny

pier´ scie´ n przemienny. Wspomniany fakt wytyczy l r´ ownie˙z kierunek bada´ n nad pier´ scieniami Mc-

Coya. Mianowicie, pierwszymi klasami, kt´ ore w tym kontek´ scie si¸ e pojawi ly, s¸ a pewne uog´ olnienia

pier´ scieni przemiennych. Pier´ scie´ n R nazywa si¸ e odwracalnym (ang. reversible ring), je´ sli dla dowol-

nych a, b ∈ R, ab = 0 implikuje ba = 0. Nielsen w pracy [51] pokaza l, ˙ze ka˙zdy pier´ scie´ n odwracalny

jest McCoya. W pracy [12] udowodniono, ˙ze ka˙zdy pier´ scie´ n prawostronnie duo jest prawostronnie

McCoya. Analogicznie, jak by lo to zrobione w przypadku pier´ scieni Armendariza w pracy [23],

definicj¸ e pier´ scieni McCoya rozszerzono na pier´ scienie monoidowe. Analizuj¸ ac wyniki otrzymane w [23], widocznym staje si¸e problem odpowiedzi na nast¸ epuj¸ ace pytanie: czy je´ sli pier´ scie´ n R jest prawostronnie duo, to dla dowolnego u.p. monoidu S, R jest prawostronnie S-McCoya? W pracy [D2] odpowiedziano na to pytanie pozytywnie. Ponadto w omawianej pracy skonstruowano przyk lad pier´ scienia R, kt´ ory jest McCoya, a nie jest S-McCoya dla pewnego u.p. monoidu S.

Pragniemy podkre´ sli´ c tutaj, ˙ze przyk lad wspomnianego przed chwil¸ a pier´ scienia R jest inny ni˙z ten skonstruowany na potrzeby w lasno´ sci Armendariza, a zaprezentowany podczas omawiania pracy [H4]. Chocia˙z rozwa˙zany u.p. monoid jest ten sam.

O pracy [D3].

Przypomnijmy, ˙ze pier´ scie´ n R nazywany jest prawostronnym zip pier´ scieniem, jes´li dla dowolnego podzbioru S ⊆ R, je´ sli prawostronny anihilator r

(S) = 0, to r

(X) = 0 dla pewnego sko´ nczonego podzbioru X ⊆ S.

W pracy [17] Faith przedstawi l nast¸ epuj¸ ace problemy:

(1) Kiedy z faktu, ˙ze pier´ scie´ n R jest zip, wynika, ˙ze R[x] jest zip?

(2) Poda´ c charakteryzacj¸ e pier´ scieni R, dla kt´ orych pier´ scienie macierzy M

(R) s¸ a zip.

(3) Kiedy fakt, ˙ze pier´ scie´ n R jest zip, imlikuje, ˙ze pier´ scie´ n grupowy R[G] jest zip, gdzie G jest grup¸ a sko´ nczon¸ a?

Powy˙zsze pytania od momentu pojawienia si¸ e motywowa ly wiele bada´ n. W [14] Cedo pokaza l, ˙ze omawiana w lasno´ s´ c nie zachowuje si¸e przy nast¸ epuj¸ acych konstrukcjach: pier´ scienie wielomian´ ow, pier´ scienie macierzy oraz pier´ scienie grupowe dla grup sko´ nczonych. W pracy [25] Hong i inni wykazali mi¸edzy innymi, ˙ze je´ sli R jest pier´ scieniem Armendariza, to R jest zip wtedy i tylko wtedy, gdy R[x] jest zip. Ponadto pokazali, ˙ze je´ sli R jest przemienny i M jest u.p. monoidem, to R jest zip wtedy i tylko wtedy, gdy R[M ] jest zip. Hashemi w [24] pokaza l, ˙ze je´ sli R jest odwracalnym pier´ scieniem, a S jest u.p. monoidem, to R jest zip wtedy i tylko wted, gdy R[S] jest zip. Pokaza l on tak˙ze, ˙ze powy˙zsza r´ ownowa˙zno´ s´ c zachodzi, gdy R jest prawostronnie duo i S jest

´ sci´ sle i liniowo uporz¸ adkowanym monoidem. W omawianej pracy udowodniono nast¸ epuj¸ ace.

Twierdzenie 29. Je´ sli R jest pier´ scieniem o prawostronnym wymiarze Goldiego r´ ownym jeden oraz S jest u.p. monoidem, to pier´ scie´ n R jest zip wtedy i tylko wtedy, gdy R[S] te˙z jest zip

O pracy [D4].

Przypomnijmy, ˙ze pier´ scie´ n nazywa si¸ e sko´ nczonym w sensie Dedekinda, je´ sli z faktu, ˙ze ab = 1 dla

pewnych element´ ow a, b ∈ R, wynika r´ owno´ s´ c ba = 1. Dalej, pier´ scie´ n R nazywa si¸e prawostron-

nie quasi-morphic (zob. [13]), je´ sli dla dowolnego a ∈ R istniej¸ a b, c ∈ R takie, ˙ze aR = r

(b)

oraz r

(a) = cR, gdzie r

(x) oznacza prawostronny anihilator elementu x. Podobnie definiujemy pier´ scienie lewostronnie quasi-morphic. Pier´ scie´ n R nazywany jest prawostronnie centralnie mor- phic (zob. [34]), je´ sli dla dowolnego a ∈ R istnieje centralny element c ∈ R taki, ˙ze aR = r

(b) oraz bR = r

(a). Lewostronnie centralnie morphic pier´ scienie definiowane s¸ a w analogiczny spos´ ob.

Wreszcie, powiemy, ˙ze pier´ scie´ n R jest prawostronnie (lewostronnie) gaussowski (zob. [42]), je´ sli dla dowolnych wielomian´ ow f, g ∈ R[x] zachodzi c

(f )c

(g) = c

(f g) (c

(f )c

(g) = c

(f g)), gdzie dla dowolnego wielomianu h ∈ R[x] przez c

(h) (c

(h)) oznaczamy prawostronny (lewostronny) idea l pier´ scienia R generowany przez wsp´ o lczynniki wielomianu h.

G l´ owne motywacje do przeprowadzenia bada´ n zwi¸ azanych z omawian¸ a prac¸ a pochodz¸ a z [42] i [69], a wykazano w niej nast¸ epuj¸ ace fakty.

Twierdzenie 30. Je´ sli pier´ scie´ n R jest sko´ nczony w sensie Dedekinda, to dla dowolnego n ≥ 1 nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) R[x]/(x

) jest prawostronnie B´ ezout.

(2) R[x]/(x

) jest lewostronnie B´ ezout.

(3) R[x]/(x

) jest prawostronnie quasi-morphic.

(4) R[x]/(x

) jest lewostronnie quasi-morphic.

(5) R is regularny (w sensie von Neumanna).

Twierdzenie 31. Dla dowolnego pier´ scienia R, nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) R[x]/(x

) jest prawostronnie gaussowski.

(2) R[x]/(x

) jest lewostronnie gaussowski.

(3) R[x]/(x

) jest prawostronnie rozdzielny.

(4) R[x]/(x

) jest lewostronnie rozdzielny.

(5) R[x]/(x

) jest prawostronnie centralnie morphic.

(6) R[x]/(x

) jest lewostronnie centralnie morphic.

(7) R is regularny i zredukowany.

O pracy [D5].

Motywacje do prac nad materia lem, kt´ ory sk lada si¸ e na omawiany obecnie artyku l zwi¸ azane s¸ a z [35] i [61]. W drugiej z tych prac znajdujemy nast¸ epuj¸ ace pytania:

Pytanie A. Dla kt´ orych p´ o lgrup S nil radyka l N (R) dowolnego pier´ scienia R z S-gradacj¸ a jest

homogeniczny?

Pytanie B. Dla jakich p´ o lgrup S podpier´ scienie generowane przez homogeniczne elementy S- zgradowanych pier´ scieni radykalnych Jacobsona s¸ a radykalne Jacobsona?

Trzeba w tym miejscu wspomnie´ c, ˙ze w pracy [61] Smoktunowicz udowodni la, ˙ze je´ sli R jest pier´ scieniem z Z-gradacj¸a, to nil radyka l N (R) jest homogeniczny. Ponadto Smoktunowicz we wspomnianej pracy i niezale˙znie Lee i Puczy lowski w [35] wykazali, ˙ze je´ sli R jest pier´ scieniem radykalnym Jacobsona i zgradowanym przez addytywn¸ a p´ o lgrup¸ e liczb naturalnych, to ka˙zdy gen- erowany przez elementy homogeniczne podpier´ scie´ n R jest radykalny Jacobsona.

Przechodzimy obecnie do przedstawienia wynik´ ow otrzymanych w omawianej pracy. Powiemy, ˙ze funkcja f jest idea lowa, je´ sli dowolnemu pier´ scieniowi R przyporz¸ adkowuje ona pewien idea l f (R) tego pier´ scienia. Oczywistym jest, ˙ze radyka ly w sensie Kurosha-Amitsura s¸ a takimi funkcjami, przy czym wprowadzone poj¸ ecie jest og´ olniejsze, co widzimy rozwa˙zaj¸ ac funkcj¸ e, kt´ ora przyporz¸ adkowuje dowolnemu pier´ scieniowi R sum¸ e algebraiczn¸ a wszystkich jego idea l´ ow nilpotentnych. Wiadomo jest, ˙ze suma taka nie jest radyka lem w sensie Kurosha-Amitsura.

Definicja 32. (´ Sci´ sni¸ eta funkcja idea lowa). Niech C b¸ edzie klas¸ a pier´ scieni zamkni¸et¸ a na izomor- fizmy i niech F i G b¸ed¸ a funkcjami idea lowymi. Powiemy, ˙ze funkcja F jest G-C-´ sci´ sni¸eta, je´ sli dla dowolnego pier´ scienia R mamy G(R) ⊆ F (R) oraz F (R) ⊆ I dla dowolnego idea lu I pier´ scienia R takiego, ˙ze R/I ∈ C.

Niech R b¸edzie pier´ scieniem, kt´ ory niekoniecznie posiada jedynk¸ e. Rozwa˙zmy lewostronny ani- hilator `

(R) = {a ∈ R : aR = 0} pier´ scienia R. W podobny spos´ ob definujemy prawostronny anihilator r

(R). Oczywi´ scie w przypadku, gdy pier´ scie´ n R posiada element neutralny ze wzgl¸ edu na mno˙zenie, powy˙zsze zbiory s¸ a niczym innym jak zbiorem jednoelementowym r´ ownym {0}. Dlat- ego te˙z pier´ scienie pojawiaj¸ ace si¸ e w obecnie omawianym fragmencie nie musz¸ a posiada´ c jedynki.

Ostatecznie definiujemy zbi´ or ann(R) = `

(R) + r

(R), kt´ ory w oczywisty spos´ ob jest idea lem R.

Oczywistym tak˙ze jest, ˙ze ann, `

i r

s¸ a funkcjami idea lowymi. Pierwszy z rezultat´ ow otrzymany w omawianej pracy jest nast¸ epuj¸ acy.

Twierdzenie 33. Niech S b¸ edzie p´ o lgrup¸ a i niech F b¸ edzie `

-C-´ sci´ sni¸ et¸ a funkcj¸ a, gdzie C jest dowoln¸ a izomorficznie domkni¸ et¸ a klas¸ a pier´ scieni zawieraj¸ ac¸ a niezredukowany pier´ scie´ n R

. Je´ sli dla dowolnego S-zgradowanego pier´ scienia R idea l F (R) jest homogeniczny, to S jest p´ o lgrup¸ a z prawostronnym skracaniem (tzn. dla dowolnych s, t, u ∈ S, su = tu implikuje s = t).

Jako g l´ owne wnioski z powy˙zszego otrzmujemy.

Wniosek 34. [15, Twierdzenie 9] Je´ sli S jest p´ o lgrup¸ a, dla kt´ orej radyka l Jacobsona J (R) jest

homogeniczny dla dowolnego S-zgradowanego pier´ scienia R, to S jest p´ o lgrup¸ a ze skracaniem.